2023-2024學(xué)年天津市第七中學(xué)2024屆高三年級(jí)上冊(cè)第二次月考數(shù)學(xué)試卷含詳解

天津市七中高三第二次月考

一、單選題

1.設(shè)全集。={—3,—2,—1,0,1,2,3},集合A={—3,—2,2,3},B={-3,0,l,2}；貝/甬A）c5=

A.0B{1}C.{0,1}D,{0,1,2}

2.已知R,貝上/+y=0”是=的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.設(shè)aT°g/》=l，c=lg2.（）

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<a<bD.a<c<b

Qinx-Lx

4.函數(shù)40=------------7在［—兀，兀］的圖像大致為

cosx+X

=4"y的

2222

A.匕-工=1B.土-乙=1

21282821

6.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積和圓錐的側(cè)面積的比為（）

A.2:3B.3:2C.1:2D.3:4

7.下列說(shuō)法正確的是（）

A.若隨機(jī)變量X~N（1,"），P（X>2）=0.2,則。（0<X<l）=0.2

B.數(shù)據(jù)7,4,2,9,1,5,8,6第50百分位數(shù)為5

C,將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)加上同一個(gè)常數(shù)后，方差不變

D.設(shè)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x,y的相關(guān)系數(shù)為廠(chǎng)，則H越接近于0,尤和y之間的線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng)

8.數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和為S“=I+〃+1,2=(―1)'%(neN*),則數(shù)列也｝的前50項(xiàng)和為

A.49B.50C.99D.100

9.將函數(shù)/(兀)=25由氏05兀+6852無(wú)圖象向右平移(個(gè)單位，得到g(x)的圖象，再將g(x)圖象上的所

有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變成原來(lái)的得到可外的圖象，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是()

①函數(shù)〃(X)的最小正周期為2》；

②是函數(shù)網(wǎng)％)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心；

③函數(shù)h[x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸方程為x=—；

6

rr,冗

④函數(shù)/?(%)在區(qū)間—五，五上單調(diào)遞增

A.1B.2C.3D.4

二、填空題(本大題共6小題，共30分)

10.已知復(fù)數(shù)z=3+4i,z的共軌復(fù)數(shù)為三，則z；=.

22

11.已知圓C的圓心與拋物線(xiàn)『=4x的焦點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)4x-3y-2=0與圓C相交于A,B兩點(diǎn)，且

|AB|=6,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.

12.已知3、=4'=6，則一+—=.

13.已知正實(shí)數(shù)a,。滿(mǎn)足2a+6=3,則皆1+或匚的最小值是.

a/7+2

14.如圖，在菱形ABCD中AB=2,ZBAD=60°,E、尸分別為3。、CD上的點(diǎn).CE=2EB，

CE=2ED，點(diǎn)M在線(xiàn)段所上，且滿(mǎn)足AM=2AB+mAD(xeR),|A“|=；若點(diǎn)N為線(xiàn)段如上

2611

一動(dòng)點(diǎn)，則AN.MN的取值范圍為.

|lnx|,0<x<e

15.已知函數(shù)/(%)=<,函數(shù)/(x)=/(x)—以有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

/(2e-x),e<x<2e

三、解答題

16.在鈍角ABC中，角A,B,C所對(duì)各邊分別為。，b,c,已知。=7,b=3,cosC=—.

14

(1)求邊長(zhǎng)c和角A的大??；

(2)求sin(2C—看)的值.

17.如圖，矩形ABCD和梯形AF±AB,EF//AB,平面AB所，平面ABC。，且

AB=AF=2>AD=EF=1,過(guò)。C的平面交平面ABEF于MN.

(1)求證：DC//MN-,

(2)當(dāng)M為龐:中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到平面。CW的距離；

RFM

(3)若平面A5CD與平面DCMN夾角的余弦值為出，求——的值.

5EB

18.在平面直角坐標(biāo)系X0V中，已知橢圓及二+4=1(?！?〉0)的離心率是走，短軸長(zhǎng)為2,若點(diǎn)A,8分

ab2

別是橢圓￡的左右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)(r>V2),直線(xiàn)AM交橢圓E于尸點(diǎn).

