新教材人教A版高中數(shù)學(xué) 選擇性必修第一冊 ?？碱}型練習(xí) 11 雙曲線圖像性質(zhì)與離心率

專題11雙曲線圖像性質(zhì)與離心率

目錄

【題型一】求軌跡.........................................................................................2

【題型二】方程與圖像.....................................................................................5

【題型三】求雙曲線的方程.................................................................................8

【題型四】雙曲線第一定義................................................................................10

【題型五】雙曲線焦半徑（第二定義）....................................................................12

【題型六】雙曲線第三定義................................................................................15

【題型七】雙曲線漸近線..................................................................................16

【題型八】焦點(diǎn)三角形....................................................................................19

【題型九】離心率1：焦點(diǎn)直角三角形型...................................................................20

【題型十】離心率2：雙三角形余弦定理型.................................................................22

【題型十一】離心率3：共焦點(diǎn)橢圓與雙曲線...............................................................25

【題型十二】離心率4：焦點(diǎn)弦定比分點(diǎn)...................................................................27

【題型十三】焦點(diǎn)三角形內(nèi)心.............................................................................29

【題型十四】計(jì)算之小題大做：韋達(dá)定理...................................................................32

【題型十五】計(jì)算之小題大做：暴力計(jì)算...................................................................33

培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練................................................................................35

培優(yōu)第二階——能力提升練................................................................................38

培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練................................................................................41

綜述

1.雙曲線定義:動點(diǎn)P滿足：IIPFlLlPF2∣∣=2α,|尸F(xiàn)2∣=2C且αVc（其中α,C為常數(shù)且a>0,c>0）.

2.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程點(diǎn)一方=l(α>0,b>0)%一云=l(α>0,b>0)

>

2√

圖形

________

范圍_____或xW-m__________XWR,yW-〃或______

對稱性一________________對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點(diǎn)________________

頂點(diǎn)_______A1(—4,0),/h(ɑ,θ)_____________Al(0,—4),A2(O,α)______

ba

漸近線

性質(zhì)__________________________________?__?v_________

離心率e=?,e∈(l,+8),其中c=y∣a2+b2

實(shí)虛軸一實(shí)軸AA2|=葡；虛軸IB山2|=絲；?

〃、b、C的關(guān)系__________________c2=g2+?(o?>0,d>0)__________________

3.性質(zhì)：

①動點(diǎn)P到同側(cè)焦點(diǎn)Fi的距離最小值為：IPBl城小=也村=c-a；

②焦點(diǎn)到漸近線的距離為：IBMl=仇

4.漸近線求法結(jié)論：

可直接令方程捻一*=%α≠0）等號右邊的常數(shù)為0,化簡解得；

可巧設(shè)共漸近線雙曲線：

與雙曲線,一￡=1有相同漸近線時，可設(shè)所求雙曲線方程為攝一:=火屏0）?

6.5.漸近線的一些二級結(jié)論:

（1）焦點(diǎn)到漸近線的距離為b

（2）定點(diǎn)到漸近線的距離為2

a

（3）準(zhǔn)線與對稱軸的交點(diǎn)到漸近線的距離為?

e

（4）雙曲線的焦點(diǎn)在漸近線上的射影對十周兩定點(diǎn)的張是直角

（5）雙曲線的定點(diǎn)在漸近線上的射影對兩準(zhǔn)線與對稱軸的交點(diǎn)張直角

χ22h2

（6）一直線交雙曲線的漸近線于A.B兩點(diǎn)。A,B的中點(diǎn)為M,則《MMAB=F.

aba

22

（7）過雙曲線0-2=1上任意一點(diǎn)P做切線，分別角兩漸近線于M,N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)則有如下結(jié)論:

礦b

①OM?ON=a2+b2;②ON?QΛ∕=a2+b?③SA（WM=ab

7.離心率：

①定義法，通過已知條件列出方程組，求得。，c得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e；

②齊次式法，由已知條件得出關(guān)于",C的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的一元二次方程求解;

③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.

