第15講 等差數(shù)列【秋季講義】（人教A版2019選擇性必修第二冊）（解析版）

第15講等差數(shù)列【人教A版2019】·模塊一等差數(shù)列的概念·模塊二等差數(shù)列的前n項和公式·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一等差數(shù)列的概念1．等差數(shù)列的概念一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，常用字母d表示.2．等差中項由三個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列，這時A叫做a與b的等差中項，則有2A=a+b.反之，若2A=a+b，則a,A,b三個數(shù)成等差數(shù)列.3．等差數(shù)列的通項公式(1)等差數(shù)列的通項公式等差數(shù)列的通項公式為=+(n-1)d，其中為首項，d為公差.(2)等差數(shù)列通項公式的變形已知等差數(shù)列{}中的任意兩項，(n,m,m≠n)，則

-=(n-m)d4．等差數(shù)列的單調(diào)性由等差數(shù)列的通項公式和一次函數(shù)的關(guān)系可知等差數(shù)列的單調(diào)性受公差d影響.

①當(dāng)d>0時，數(shù)列為遞增數(shù)列，如圖①所示；

②當(dāng)d<0時，數(shù)列為遞減數(shù)列，如圖②所示；

③當(dāng)d=0時，數(shù)列為常數(shù)列，如圖③所示.

因此，無論公差為何值，等差數(shù)列都不會是擺動數(shù)列.5．等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè){}為等差數(shù)列，公差為d，則

(1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，則+=+.

(2)數(shù)列{+b}(,b是常數(shù))是公差為d的等差數(shù)列.

(3)若{}是公差為d'的等差數(shù)列，{}與{}的項數(shù)一致，則數(shù)列{+(,為常數(shù))是公差為d+d'的等差數(shù)列.

(4)下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項,,,(k,m)組成公差為md的等差數(shù)列.

(5)在等差數(shù)列{}中，若=m，=n，m≠n，則有=0.【考點1等差數(shù)列的基本量的求解】【例1.1】（2023秋·福建龍巖·高二?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列an中，a1=1，an+1-3=anA．675 B．674 C．673 D．672【解題思路】首先判斷數(shù)列為等差數(shù)列，再代入通項公式，即可求解.【解答過程】由題意可知，an+1-an=3an=1+n-1故選：A.【例1.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列an中，a12=22，a1+A．2 B．52 C．3 D．【解題思路】利用等差中項性質(zhì)得a3=4，根據(jù)d=【解答過程】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得a1+a3+a5∴d=a故選：A.【變式1.1】（2023春·云南曲靖·高二?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列an滿足a1+a4+aA．25 B．35 C．40 D．50【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式以及性質(zhì)求得答案即可.【解答過程】設(shè)等差數(shù)列的公差為d.由a1+a4+a由a3+a6+a由①②得a1則a8故選：A.【變式1.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列an的首項與公差d均為正數(shù)，且lga1，lga3，lga6成等差數(shù)列，則lgA．lgd B．lg23 C．lg【解題思路】根據(jù)lga1，lga3，lga6【解答過程】因為an是公差為d的等差數(shù)列，所以a因為lga1,所以a32=a1又因為d>0，所以a1則lga故選：C.【考點2等差數(shù)列的通項公式的求解】【例2.1】（2023春·河南鄭州·高二?？计谥校?shù)列an中，a1=1，an+1=2aA．n+12 B．2n+1 C．2nn+1【解題思路】由遞推式證明數(shù)列1an為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式求數(shù)列1an【解答過程】因為an+1=2又a1=1，可得所以數(shù)列1an為首項為1，公差為所以1a所以an故選：B.【例2.2】（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)列an中，a1=1，an+A．a(chǎn)n=n BC．a(chǎn)n=n,n【解題思路】由數(shù)列遞推式可得an+1+an+2=2(n+1)和an【解答過程】由a1=1，an+a兩式相減得an+2-an=2，當(dāng)此時{a2k-1}是以a則a2k-1=1+k-1×2=2k-1k∈當(dāng)n=2k,k∈N*時,此時{a2k}是以a則a2k=1+k-1×2=2k-1k∈綜合上述可得數(shù)列an的通項公式為a故選：B.【變式2.1】（2023春·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列an的首項a1=1，公差d=10，在an中每相鄰兩項之間都插入4個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列bnA．4043 B．4044 C．4045 D．4046【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出bn=2n-1【解答過程】設(shè)數(shù)列bn的公差為d1，由題意可知，b1=a故d1=2，故則b2023故選：C.【變式2.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn-2=2aA．n+1?2n+1 B．2n C．n?【解題思路】首先令n=1求出數(shù)列首項，再根據(jù)Sn-2=2an-2n得Sn+1-2=2a【解答過程】令n=1?a由Sn-2=2a兩式作差可得：an+1化簡整理可得：an+1所以數(shù)列an2n是首項為1所以an2n故選：D．【考點3利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題】【例3.1】（2023春·海南儋州·高二?？计谀┮阎獢?shù)列an是等差數(shù)列，若a1-a9A．7 B．21 C．14 D．17【解題思路】由條件結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可求a9，再結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)求a【解答過程】由等差數(shù)列性質(zhì)，數(shù)列bn為等差數(shù)列，若m+n=p+q，m,n,p,q∈則bm因為數(shù)列an為等差數(shù)列，1+17=9+9所以a1+a所以a9因為數(shù)列an為等差數(shù)列，3+15=9+9所以a3故選：C.【例3.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足2an=an﹣1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,則a3+a4=（