(1)求橢圓E方程

(2)①求證：OATBP是定值；

5.

②設(shè)的面積為跖，四邊形06Mp的面積為邑，求”的最大值.

32

19.己知等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S”，且$4=4邑，%=2%+1(〃eN*).數(shù)列也｝為等比數(shù)列，且

b2-a2=1,a5_&=1.

(1)求數(shù)列｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

(2)求J

,S產(chǎn)n(n+\\

(3)求證：Z-----------—--

k=lak.ak+\2〃〃+i

20.已知函數(shù)/(%)=爐-2x+Qlnx(Q>0).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線(xiàn)方程；

(2)當(dāng)a=l時(shí)，若關(guān)于x的方程“x)=x+Z?有唯一實(shí)數(shù)解，試求實(shí)數(shù)力的取值范圍；

(3)若函數(shù)“X)有兩個(gè)極值點(diǎn)為，%(毛<%2)，且不等式/(王絲曄恒成立，試求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

天津市七中高三第二次月考

一、單選題

1.設(shè)全集。={—3，—2,TO,L2,3},集合4={—3,—2,2,3},5={-3,0,1,2}；貝/加力門(mén)3=

A.0B.{1}C.{0,1}D,{0,1,2}

【答案】C

【分析】利用補(bǔ)集和交集的定義即可求解.

【詳解】因?yàn)椤?{-3,-2,—1,0」,2,3},A={-3,-2,2,3},B={-3,0,1,2}

所以gA={—1,1,0},

所以@A)c6={-1,1,0}n{-3,0,1,2}={0,1}.

故選：c.

2.已知a,R,則“片+。2=0"是“"=0”的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】若4=0,則a=b=0,則a/?=0成立.

而當(dāng)。=0且3=1時(shí)，滿(mǎn)足"=0,但片+尸二。不成立;

+〃=0”是“必=0”的充分不必要條件.

故選：A.

3.設(shè)"bg—,/；,c=lg2,則()

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】D

【分析】根據(jù)，(x)=l°gLX,g(x)=e\/i(x)=lg

x的單調(diào)性，分別判斷a,4C的大概范圍,即可得出大小

2

【詳解】解:由題知"dOgCd—N.CnlgZ,

2〃一D

因?yàn)門(mén)og工無(wú)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，

2

所以

即a=10gl3<logJ=0,

22,

因?yàn)間(x)=e'在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

所以g\]>g(O)

即b=白>e°=r

因?yàn)?z(x)=lgx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

所以硝)<川2)</(10),

即0<lg2=c<l,

綜上:a<cv〃.

故選:D

4.函數(shù)兀0=+：在1一兀,兀]的圖像大致為

cosx+x

【答案】D

【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，得人九)是奇函數(shù)，排除A,再注意到選項(xiàng)的區(qū)別，利用特殊值得正確答案.

sin(-x)+(-x)—sinx—x

【詳解】由/(一%)=嬴。=-小)，得,是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).又

cos(—X)+(—x)2

￡歷、24+2乃././X兀

/(—)=----=——>1,/(^)=———^>0.故選D.

2

2百27V-1+7Z-

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取性質(zhì)法或賦值法，利用數(shù)

形結(jié)合思想解題.

22

5.已知雙曲線(xiàn)3—￡=l(a〉01〉0)的一條漸近線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(山,2),且雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線(xiàn)必=4、by的

準(zhǔn)線(xiàn)上，則雙曲線(xiàn)的方程為()

2222

A.匕-工=1B.土-匕=1

21282821

【答案】D

【分析】根據(jù)題意列出”,仇c滿(mǎn)足的等量關(guān)系式，求解即可.

22

【詳解】因?yàn)椋ê?）在雙曲線(xiàn)斗嘖=>o力>0）的一條漸近線(xiàn)y=%上，

故可得y/3a=2b；

因?yàn)閽佄锞€(xiàn)=4/y的準(zhǔn)線(xiàn)為y=-"，故-c=-J7，

又1+/=°2；解得標(biāo)=4/2=3,

22

故雙曲線(xiàn)方程為：=1.

