2023年高中數(shù)學(xué)解析幾何解題方法匯總資料

高中數(shù)學(xué)解析幾何解題方法資料

1

考試時間分配

問題1:老師我怎么這么短時間內(nèi)做幾道題通解一類題目呢？解析幾何也有不少

類型題

老師：理解的基礎(chǔ)上去做，不要單純的套公式，做題一定要保證真的會了，而不

是只追求數(shù)量。如果感覺自己的水平?jīng)]有提高，那么問問自己錯題有沒有好好整

理，有沒有蓋住答案重新做過，再做的時候能不能保證很快的就有思路，之前出

過的問題有沒有及時得到解決？總之刷題不能埋頭死刷，要有總結(jié)和反思。如果

都做到了，考試還是沒有好成績，那么看看是不是考試時過于緊張，這個時候心

態(tài)也很重要！

問題2：錯題也有很多呀，怎么從錯題那里去幫助學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)呀？都抄幾遍和看幾

遍嗎？很多呀！該怎么辦呢？

老師：對待錯題，不要抄也不要只是看，當(dāng)做新題重新做一遍，有時候一道題我

們直接去看答案，總是發(fā)現(xiàn)不了問題，我建議把錯題的題目直接匯編在一起，不

要有答案，每隔一段時間都重新做一下，如果做題的過程很肯定，沒有模糊的地

方，這道題才可以過。這個過程比做新題更重要。

問題3：老師我數(shù)學(xué)只有三四十分馬上高考該從哪里開始復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)會提高呢？

老師：簡單的題目模塊比如復(fù)數(shù)、集合、線性規(guī)劃、程序框圖、三角函數(shù)與解三

角形、簡單的等差等比數(shù)列以及立體幾何等，還有導(dǎo)數(shù)和圓錐曲線的第一問，找

出前幾年的高考題，看看都考了哪些簡單模塊，一個模塊練幾十道，絕對會有效

果的，別放棄，只要努力一定能看到進(jìn)步！

g2(x)(…I［二：

=—=f(X+Ax)—f(X)

f(x+Ax)-fix)yaI(X)=lim-----------------------------

XTOAX

xn.,C、tga-<g-—'-"Jm

ig(a-p)=———.

ana-co*。=-2?m“IB=—-?nn—-

SA=Vp(p-a)(p-b)(p-c)=pr入xaSA=VP(P-aMp-b)(p-c)=pr

(g2a=o.^o

_a+Ba-B..i<?gba_a+Ra-p..kRh

ccna?cosp*2cos------cos------k噌“卜二；一ucosa4-cosp=2COK-^-cos-.卜-「，冒”

,22gu

問題4：三視圖怎么想也想不出來！有什么好的辦法呀！老師！救救我

老師：平時見到三視圖的題目無論問什么，都是去畫他的立體圖形，訓(xùn)練自己。

如果考試時真的想不出來了，那么看看能不能判斷出這個圖形是什么，比如正視

圖和側(cè)視圖都只有一個最高頂點，那么基本可以判斷這是一個椎體，如果是求體

積的題目，直接底面積乘以高除以3就可以了，但是這個方法不是所有題目都適

用。還有就是如果正視側(cè)視和俯視都和正方形或者等腰直角三角形有關(guān)，那么可

以畫一個正方體，去找這個立體圖形的可能性。

2

解析幾何如何把握

問題5：類似于軌跡方程這種題型

老師：這種動點的題目，要找到動點的坐標(biāo)，聯(lián)立直線和曲線，按照常規(guī)方法找

到韋達(dá)定理，利用中點坐標(biāo)公式求出M的坐標(biāo)，這時候M的x坐標(biāo)與y的坐標(biāo)

