2023-2024學(xué)年北京初三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷有答案

2023-2024學(xué)年北京初三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷有答案

學(xué)校:班級(jí)：姓名：考號(hào)：

一、選擇題（共8道小題，每小題2分，共16分）下列各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有：個(gè)是符合題意的.

1.已知”=4。（而≠0）,則下列各式正確的是（）

a4a3aba4

?.—=—B.—=—C.—=—D.—=—

b3h4343b

【答案】A

【解析】直接利用分式的基本性質(zhì)即可得到3的值，再進(jìn)行選擇即可.

b

【詳解】34=4b,等式兩邊同時(shí)除以3b.

,日。3

得：T=T,

b4

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，靈活運(yùn)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形是解答本題關(guān)鍵.

2.拋物線y=（x-3p+l的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

?.（3,1）B,（3,-1）C.（-3,1）D.（-3,-1）

【答案】A

【解析】根據(jù)題目中二次函數(shù)的頂點(diǎn)式可以直接寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】解：?.?y=（x-3y+l

此函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,1）

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（χ-h）'+I；,頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h,k）,

對(duì)稱軸是直線x=h.

3.如果一個(gè)矩形的寬與長(zhǎng)的比等于黃金數(shù)避二?（約為0.618）,就稱這個(gè)矩形為黃金矩形.若矩形ABCD

2

為黃金矩形，寬AD=逐-1,則長(zhǎng)AB為（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【解析】根據(jù)黃金矩形的定義，得出寬與長(zhǎng)的比例即可得出答案.

【詳解】解：黃金矩形的寬與長(zhǎng)的比等于黃金數(shù)避二?

2

.AD√5-l

''~?B~2

.?.AB=(小一1”先F=2?

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查新定義題型，給一個(gè)新的定義，根據(jù)定義來(lái)解題，對(duì)于這道題是基礎(chǔ)題型.

4.將拋物線y=f先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線的解析式為()

A.y-(x+3)^+5B.y=(x—3)一+5

C.y-(x+5)^+3D.y=(x—5)一+3

【答案】B

【解析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進(jìn)行求解.

【詳解】解：將拋物線y=χ2先向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得：y=(x—3)2,

再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得：J=(X-3)2+5.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是函數(shù)圖象的平移，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析式求

得平移后的函數(shù)解析式.

5.如圖，ZDAB^ZCAE,請(qǐng)你再添加一個(gè)條件，使得ΔADESΔA5C.則下列選項(xiàng)不成立的是()

ADAEADDE

A.ZD=ABB.ZE=ZC

AB—AC^AB~~BC

【答案】D

【解析】先根據(jù)NΠ45=NC4E,可得NZME=NB4C，然后根據(jù)相似三角形的判定定理逐一解答即可.

【詳解】./DAB=/CAE

.?.ZDAB+ABAE=ΛCAE+ZBAE

，乙DAE=乙BAC

A、當(dāng)添加條件ND=NB時(shí)則ΔADESΔABC,故選項(xiàng)A不符合題意;

B、當(dāng)添加條件NE=NC時(shí)則A4DES?ABC,故選項(xiàng)8不符合題意;

ΛΓ）Ap

C、當(dāng)添加條件一=——時(shí)則ΔADESΛ8C,故選項(xiàng)C不符合題意；

ABACΔ

D、當(dāng)添加條件?箋Γ）=當(dāng)DF時(shí)則AM）石和ΔA5C不一定相似，故選項(xiàng)。符合題意；

AEBC

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理.

6.如圖，在AABC中D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，且DE〃BC,若AD：DB=2：3,則AADE與aABC的面

積比等于（）

A.2：3B.4：5C.4：9D.4：25

【答案】D

【解析】先由平行線判定ADEABC,再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例性質(zhì)及已知條件AD：DB=2：3,

2

解得相似比為《，最后根據(jù)相似三角形面積比等于相似比平方解題即可.

【詳解】DE//BC

.?^ADE..ABC

ADDEAE

又AD：DB=2：3

.ADDEAE2

'AB-SC-AC-5

q

UADE

SABC

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

7.已知二次函數(shù)y=α√+云+。的部分圖象如圖所示，則使得函數(shù)值y大于2的自變量X的取值可以是

()

A.-4B.-2C.OD.2

【答案】B

【解析】利用拋物線的對(duì)稱性確定拋物線與（0,2）的對(duì)稱點(diǎn)，然后根據(jù)函數(shù)圖象寫出拋物線在直線y=2

上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可.