43

故選：D.

6.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積和圓錐的側(cè)面積的比為（）

A.2:3B.3:2C.1:2D.3:4

【答案】A

【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為「，母線(xiàn)長(zhǎng)為/，圓錐的高為人，內(nèi)切球的半徑為R,則由題意可得/=2廠(chǎng)，從而可

求得h=后,作出軸截面如圖，利用與△P8D相似可求出R,從而可求出圓錐的內(nèi)切球的表面積和圓

錐的側(cè)面積的比

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為「，母線(xiàn)長(zhǎng)為/,圓錐的高為心內(nèi)切球的半徑為R,其軸截面如圖所示，設(shè)。為內(nèi)

切球球心，

因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，

所以加二2兀丫,得/=2r,即PA-PB=2r，

所以?！辏?y/PB--BD2=V4r2-r2=有「，

所以P0=PD—0D=6r—R，

P0OE

因?yàn)锳POEsAPBD,所以——=——，

PBBD

所以叵二@=得R=3,

2rr3

所以圓錐的內(nèi)切球的表面積和圓錐的側(cè)面積的比為

4%笛：7vrl=4/r?—r2:2兀f=2:3,

3

故選：A

B

D

7.下列說(shuō)法正確的是（）

A.若隨機(jī)變量X~N（102）,P（X>2）=0.2,則。（0<X<l）=0.2

B.數(shù)據(jù)7,4,2,9,1,5,8,6的第50百分位數(shù)為5

C.將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)加上同一個(gè)常數(shù)后，方差不變

D.設(shè)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x,y的相關(guān)系數(shù)為r,則H越接近于0,尤和y之間的線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng)

【答案】C

【分析】A.根據(jù)隨機(jī)變量求解判斷；B.利用百分位數(shù)定義求解判斷；C.利用平均數(shù)和方差公式求解

判斷；D.利用相關(guān)系數(shù)越接近于1,尤和y之間線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng)判斷.

【詳解】A.因?yàn)殡S機(jī)變量所以〃=1,因?yàn)镻（X>2）=0.2,所以P（X<0）=0.2,則

P（0<X<2）=l-0.2-0.2=0.6,所以P（0<X<l）=0.3,故錯(cuò)誤;

B.數(shù)據(jù)7,4,2,9,1,5,8,6的第50百分位數(shù)為5.5,故錯(cuò)誤;

-1

C.設(shè)一組數(shù)據(jù)為%,％2,…,X"，則平均數(shù)為X=—（%1+X,+…+X”），方差為

n

s21（Xi-X）2+（々<）2+???+（4，將數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)加上同一個(gè)常數(shù)后為

一]

為+a,X2+a,Xn+a,則平均數(shù)為x'=—+x2+...++a,方差為

22

=1|（為-xj+（x2-xj+...+,所以將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)加上同一個(gè)常數(shù)后，方差

不變，故正確；

D.設(shè)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x,y的相關(guān)系數(shù)為,，則N越接近于1,x和y之間的線(xiàn)性相關(guān)程度越強(qiáng)，故

錯(cuò)誤；

故選：C

8.數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和為S“=I+〃+1,2=(―1)'%(neN*),則數(shù)列也｝的前50項(xiàng)和為

A.49B.50C.99D.100

【答案】A

【詳解】試卷分析：當(dāng)〃=1時(shí)，q=S]=3；當(dāng)"22時(shí)，a“=S〃—S“_i=(〃2+〃+i)—[(〃-=

—3,n—\

3〃=1

把”=1代入上式可得q=2/3.綜上可得％=｛'所以勿=｛-2","為奇數(shù)且〃H1.數(shù)列抄J的前50項(xiàng)和

ZZZ,ZZ，

2n,n為偶數(shù)

為S5o=—3—2(3+5+7++49)+2(2+4+6++50)=—3—+=49.故A正確.