都含有斜率，消掉斜率找到xy的關(guān)系就可以。

問題6：怎么求離心率范圍？有哪些方法

老師：根據(jù)條件和abc本身的關(guān)系式，整理出一個只有a和c的不等式或方程,

一般都是二次的，兩邊同時除以a的平方，就可以得到一個關(guān)于離心率e的不等

式或方程，然后求解就可以了。

問題7:老師，解析幾何都有什么類型，每個類型的大致解法，就是從韋達(dá)定理

往后的那些步驟，能指導(dǎo)下嗎

師：一般聯(lián)立的題型都是設(shè)直線法，常見題型有以下幾種

1.弦長面積問題

題目問題是弦長或者面積的最值以及取值范圍，或者是題目條件中給出了弦長面

積的值，這個時候要利用弦長公式來列出式子，找到關(guān)系。

2.向量

題目中有兩線段垂直，或者夾角是鈍角銳角的條件，這個時候利用向量點乘來表

示，題目中經(jīng)常見的是以弦為直徑的圓過某定點，此時利用圓中性質(zhì)直徑所對應(yīng)

的圓周角是直角來找到垂直。如果是直角角那么對應(yīng)著相關(guān)向量點乘等于零，如

果是銳角對應(yīng)的是向量點乘大于零，如果是鈍角對應(yīng)的是向量點乘小于零。

3.弦的垂直平分線以及中點弦問題

垂直平分線問題：涉及到的是垂直即兩直線的斜率之積為-1,平方即中點坐標(biāo)公

式。利用點斜式把處置平分線表示出來。這里需要注意平行于坐標(biāo)軸的兩直線一

個斜率為0—個斜率不存在，要單獨考慮。

中點弦問題：和垂直平分線類似，如果是弦的中點與原點連線，可以嘗試?yán)命c

差法求解。

4.共線比例問題

通過向量坐標(biāo)表示出共線成比例的關(guān)系，然后將坐標(biāo)關(guān)系式代入韋達(dá)定理，消掉

x或者y,找到參量的關(guān)系式。

5.定點定值問題

定點問題：證明直線丫=1?<111,只要找到k與m的關(guān)系即可。

定值問題：基本思路是轉(zhuǎn)化為與兩動點相關(guān)的斜率問題，然后利用韋達(dá)定理代入

找到參量關(guān)系式。這類問題轉(zhuǎn)化思想非常重要，要能把條件或問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