8.焦點(diǎn)三角形與正弦定理

f2

2

設(shè)雙曲線二一T=I（a>O,b>O）的兩個焦點(diǎn)為Fl、F2,P（異于長軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在aPF1F2中，記

ab

Sina

ZFPF=a,ZPFF=β,ZFFP^χ,則有

i2t2i2I(sin/-sinβ)?

9.焦點(diǎn)三角形面積公式

X2y2

雙曲線）—=F=I（a>0,b>o）的左右焦點(diǎn)分別為Fι,F2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)NHP￡=7,則雙曲線的焦點(diǎn)

a^b^

角形的面積為SMPK=/cot?∣.

熱點(diǎn)題型婦納

【題型一】求軌跡

【典例分析】

已知定點(diǎn)p（機(jī),0）,動點(diǎn)Q在圓。：√+r=I6±,PQ的垂直平分線交直線OQ于例點(diǎn)，若動點(diǎn)M的軌跡是雙曲線,

則，”的值可以是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】當(dāng)P在圓內(nèi)時，由幾何性質(zhì)可得I網(wǎng)+∣Mq=4>QH=M,此時M的軌跡是以O(shè),尸為焦點(diǎn)的橢圓.當(dāng)P在圓

上時，線段PQ的中垂線交線段3于圓心。.當(dāng)尸在圓外時，|網(wǎng)-IMa=4<QH=網(wǎng),此時M的軌跡是以。,尸為焦點(diǎn)

的雙曲線的一支，從而可得答案.

【詳解】當(dāng)戶在圓內(nèi)時，設(shè)PQ與圓的另一交點(diǎn)為N,設(shè)點(diǎn)//為弦NQ的中點(diǎn)，

則LPa線段PQ的中點(diǎn)E在線段”。內(nèi)，則線段尸。的中垂線交線段于點(diǎn)例，如圖1.

連接MP,則IQMl=I網(wǎng)，所以I網(wǎng)+1Ma=IMa+1Ma=IOa=4

則+1Ma=4>?θP?=?r^

此時M的軌跡是以P為焦點(diǎn)的橢圓.

當(dāng)尸在圓上時，線段PQ的中垂線交線段儂于圓心0.

當(dāng)P在圓外時，設(shè)PQ與圓的另一交點(diǎn)為N,設(shè)點(diǎn)H為弦NQ的中點(diǎn)，

則O"JL尸。，線段PQ的中點(diǎn)E在線段HP內(nèi)，則線段PQ的中垂線交線段。0的延長線丁點(diǎn)M,如圖2.

圖2

連接MP.則IQMI=I網(wǎng)，所以I網(wǎng)-IMq=IMa-IMa=IO。=4

貝IJlMHTMa=4<|0尸］=帆

此時M的軌跡是以o,P為焦點(diǎn)的雙曲線的一支.

同理當(dāng)。在圓上運(yùn)動時，還會得至“MaTMH=4<|0耳=M

所以動點(diǎn)M的軌跡是雙曲線，則P在圓外,所以M>r=4

故選：D

【提分秘籍】

基本規(guī)律

求軌跡方程的常見方法有:

①直接法，設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)(χ,y),根據(jù)題意列出關(guān)于％y的等式即可;

②定義法，根據(jù)題意動點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；

%=g(χ)

③參數(shù)法，把X，)'分別用第三個變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將<代入/(?Wo)=O.

%=/?(力

【變式訓(xùn)練】

1.圓ο的半徑為定長，A是圓°所在平面上與P不重合的一個定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段PA的垂直平分線/和直

線OP相交于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)2的軌跡是

①橢圓；②雙曲線；③拋物線；④圓；⑤一個點(diǎn)

【答案】①②④⑤

【分析】由題設(shè)條件線段的垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合圓錐曲線的定義，分類討論，即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)锳為圓c。內(nèi)的一定點(diǎn)，P為「。上的一動點(diǎn)，