）A．6 B．7 C．8 D．9【解題思路】由條件2an【解答過程】∵???∴{a由等差數(shù)列性質(zhì)可得a2a1∴a故選：B.【變式3.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列an中，若a4+A．14 B．15 C．16 D．17【解題思路】先由等差數(shù)列的性質(zhì)a4+a6【解答過程】解：依題意，由a4+a6+所以a9故選C.【變式3.2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）非零實數(shù)a，b，c，若bca，cab，abcA．b≤ac B．b≤a+c【解題思路】由等差數(shù)列的性質(zhì)得2a2c2＝(a2+c2)b2≥2b2|ac|，推導(dǎo)出|b|≤|a|+|c|2，進(jìn)而得到a12【解答過程】∵由題意得bca+abc=2cab，即2a2c2＝（a2+c2）b2∴b2≤|ac|，∴b2≤|ac|≤(|a|+|c|2)又2b2c2＝(a2+c2)b2．∴2b∴a12≤即a2≤b2≤c2，或c2≤b2≤a2．只有B確定正確．故選：B．【考點4等差數(shù)列的判定與證明】【例4.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=-12【解題思路】利用數(shù)列的遞推式推得1an+1+1-1a【解答過程】因為an+1=1則1an+1+1又a1=-1所以11+an是首項為2所以11+【例4.2】（2023春·高二課時練習(xí)）是否存在數(shù)列an（1）an是等差數(shù)列，且公差不為0（2）1a若存在，求出其通項公式；若不存在，請說明理由．【解題思路】首先假設(shè)存在這樣的數(shù)列an，則可知an=a1+【解答過程】假設(shè)存在數(shù)列an同時滿足（1）（2不妨設(shè)數(shù)列an的首項為a1，公差為則an若1a則需滿足1a顯然當(dāng)d=0時，式子-da1但這與公差不為0矛盾，所以這樣的數(shù)列an不存在【變式4.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足，a1=3，(1)求證數(shù)列bn(2)求數(shù)列an【解題思路】（1）利用等差數(shù)列的定義證明；（2）由（1）的結(jié)論求得bn即可【解答過程】（1）解：因為bn所以bn+1所以b又因為an+1所以bn+1=1=a=a所以數(shù)列bn是公差為1（2）由（1）知：b1=所以1a所以anan【變式4.2】（2023秋·江蘇蘇州·高二校考開學(xué)考試）已知數(shù)列an中，a1=2(1)證明數(shù)列1an-1(2)若對任意n∈N*，都有a1【解題思路】（1）根據(jù)已知可推出1an+1-1-1（2）經(jīng)化簡可得，k≥n+122n.令bn=n+122【解答過程】（1）證明：由已知可得an≠1，1a又a1=2，所以1a1-1=1，所以數(shù)列1所以1an-1=1+n-1（2）由（1）知，an所以a1a2則由a12?a22令bn=n+122n，假設(shè)數(shù)列當(dāng)r≥2時則，有br≥br-1b解得2≤r≤2+1因為r∈N*，所以r=2，又b1=2，所以數(shù)列bn中第2項最大，即bn所以由k≥n+122n對任意模塊二模塊二等差數(shù)列的前n項和公式1．等差數(shù)列的前n項和公式等差數(shù)列的前n項和公式=(公式一).