【詳解】解：；由圖象可得拋物線的對(duì)稱軸為x=T?5

.??點(diǎn)（0,2）關(guān)于直線X=T.5的對(duì)稱點(diǎn)為（-3,2）

當(dāng)-3Vχ<0時(shí)y>2

即當(dāng)函數(shù)值y>2時(shí)自變量X的取值范圍是-3<x<0.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，二次函數(shù)、=0?+笈+或。#（））的圖象經(jīng)過(guò)4（0,1）,8（2,-1）和C（4,5）三點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中

正確的是（）

A.拋物線開(kāi)口向下

B.當(dāng)x=2時(shí)y取最小值一1

C.當(dāng)，〃>-1時(shí)一元二次方程辦2+次+C=機(jī)必有兩個(gè)不相等實(shí)根

D.直線y=日+C（左片0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,C當(dāng)AX+c<α√+6χ+c時(shí)X的取值范圍是0<x<4

【答案】C

【解析】把A、B、C三點(diǎn)代入二次函數(shù)即可求出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式依次判斷即可.

【詳解】把A、B、C三點(diǎn)代入二次函數(shù)得：

1-c

<-1-4a+2b+c

5=16α+40+c

a=1

解得：<b=-3

c=1

故函數(shù)解析式為：y=x2-3x+?

???開(kāi)口朝上

故A不正確；

b3

函數(shù)對(duì)稱軸為：X=——=—

2a2

35

，χ=一時(shí)函數(shù)值最小，y=-一

24

故B不正確；

由題意得：y=—時(shí)一元二次方程ax*+法+c=y有一個(gè)實(shí)根，y>一°時(shí)Or2+?r+c=y有兩個(gè)不等

44

實(shí)根

?.?m>-?

一元二次方程ɑr?+Zzx+c=∕7z必有兩個(gè)不相等實(shí)根

故C正確；

?.?直線y=履+，（左HO）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,c

，依據(jù)題意可知：履+c<αχ2+bχ+c時(shí)_x<0或χ>4；

故D錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，以及一次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)圖像與性質(zhì)以及一

次函數(shù)圖像是解答本題的關(guān)鍵.

二、填空題（共8道小題，每小題2分，共16分）

9.請(qǐng)寫出一個(gè)開(kāi)口向上且過(guò)點(diǎn)（0,-2）的拋物線表達(dá)式為—.

【答案】y=x2-2

【解析】令拋物線的對(duì)稱軸為y軸，二次項(xiàng)系數(shù)為1,則拋物線的解析式可設(shè)為y=f+加，然后把已知點(diǎn)

的坐標(biāo)代入求出加即可.

【詳解】解：設(shè)拋物線的解析式為y=Y+加

把(0,—2)代入得加=一2

所以滿足條件的拋物線解析式為γ=x2-2.

故答案為：y=f-2(答案不唯一)

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式

時(shí)要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解.

Ao2

10.如圖，在aABC中D為AB邊上一點(diǎn)，DE〃BC交AC于點(diǎn)E,若而=］，AE=6,則EC=__.

【答案】9

ΛΓΛΓ)O

【解析】由平行線分線段成比例定理得出。；===彳，然后將EC代入計(jì)算即可.

ECDB3

An2

【詳解】解：：DE〃BC——=-

...——AE=——AD=-2

ECDB3

AE262

---=一,即aπ----一解得EC=9.

EC3EC3

故答案為9.

ApΛ/)

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線等分線段定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)DE〃BC得到不K==是解答本題的關(guān)鍵.

ECDB

11.將二次函數(shù)丁=/+4彳-1化為^=(%-力)2+上的形式，結(jié)果為y=.

【答案】(X+2)2-5

【解析】利用配方法先提出二次項(xiàng)系數(shù)，在加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方來(lái)湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化

為頂點(diǎn)式.

【詳解】解:y=x2+4χ-l=x2+4x+4-4-l=(x+2)2-5.