考點(diǎn)：1求數(shù)列的通項(xiàng)公式;2數(shù)列求和問(wèn)題.

9.將函數(shù)〃x)=2sinxcos;c+百cos2龍的圖象向右平移(個(gè)單位，得到g(x)的圖象，再將g(x)圖象上的所

有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變成原來(lái)的得到/z(x)的圖象，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是()

①函數(shù)M光)的最小正周期為27；

②。,0是函數(shù)可九)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心;

s萬(wàn)

③函數(shù)h[x｝圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸方程為x=—

6

兀57r

④函數(shù)〃(X)在區(qū)間一五，萬(wàn)1上單調(diào)遞增

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】先根據(jù)三角函數(shù)圖象變換求得/<x),然后由三角函數(shù)的最小正周期、對(duì)稱(chēng)中心、對(duì)稱(chēng)軸、單調(diào)性等知識(shí)

確定正確選項(xiàng).

【詳角軍】/(x)=sin2x+A/3cos2x=2sin^2x+y^,

g(x)=2sin2(x—+g=2sin(2x—

h(x)=2sin^4x-y^.

①，/z(x)的最小正周期為T(mén)=孑=W，①錯(cuò)誤.

④…-盤(pán)笥"哈個(gè)"I一言,所以函數(shù)g)在區(qū)間C上單調(diào)遞增，④正

確.

所以正確的一共有2個(gè).

故選：B

二、填空題(本大題共6小題，共30分)

10.已知復(fù)數(shù)2=1+匕，z的共軌復(fù)數(shù)為1則zi=.

22

【答案】1

【分析】根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的概念，先求出復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，即可求出結(jié)果.

【詳解】復(fù)數(shù)”曰+5的共軌復(fù)數(shù)為三手一?

-V31.fV31)31

所以z?z=—+-^----------1=-I—=1.

[22J44

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查了共軌復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

11.已知圓C的圓心與拋物線(xiàn)=4%的焦點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)4x-3y-2=0與圓C相交于A,B兩點(diǎn)，且

\AB\=6,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.

［答案］/+-1)2=10

【詳解】依題意可知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為(1,0),：圓C的圓心與拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng).

32

所以圓心坐標(biāo)為(0,1),Ar2=32+(0--)=10,圓C的方程為￡+(y—1)2=10,故答案為

52

x2+(y-l)2=10.

21

12.已知3*=4>=6，則一+—=

xV

【答案】2

【分析】由3、=4，=6可得/。且36=%，/。&6=）代入目標(biāo)，利用換底公式即可得到結(jié)果.

xy

詳解】V3=4=6

：.log36=x,log^6=y,

2121C7c

，一+—=-_-+---=2log63+log64=log636=2

xylog36log46

故答案為2

【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.已知正實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足2。+〃=3,則幺士+或心的最小值是.

ab+2

13

【答案】y

【分析】由++4。+2）+2,代換后利用基本不等式即可求解.

a/?+2aZ?+2

【詳解】正實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足2a+b=3,

2a+b+2=5，

則至±1+占=2a+L(-2f-4伍+2)+2-6+2+工+上

ab+2ab+2ab+2

12112

=1+—+----=1+-(—I-----)[2a+(b+2)]

ab+25ab+2

1/b+24〃、、1\(..x13

=1H—(4H------1-----)>1H—(4+4)=—

5ab+25V75

當(dāng)且僅當(dāng)"2=^^且2a+b=3即a=』，b=!時(shí)取等號(hào),

ab+242

2tz+1b'_2,.1,J,13

H即n------+------的最s小值是a—?

ab+25

13

故答案為1

【點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿(mǎn)足基本不等式中“正”（即條件

要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號(hào)取得的條件）的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出

現(xiàn)錯(cuò)誤

14.如圖，在菱形ABCD中AB=2,ZBAD=60°,E、/分別為BC、CD上的點(diǎn).CE=2EB>

CE=2FD，點(diǎn)〃在線(xiàn)段所上，且滿(mǎn)足40=《45+34。@61<）,|4"|=；若點(diǎn)N為線(xiàn)段血上

2611

一動(dòng)點(diǎn)，則AN的取值范圍為.