=(公式二).2．等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn的常用性質(zhì)性質(zhì)1等差數(shù)列中依次k項之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…組成公差為k2d的等差數(shù)列性質(zhì)2若等差數(shù)列的項數(shù)為2n(n∈N*)，則，，；

若等差數(shù)列的項數(shù)為2n-1(n∈N*)，則(an是數(shù)列的中間項)，，性質(zhì)3{an}為等差數(shù)列為等差數(shù)列性質(zhì)4若{an},{bn}都為等差數(shù)列，Sn,Tn分別為它們的前n項和，則【考點5等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)】【例5.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）等差數(shù)列an的前n項和Sn，若Sn=1,SA．10 B．20 C．30 D．15【解題思路】由等差數(shù)列性質(zhì)得，Sn,S2n-Sn【解答過程】由等差數(shù)列an有Sn,則S3n故S4n故選：A.【例5.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）在等差數(shù)列an中，其前n項和為Sn，若S21:SA．16:1 B．6:1 C．12:1 D．10:3【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)求解即可【解答過程】由等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)可得，S7,S14-S7,S21-S14,S28-S21成等差數(shù)列，設(shè)S故選：D.【變式5.1】（2023·高二課時練習(xí)）已知等差數(shù)列an的項數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項的和為40，偶數(shù)項的和為32，則a5=A．8 B．9 C．10 D．11【解題思路】設(shè)等差數(shù)列{an}有2k+1，(k∈N*)項．公差為d．由于奇數(shù)項和為40，偶數(shù)項和為【解答過程】解：設(shè)等差數(shù)列{an}有奇數(shù)項2k+1，(k∈∵奇數(shù)項和為40，偶數(shù)項和為32，∴40=a32=a∴72=(2k+1)(a1∴9=2k+1，即等差數(shù)列{an}共∴故選：A．【變式5.2】（2023·高二課時練習(xí)）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，則（A．若S9>S8，S9>S10，則S17>0，C．若S17>0，S18<0，則a17>0，a18<0 D【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列前n項和、通項公式的知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為dA選項，若S9>S8，S9>SS17=aS18=a1B選項，S17=a所以S8+aS18=a所以S9>S9+aC選項，若S17>0，S18S17=aS18=a則a1>0,d<0，aD選項，若a17>0，a18當(dāng)1≤n≤17,n∈N但S18=a1故選：B.【考點6求等差數(shù)列的前n項和】【例6.1】（2023春·河南開封·高三校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列an為遞增數(shù)列，Sn為其前n項和，a3+aA．516 B．440 C．258 D．220【解題思路】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求出a4,a6【解答過程】等差數(shù)列an為遞增數(shù)列，則a4<a6，由a解得a4=14,a故選：D.【例6.2】（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知Tn為數(shù)列an的前n項積，若1an+2Tn=1A．n2+2n B．-n2+2n C【解題思路】利用an與Tn的關(guān)系可得{Tn}是以【解答過程】因為Tn為數(shù)列{an}的前因為1an+即Tn-1+2=T又1a1+2T故{Tn}是以3Sn故選：A.【變式6.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，首項a1>0，若a1012a1013<-1A．2020 B．2022 C．2024 D．2025【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的首項和性質(zhì),結(jié)合a1012a1013<-1可判斷出d<0,a1012>0,a1013<0【解答過程】因為數(shù)列an為等差數(shù)列，a1012a1013<-1又首項a1>0,則公差d<0，所以a1012>0,a1013由等差數(shù)列前n項和公式及等差數(shù)列性質(zhì)可得S2024=2024所以使得Sn>0的n故選：C.【變式6.2】（2023春·山西晉中·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，a1+a2A．