故答案為：(x+2)2-5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的三種形式的知識(shí)點(diǎn)，二次函數(shù)的解析式有三種形式：(1)一般式:y=ax>bx+c

2

(a≠0,a、b、C為常數(shù))；(2)頂點(diǎn)式：y=a(χ-h)+k;(3)交點(diǎn)式(與X軸)：y=a(X-XD(χ-χ2).

12.如圖，為了測(cè)量操場(chǎng)上一棵大樹(shù)的高度，小英拿來(lái)一面鏡子，平放在離樹(shù)根部5m的地面上，然后她沿

著樹(shù)根和鏡子所在的直線后退，當(dāng)她后退Im時(shí)正好在鏡中看見(jiàn)樹(shù)的頂端.小英估計(jì)自己的眼睛到地面的距

離為L(zhǎng)6m,則大樹(shù)的高度是?n.

【答案】8

【解析】入射角等于反射角，兩個(gè)直角相等，那么圖中的兩個(gè)三角形相似，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可求得樹(shù)高.

【詳解】如圖:

VZABC=ZDBE,ZACB=ZDEB=90O

.,.ΔΛBC^ΔDBE

ΛBC：BE=AC:DE

即1：5=1.6：DE

DE=8m

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用.解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列

出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題.

13.已知二次函數(shù)y=(x—2『+1,若點(diǎn)A(0,弘)和B(3,%)在此函數(shù)圖像上，則外與丫2的大小關(guān)

系是弘_/.(填“>”，或“=”)

【答案】>

【解析［分別把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式進(jìn)行求解，然后問(wèn)題可得解.

【詳解】解：由題意得：

當(dāng)x=0時(shí)則有?,=(0-2)2+l=5;當(dāng)X=3時(shí)則有必=(3—21+1=2；

%>內(nèi)；

故答案為>.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

ARΛΓ)O

14.如圖，在.AfiC中點(diǎn)7)、E分別在邊AC、Afi上,且---=----——,若Z)E=4cm,則BC=cm.

ACAB3

AFΛΓ)O

【解析】由——=——=一再結(jié)合公共角/A=NA,可證得。ADESaABC,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求

ACAB3

得結(jié)果.

C、,AEAD2

【詳解】解rl：：NA=NA—=—=-

ACAB3

/.aADEs▲ABC

.AEDE2

"ΛC^BC-3

?；DE=4cm

BC=6cm.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，數(shù)量掌握并靈活應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-3,0),(2,0),則方程ax2+bx+c=0

(a≠0)的解是...

【答案】.Xi=-3,×2~2

【解析】解：；拋物線y=a(+bx+c(arθ)與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(T,0),(2,0)

.?.當(dāng)X=T或x=2時(shí)y=0

即方程OX2+∕zx+c=O的解為Xl=-3,X2—2.

故答案為：x∣=—3,X2=2.

16.如圖，將等邊4ABC折疊，使得點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)I)處，折痕為EF,點(diǎn)E,F分別在AC和BC邊上.若

CE

ΛC=8,ΛD=2,則aAED周長(zhǎng)為,方的值為.

【解析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得：，DF+CF+CD=10,DF+BF+BD=BC+BD=14,再證明

ΔAED-ΔBDF,由相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：?.?AABC是等邊三角形

.?.BC=AB=AC=8,ZABC=NACB=NBAC=60°

=AD=2

.?.BD=6

由折疊的性質(zhì)可知：CE=DE,CF=DF,ZEDF=ZC=60o

.?.AE+DE+AD=AC+AD=10,即AAED周長(zhǎng)為10

故答案為：10;

.?.DF+BF+BD=BC+BI)=14

,.?ZEDF=ZBAC=ZABC=60°

ΛZFDB+ZEDΛ=ZAED+ZEDΛ=120o

ZFDB=ZAED

?.?∕B=∕A=60°

ΛΔΛED^ΔBDF

.AEADED

"~BD~~BF~~DF

.AE+AD+EDEDCE

"BD+BF+DF^DF^CF

*CE105

??—

CF147

故答案為：一.

