材料-04彎曲內(nèi)力

第四章彎曲內(nèi)力材料力學(xué)§4–1平面彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖§4–2梁的剪力和彎矩§4–3剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖§4–4剪力、彎矩與分布荷載集度間的關(guān)系及應(yīng)用§4–5平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖*

第四章彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力§4–1平面彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖一、彎曲的概念1.彎曲:桿受垂直于軸線的外力或外力偶矩矢的作用時(shí),軸線變成了曲線，這種變形稱為彎曲。2.梁：以彎曲變形為主的構(gòu)件通常稱為梁?？v向?qū)ΨQ面MF1F2q縱向?qū)ΨQ軸軸線彎曲內(nèi)力3.平面彎曲（對(duì)稱彎曲）：

外力作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)且垂直于軸線，梁發(fā)生彎曲變形后，軸線成為縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條平面曲線。

若梁不具有縱對(duì)稱面，或者，梁雖具有縱對(duì)稱面但外力并不作用在對(duì)稱面內(nèi)，這種彎曲則統(tǒng)稱為非對(duì)稱彎曲。以對(duì)稱彎曲為主，討論梁的內(nèi)力、應(yīng)力和變形計(jì)算彎曲內(nèi)力縱向?qū)ΨQ面MF1F2q力學(xué)模型:構(gòu)件特征：具有縱向?qū)ΨQ面的等截面直桿（等直梁）。受力特點(diǎn)：外力作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)且垂直于梁的軸線。變形特點(diǎn):軸線變成了縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平面曲線。橫截面發(fā)生了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。4.工程實(shí)例彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力彎曲變形工程實(shí)例彎曲內(nèi)力二、梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖

梁的支承條件與載荷情況一般都比較復(fù)雜，為了便于分析計(jì)算，應(yīng)進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，抽象出計(jì)算簡(jiǎn)圖。1.構(gòu)件本身的簡(jiǎn)化通常取梁的軸線來(lái)代替梁。2.載荷簡(jiǎn)化作用于梁上的載荷（包括支座反力）可簡(jiǎn)化為三種類型：集中力、集中力偶和分布載荷。3.支座簡(jiǎn)化彎曲內(nèi)力①固定鉸支座

2個(gè)約束，1個(gè)自由度。如：橋梁下的固定支座，止推滾珠軸承等。②可動(dòng)鉸支座

1個(gè)約束，2個(gè)自由度。如：橋梁下的輥軸支座，滾珠軸承等。FAxFAyFA彎曲內(nèi)力③固定端

3個(gè)約束，0個(gè)自由度。如：游泳池的跳水板支座，木樁下端的支座等。FAxFAyMA4.梁的三種基本形式①簡(jiǎn)支梁M—集中力偶q(x)—分布力②懸臂梁彎曲內(nèi)力③外伸梁—集中力Fq—均布力5.靜定梁與超靜定梁靜定梁：由靜力學(xué)方程可求出支反力，如上述三種基本形式的靜定梁。超靜定梁：由靜力學(xué)方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。彎曲內(nèi)力[例1]貯液罐如圖示，罐長(zhǎng)L=5m，內(nèi)徑D=1m，壁厚

=10mm，鋼的密度為：7.8g/cm3，液體的密度為：1g/cm3,液面高

0.8m，外伸端長(zhǎng)1m，試求貯液罐的計(jì)算簡(jiǎn)圖。解：q—均布力彎曲內(nèi)力q—均布力12§4–2梁的剪力和彎矩一、彎曲內(nèi)力：彎曲內(nèi)力已知：如圖，F(xiàn)，a，l。

求：距A端x處截面上內(nèi)力。FaFlFAyFAxFBAABB解：①求約束反力ABFFAyFAxFBmmx彎曲內(nèi)力②求內(nèi)力——截面法AFAyMMFS∴彎曲構(gòu)件內(nèi)力剪力：FS彎矩：M1.彎矩：M

構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上其作用面垂直于截面的內(nèi)力偶矩。CFBFCFS彎曲內(nèi)力2.剪力：FS

構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上其作用線平行于截面的內(nèi)力。3.內(nèi)力的正負(fù)規(guī)定:①剪力FS

:繞研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正剪力；反之為負(fù)。②彎矩M：上凹下凸形為正彎矩；下凹上凸為負(fù)彎矩。FS(+)FS(–)FS(–)FS(+)M(+)M(+)M(–)M(–)qLAx1[例2]：求圖（a）所示梁1--1、2--2截面處的內(nèi)力。xy解：截面法求內(nèi)力。