10 B．15 C．20 D．30【解題思路】利用等差數(shù)列性質(zhì)“若m+n=p+q則am+an=【解答過程】因為a1+a所以a=4a可得a1則S故選：D.【考點7等差數(shù)列前n項和的最值】【例7.1】（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an是遞減數(shù)列，設(shè)其前n項和為Sn，且滿足a1(1)求an(2)設(shè)數(shù)列Snn+9的前n項和為Tn，求【解題思路】（1）利用數(shù)列前n項和的定義及等差數(shù)列的通項公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及等差數(shù)列的前n項和公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【解答過程】（1）設(shè)等差數(shù)列an公差為dd<0由S2?S將a1=1代入上式解得d=-5或所以an的通項公式為a（2）由（1）得Sn所以Sn故數(shù)列Snn+9是以10令-52n+故Tn即當(dāng)n=4或5時，Tn取得最大值25【例7.2】（2023春·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）記數(shù)列an的前n項和為Sn，對任意n∈N(1)證明：an(2)若當(dāng)且僅當(dāng)n=7時，Sn取得最大值，求a【解題思路】（1）利用數(shù)列an=S（2）由條件轉(zhuǎn)化為S7>【解答過程】（1）因為Sn=nan①－②可得a?a故an（2）若當(dāng)且僅當(dāng)n=7時，Sn則有S7>S6S7>S故a1的取值范圍為12,14【變式7.1】（2023春·北京·高二校考期中）已知an是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，a4=-3再從條件(1)數(shù)列an(2)Sn的最小值，并求Sn取得最小值時條件①：S4=-24；條件②：【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義，設(shè)出公差d利用所選條件分別解得a1和d，即可寫出數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)通項公式可得前n項和為Sn【解答過程】（1）若選擇條件①：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a4=-3又S4=-24，得4a解得a1所以an即數(shù)列an的通項公式為a若選擇條件②：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a4=-3又a1=2a3，即解得a1所以an即數(shù)列an的通項公式為a（2）若選擇條件①：由an=2n-11,n∈N根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)n=5時，Sn即n=5時，Sn取最小值，且最小值為S若選擇條件②：由an=3n-15,n∈N根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)n=4或n=5時，Sn即n=4或n=5時，Sn取最小值，且最小值為S【變式7.2】（2023·高二課時練習(xí)）如果有窮數(shù)列a1，a2，a3，…，an（n為正整數(shù)）滿足條件a1=an，a2=an-1，…，an=a1，即a(1)設(shè)是bn項數(shù)為7的“對稱數(shù)列”，其中b1，b2，b3，b4是等差數(shù)列，且b(2)設(shè)cn是項數(shù)為2k-1（正整數(shù)k>1）的“對稱數(shù)列”，其中ck，ck+1，…，c2k-1是首項為50，公差為-4的等差數(shù)列.記cn各項的和為S2k-1，當(dāng)k【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列通常公式得b4=2+3d=11，解出d即可得到數(shù)列（2）首先求出ck+ck+1【解答過程】（1）設(shè)bn的前4項公差為d,則b解得d=3,∴數(shù)列bn為（2）∵ck,ck+1,…,∴c∴=2=-4=-4∴當(dāng)k=13時,S2k-1取得最大值，其最大值為模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023春·廣東潮州·高二統(tǒng)考期末）在數(shù)列an中，a1=1，an+1=anA．673 B．674 C．675 D．676【解題思路】定義法判斷數(shù)列為等差數(shù)列，從而由等差數(shù)列基本量的計算求解.【解答過程】由題意可得，an+1-a則an=1+3(n-1)=3n-2，令故選：C.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知an為數(shù)列Sn的前n項積，若1Sn-2aA．3-2n B．3+2n C．1+2n D．1-2n【解題思路】先將等式化為an,a【解答過程】當(dāng)n=1時，1a1-2a1=1?a1=-1；當(dāng)n≥2時，1故選：D.3．（2023·山東·煙臺二中校考模擬預(yù)測）記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S5=98，數(shù)列A．