7

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、折疊變換的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性

強(qiáng)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

三、解答題(共6道小題，每小題5分，共30分)

17.如圖，AC,BD相交于的點(diǎn)0,且/ABO=/C.求證：^AOBsaDOC.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】利用對(duì)頂角相等得到NAOB=/COD,再結(jié)合已知條件及相似三角形的判定定理即可求解.

【詳解】證明：VAC,BD相交于的點(diǎn)O

二ZAOB=ZDOC

又,：ZABO=ZC

ΛΔAOB<^ΔDOC.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定定理：若一對(duì)三角形的兩組對(duì)應(yīng)角相等，則這兩個(gè)三角形相似，由

此即可求解.

18.己知：二次函數(shù)y=χJl.

(1)寫出此函數(shù)圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)畫出它的圖象.

【答案】(1)拋物線的開(kāi)口方向向上，對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1).

(2)圖像見(jiàn)解析.

【解析】(1)根據(jù)二次函數(shù)y=a(χ-h)2+k,當(dāng)a>0時(shí)開(kāi)口向上；頂點(diǎn)式可直接求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k)及對(duì)

稱軸x=hi

(2)可分別求得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)以及拋物線與X軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用描點(diǎn)法可畫出函數(shù)圖象.

【小問(wèn)1詳解】

解：(1)Y二次函數(shù)y=χ2-1

拋物線的開(kāi)口方向向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1),對(duì)稱軸為y軸；

【小問(wèn)2詳解】

解：在y=χ2-1中令y=0可得X?-1=0.

解得X=-I或1,所以拋物線與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(T,0)和(1,0)；

令X=O可得y=-l,所以拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1)；

又頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1),對(duì)稱軸為y軸

再求出關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)

將上述點(diǎn)列表如下：

X-2-1012

V=X2-130-103

描點(diǎn)可畫出其圖象如圖所示：

【點(diǎn)睛】本題考察了二次函數(shù)的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸以及頂點(diǎn)坐標(biāo).以及二次函數(shù)拋物線的畫法.解題的關(guān)

鍵是把二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式.描點(diǎn)畫圖的時(shí)候找到關(guān)鍵的幾個(gè)點(diǎn)，如：與X軸的交點(diǎn)與y軸的交

點(diǎn)以及頂點(diǎn)的坐標(biāo).

19.二次函數(shù)的部分圖像如圖所示，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

【答案】y=~X2~2X+3

【解析】根據(jù)函數(shù)圖象知，該函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,0),(0,3)且對(duì)稱軸為X=T,所以利用待定系數(shù)法可求得

該二次函數(shù)的解析式.

【詳解】解拋物線的對(duì)稱軸為直線x=T,過(guò)點(diǎn)(-3,0),(0,3)

設(shè)拋物線表達(dá)式為：y=α(x+iy+k(α≠0),將(-3,0),(0,3)代入

4。+Z=O

得〈

。+女=3

ci=-1

解得:

k=4

，拋物線表達(dá)式為y=—(x+lf+4=-X2-2X+3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)式，是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，在由邊長(zhǎng)均為1的小正方形組成的網(wǎng)格中有aABC和ADEF.求證：AABCsaDEF.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】分別求出兩個(gè)三角形的三邊，根據(jù)三邊分別成比例的三角形相似即可判定.

【詳解】解：?∕?ΔABCΦA(chǔ)B=3,BC=√2-AC=亞

在aDEF中DE=3亞，IiF=2,DF=W

3血和A。=正.也

√2jAB

.BC===不11-

"~EF~2，~DE3√22DF^√10一2

.BCABAC

-----=ΛΔABC^ΔDEF.

EF~DE~~DF

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

21.已知拋物線>=占+bx+c("O)圖像上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)X與縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表:

X...-2-10123???

y???50-3一4-30???

(1)求此拋物線的解析式，并畫出圖像;

(2)結(jié)合圖像直接寫出當(dāng)0WxW4時(shí)y的范圍.

【答案】(1)y=x2-2x-3,圖見(jiàn)解析

(2)-4≤y≤5

【解析】(1)根據(jù)表格得出拋物線過(guò)點(diǎn)(1，-4)、(—1,0)和(3,0),將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a、b、

c即可，再利用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖像；

(2)利用圖像可直接得到答案.