問題8：解析幾何第二問總是沒有思路，還有選擇填空碰到解析幾何的問題經(jīng)常

出錯

老師：解析幾何大題有兩大類。第一類是設(shè)直線聯(lián)立，這一類題目主要是利用圓

錐曲線與直線聯(lián)立，得到一個一元二次方程，列出韋達(dá)定理。把題目的問題進(jìn)行

轉(zhuǎn)化，將韋達(dá)定理代入，找到幾個參量之間的關(guān)系，然后利用這些關(guān)系根據(jù)不同

題目的要求去求解。第二類是設(shè)點法，首先設(shè)交點坐標(biāo)，然后根據(jù)題目的要求把

點的坐標(biāo)所滿足的等量關(guān)系都列出來，把這些等量關(guān)系向目標(biāo)轉(zhuǎn)化。

我們見到一道解析幾何的大題，先看幾個動點的關(guān)系，如果是一條直線與圓錐曲

線有兩個交點，那么我們一般利用設(shè)直線法求解，如果不是那么我們就用設(shè)點法

會更好，要注意的是，這里的設(shè)點法不一定是真的把點的坐標(biāo)設(shè)出來，也可以利

用直線和曲線聯(lián)立直接求解將點的坐標(biāo)表示出來。

選擇填空中的解析幾何問題一般很少會有大量計算，要利用定義性質(zhì)去解決問題。

問題9：如何能完美拿下解析幾何第一小問？老師看這里這里！

老師：解析幾何第一問一般都是求圓錐曲線的方程，有兩種可能，題目已經(jīng)告訴

你是橢圓或者拋物線了，然后根據(jù)題目給的數(shù)據(jù)直接求方程。還有一種可能就是,

沒有告訴你是什么曲線，那就根據(jù)題目給的條件設(shè)點，列出點的坐標(biāo)滿足的等量

關(guān)系，再化簡整理，得出結(jié)論。

問題10：解析幾何第二問根本不知道怎么入手！

老師：解析幾何大題有兩大類。第一類是設(shè)直線聯(lián)立，這一類題目主要是利用圓

錐曲線與直線聯(lián)立，得到一個一元二次方程，列出韋達(dá)定理。把題目的問題進(jìn)行

轉(zhuǎn)化，將韋達(dá)定理代入，找到幾個參量之間的關(guān)系，然后利用這些關(guān)系根據(jù)不同

題目的要求去求解。第二類是設(shè)點法，首先設(shè)交點坐標(biāo)，然后根據(jù)題目的要求把

點的坐標(biāo)所滿足的等量關(guān)系都列出來，把這些等量關(guān)系向目標(biāo)轉(zhuǎn)化。

我們見到一道解析幾何的大題，先看幾個動點的關(guān)系，如果是一條直線與圓錐曲

線有兩個交點，那么我們一般利用設(shè)直線法求解，如果不是那么我們就用設(shè)點法

會更好，要注意的是，這里的設(shè)點法不一定是真的把點的坐標(biāo)設(shè)出來，也可以利

用直線和曲線聯(lián)立直接求解將點的坐標(biāo)表示出來。

問題11:對于伸縮變換或者有心二次曲線上的一些結(jié)論在高中考試中能用嗎？

老師：我在這里回答你的這兩個問題，這些定理和性質(zhì)在考試試卷中不能直接使

用，要有推導(dǎo)過程，高考中解析幾何的題目，應(yīng)該不會到達(dá)這個難度，不過你的

知識面確實很廣呀！真棒~

問題12：老師您好！請問對于解析幾何存在性和定值問題該怎么著手？是不是

遇到都要討論斜率存不存在，總必要條件證解析幾何是不是不嚴(yán)謹(jǐn)？

老師：如果是設(shè)直線解決問題，一定要討論斜率的存在性。定值問題主要是轉(zhuǎn)化

思想的應(yīng)用，基本思路是轉(zhuǎn)化為與兩動點相關(guān)的斜率問題，然后利用韋達(dá)定理代

入找到參量關(guān)系式。存在性一般是假設(shè)存在，然后求解。

高考數(shù)學(xué)解析幾何9種題型的解題技巧

解析幾何

命題趨向：解析幾何例命題趨勢：

1.注意考查直線的基本概念，求在不同條件下的直線方程，直線的位置

關(guān)系，此類題大多都屬中、低檔題，以填空題的形式出現(xiàn)，每年必考

2.考查直線與二次曲線的普通方程，屬容易題，對稱問題常以填空題出

現(xiàn)

3.考查圓錐曲線的基礎(chǔ)知識和基本方法的題多以填空題的形式出現(xiàn)，有

時會出現(xiàn)有一定靈活性和綜合性較強的題，如求軌跡，與向量結(jié)合，與

求最值結(jié)合，屬中檔題。

考點透視：

-.直線和圓的方程

1.理解直線的斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握直線方

程的點斜式、兩點式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程.

2.掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距

離公式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系.

3.了解二元一次不等式表示平面區(qū)域.

4.了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應(yīng)用.

5.了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法.

6.掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)

方程.

二.圓錐曲線方程

1.掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì).

2.掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì).

3.掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì).

4.了解圓錐曲線的初步應(yīng)用.

解析幾何題型

考點1.求參數(shù)的優(yōu)

求參教的值是高考題中的常見題型之一.其努法為從曲線的性質(zhì)

入手.構(gòu)造方程解之.

例1.若拋物線爐=2小的焦點與橢圓二十±八的右焦點重合，貝1J,,的

62

值為________

考查意圖：本題主要考查拋物線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線、橢

圓的基本幾何性質(zhì).

解答過程：橢圓二+二二|的右焦點為(2,0),所以拋物線八2K的焦點

62

為(2,0),則”4,

考點2.求愛段的長

求戰(zhàn)度的長也是高考題中的常見題型之一.其舞法為從曲線的性

質(zhì)入手.找出點的生標(biāo)，利用距離公式蟹之.

例2.己知拋物線y-x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對稱的相異兩

點A、B,則|AB|等于

考查意圖：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和距離公

式的應(yīng)用.