-2 B．-1516 C．-1 D【解題思路】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列{2nSn【解答過程】依題意，25S5=32×98=36因此Sn=7n+12n，當(dāng)n≥2當(dāng)n≥2時，an+1-an=于是當(dāng)n≥3時，數(shù)列{an}是遞增的，而a2=-所以{an}故選：C.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）中國的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn)．如圖是某古建筑物的剖面圖，DD1，CC1，BB1，AAA．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【解題思路】根據(jù)題意將題目轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，按照等差數(shù)列性質(zhì)計算即可.【解答過程】不妨設(shè)OD1由題意知DD1設(shè)數(shù)列公差為d，∵∴0.114×4+6d解得d=0.2.故選：B.5．（2023秋·貴州貴陽·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn．若S1=3，S2A．21 B．48 C．75 D．83【解題思路】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，利用等差數(shù)列的求和公式求出d的值，再利用等差數(shù)列的求和公式可求得S5【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則S又因為a1=S1=3因此，S5故選：C.6．（2023春·江蘇連云港·高三校考階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a1=1，anan+1=2Sn，設(shè)bnA．p=1 B．p=2 C．p=3 D．p=4【解題思路】根據(jù)數(shù)列的遞推公式得出bn=【解答過程】數(shù)列an滿足a1=1當(dāng)n=1時，a1a2當(dāng)n≥2時，2a因為an≠0，所以an+1-an-1=2所以an=1+(n-1)=n，若存在正整數(shù)p,qp<q，使得b1，bp則2bp=b因為數(shù)列{b當(dāng)p=1時，由23=1當(dāng)2≤p<q時，則13≥p-1當(dāng)3≤p時，13≥p-13p-1≥2p所以p=2，則有49=1故選：B.7．（2023·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，a1+a2A．10 B．15 C．20 D．40【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到S20-S16,S16-S12,S【解答過程】數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到：S20記S4=aS12-SS20S20計算可得到結(jié)果為：20.故選：C.8．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn有最小值，且-1<a9a10<0A．9 B．10 C．17 D．18【解題思路】根據(jù)題意可得a1<0且d>0，結(jié)合等差數(shù)列的單調(diào)性可得a9<0,【解答過程】由題意可知：等差數(shù)列an的前n項和為Sn有最小值，則a1所以數(shù)列an是遞增數(shù)列，可得S因為a9a10<0又因為a9a10>-1，可得所以使Sn>0成立的正整數(shù)n故選：D.9．（2023秋·湖南邵陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S2023A．?dāng)?shù)列an是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)Sn取得最大值時，n=1013 D．【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及等差數(shù)列性質(zhì)計算出a1012>0,a1013<0，且a1012<a1013，從而得到公差小于0，n=1012時，【解答過程】ABC選項，S2023∴2023a2024a∴a1012∴a1012>0,a1013<0∴公差d<0，等差數(shù)列an是遞減數(shù)列，An=1012時，Sn取得最大值，CD選項，S1013=S1010故選：B．10．（2023秋·福建寧德·高二?？茧A段練習(xí)）在等差數(shù)列an中，Sn是an的前n項和，滿足S20<0，S21>0，則有限項數(shù)列S1a1，A．S21a21；S20a20 B．S21a21；S11【解題思路】先判斷出a10>0,a11【解答過程】因為an為等差數(shù)列，故S20=10故a10+a11<0，aS10<S而a1故-S10>--由不等式性質(zhì)可得0<-S同理-S11a而0<S故S1a1，S2a2，…，S20故選：C.11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知兩個等差數(shù)列an、bn的前n項和分別為Sn和Tn，且【