（江蘇版）高考數(shù)學一輪復習 專題5.2 平面向量的基本定理及坐標表示（講）-江蘇版高三全冊數(shù)學試題

專題5.2平面向量的基本定理及坐標表示【考綱解讀】內(nèi)容要求備注ABC平面向量平面向量的坐標表示

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1．了解平面向量的基本定理及其意義．2．掌握平面向量的正交分解及其坐標表示．3．會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算．4．理解用坐標表示的平面向量共線的條件．【直擊考點】題組一常識題1．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，3)，B(2，5)，則點A的坐標為________．2．已知a＝(2，－6)，b＝(3，7)，則2a＋3b＝________．【解析】2a＋3b＝2(2，－6)＋3(3，7)＝(4＋9，－12＋21)＝(13，9)．3．已知a＝(－1，2)，b＝(sinθ，cosθ)，且a∥b，則tanθ＝________．【解析】由a∥b得(－1)·cosθ－2·sinθ＝0，所以tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(1,2).4．已知e1，e2是平面向量的一組基底，a＝λe1＋2e2，b＝3e1－e2，若a與b共線，則λ＝________．【解析】設b＝ka，則b＝k(λe1＋2e2)＝kλe1＋2ke2，即3e1－e2＝kλe1＋2ke2，所以kλ＝3且2k＝－1，所以λ＝－6.題組二常錯題5．在等邊三角形ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則a，b的夾角為________．【解析】兩向量的夾角要求兩向量的起點是同一點，本題中a，b的夾角易錯認為是60°.6．已知A(－5，8)，B(7，3)，則與向量eq\o(AB,\s\up6(→))共線的單位向量為________．【解析】由已知得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(12，－5)，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝13，因此與eq\o(AB,\s\up6(→))共線的單位向量為±eq\f(1,13)eq\o(AB,\s\up6(→))＝±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，－\f(5,13))).題組三?？碱}7．已知點A(1，0)，B(2，3)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，3)，則向量eq\o(CB,\s\up6(→))＝________．【解析】∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2－1，3－0)＝(1，3)，∴eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，3)－(－4，3)＝(5，0)．8．已知向量a＝(m，－2)，b＝(1，m－3)，且a∥b，則m＝________．【解析】依題意有m(m－3)－(－2)×1＝0，即m2－3m＋2＝0，得m＝1或m＝2.9．如圖4-24-1所示，在平行四邊形ABCD中，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝________，eq\o(BP,\s\up6(→))＝________(用向量eq\o(AD,\s\up6(→))和eq\o(AB,\s\up6(→))表示)．【解析】因為eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→)).【知識清單】考點1平面向量基本定理及其應用平面向量基本定理如果是一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這個平面內(nèi)任意向量，有且只有一對實數(shù)，使.其中，不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．考點2平面向量的坐標運算1.平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面向量的坐標表示(1)在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得，這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由x、y唯一確定，因此把叫做向量的坐標，記作，其中x叫做在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標．(2)若，則．3．平面向量的坐標運算(1)若，則；(2)若，則．(3)設，則，.考點3平面向量共線的坐標表示向量共線的充要條件的坐標表示若，則?【考點深度剖析】平面向量的坐標運算承前啟后，不僅使向量的加法、減法和實數(shù)與向量的積完全代數(shù)化，也是學習向量數(shù)量積的基礎，因此是平面向量中的重要內(nèi)容之一，也是高考中命題的熱點內(nèi)容．在這里，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想．【重點難點突破】考點1平面向量基本定理及其應用【1-1】如圖，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O，設＝，＝，若＝2，則＝________(用向量和表示)．【答案】【解析】∵＝，∴，且，∴＝＝(＋)＝＝.【1-2】如圖，已知＝，用，表示，則等于.【答案】－＋【解析】＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.【思想方法】1.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，再用該基底表示向量，其實質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減運算和數(shù)乘運算．2.特別注意基底的不唯一性：只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量都可被這個平面的一組基底線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的．【溫馨提醒】基底不共線考點2平面向量的坐標運算【2-1】已知平面向量=，=，則2+3=.【答案】（﹣4，﹣8）【解析】試題分析：因為=，=，.【2-2】已知曲線C：，直線l：x=6.若對于點A（m，0）,存在C上的點P和l上的點Q使得，則m的取值范圍為.【答案】【解析】由知是的中點，設，則，由題意，，解得．【思想方法】涉及平面向量坐標運算的題目，往往與平面解析幾何曲線方程有關.靈活應用曲線的方程，聯(lián)立方程組，利用函數(shù)方程思想予以解答.【溫馨提醒】注意向量坐標與點的坐標的區(qū)別：要區(qū)分點的坐標與向量坐標的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標中既有方向的信息也有大小的信息．考點3平面向量共線的坐標表示【3-1】已知平面向量，且，則.【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，∴.【3-2】設向量=，=，則“”是“//”的條件.【答案】充分而不必要【思想方法】1.向量共線的充要條件有兩種：（1）?.（2）若，則?.當涉及到向量或點的坐標問題時，應用（2）解題較為方便.2.兩向量相等的充要條件，它們的對應坐標相等..【溫馨提醒】注意結(jié)合圖形特征，靈活建立直角坐標系，將向量用坐標表示，將問題轉(zhuǎn)化成三角問題求解．【易錯試題常警惕】(1