線段AP的垂直平分線交半徑OP丁點(diǎn)M,

可得IMAI=IMPJ,|也可+|如=|函+∣MO∣=|四=廠，

即動點(diǎn)M到兩定點(diǎn)O,A的距離之和為定值，

①當(dāng)。,A不重合時，根據(jù)橢圓的定義，可知點(diǎn)用的軌跡是：以O(shè),A為焦點(diǎn)的橢圓；

②當(dāng)。,A重合時，點(diǎn)用的軌跡是圓；

(2)當(dāng)A為圓O外的一定點(diǎn)，P為(O上的一動點(diǎn)，

線段AP的垂直平分線交半徑OP于點(diǎn)M,

可得IM4∣=IMHjM4∣TMa=IMHTMa=IOH=r,

即動點(diǎn)M到兩定點(diǎn)O,A的距離之差為定值，

根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)M的軌跡是：以O(shè),A為焦點(diǎn)的雙曲線；

(3)當(dāng)A為圓。上的一定點(diǎn)，尸為(。上的一動點(diǎn)，此時點(diǎn)M的軌跡是圓心0.

綜上可得：點(diǎn)M的軌跡可能是點(diǎn)、圓、橢圓和雙曲線.

故答案為：①②④⑤

2.已知定點(diǎn)百(-2,0),E(2,0),N是圓0：V+y2=ι上任意一點(diǎn)，點(diǎn)可關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)為M,線段耳"的中垂線

與直線KM相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)尸的軌跡是

A.直線B.圓

C.橢圓D.雙曲線

【答案】D

【分析】由N是圓O:Y+y2=i上任意—點(diǎn)，可得CW=1,結(jié)合已知，由垂直平分線的性質(zhì)可得PM=P耳，從而可得

?PF2-PF?=?PF2-PM=ME=2ON=2為定值，由雙曲線的定義可得點(diǎn)P的軌跡是以耳,名為焦點(diǎn)的雙曲線.

因?yàn)镹為AM中點(diǎn)，O為4心中點(diǎn)，

所以IaWl=2∣C>M=2,

因?yàn)镻在線段的中垂線上，所以IP耳=IPWI,

因此IIPKITPKlI=嗎MI=2∣0v∣=2,即點(diǎn)P的軌跡是雙曲線，故選D.

3.已知圓U(x+3f+y2=4及點(diǎn)A(3,0),。為圓周上一點(diǎn)，AQ的垂直平分線交直線C。于點(diǎn)“，則動點(diǎn)M的軌跡方程

為.

【答案】x2-^=l

8

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線找到幾何關(guān)系|砌=|隨，再利用雙曲線的定義可求解.

【詳解】由AQ的垂直平分線交直線CQ于點(diǎn)M,得∣M4∣=∣MQ∣,圓的半徑為2，

所以WqTM4∣∣=2<∣AC∣=6,故點(diǎn)M的軌跡是以C,A為焦點(diǎn)的雙曲線，

所以由題意的2"=2,2C=6,所以a=l,c=3n62=c2-α2=8,

又因?yàn)榻裹c(diǎn)在X軸上，故所求方程為/-上=1.

8

故答案為：x2-^=l

8

【題型二】方程與圖像

【典例分析】

(2021?黑龍江?哈爾濱三中高二階段練習(xí))已知實(shí)數(shù)X,y滿足XW+m1=1,則∣J]χ+y-4∣的取值范圍是()

A.[4-√6,2)B.[4-√6,4)C.2-乎,2D.2-乎,4)

【答案】B

【解析】將實(shí)數(shù)X,y滿足Xkl+山=1通過討論X,y得到其圖像是橢圓、雙曲線的一部分組成的圖形，借助圖像分

析可得∣6χ+y-4∣的取值就是圖像上一點(diǎn)到直線岳+y-4=0距離范圍的2倍，求出切線方程根據(jù)平行直線距離公式

算出最小值，和最大值的極限值即可得出答案.