A32

解：設(shè)直線48的方程為y=x+Z>,由卜"-*=>jr+X+A-3=0=>x,+jr2=-1?

[y=x+b

進(jìn)而可求出AB的中點.(」,\+〃)，又由“(」,\+〃)在直線x+y=O上

2222

可求出〃=1,

X2+X-2=O,由弦長公式可求出|盟=Ji+V?_4x(-2)=3叵.

例3.如圖，把橢圓親方I的長軸

.”分成X等份，過每個分點作X軸的垂線交橢圓面E平

分于I3P、.P、.P?.P、.P",七個點，;■是橢圓的一個焦點，

貝！1卜冏+^H+歸廣1+匕臼+"/卜匕尸卜「尸卜?

考查意圖：本題主要考查橢圓的性質(zhì)和距離公式的靈活應(yīng)用.

解答過程：由橢圓上+￡“的方程知儲=25.?=5.

2516

“?山?|+|"1+1串1+MK+化附+|氣田+1舄4==7xO=7x5=35.

故填35.

考點3.曲線的離心率

曲線的離心率是高考題中的熱點題型之一.其蟹法為充分利用：

(1)橢圓的離心率e=￡a€(0,1)(e趣大則樹回越扁)；

(2)雙曲線的毒心率e=￡a6(1,+oo)(e越大網(wǎng)雙曲線開。越

大).

結(jié)合有關(guān)知識來蟹題.

例4.己知雙曲線的離心率為2,焦點是io，(4.0),則雙曲線方

程為____________

考查意圖:本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的離心率以

及焦點等基本概念.

解答過程：...,所以「."=2》=12.

e=±a=2.c=4

小結(jié)：對雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的離心率以及焦點等基本

概念，要注意認(rèn)真掌握.尤其對雙曲線的焦點位置和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)

方程中分母大小關(guān)系要認(rèn)真體會.

例5.已知雙曲線3/一/=9,則雙曲線右支上的點p到右焦點的距

離與點P到右準(zhǔn)線的距離之比等于

考查意圖：本題主要考查雙曲線的性質(zhì)和離心率e=￡a《(L+

8)的有關(guān)知識的應(yīng)用能力.

解答過程：依題意可知a=V3,c=Va2+b2=V3T9=2V3.

考點4.求豪大(小)值

求最大(小)值.是需考題中的熱點題型之一.其蟹法為楞化為二

次再效問題或利用不等式求豪大(小)值：特別是.一些題目還.需要

應(yīng)用曲線的幾何意義來努咨.

例6.己知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于

22

A(X!,yt),B(x2,y2)^i^,則yi+y2的最小值是L

考查意圖：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，以及利用不

等式求最大(小)值的方法.

解:設(shè)過點￡(4.0)的直線為y=〃(x-4),.”(x2-8x+16)=4x,

/.k2x2一（8公+4卜+16公=0,

22（\8k~+4

AA=,2+32

???X+?2=4（項+w）=4x—p—<F>

考點5HI餓S式的基本施念為性質(zhì)

圓錐曲線第一定義中的限制條件、圓錐曲線第二定義的統(tǒng)一

性，都是考試的重點內(nèi)容，要能夠熟練運用；常用的解題技巧

要熟記于心。

例7.在平面直角坐標(biāo)系xQv中，己知圓心在第二象限、半徑為

2五的圓C與直線尸x相切于坐標(biāo)原點。.橢圓二.=1與圓。的一

O*9

個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.

(1)求圓C的方程；

(2)試探究圓C上是否存在異于原點的點Q,使。到橢圓右焦

點廠的距離等于線段。尸的長.若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若

不存在，請說明理由.

I考查目的］本小題主要考查直線、橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知

識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運算的能力和解決問題的

能力.

|解答過程|(1)設(shè)圓C的圓心為(m,n)

則廣片解得匕二2'

=2V2,I"=2.

所求的圓的方程為(x+2>+(y-2>=8

(2)由已知可得h/=10，<i=5.