【小問(wèn)1詳解】

解：?.?設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=0χ2+H+c(a≠o)

由題意得：當(dāng)X=O時(shí)丁=一3

?'?C=—3

?；x=l時(shí)y=-4,當(dāng)X=-1時(shí)y=0

[α-?-3=0

.?.〈

Q+力一3二—4

?*?y=獷—2x—3；

??,當(dāng)％=4時(shí)y=5

根據(jù)表格描點(diǎn)(一2,5),(-1,0),(0,-3),(l,-4),(2,-3),(3,0),(4,5),用平滑曲線連結(jié)，拋物線圖像如圖:

【小問(wèn)2詳解】

解：由圖可得，拋物線的頂點(diǎn)為（1,T）

當(dāng)0WxW4時(shí)T≤y≤5.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，描點(diǎn)法畫函數(shù)圖像，根據(jù)圖像求函數(shù)值范圍，熟練掌握

待定系數(shù)法和描點(diǎn)法畫函數(shù)圖像是解題關(guān)鍵.

22.如圖，在aABC中NACB=90°，CD是斜邊AB上的高.

（1）求證：ΔACDc×>ΔCBD;

（2）若AD=3,BD=2,求CD的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）√6

【解析】（1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明即可.

（2）利用相似三角形的性質(zhì)證明CD??D?DB,可得結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

證明：YCDLAB

JZCDA=ZCDB=90o

???ZΛCB=90o

ΛZACD+ZBCD=90o,NBCD+NB=90°

ZACD=ZB

ΛΔACD^ΔCBD.

【小問(wèn)2詳解】

解：VΔACD<^ΔCBD

?_AD____CD

"CD~~BD

.?.CD2=ΛD?DB

?.*AD=3,BD=2

.,.CD2=6

VCD>O

?*?CD=?/e.

【點(diǎn)睛】本題考查射影定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法，

屬于中考?？碱}型.

四、解答題（共3道小題，每小題6分，共18分）

23.圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面寬為4米時(shí)拱頂距離水面2米；當(dāng)水面高度下降1米時(shí)水面寬度為多少

【答案】2√6

【解析】根據(jù)己知得出直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)通過(guò)把y=T代入拋物線解析式得出

水面寬度，即可得出答案.

【詳解】解：建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=Ο√（a≠o）.

：圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,-2）

/.-2=4a

解得：CI=---.

2

??9

??y=一—廠.

2

當(dāng)y=-3時(shí)X-±√6.

答：當(dāng)水面高度下降1米時(shí)水面寬度為2的米.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知建立坐標(biāo)系從而得出二次函數(shù)解析式是解決問(wèn)題的關(guān)

鍵，難度一般.

24.如圖，在口ABCD中連接DB,F是邊BC上一點(diǎn)，連接DF并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于E,且/EDB=NA.

D

（1）求證：ΔBDF<^ΔBCD;

Λβ

（2）如果5O=3√L8C=9求一的值.

BE

4

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）y

【解析】（1）根據(jù)平行四邊形對(duì)角相等可得NA=NC，又∕EDB=∕A,等量代換可得NC=NEoβ,再結(jié)

合公共角ZDBC=NFBD,即可證明ABDFs^BCD;

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，列比例式代入數(shù)值計(jì)算可得BF=5,進(jìn)而求得尸C,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得

Λβ

CD//AE,進(jìn)而證明，進(jìn)而即可求解一的值.

BE

【小問(wèn)1詳解】

證明：四邊形ABCZ）是平行四邊

ZA=ZC

ZEDB=ZA

ZC=ZEDB

又NDBC=NFBD

.??ΔBDF^ΔBCD;

【小問(wèn)2詳解】

解：ZXBDFS^BCD；

BDBF

'~BC~~BD

BD=3√5BC=9

.?.M=幽=㈣=5

BC9

：.FC=BC—BF=9—5=4

四邊形ABC。是平行四邊

AB=CDDC//AB

：.DC//AE

FDCS_FEB

.ABDCFCA

~BE~~BE~~BF^1>

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題

的關(guān)鍵.

25.下面給出六個(gè)函數(shù)解析式：y=gfy=Gχ2+l和y=-χ2-1∣χ∣y=2/—3∣χ∣T

y——x2+2I%I+1y——3x~一∣x∣-4.