【詳解】解：因?yàn)閷?shí)數(shù)X,>滿足Xw+率=1,

所以當(dāng)x≥0,y≥0時，Z+√=1其圖像位于焦點(diǎn)在y軸上的橢圓第一象限，

3

當(dāng)x>0,y<0時，爐-￡=1其圖像位于焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線第四象限，

3

2

當(dāng)x<0,y>0時，匕-V=I其圖像位于焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線第二象限，

3

當(dāng)x<0,y<0時，-T-χ2=ι其圖像不存在，

3

2

所以兩+y-4∣=2d

結(jié)合圖像可得+y-4∣的范圍就是圖像上一點(diǎn)到直線后+y-4=O距離范圍的2倍,

雙曲線χ2-$=ι,片-'2=1其中一條漸近線后+y=o與宜線后+y-4=0平行

33

通過圖形可得當(dāng)曲線上一點(diǎn)位于P時，2d取得最小值

當(dāng)曲線上一點(diǎn)靠近雙曲線的漸近線后+y=0時2d取得最大值，不能取等號

設(shè)Gx+y+c=0(c<0)與］+爐=1其圖像在第一象限相切于點(diǎn)P

^3x+y+c=0

??/N6X2+2?[3CX+C2-3=0

-+x2=1

3

因?yàn)锳=QGC)X—4×6×(c2—=0^>c=-y∕6?Kc=>∕6(舍去)

所以直線氐+)，-n=0與直線后+y-4=0的距離為Bly!1

2

此時∣6r+y_4∣=2d=4-n

直線6v+y=0與直線JGX+y-4=0的距離為上上9=2

此時用x+y-4∣=2d=4

所以IGr+y-4∣的取值范圍是［4-指,4)

故選：B

【變式訓(xùn)練】

1.已知曲線C：a4+ylyl=i,點(diǎn)尸(九〃)為曲線C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)4-2,1),8(4,-2),則面積的最大

4

值為.

【答案】3√2

【分析】畫出曲線C的圖形，求出∣A8∣,過AB的直線方程為x+2y=0,判斷直線x+2y=0為雙曲線

V-==1和1一/=1的漸近線，設(shè)過點(diǎn)尸且與直線x+2y=0平行的直線方程為x+2y+f=0,當(dāng)直線

x+2y+f=0Q<0)與曲線q+V=l(χβg),y0)相切時，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出f,然后求解平行線之間的

距離，即可求解三角形的面積.

【詳解】曲線C是由t+y2=l(χN0,y20)??--j2=l(x>O,γ<O)

44

以及y2-￡=l(χ<0,y>0)三部分構(gòu)成(如圖所示)，

4

∣A5∣=7(4+2)2+(-2-D2=√45=3√5,且過AB的直線方程為x+2y=0,

并且直線x+2y=0為雙曲線/一￡=1和E-V=ι的漸近線，

44

設(shè)過點(diǎn)P且與直線x+2y=0平行的直線方程為x+2y+r=0,

由圖知，當(dāng)直線x+2y+f=0Q<0)與曲線j+y2=i(χ≥o,y≥θ)相切時,

4

V2=1

切點(diǎn)到直線χ+2y=0距離最大，聯(lián)立了+''

x+2γ÷r=0,

消去X得8丁+4)+〃-4=0,△=16/2-4x892-4)=0,

解得好-2夜(正根舍)，

所以x+2y-2√5=0,所以點(diǎn)P到直線x+2)>=0的最大距離即為直線x+2y=0與直線χ+2y-20=O之間的

距離，所以最大距離d=堂=￥，

故答案為：3及

2.方程婁?+*=T的曲線即為函數(shù)y=∕(χ)的圖像，對于函數(shù)y=∕(χ),有如下結(jié)論：①/(X)在R上單調(diào)遞減；

169

②函數(shù)尸(X)=4∕(χ)+3χ不存在零點(diǎn)；③函數(shù)y=/(X)的值域是K；④，(X)的圖像不經(jīng)過第一象限，其中正確結(jié)論的個

數(shù)是___________

【答案】4

【分析】先根據(jù)題意畫出方程型+羽=T的曲線即為函數(shù)y=f(X)的圖象，如圖所示.軌跡是兩段雙曲線的一部分

169

加上一段的橢圓圓弧組成的圖形.從圖形中可以看出，關(guān)于函數(shù)y=f(X)的結(jié)論的正確性.