1--1截面處截取的分離體

如圖（b）示。圖（a）二、例題qqLabFS1M1圖（b）彎曲內(nèi)力22112--2截面處截取的分離體如圖（c）xy圖（a）qqLab1122qLFS2BM2x2彎曲內(nèi)力圖（c）q彎曲內(nèi)力三、內(nèi)力的直接求法：

求任意截面A上的內(nèi)力時(shí)，以

A

截面左側(cè)部分為研究對(duì)象，內(nèi)力計(jì)算式如下。其中Fi

、Fj

均為

A

截面左側(cè)的所有向上、向下的外力。左上右下，剪力為正；左順右逆，彎矩為正。[例3]求圖示梁指定截面上的剪力和彎矩。解：aBACDl彎曲內(nèi)力m=ql2FAFB彎曲內(nèi)力1.內(nèi)力方程：內(nèi)力與截面位置坐標(biāo)（x）間的函數(shù)關(guān)系式。2.剪力圖和彎矩圖：)(xFSFS=剪力方程)(xMM=彎矩方程)(xFSFS=剪力圖的圖線表示)(xMM=彎矩圖的圖線表示§4–3剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖彎曲內(nèi)力3.作剪力圖和彎矩圖的步驟：用靜力平衡方程求約束反力。建立坐標(biāo)系，分段列剪力方程和彎矩方程。根據(jù)方程作剪力圖和彎矩圖。寫出最大剪力和最大彎矩。aBACF

aFBFDaFA（O）x[例4]列剪力方程、彎矩方程，作剪力圖、彎矩圖。解：(1)求反力：BACF

a(2)列FS

、M方程：FB(3)作FS

、M圖：(4)求FS

、M最大值：F/32F/3Fa/3MxFSxFDaF/3Fa/3FA（O）x彎曲內(nèi)力a彎曲內(nèi)力[例5]求下列各圖示梁的內(nèi)力方程并畫出內(nèi)力圖。解：①求支反力②寫出內(nèi)力方程FFOyL③根據(jù)方程畫內(nèi)力圖FS(x)M(x)xxF–FLMOM(x)xFS(x)彎曲內(nèi)力解：①寫出內(nèi)力方程②根據(jù)方程畫內(nèi)力圖LqM(x)xFS(x)FS(x)xM(x)x–qL彎曲內(nèi)力解：①求支反力②內(nèi)力方程q0FA③根據(jù)方程畫內(nèi)力圖FBLFS(x)xxM(x)彎曲內(nèi)力一、剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系對(duì)dx

段進(jìn)行平衡分析，有：§4–4剪力、彎矩與分布荷載集度間的關(guān)系及應(yīng)用dxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)FS(x)M(x)dxAy剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大小。彎曲內(nèi)力q(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)FS(x)M(x)dxAy彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小。彎矩與荷載集度的關(guān)系是：二、剪力、彎矩與外力間的關(guān)系外力無(wú)外力段均布載荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0FS圖特征M圖特征CFCMe水平直線xFSFS>0FSFS<0x斜直線增函數(shù)xFSxFS降函數(shù)xFSCFS1FS2FS1–FS2=F自左向右突變xFSC無(wú)變化斜直線xM增函數(shù)xM降函數(shù)拋物線xM凹形xM凸形自左向右折角自左向右突變彎曲內(nèi)力xM拐點(diǎn)

MxM2M1彎曲內(nèi)力簡(jiǎn)易作圖法:利用內(nèi)力和外力的關(guān)系及特殊點(diǎn)的內(nèi)力值來(lái)作圖的方法。[例6]

用簡(jiǎn)易作圖法畫下列各圖示梁的內(nèi)力圖。aaqaqA求約束反力分段并判斷各段的形狀特殊點(diǎn)的內(nèi)力作圖彎曲內(nèi)力aaqaqAA：M的駐點(diǎn)：FSxqa2qa–xM0解：(1)求反力：(2)判斷FS、M圖形狀：(3)作FS、M

圖：（從左至右）(4)求FS、M最大值：–BCBAACFS水平線斜直線M斜直線拋物線彎曲內(nèi)力[例7]

用簡(jiǎn)易作圖法畫下列各圖示梁的內(nèi)力圖。解：求支反力B點(diǎn)：C點(diǎn)左：M的駐點(diǎn)：C點(diǎn)右：右端點(diǎn)D：qqa2qaFAFDqa/2qa/2––qa/2+ABCDFSxxMqa2/2qa2/23qa2/8qa2/2–+ABBCCDFS水平線斜直線水平線M斜直線拋物線斜直線[例8]利用q、FS