橢圓的方程為￡+/=1,右焦點為F(4,0);

259

假設(shè)存在Q點卜2+2及??0.2+2而叫使幽=網(wǎng)，

J-2+2acos?-4丫+(2+2五sin?■=4?

整理彳對sme=3cosH+2>/i,1ft入sin:0+cos-(?=1>

得：108廣9+12及《?9+7=0,=戊*赤=-"亞±2吏<-1?

1010

因此不存在符合題意的Q點.

例8.如圖，曲線G的方程為V=2x(”0).以原點為圓心，以/(/>0)

為半徑的圓分別與曲線G和〉軸的正半軸相交于A與點B.直

4B與x軸相交于點C.

(I)求點/的橫坐標(biāo)Q與點C的橫坐標(biāo)C的關(guān)系式；

(II)設(shè)曲線G上點D的橫坐標(biāo)為。+2,求證：直線CD的斜率

為定值.

I考查目的I本小題綜合考查平面解析幾何知識，主要涉及平面

直角坐標(biāo)素中的兩點間距離公式、直線的方程與斜率、拋

物線上的點與曲線方程的關(guān)系，考查運算能力與思維能力，

綜合分析問題的能力.

I解答過程I(I)由題意知，

2

因為|=所以M+2a=t.

由于，>0,故有t=y/a2+2a.(1)

由點6(0,Z),C(c,0)的坐標(biāo)知，直線3c的方程為J^=1.

ct

又因點/在直線6C上，故有g(shù)+華=L

ct

將(1)代入上式，得?+/而=L解得c=a+2+所歷.

(II)因為〃S+2j2(a+2)),所以直線CD的斜率為

J2(“+2)j2(“+2)

”+2—c6/4-2—(6/4-2+《2(a+2))_J2(a+2)

所以直線CD的斜率為定值.

例9.己知1橢圓E:與+左=l(a>b>0),AB是它的一條弦，M(2,1)是

aD

弦AB的中點，若以點M(2.I)為焦點，橢圓E的右準(zhǔn)線為相應(yīng)

準(zhǔn)線的雙曲線C和直線AB交于點N(4「I),若橢圓離心率e和

雙曲線離心率e,之間滿足ee,=l,求：

(1)橢圓E的離心率；(2)雙曲線C的方程.

解答過程：(1)設(shè)A、B坐標(biāo)分別為A(X|,yJB(X2，y2),

則今+看■=】，親+譽=1，二式相減得：

k_乂一丫2一(Xi+XzR_2b2[1-(-1),

AB-XLX2一(乂+丫2咸--F=kMN=^-=T'

所以a2=2b2=2(a2—c2),…一則e=2=?。?/p>

a2

(2)橢圓E的右準(zhǔn)線為、=Q=?=2C，雙曲線的離心率e,」=O,

cce

設(shè)P(x,y)是雙曲線上任一點，貝人

|PM|_,

|x-2c||x-2c|

兩端平方且將N(4,T)代入得：c=l或c=3,

當(dāng)c=l時，雙曲線方程為：不合題意，舍去；

當(dāng)c=3時，雙曲線方程為：1必-2,即為所求.

小結(jié)：(1)“點差法”是處理弦的中點與斜率問題的常用方法：

(2)求解圓錐曲線時，若有焦點、準(zhǔn)線，則通常會用到

第二定義.

考點6利用向量求曲線方程和解決相關(guān)問題

利用向量給出題設(shè)條件，可以將復(fù)雜的題設(shè)簡單化，便于理

解和計算.

典型例題：

例10.雙曲線c與橢圓總+?=|有相同的焦點，直線嚴(yán)人為。的

一條漸近線.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過點。(0.4)的直線/,交雙曲線。于48兩點，交x軸于。點

(Q點與C的頂點不重合).當(dāng)苑=A.=&囪，且a+&=一；時，求Q點

的坐標(biāo).

考查意圖：本題考查利用直線、橢圓、雙曲線和平面向量等知識

綜合解題的能力，以及運用數(shù)形結(jié)合思想,方程和轉(zhuǎn)化的思想解

決問題的能力.