【詳解】‘F,''?)hdK…X根據(jù)題意畫出方程粵+當(dāng)=T的曲線即為函數(shù)y=f(X)的圖象,如圖所

示.軌跡是兩段雙曲線的一部分加上一段的橢圓圓弧組成的圖形.

從圖形中可以看出，關(guān)于函數(shù)y=∕G)的有下列說法：

①/(χ)R上單調(diào)遞減：正確.

3Y-3γ

②由于4∕(x)+3x=0即八χ)=-今，從而圖形上看，函數(shù)/3的圖象與直線y=-二沒有交點(diǎn)，故函數(shù)F(X)=4C

(X)+3x不存在零點(diǎn)；正確.

③函數(shù)y=f(X)的值域是R；正確.

④八%)的圖象不經(jīng)過第一象限，正確.

其中正確的個數(shù)是4.

故選D.

3.若直線/:、=-；+〃?與曲線C:y=g√∣4-x2∣有且僅有三個交點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是

A.(l,√2+l)B.(√2-I,l)C.(2,√2+l)D.(1,√2)

【答案】D

【分析】通過化簡y=TJ二可分析出其是圖象由橢圓的一上部分與雙曲線的上部分構(gòu)成，所以如果直線y=-5+m與

曲線y=g拒二司有且僅有三個交點(diǎn)等價(jià)于直線y=-5+wj過點(diǎn)(2，°)且與雙曲線的漸近線平行和直線y=-1+zn與橢

圓的上部分相切，從而求出〃?的取值范圍

【詳解】由題意作圖象如下，

y=?j∣4-χ2∣的圖象山橢圓的一上部分與雙曲線的上部分構(gòu)成，因?yàn)殡p曲線的漸近線為y=±]

故直線/：y=-→m與曲線C:y=J產(chǎn)司有且僅有三個交點(diǎn)的臨界宜線是過點(diǎn)(2,0)且與雙曲線的漸近線平行和

乙乙

V*Y

直線y=-；+m與橢圓的上部分相切，當(dāng)y=-：+，”過點(diǎn)(2,0)時，即0=-1+〃?，故〃?=1；

1

y=——x+m

當(dāng)直線y=-]+機(jī)與橢圓的上部分相切，,2

4y2+x2=4(y>O)

即X=√5,y=等時，此時WI=&所以m∈(l,√Σ)

故選：D

【題型三】求雙曲線的方程

【典例分析】

在矩形WA中，A'A=8,AB=6,把邊AB分成〃等份，在的延長線上，以BB的"分之一為單位長度連續(xù)取

點(diǎn).過邊AB上各分點(diǎn)和點(diǎn)A作直線，過百B延長線上的對應(yīng)分點(diǎn)和點(diǎn)4作直線，這兩條直線的交點(diǎn)為P，如圖建立平面

r

Ξ+

B.^=I(X≥8,y≥0)

D.643￡6

Λ

62=I(X≥8,y≥0)

--36

【答案】C64

【分析】設(shè)尸(與，九)，結(jié)合題意找出不與治的關(guān)系式，即可求解.

【詳解】設(shè)尸(不，九)，則??≥4,yo≥0,根據(jù)題意，易得直線L:y=—?(x+4),直線/〃：y=f^(χ-4).

由L：y=-?(χ+4),令x=4,得y=-?,因此邊AB上各分點(diǎn)坐標(biāo)為(4,Es7],

由加：y=-?(x-4),令y=6,得X=6(」4)+4,因此*B延長線上的對應(yīng)分點(diǎn)坐標(biāo)為(如二5+4,61,

%-4%I?；

6(x0-4)8%

日一區(qū)=I

結(jié)合題意，可知KX+4,化簡得

i,169

86

X*2J

因此點(diǎn)P滿足的方程為：^-?-=l(χ≥4,y>0).

故選：C.