、M的微分關(guān)系及剪力、彎矩的規(guī)律作剪力圖、彎矩圖。解：(1)求反力：(2)判斷FS

、M圖形狀：FCFB(3)作FS

、M圖：（從左至右）(4)求FS

、M最大值：qa3qa/4MxFSxBACq2aa9qa2/32qa2/25qa/4彎曲內(nèi)力[例8]利用q、FS

、M的微分關(guān)系及剪力、彎矩的規(guī)律作剪力圖、彎矩圖。解：(1)求反力：(2)判斷FS

、M圖形狀：FCFB(3)作FS

、M圖：（從左至右）(4)求FS

、M最大值：7qa/611qa/6MxFSx121qa2/72qa2BACq3aaqa2彎曲內(nèi)力BACqaaqa2[例8]利用q、FS

、M的微分關(guān)系及剪力、彎矩的規(guī)律作剪力圖、彎矩圖。解：(1)求反力：(2)判斷FS

、M圖形狀：(3)作FS

、M圖：（從左至右）(4)求FS

、FS最大值：qaMxFSxqa2/2qa2/2qa2/2FBMB彎曲內(nèi)力[例8]利用q、FS

、M的微分關(guān)系及剪力、彎矩的規(guī)律作剪力圖、彎矩圖。解：(1)求反力：(2)判斷FS

、M圖形狀：(3)作FS

、M圖：（從左至右）(4)求FS

、M最大值：5qa/3qa/3MxFSxqa2/325qa2/

18BCq2aaqa24qa2/3FAFB彎曲內(nèi)力A彎曲內(nèi)力[例9]改內(nèi)力圖之錯(cuò)。a2aaqqa2ABFSxxM––++qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/449qa2/323qa2/25qa2/4（a）[例9]利用q、FS

、M的微分關(guān)系改正下列剪力圖、彎矩圖。3qa（b）3qaqBAC4aaDa2qa2qaFSxqaqaMx1.5qa2qa2/2qa2/2FSxBAq3qaMx（c）a3qa2.5qa2aC2q2qaqa2.5qa20.5qa2彎曲內(nèi)力qa+qL/2[例10]已知：q，欲使最大彎矩為最?。籥：L=？qa+qL/2qBACLaDaMxqL2/8-qa2/2qa2/2qa2/2FSxBqMx（d）3qaAaaCqqaqa20.5qa2解：2qa彎曲內(nèi)力[例9]改正下列剪力圖、彎矩圖。qa2彎曲內(nèi)力剪力圖和彎矩圖：求約束反力。分段并判斷各段剪力圖和彎矩圖的形狀。作剪力圖和彎矩圖。求最大剪力和最大彎矩。關(guān)于剪力圖和彎矩圖的其它類型問(wèn)題：已知剪力圖，作載荷圖和彎矩圖已知彎矩圖作載荷圖和剪力圖雙跨梁的剪力圖和彎矩圖剛架的剪力圖和彎矩圖曲桿的剪力圖和彎矩圖疊加法作彎矩圖彎曲內(nèi)力[例1]已知FS圖，求載荷圖及M圖（梁上無(wú)集中力偶）。5kN1kNq=2kN/mFS(kN)x1m1m2m231+–+M(kN·m)x+111.25–載荷圖1m1m3mM(kN·m)x112彎曲內(nèi)力[例2]已知M圖，求載荷圖及FS圖。2kNFS(kN)x11kN1kN13kNm1kNm載荷圖彎曲內(nèi)力[例3]已知載荷圖，求連續(xù)梁的FS

圖及M圖。FS(kN)xM(kN·m)xq=2kN/m2m2m2m3mABCDE6kN10/3kN4/3kN4/3kN2kN4kN4kNm4kNm彎曲內(nèi)力§4–5平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖一、平面剛架1.平面剛架：同一平面內(nèi)，不同取向的桿件，通過(guò)桿端相互剛性連接而組成的結(jié)構(gòu)。特點(diǎn)：剛架各桿的內(nèi)力有：FS

、M、FN

。2.內(nèi)力圖規(guī)定：彎矩圖：畫在各桿的受拉一側(cè)，不注明正、負(fù)號(hào)。

剪力圖及軸力圖：可畫在剛架軸線的任一側(cè)，必須注明正、負(fù)號(hào)。彎曲內(nèi)力[例1]試作圖示剛架的內(nèi)力圖。F1F2alABC–FN

圖+FS

圖+F1aM圖F1a+F2lF1F1F2F1a彎曲內(nèi)力二、曲桿：軸線為曲線的桿件。

內(nèi)力情況及繪制方法與平面剛架相同。[例2]已知：如圖所示，F(xiàn)及R

。試?yán)L制FS

、M、FS

圖。OFRqmmx