解答過程：(I)設(shè)雙曲線方程為二.

a2

由橢圓工+止=1,求得兩焦點為(-2.0).(2.0)9

84

，對于雙曲線「0=2,又＞=小為雙曲線C的一條漸近線

=75解得排=16=3,

.費曲線「的方程為

3

(II)解法一：

由題意知直線/的斜率及存在且不等于零.

設(shè)/的方程：v=fcr+4,JGVJ.J/,)，5(二.以)，貝llQ(，.o)?

k

...卜小《+》=>

IT*■AM

?.—)在雙曲線C上,與(1±上)2一3_|=。

尸44

16+324+16用一與小-/外=（）.?.（］6一興臼+324+16??與=0

同理有：（16—片'）若+324+16—號it?=0.

若16"=0.則直線/過頂點，不合題意.二16-A-2*0.

???44是二次方程（16-Ar:）x5+32x+16-yAr:=0的兩根.

.-.z,+A.=32=4，止匕時.A>0,.?=±2?

f'*=-163

所求Q的坐標(biāo)為（±2,0）.

解法二：由題意知直線,的斜率及存在且不等于零

9

設(shè)/的方程，y=fcr+4./L）."斗乂）貝

k

?.聞=4切，..Q分川的比為4?

由定比分點坐標(biāo)公式得

n4+4%4

0-T7AII

下同解法一

解法三：由題意知直線/的斜率及存在且不等于零

設(shè)/的方程：?=Ax+4..4（巧.必）./，（Y）,），貝（|Q（，⑼?

k

vPQ=AyQA='...（一六f=4（多+搟.必）=4（巧+：?）?

9

，?—4=4M=&，/.4=—必—a=—為—，

又4+冬=--，,-.—+—=—■?Bp3。1+%）-2必匕?

3乂匕3

將J，=Jtr+4'f\-2L.-1（3-??-24_y+48-342=0.

...3一*、。，否則/與漸近線平行.

2448—3公

????+%=汴％L虧k

?.^>(±2.0).

解法四：由題意知直線1得斜率k存在且不等于零，設(shè)/的方程：

y=kx+49/15.乂).6(%.以)，貝!(一3.0)

k

?.迎=45,.?.(一2.-4)=4(內(nèi)+*.>,)?

???二一」.同理A=-v-4-

2V4.3m+4X+4

1*

,.448.

^+^=-k^-k^=~3

:

BP2kxtx2+5Ar(x.+x3)+8=0-(*)

▽(>=fcr+4

乂/q=1

3

消去丫得(3").一8-.19=0.

當(dāng)3"=。時，則直線1與雙曲線得漸近線平行，不合題意，33工。.

由韋達(dá)定理有：仔+*=三不8〃

19

代入(*)式得*==4.A=±2.

..所求Q點的坐標(biāo)為(±2.0).

例11.設(shè)動點尸到點力(一1,0)和3(1,0)的距離分別為41和心，

2

N4PB=2且存在常數(shù)X(0<XVl=<吏得^^sin。=入.

(1)證明：動點尸的軌跡。為雙曲線，并求出C的方程：

(2)過點Q作直線交雙曲線。的右支于A/、8兩點，試確定入

的范圍，V^r

使西,標(biāo)=0,其中點O為坐標(biāo)原點.一1^—5,~~r

[考查目的1本小題主要考查直線、雙曲線等平面解析幾何的基礎(chǔ)

知識，考查綜合

運用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運算的能力和解決問題的能力.

|解答過程|解法1：(1)在△PAB中，用=2，艮口2。=片+一2dHcosIff9

4=(4-d,)2+4ddsin'0，BP|4-〃21H74-4e/id2s,n：：0=271-A＜2(常數(shù))，

點"的軌跡C是以4為焦點，實軸長2a=2口的雙曲線.

方程為：工一上二1.

l-AA

(2)yt)9N—y2)

①當(dāng)垂直于X軸時，A/N的方程為x=l,"(LI),“(I.一I)在雙曲線上.

即」且7=0n石土正，因為。。＜】，所以谷正」.

I-A222

②當(dāng)“V不垂直于x軸時，設(shè)立小的方程為》—).