【變式訓(xùn)練】

L若實(shí)軸長為2的雙曲線C:=l(α>0力>0)上恰有4個不同的點(diǎn)Pi(i=1,2,3,4)滿足比用=2出Al,其中A(-l,0),

ab

3(1，。)，則雙曲線C的虛軸長的取值范圍為()

A.B.(0,孚)C.(^i,+∞)

【答案】C

【分析】設(shè)點(diǎn)P(χ,y),由IPBI=2∣M結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式得出點(diǎn)尸的軌跡方程，將問題轉(zhuǎn)化為雙曲線C與點(diǎn)尸的軌

跡有4個公共點(diǎn)，并將雙曲線C的方程與動點(diǎn)尸的軌跡方程聯(lián)立，由Δ>0得出人的取值范圍，可得出答案.

【詳解】依題意可得α=l,設(shè)P(X,y),則由I陽=2∣∕?∣,

得J(X-I)2+y2=2j(x+iy+/,整理得(χ+gj+y2=g.

fτffl+p^j?r^+—x+2=0

依題意可知A=竽+解得匕2>々,

則雙曲線的虛軸長

C2b>2得半

22

2.在平面直角坐標(biāo)系XOy中，已知雙曲r線4v=1(a>0,?>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上，△()AF

a^b^

是邊長為2的等邊三角形，則雙曲線的方程為()

r

2-

X一4

B.

I2￡

D.X2

-3=1

【答案】D

【分析】由題意，根據(jù)雙曲線方程，可得漸近線方程，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得漸近線的斜率與C的值，聯(lián)立方程，

可得答案.

fdb

【詳解】由方程二-與=1,則雙曲線的漸近線方程為y=±2χ,

a~h-a

不妨設(shè)A在直線y=2χ上，

a

山AOAF是邊長為2的等邊三角形，則可得c=2,直線y=2χ的傾斜角為60,即=6，

aa

聯(lián)立［τ*2,可得上產(chǎn)，故雙曲線方程為f-￡=1.

a"+b-c=43

故選：C.

22

3.如圖，雙曲線C：?-4=l(?>0<?>0)的左、右焦點(diǎn)為6(-2,0),∕?(2,0),過％B作圓。：/+y2=02的

a~b~

切線，四條切線圍成的四邊形月AgB的面積為這，則雙曲線的方程為()

3

D2χ22/

=1c1

?f-f=35

【答案】B

【分析】由四邊形片A瑪B的面積求出直角三角形AoK面積，利用三角形面積公式計(jì)算出|。4|、∣AΛ∣,再由

gαx∣A居I=竽可得。、h,從而得到答案.

【詳解】如圖，由題意c=√7壽=2,因?yàn)樗倪呅味鶤6B的面積為達(dá)，所以直角三角形4。居面積為亞，即

33

；|0段|。Al=孚，∣0A∣=苧，IAeI=JIo/?+IQAF=半,g4∣A局=苧，a=l,?=√3,雙曲線的方程為

【題型四】雙曲線第一定義

【典例分析】

設(shè)6,5是雙曲線χ2-y2=4的兩個焦點(diǎn)，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，過耳作NKP6平分線的垂線，垂足為M,則點(diǎn)M到

直線x+y-2√i=0的距離的最大值是（）.

A.4B.5C.6D.3

【答案】A

【分析】根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，延長耳M交P6于M進(jìn)而得到IwHRV結(jié)合雙曲

線的定義可知|叫|=4,設(shè)材（%,兒），根據(jù)題意得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，于是得到點(diǎn)M的軌跡方程，最后求得答案.

【詳解】雙曲線的方程為：X-亡=1,可得C2=8=C?=20,則川-2夜,OM（2&,0）,設(shè)"（x°,y°）,不妨設(shè)點(diǎn)尸

在雙曲線的右支上，延長KM交PK于M則N（2x°+2夜,2%）.

