新教材數(shù)學(xué)高中必修一課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)6-1冪函數(shù)

課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)二十七冪函數(shù)(15分鐘30分)1.下列結(jié)論正確的是 ()A.冪函數(shù)圖象一定過(guò)原點(diǎn)B.當(dāng)α<0時(shí),冪函數(shù)y=xα是減函數(shù)C.當(dāng)α>1時(shí),冪函數(shù)y=xα是增函數(shù)D.函數(shù)y=x2既是二次函數(shù),也是冪函數(shù)【解析】選D.函數(shù)y=x1的圖象不過(guò)原點(diǎn),故A不正確;y=x1在(∞,0)及(0,+∞)上是減函數(shù),故B不正確;函數(shù)y=x2在(∞,0)上是減函數(shù),在(0,+∞)上是增函數(shù),故C不正確.2.已知冪函數(shù)f(x)=kxα的圖象過(guò)點(diǎn)QUOTE,則k+α等于 ()A.QUOTE B.1 C.QUOTE D.2【解析】選A.因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)=kxα(k∈R,α∈R)的圖象過(guò)點(diǎn)QUOTE,所以k=1,fQUOTE=QUOTE=QUOTE,即α=QUOTE,所以k+α=QUOTE.3.在下列四個(gè)圖形中,y=QUOTE的圖象大致是 ()【解析】選D.函數(shù)y=QUOTE的定義域?yàn)?0,+∞),是減函數(shù).4.冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(3,QUOTE),則它的單調(diào)遞增區(qū)間是 ()A.[1,+∞) B.[0,+∞)C.(∞,+∞) D.(∞,0)【解析】選B.設(shè)冪函數(shù)為f(x)=xα,因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(3,QUOTE),所以f(3)=3α=QUOTE=QUOTE,解得α=QUOTE,所以f(x)=QUOTE,所以冪函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0,+∞).5.(2020·南京高一檢測(cè))已知冪函數(shù)fQUOTE過(guò)點(diǎn)QUOTE,則fQUOTE在其定義域內(nèi)()A.為偶函數(shù) B.為奇函數(shù)C.有最大值 D.有最小值【解析】選A.設(shè)冪函數(shù)為fQUOTE=xα,代入點(diǎn)QUOTE,即2α=QUOTE,所以α=2,fQUOTE=x2,定義域?yàn)镼UOTE∪QUOTE,為偶函數(shù)且fQUOTE=x2∈QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知2.4α>2.5α,則α的取值范圍是________.

【解析】因?yàn)?<2.4<2.5,而2.4α>2.5α,所以y=xα在(0,+∞)上為減函數(shù),故α<0.答案:(∞,0)6.已知冪函數(shù)f(x)=QUOTE(2<m<2,m∈Z)滿足:①在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增;②對(duì)任意的x∈R,都有f(x)f(x)=0.求冪函數(shù)f(x)的解析式,并求當(dāng)x∈QUOTE時(shí),f(x)的值域.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在QUOTE上單調(diào)遞增,所以m22m+3>0,解得:3<m<1.因?yàn)?<m<2,m∈Z,所以m=1或m=0.又因?yàn)閒(x)=f(x),所以f(x)是偶函數(shù),所以m22m+3為偶數(shù).當(dāng)m=1時(shí),m22m+3=4滿足題意,當(dāng)m=0時(shí),m22m+3=3不滿足題意,所以f(x)=x4,所以f(x)在QUOTE上遞增,所以f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f(4)=256,所以值域是QUOTE.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.(2020·瓊海高一檢測(cè))若函數(shù)f(x)=(m26m+9)QUOTE是冪函數(shù)且為奇函數(shù),則m的值為 ()A.2 B.3 C.4 D.2或4【解析】選D.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(m26m+9)QUOTE為冪函數(shù),所以m26m+9=1,所以m=2或m=4,當(dāng)m=4時(shí),f(x)=x5是奇函數(shù),滿足題意,當(dāng)m=2時(shí),f(x)=x1是奇函數(shù),滿足題意;所以m=2或4.2.下列命題中,不正確的是 ()A.冪函數(shù)y=x1是奇函數(shù)B.冪函數(shù)y=x2是偶函數(shù)C.冪函數(shù)y=x既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.y=QUOTE既不是奇函數(shù),又不是偶函數(shù)【解析】選C.因?yàn)閤1=QUOTE,QUOTE=QUOTE,所以A正確;(x)2=x2,所以B正確;x=x不恒成立,所以C不正確;y=QUOTE定義域?yàn)閇0,+∞),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以D正確.3.給出冪函數(shù):①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=x3;④f(x)=QUOTE;⑤f(x)=QUOTE.其中滿足條件fQUOTE>QUOTE(x1>x2>0)的函數(shù)的個(gè)數(shù)是 ()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【解析】選A.①函數(shù)f(x)=x的圖象是一條直線,故當(dāng)x1>x2>0時(shí),fQUOTE=QUOTE;②函數(shù)f(x)=x2的圖象是凹形曲線,故當(dāng)x1>x2>0時(shí),fQUOTE<QUOTE;③在第一象限,函數(shù)f(x)=x3的圖象是凹形曲線,故當(dāng)x1>x2>0時(shí),fQUOTE<QUOTE;④函數(shù)f(x)=QUOTE的圖象是凸形曲線,故當(dāng)x1>x2>0時(shí),fQUOTE>QUOTE;⑤在第一象限,函數(shù)f(x)=QUOTE的圖象是一條凹形曲線,故當(dāng)x1>x2>0時(shí),fQUOTE<QUOTE.故僅有函數(shù)f(x)=QUOTE滿足當(dāng)x1>x2>0時(shí),fQUOTE>QUOTE.4.(多選題)下列函數(shù)中,其定義域和值域相同的函數(shù)是 ()A.y=QUOTE B.y=QUOTEC.y=QUOTE D.y=QUOTE【解析】選A、B、C.A中y=QUOTE=QUOTE,定義域、值域都為R;B中y=QUOTE=QUOTE定義域與值域都為(0,+∞);C中y=QUOTE的定義域、值域也為R;D中y=QUOTE=QUOTE定義域?yàn)镽,而值域?yàn)閇0,+∞).二、填空題(每小題5分,共10分)5.已知函數(shù)f(x)=(m2m1)QUOTE是冪函數(shù),且在(0,+∞)上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)m=________.

【解析】在冪函數(shù)f(x)=(m2m1)QUOTE中,令m2m1=1,得m2m2=0,解得m=2或m=1;當(dāng)m=2時(shí),m22m2=2,函數(shù)f(x)=x2,在(0,+∞)上單調(diào)遞減,滿足題意;當(dāng)m=1時(shí),m22m2=1,函數(shù)f(x)=x,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,不滿足題意;所以實(shí)數(shù)m=2.答案:26.已知函數(shù)f(x)=QUOTEQUOTE(x>0),則滿足f(3n)>0的n的取值范圍是__________.

【解析】函數(shù)g(x)=QUOTE在(0,+∞)上單調(diào)遞減,函數(shù)t(x)=QUOTE在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(x)=g(x)+t(x)=QUOTEQUOTE在(0,+∞)上單調(diào)遞減.又f(1)=0,所以滿足f(3n)>0的n的取值范圍是0<3n<1,即2<n<3.答案:(2,3)三、解答題7.(10分)已知冪函數(shù)f(x)=QUOTE(m∈N*)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,QUOTE),試確定m的值,并求滿足條件f(2a)>f(a1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,QUOTE),所以QUOTE=QUO