小明根據(jù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，分析了上面這些函數(shù)解析式的特點(diǎn)，研究了它們的圖象和性質(zhì)。下面是小

明的分析和研究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

（1）觀察上面這些函數(shù)解析式，它們都具有共同的特點(diǎn)，可以表示為形如y=_______，其中X為自變量；

（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系Xay中畫出了函數(shù)y=-∕+2∣χ∣+l的部分圖象，用描點(diǎn)法將這個(gè)函數(shù)的

圖象補(bǔ)充完整；

（3）對(duì)于上面這些函數(shù)，下列四個(gè)結(jié)論：

①函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

②有些函數(shù)既有最大值，同時(shí)也有最小值

③存在某個(gè)函數(shù)，當(dāng)x>〃？（m為正數(shù)）時(shí)y隨X的增大而增大，當(dāng)x<一加時(shí)y隨X的增大而減小

④函數(shù)圖象與X軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)只可能是O個(gè)或2個(gè)或4個(gè)

所有正確結(jié)論的序號(hào)是;

（4）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問(wèn)題：若關(guān)于X的方程―/+2∣χ∣+l=-χ+上有一個(gè)實(shí)數(shù)根為3,則該方程其

它的實(shí)數(shù)根為.

【答案】（1）ax1+b?x?+c（a≠0）;（2）圖象見(jiàn)詳解；（3）①③；（4）%=0,々=-1

【解析】（1）觀察六個(gè)二次函數(shù)解析式的特點(diǎn)，可知：它們都具有共同的特點(diǎn)：一次項(xiàng)的X含有絕對(duì)值，

即可；

(2)根據(jù)求絕對(duì)值法則，當(dāng)x<0時(shí)y=-∕+2∣χ∣+l=-χ2-2χ+ι,再用描點(diǎn)法，畫出圖象，即可.

(3)結(jié)合六個(gè)二次函數(shù)的額圖形和性質(zhì)，逐一判斷，即可；

(4)先求出k的值，再令X=-Y+2∣χ∣+l,%=-％+1在同一坐標(biāo)系中畫出圖象，根據(jù)兩個(gè)函數(shù)圖

象的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案.

【詳解】(1)觀察六個(gè)二次函數(shù)解析式的特點(diǎn)，可知：它們都具有共同的特點(diǎn)：一次項(xiàng)的X含有絕對(duì)值，

即：y=ax2jt-b?x?+c(a≠0)

故答案是：ax2+b?x?+c(a≠0);

(2)當(dāng)x<0時(shí)y=—無(wú)~+21XI+1=—廣—2x+1,根據(jù)描點(diǎn)法，如圖所不：

(3)Vy=^x2,y=JI√+ι關(guān)于y軸對(duì)稱

,1

-√——x(x≥0)

N=<；圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

-X2-F-χ(x<O)

心2一31吐黑圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

I+2小1=［之晨；圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

y=-3χ2—4=12'一圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

-3√+%-4(x<0)

???①正確;

1,

：y=有最小值，沒(méi)有最大值

y=百/+1有最小值，沒(méi)有最大值

y=-χ2-g∣χ∣有最大值，沒(méi)有最小值

y=2/—3|x|-l有最小值，沒(méi)有最大值

y=-尤2+2∣x∣+l有最大值，沒(méi)有最小值

y=-3/—∣χ∣-4有最大值，沒(méi)有最小值

，②錯(cuò)誤;

2

2(2Y—3x—l(x≥0)

-：y=2x-3?x?-l=??圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

^11[2X2÷3x-l(x<0)

33

當(dāng)工＞一時(shí)y隨X增大而增大，當(dāng)天＜-9時(shí)y隨X的增大而減小

22

???③正確；

1

vy=-χ92圖象與X軸有1個(gè)公共點(diǎn)

y=√3X2+1的圖象與X軸沒(méi)有公共點(diǎn)

y=-f—；次|的圖象與X軸有1個(gè)公共點(diǎn)

^=2/一3|刈-1的圖象與乂軸有2個(gè)公共點(diǎn)

y=-f+2IXI+1的圖象與X軸有2個(gè)公共點(diǎn)

y=-3x2-∣XI-4的圖象與X軸沒(méi)有公共點(diǎn)