DFC

N

A

737"

【答案】①.-b

3165

【分析】根據(jù)模長(zhǎng)公式即可由數(shù)量積的運(yùn)算律求解空1,用基底AB，AD表示AN，MN，然后求數(shù)量積，再由函

數(shù)性質(zhì)得出取值范圍.

—-1一5-

詳解由AM=-AB+-AD可得

26

■21-225-25-125c5cc149

AM=-AB+—AD+-ABAD=-xc22H--x22H—x2x2x-=—,

4366436629

所以kM=§，

設(shè)DN=xDB，xe[O,l],

AB?AD=2x2cos60°=2,

所以AN=+Z>N=AD+=AD+x(AB-AD)=xAB+(1-x)A￡>,

MN=AN-AM=xAB+(l-x)AD-(-AB+-AD)=(x--)AB+(--x)AD,

2626

所以河?MV=[xAB+(1-x)AD][(x--)AB+(--x)AD]

26

1-21112

=x(x——)AB+[x(一一x)+(l-x)(x——)]ABAT)+(1-x)(一一x)AD

2626

=4x(x--)+2[x(--x)+(1-x)(x--)]+4(1-x)(--x)

2626

一旦二=4(x-?)2一衛(wèi)，

331236

371

因?yàn)榫拧闧?！筣,所以⑷w[-去,不，

363

7371

故答案為：—；[--,—].

3363

|lnx|,0<x<e

15.已知函數(shù):,函數(shù)/（X）=/（X）—必有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

,e<x<Ze

【答案】fo,-

le

|lnx|,0<x<e

【分析】由題意可得函數(shù)的解析式為/（%）=<

|ln(2e-x)|,e<x<2e>

繪制函數(shù)圖像，易知滿(mǎn)足題意時(shí)函數(shù)/（九）與函數(shù)丁="有4個(gè)交點(diǎn)，考查臨界情況，求得直線(xiàn)與函數(shù)相切時(shí)切線(xiàn)

的斜率即可確定實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】設(shè)e<x<2e,則0<2e—x<e,故〃x）=|ln（2e—x）|,

|lnx|,0<x<e

即

I1n（/2e-刈M,e<x<2e'

繪制函數(shù)圖像如圖所示，

函數(shù)F（x）=/（x）-ar有4個(gè)零點(diǎn)

則函數(shù)八%）與函數(shù)，=?有4個(gè)交點(diǎn),

如圖所示，考查臨界情況，當(dāng)直線(xiàn)與函數(shù)相切時(shí),

1

——u%=e

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（%，Q%），由題意可得：1X。，解得：<1.

a=-

Inx0=axQ

則直線(xiàn)與函數(shù)相切時(shí)斜率為工，

e

（1A

數(shù)形結(jié)合可知實(shí)數(shù)。的取值范圍是0,-.

【ej

【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)及其應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線(xiàn)方程等知識(shí)，意在考查

學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

三、解答題

16.在鈍角,ABC中，角A,B,C所對(duì)各邊分別為。，b,c,已知。=7,b=3,cosC=—.

14

（1）求邊長(zhǎng)c和角A的大??；

(2)求sin[2C—￡)的值.

【答案】(1)c=5JA=—；

3

⑵—.

98

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用余弦定理和正弦定理計(jì)算作答.

(2)利用二倍角公式和差角正弦公式計(jì)算作答.

【小問(wèn)1詳解】

在ABC中，由余弦定理得：c?=/+/—2abcosC=72+32—2x7x3x—=25,解得c=5,

14

____________Vnr-j5\/3

sinC=Jl二嬴三=士巳，由正弦定理得：..asinC工屋石，

14sinA=---------=----------=——

c52

27r

由a>c>/?得又.ABC是鈍角三角形，則A為鈍角，于是得A=——

3

27r

所以c=5,A=—

3

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知，sin2C=2sinCeosC=2x^^x—=^^,cos2C=2cos2C-l=2x(—)2-1=—

1414981498

55A/37323171

所以sin2。一胃卜sin2Ccos----cos2Csin——___x_____x_—__

66982982-98

17.如圖，矩形ABC。和梯形AF±AB,EF//AB，平面ABM，平面ABCD，且

AB=AF=2^AD=EF=1,過(guò)。。的平面交平面AB￡F于肱V.

