2023年概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)答案 浙江大學(xué) 張幗奮 主編

未知驅(qū)動(dòng)探索，專注成就專業(yè)年概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)答案浙江大學(xué)張幗奮主編第一題題目：設(shè)X和Y是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的概率密度函數(shù)分別為：$$f_X(x)=\\begin{cases}3x^2,&0\\leqx\\leq1\\\\0,&其他\\end{cases}$$$$f_Y(y)=\\begin{cases}2y,&0\\leqy\\leq1\\\\0,&其他\\end{cases}$$試求Z=XY的概率密度函數(shù)。####解答：我們需要求解隨機(jī)變量Z的概率密度函數(shù)，根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)的性質(zhì)，我們可以使用變量轉(zhuǎn)換法來(lái)解決。設(shè)函數(shù)g將x和y映射到z=z$$\\frac{dz}{dx}=y$$$$\\frac{dz}{dy}=x$$根據(jù)概率密度函數(shù)的定義，我們可以得到：$$f_Z(z)=f_{XY}(x,y)\\left|\\frac{dx}{dz}\\right|\\left|\\frac{dy}{dz}\\right|$$由于Z=XY$$f_Z(z)=f_{XY}(x,y)\\left|\\frac{dx}{dz}\\right|\\left|\\frac{dy}{dz}\\right|=f_{XY}\\left(x,\\frac{z}{x}\\right)\\left|\\frac{dx}{dz}\\right|\\left|\\frac{d\\left(\\frac{z}{x}\\right)}{dz}\\right|=f_{XY}\\left(x,\\frac{z}{x}\\right)\\left|\\frac{1}{x}\\right|\\left|\\frac{-z}{x^2}\\right|=f_{XY}\\left(x,\\frac{z}{x}\\right)\\frac{z}{x^2}$$我們可以通過求解X和Y的概率密度函數(shù)來(lái)求解fXf$$f_{XY}(x,y)=3x^2\\times2y=6x^2y$$將fX$$f_Z(z)=\\int_0^16x^2\\frac{z}{x^2}dx=6z\\int_0^1dx=6z$$所以，Z的概率密度函數(shù)為：$$f_Z(z)=\\begin{cases}6z,&0\\leqz\\leq1\\\\0,&其他\\end{cases}$$第二題題目：設(shè)離散型隨機(jī)變量X有概率分布：$$P\\{X=k\\}=\\frac{1}{5^k},\\quadk=1,2,3,\\cdots$$試求X的期望。####解答：我們需要求解隨機(jī)變量X的期望，期望的定義為：$$E(X)=\\sum_kx_kP\\{X=x_k\\}$$其中xk為X的取值，$P\\{X=x_k\\}$為X取到xk的概率。$$P\\{X=k\\}=\\frac{1}{5^k}$$所以X的取值為：$$X=1,2,3,\\cdots$$將式子代入期望的定義，可以得到：$$E(X)=\\sum_{k=1}^{\\infty}k\\cdot\\frac{1}{5^k}$$我們可以使用等比數(shù)列求和的方法來(lái)計(jì)算上式。首先，我們可以將上式寫成分兩部分求和的形式：$$E(X)=\\sum_{k=1}^{\\infty}\\frac{1}{5^k}+\\sum_{k=1}^{\\infty}\\frac{k-1}{5^k}$$根據(jù)等比數(shù)列的求和公式：$$\\sum_{k=1}^{\\infty}ar^{k-1}=\\frac{a}{1-r}$$其中，|r|<$$\\sum_{k=1}^{\\infty}\\frac{1}{5^k}=\\frac{\\frac{1}{5}}{1-\\frac{1}{5}}=\\frac{\\frac{1}{5}}{\\frac{4}{5}}=\\frac{1}{4}$$對(duì)于第二部分求和，我們可以對(duì)其做變形：$$\\sum_{k=1}^{\\infty}\\frac{k-1}{5^k}=\\sum_{k=1}^{\\infty}\\frac{k}{5^k}-\\sum_{k=1}^{\\infty}\\frac{1}{5^k}$$根據(jù)等比數(shù)列求和公式，我們可以得到：$$\\sum_{k=1}^{\\infty}\\frac{k}{5^k}=\\frac{\\frac{5}{25}}{1-\\frac{1}{5}}=\\frac{\\frac{1}{5}}{\\frac{4}{5}}=\\frac{1}{4}$$將第一部分和第二部分的結(jié)果相減，可以得到X的期望：$$E(X)=\\frac{1}{4}-\\frac{1}{4}=0$$所以，X的期望為0。第三題題目：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為：$$f_X(x)=\\begin{cases}e^{-\\lambdax},&x>0\\\\0,&其他\\end{cases}$$試求X的期望和方差，其中$\\lambda$為常數(shù)。####解答：首先，我們需要求解隨機(jī)變量X的期望。期望的定義為：$$E(X)=\\int_{-\\infty}^{\\infty}xf_X(x)dx$$在這道題目中，我們只需要對(duì)x>0的部分進(jìn)行積分即可，其他部分的概率密度函數(shù)是0，對(duì)整體的影響為0。所以我們可以將積分范圍變?yōu)?$E(X)=\\int_{0}^{\\infty}xe^{-\\lambdax}dx$$對(duì)上式進(jìn)行積分，可以得到：$$E(X)=\\left.-\\frac{x}{\\lambda}e^{-\\lambdax}\\right|_0^\\infty+\\frac{1}{\\lambda}\\int_{0}^{\\infty}e^{-\\lambdax}dx=0+\\frac{1}{\\lambda}\\left.-\\frac{1}{\\lambda}e^{-\\lambdax}\\right|_0^\\infty=0+\\frac{1}{\\lambda}\\left(\\frac{1}{\\lambda}\\right)=\\frac{1}{\\lambda^2}$$所以，X的期望為$\\frac{1}{\\lambda^2}$。接下來(lái)，我們需要求解隨機(jī)變量X的方差。方差的定義為：$$Var(X)=E\\left((X-E(X))^2\\right)$$帶入X的期望的值，可以得到：$$Var(X)=E\\left((X-\\frac{1}{\\lambda^2})^2\\right)$$對(duì)于給定的概率密度函數(shù)，我們可以求解$(X-\\frac{1}{\\lambda^2})^2$的期望。代入概率密度函數(shù)，可以得到：$$E\\left((X-\\frac{1}{\\lambda^2})^2\\right)=\\int_0^\\infty\\left(x-\\frac{1}