由jyiy=1W：[A-(I-A)Ar:]x2+2(i-A)jV:x-(l-A)(Ar2+A)-O，

(j/=A(x-1)

由題意知：[”＜|-幻*＞。，所以/+*.=-＜一力而+少.

L」氣-A-(1-Z)A-'-A-(l-Z)Ar:

于是：卬—D="臺.

因為風(fēng).不=0,且.V在雙曲線右支上，所以

毛毛+乂以=°

f+Xj>0=??TnlRGTTIn與iv/v?

"+4-l>02

.x,x2>0

由①②知，或匚=v2.

23

解法2：(1)同解法1

(2)^^A/(x,.乂)，為)，"A的中點為￡(x。*No)?

①當(dāng)X,1時，|AZB『=廣^-2=1=2,+2-1=0，

因為所以兀=>T；

2

②當(dāng)$H時，②-亍=I人x。.

7

工_里=1皿"匚"

ll-AA

又k=%=-^,所以（I-2）N：=2x：-Ax0；

x0-l

由―若得$+>：=（哼IJ，由第二定義得（哼1）.生竽

=（招T%-"77）=rzix?+（,-A）-2x?'

所以（1-2"：=4常-2（1-A）xo+（1-力’?

于是由卜1-4）*=有-AX,.得ra-獷

Id--l）yj=Ax；-2（1-^）x<,+<1-A）1.2-3-

因為Xo>1?所以>?,又0v2vI,

2-32

解得：生lv/<2.由①②知叵i1-2.

2323

考點7利用向量處理圓錐曲線中的最值問題

利用向量的數(shù)量積構(gòu)造出等式或函數(shù)關(guān)系，再利用函數(shù)求最

值的方法求最值，要比只利用解析幾何知識建立等量關(guān)系容易.

例12.設(shè)橢圓E的中心在坐標(biāo)原點O,焦點在x軸上，離心率

為無，過點CIO)的直線交橢圓E于A、B兩點，且CA=2B6，求當(dāng)

3

AAOB的面積達(dá)到最大值時直線和橢圓E的方程.

解答過程：因為橢圓的離心率為近，故可設(shè)橢圓方程為

、口、.，y)

2x2+3y2=1(1>0),直線方程為my=2，-

由(2x2+3y2-t得：(2m2+3)y3-4m5+2-t=O,設(shè)---O----------------------------7------

B

A(X1,yi),B(x=y2)，

貝lJv,+y,=T-..............................①

■*722m+3

XcA=2BC,Aif(x,+Ly,)=2(-l-xJ.-y3)，yf=-2y2...............................(S)

由①②得：,>%=￥-，

y*=2m-+3’22m+3

當(dāng)/=3，即m=±四時，AAOB面積取最大值，

22

止k時_2T二32n?.BPt=10,

“X2m2+3(2m，+3)2

所以，直線方程為x土醇+i，橢圓方程為"+3y』0.

小結(jié)：利用向量的數(shù)量積構(gòu)造等量關(guān)系要比利用圓錐曲線的性

質(zhì)構(gòu)造等量關(guān)系容易.

例13.已知PA-(X+3y)，PB=(x-75.y)，且|PA，|+|P百|(zhì)=6,求|2x-3y-121的最

大值和最小值.

解答過程：設(shè)P(x.y)，A(-V5.0),B(6.0)，

因為|PA|+|PB|=6>且|AB|=26<6，

所以，動點P的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為6的橢

圓，

橢圓方程^/￡+￡=],令x=3cos。,y=2sin。，

94

MU|2x-3y-12|=|6>/2cos(0+-)-12|，

當(dāng)cos(G+?=-l時，2、一3》一I2|取最大值12+6上，

當(dāng)cos(0+?=1時，小-3〉-12|取最小值12-6>/5.

小結(jié)：利用橢圓的參數(shù)方程，可以將復(fù)雜的代數(shù)運算化為簡單

的三角運算.

考點8利用向量處理圓錐曲線中的取值范圍問題

解析幾何中求變量的范圍，一般情況下最終都轉(zhuǎn)化成方程是

否有解或轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題.