(1)求證：DC//MN-,

(2)當(dāng)M為助中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到平面。CW的距離；

REM

(3)若平面A5CD與平面DCMN的夾角的余弦值為出，求——的值.

5EB

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵叵

2

（3）0或2.

【分析】（1）先證明線(xiàn)面平行，再由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可證；

⑵建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法可解；

FM

⑶利用比值——設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)，然后用向量法可得.

EB

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)榫匦蜛3CD，所以。C//A6,

ABu平面平面AB￡F,

所以。C//平面ABEF.

因?yàn)檫^(guò)。C的平面交平面ABEF于MN,

由線(xiàn)面平行性質(zhì)定理，得DC//MN；

【小問(wèn)2詳解】

由平面平面A3CD其交線(xiàn)為A3,ABMu平面ABEF

所以W平面A3CD

又四邊形A3CD為矩形，所以以A為原點(diǎn)，以A。、AB，A廠(chǎng)為蒼％z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

由AB=AE=2,AD=EF=1,得5（0,2,0）,E（0,l,2）,D（l,0,0）,C（l,2,0）,則

3

DC=（0,2,0）,DM

2y=0

n-DC=O

設(shè)平面DCM2V法向量〃=（%,y,z）,貝卜即《3，取z=l得〃=（L。,1）.

n-DM-0-x+—y+z=O

2

\n-CE\iJ2

因?yàn)镃E=（-L—1,2）,所以點(diǎn)E到平面DCW的距離d==

【小問(wèn)3詳解】

設(shè)M（x,y,z）,因?yàn)椤?2,即貝4+1,2—24）,

EB

DM=（-1,2+1,2-22）

..、n-DC=O

設(shè)平面。CM?V法向量〃=（x,y,z）,貝卜

nDM=0

2y=o/、

即《-x+（2+l）y+（2-22）z=0,取z=l得〃=（2-24,0,1）

記平面A3CD與平面DCMN的夾角為。,

n-AF

因?yàn)椤?，平面A5c。，所以cos6二

\AF\\n\

解得2=0或2.

即空

EB0或2.

?（〉〉）的離心率是掌，短軸長(zhǎng)為若點(diǎn)B分

18.在平面直角坐標(biāo)系中，己知橢圓E：+%=la602,A,

別是橢圓E的左右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)（tN班）,直線(xiàn)AM交橢圓E于P點(diǎn).

（1）求橢圓￡的方程

（2）①求證：OM.BP是定值；

5.

②設(shè)A3P的面積為Sj,四邊形的面積為邑，求U的最大值.

【答案】（1）—+/=1（2）①見(jiàn)解析；②1

2

【分析】（1）由已知可得b的值，再由離心率得到。關(guān)系，轉(zhuǎn)化為a,6關(guān)系，即可求出橢圓方程；

（2）①由（1）得A（-0,O）,M（"）,求出直線(xiàn)40方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，進(jìn)而得出

坐標(biāo)，即可證明結(jié)論；

②5=丁2〃?%52=84四—3想0尸，將'凡表示為關(guān)于，的函數(shù)，進(jìn)而得出U關(guān)于，的函數(shù)，整理利用，的

2?2

范圍，即可求解.