，④錯(cuò)誤

故答案是：①③；

(4)?.?關(guān)于X的方程一/+21XI+1=-無(wú)+氏有一個(gè)實(shí)數(shù)根為3

Λ-32+2×∣3∣+1=-3+?,解得：k=l

令M=-X2+21x∣+1y2=-x+1

函數(shù)圖象如圖所示：

.?.關(guān)于X的方程—Y+2Ix∣+1=-x+左的其他兩個(gè)實(shí)數(shù)根為：X1=O,X2=-I

故答案是：玉=O,工2=—1

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意，畫出二次函數(shù)圖象，是解題的關(guān)鍵.

五、解答題(共3道小題，第26題6分，第27、28題，每小題7分，共20分)

26.已知關(guān)于X的二次函數(shù)y=Y-2a+2.

(1)求該拋物線的對(duì)稱軸(用含t的式子表示)；

⑵若點(diǎn)—3,m),N“+5,〃)在拋物線上，則mn；(填“>”，或“=”)

(3)P(Xl,χ),Q(%,%)是拋物線上的任意兩個(gè)點(diǎn)，若對(duì)于T≤X<3且X2=3,都有y≤%,求t

的取值范圍.

【答案】(l)x=t(2)<

(3)t≤l

【解析】(1)根據(jù)對(duì)稱軸的表達(dá)式直接求解即可；

(2)利用拋物線的對(duì)稱性和增減性進(jìn)行判斷即可；

(3)根據(jù)二次函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷解答即可.

【小問(wèn)1詳解】

b—21

解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：X=-一=——=t

2a2

小問(wèn)2詳解】

解：*.*a=1>0

.?.χ<r時(shí)y隨X的增大而減小，x>t,y隨X的增大而增大

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知：M點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)為：(t+3,m)

,.?t<t+3<t+5

.,.ιn<n

故答案為：＜

【小問(wèn)3詳解】

解：若對(duì)于-l≤x∣＜3且々=3,都有

點(diǎn)P在Q點(diǎn)的左側(cè)，且對(duì)稱軸在P,Q中間

對(duì)稱軸一定在水平距離上距離/更遠(yuǎn)或相等

.?.呼R（距離相等時(shí)號(hào)=,，刈更遠(yuǎn)時(shí)亨＞t）

3÷3.3-1

—>t且r——2t

22

Λ3>t且INt

Λt≤l.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟記二次函數(shù)對(duì)稱軸的表達(dá)式，以及二次函數(shù)的增減性是解題

的關(guān)鍵.

27.在等腰直角aABC中∕ACB=90°,P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），連接AP,延長(zhǎng)BC至點(diǎn)Q,

使得CQ=CP,過(guò)點(diǎn)Q作QHJ_AP于點(diǎn)H,交AB于點(diǎn)祝

（1）若NPAC=α,求NAMQ的大?。ㄓ煤坏氖阶颖硎荆?

（2）用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）NAMQ=45°+α;（2）線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系：PQ=&MB,理由見(jiàn)解析.

【解析】（1）由直角三角形性質(zhì)，兩銳角互余，可得NAMQ=I80°-ZAHM-ZPAM,解得NAMQ=45°+a；

（2）由題意得AP=AQ=QM,再證RtAAPC絲RtAQME,.全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得出PC=ME,得出aMEB為等腰

直角三角形，則PQ=gBM.

【詳解】（1）NAMQ=45°+a.理由如下:

,/ZPAC=ɑ，ΔACB是等腰直角三角形

ΛZPΛB=45°-ɑ,ZΛI(xiàn)IM=90o

ΛZAMQ=180o-/AHM-/PAM=45°+ɑ；

(2)線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系：PQ=√2MB.

理由如下：

連接AQ,過(guò)點(diǎn)M作MEI.QB

VAC±QP,CQ=CP

NQAC=NPAC=α

ΛZQAM=ɑ+45o=ZAMQ

.,.AP=AQ=QM

在RtΔAPC和RtΔQME中

ZMQE=PAC

<ZACP=NQEM

AP=QM

ΛRtΔAPC^RtΔQME

ΛPC=ME

.?.