例14.已知橢圓[+爐的左焦點為F,O為坐標(biāo)原點.

（I）求過點O、F,并且與橢圓的左準(zhǔn)線/相切的圓的方程；

（II）設(shè)過點F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，

線段AB的垂直平分線與x軸交于點G,求點G橫坐標(biāo)的取值范

圍.

考查意圖:本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，

考

查平面解析幾何的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力.

解答過程：（I）門”=I..".c=I./*'（—1.0）./x=-2

?.圓過點O、F,[

...圓心M在直線上.、

設(shè)則圓半徑41,7一x

由\OM\=八得尸+『=

解得,=±6

二所求圓的方程為（-++（戶5=2

24

（II）設(shè)直線AB的方程為y=伏工0）.

代入整理得（I+2^:）x2+4APx+2y-2=0.

?.直線AB過橢圓的左焦點F,.?.方程有兩個不等實根.

記A（x、,yx）,8（吃,％）,N8中點N{x0,y0）,

,4k2

貝1E+X2=一五西才

…的垂直平分線NG的方程為、-招=-知7°）.

令>=0,得

,2kzk2k2Jj

x,=x+ky..=----------1--------=-----；=----1；----.

°}0n°2A2+12公+12k2+\241+2

■:〃工0,.tv%v0，

.?點G橫坐標(biāo)的取值范圍為

例15.己知雙曲線C:4-4=l（a>0,b>0）,B是右頂點，F(xiàn)是右

ab

焦點，點A在X軸正半軸上，且滿足日口。臼」?？傻缺葦?shù)列，過

F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線/,垂足為P,

（1）求證：PAOP=PAFP；

（2）若/與雙曲線C的左、右兩支分別相交于點D,E,求雙曲線

C的離心率e的取值范圍.

解答過程：（1）因gg.麗成等比數(shù)列，故由磊4即A(±o),

C

直V=-^（x-C）?

故：PA=(0,),OP=(―,—),FP=(-—,—)

CCCCC

則：PAOP=-^=PAFP,即PA9展PAM;

(或PA(OPFP)=PA(PFPO)=PAOF=0,PAOP=PAFP)

(2)由丫-b"°=>(b-+2-^-cx-(a+a;b2)=O>

b2x2-aJy3=a;b2bb'b-

-(W

+a2b=)

由x.x,=-----K<0:b4>a4=>b2=c2—a2>a2=>e2>2=>e>V5.

a4

卞

(由>kg=>一\二—=>b2=c2—a2>a2=>e2>2=>e>\/2)

b

小結(jié)：向量的數(shù)量積在構(gòu)造等量關(guān)系中的作用舉足輕重，而要

運用數(shù)量積，必須先恰當(dāng)?shù)厍蟪龈鱾€點的坐標(biāo).

例16.已知a=(x,0),6=(l,y),(a+>/3b)±(a->/3b),

(1)求點P(x,y)的軌跡C的方程；

(2)若直線y=kx+m(mHO)與曲線C交于A、B兩點，D(O,-l),

且|AD|=|BD|,

試求m的取值范圍.

解答過程：(1)a+>/3b=(x,0)+V5(l,y)=(x+G6y)，

a-V5b=(x,O)-\/3(l,y)=(x-\/3,-\/3y)，

因(a+V3b)±(a->/3b),故(￡+06)(6-x/Jb)=0,

BP(x+x/J,>/5y).(x—VJ,—>/3y)=x2—3y2-3=0，

故P點的軌跡方程為1_/=].

(2)

由｛:得："3kW-6kmx_3m-3=O,

設(shè)A(x”y1),B(X2?yz),A、B的中點為M(Xo,y。)

貝IjA=(6km)2-4(1-3k2X-3m，-3)=12(m2+l-3k2)>0,

即A、B的中點為（強,?

1-3k-1—31

則線段AB的垂直平分線為：y_$=（Yxx--）,

1—3k*k1-3k*

將D（O,T）的坐標(biāo)代入，化簡得：4m=3k=l,

則由廳+>31>0得：m-4m>0,解之得m<0或m>4,