【詳解】(1)?短軸長(zhǎng)為2,.?.人=1,

cA/22127212

c———----,/.c——a,b——ci

a222

?,?/=2，???橢圓方程為二十丁=1

2

(2)①法一：：左MA設(shè)，AM：y=^^(x+3)

—+/=1

2(r+4卜2+2后％+2--8=0

>=上('+"

4也-&2

??4/+4

.(40-后41'

"［產(chǎn)+47+4,

.-.OM.BP=(V2,O-fZ1^,^-Ko

r+4r+4

②：Si=；.2a.%=g.2V2-4r4衣

?+4r+4

4f2⑤

S?=S^ABM-S/^AOP—2"\/2-t-----^2?=&-

22?+4r+4

4萬(wàn)

.>=』+4

-----------=--------?1

‘26—當(dāng)廣+41t21-

+

r+44~2J2

當(dāng)/=加時(shí)等號(hào)成立,

U的最大值為1

法二：①設(shè)AM：y=k(x+yfi)

2

X2_1

<~2+y~^(l+2k2)x2+4y/2k2x+4k--2=0

。=左(工+后)

2

4左2—2-2k)

1+2公

其中M(應(yīng),2版k),B(V2,0),

?'?BPOM=0

14人I

②S[=-|AB||yp|，2"2華=

12P21+24之l+2k-

=V-V

1+2左2

.1|4l|1+2/_2

??寸1+2左2'12號(hào)(1+4左2)-l+4k-

由于。2行，所以直線(xiàn)AM的斜率上

S1

???lU的最大值為1，當(dāng)且僅當(dāng)A=士等號(hào)成立.

邑2

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，三角形面積的計(jì)算，以及定值最值問(wèn)題，考查計(jì)算

求解能力，屬于中檔題.

19.已知等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S,,且54=4邑，%=2%+1(〃wN*).數(shù)列也｝為等比數(shù)列，且

b2-a2=1fa5-b3=1.

(1)求數(shù)列｛4｝和物"｝的通項(xiàng)公式;

⑵求

k=\bk

,￡k?n(n+l)

(3)求證：Z----------=一^——L.

k=\ak'ak+\2a相+]

【答案】(1)an=2n-l,I=2"；

2k+3

(2)3-

2k

（3）證明過(guò)程見(jiàn)解析.

【分析】（1）求出公差和首項(xiàng)，得到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出首項(xiàng)和公比，求出通項(xiàng)公式；（2）錯(cuò)位相減

k2變形得到!+￡c,1,c1,,

法求和；（3）對(duì),利用裂項(xiàng)相消法求和即可.

ak'ak+l4812左一12左+1

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛叫公差為d,由S4=4邑得:

4q+6d=4（2%+d）,

因?yàn)椤?〃=2a〃+l（〃eN*）,所以q+（2〃一l）d=2q+2（〃一l）d+l,

聯(lián)立得：=1,d=2,所以4=1+2（〃,-1）=2〃-1；

則。2=3,=9,

設(shè)也｝的公比為4,則仇=1+3=4,a=%-1=9-1=8,

b,_4

所以4=,=2,則4==2,

4L

所以2=2?2"T=2"；

【小問(wèn)2詳解】

,,ak_2k—1

故1一

bk2k

y^,l3,+2k—1

①,

+2k

"」+白+"21

232%+i②'

J乙k二lbk222k

11

12k—1_12~￥2k-l1,1__24—132k+3

------1----------------=-+l-

①-m"2"12Kl22Kl22"i2Hl_22Kl

所以疆=2仁_24+3=3-"

22k+l2k

【小問(wèn)3詳解】

k2k2k2111111

=—+4（442—1）一%+分124一1一24+1J'

ay（2Z—1）。4+1）4/—14

k2111111

所以z-------------------------------

k=\ak-ak+l483352n—l2n+l4812n+l

2zz(2n+l)+2n+l—1++

8(2n+l)8(2n+l)2tzn+1

20.已知函數(shù)/(%)=爐-2x+Qlnx(Q>0).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(L/(l))處的切線(xiàn)方程；

(2)當(dāng)a=l時(shí)，若關(guān)于x的方程“x)=x+Z?有唯一實(shí)數(shù)解，試求實(shí)數(shù)力的取值范圍；

(3)若函數(shù)“X)有兩個(gè)極值點(diǎn)為，%(毛<%2)，且不等式/(王