由題意，∣PK∣=∣PN∣,由雙曲線的定義：IpEI-IPEI=2α=4,則INEl=4,于是,

J(2x0+20-2何+(2%_O)?=4nx：+y；=4,即點(diǎn)M在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，而圓心(0,0)到直線

x+y-2夜=0的距離為：匕消=2,該直線與圓相切，則點(diǎn)M到該直線的距離的最大值為：2+2≈4.

√2

故選：A.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

雙曲線定義：動點(diǎn)P滿足：??PFt?-?PF2??=2a,四尸2∣=2C且4<c(其中α,C為常數(shù)且a>0,c>0)

【變式訓(xùn)練】

1..已知雙曲線C：4-?-=l(α>0,fc>0),耳迅分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，P為右支上一點(diǎn)(“≠0),在線段P耳上

arbr

取“aPK瑪?shù)闹荛L中點(diǎn)“M,滿足IMH+儼段=IM用+憎可，同理可在線段PE上也取“△產(chǎn)/"的周長中點(diǎn)“N.若

-PMN的面積最大值為1,則匕=.

【答案】√2

【分析】根據(jù)題目中對周長中點(diǎn)的定義，可以列出圖像中各線段之間的關(guān)系，將兩式相加，相減，得到與雙曲線定義，

焦距相關(guān)的式子，結(jié)合三角形的面積公式，即可求解

設(shè)雙曲線的焦距為2c,根據(jù)題意可得：IMH+1PEl=IM用+14閭,①WH+IwI=W國+16用,②

①一②得：I函一|「用+|「用TNH=IMξ∣τzg∣,即INKITM制=IM用TN局

所以IMKl=W段,所以：IMHTNH=IP耳H"l=24°①+②得：I網(wǎng)+1網(wǎng)+|尸耳|一|峙l+l%H遇1=2忻聞

所以IMH+|八陽=I6周=2c,所以IMH=a+c,WH=c—a,所以當(dāng)ZMPN=90°時，PMN的面積取最大值，

所以(SPMN)max=；?∣MP∣?∣NP∣=g?(/52)=；從=1,所以b=TL故答案為：√L

2..已知雙曲線C:產(chǎn)-9=1的左焦點(diǎn)為K，頂點(diǎn)Q(0,2√J),戶是雙曲線C右支上的動點(diǎn)，則IPEl+戶。的最小值等于

【答案】6

【分析】利用雙曲線的性質(zhì)，得到IPKl=IPKl+2,代入所求式子，結(jié)合兩點(diǎn)距離直線最短原理，計(jì)算最小值，即可.

【詳解】結(jié)合題意，繪制圖像：

根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知IPHHP闖=2=2,得到IP4I=IP用+2,所以

IP周+1Po=IPKl+∣PQ+22∣Q周+2,而Q(O,2√J),G(2,O),所以

依用=^22+(2√3)2=4,所以最小值為6.

3.已知￡,鳥分別為雙曲線1的左右焦點(diǎn)，尸為雙曲線右支上一點(diǎn)，入關(guān)于直線PK的對稱點(diǎn)為M,R關(guān)于直線

尸鳥的對稱點(diǎn)為N,則當(dāng)IMNl最小時，sinNRPg的值為()

A.?-B.@C.走D.-

2233

【答案】B

【分析】根據(jù)對稱性得至"N-PM=M-尸乙=2。=4,根據(jù)余弦定理得到MV2=16+2P/「PK(1—COS3N6P/Q,得

到答案.

【詳解】根據(jù)對稱性知：PM=PF2,PN=PF,,故PN-PM=PF「PF?=2a=4.

根據(jù)余弦定理：MN2=PM2+PN2-IPM-PNCOSNMPN

=(Ps-PE)2+2P4?Pg(l-cos(2τ-3N片Pg))=I6+2W6(1-COS3N￡P(guān)K)故當(dāng)I-CoS3N耳產(chǎn)月=0,即

N耳PVq時,IMyl有最小值,此時SinN耳P居=3.

故選：B.

【題型五】雙曲線焦半徑(第二定義)

【典例分析】

222

若點(diǎn)P為雙曲線u2-w=ιg力>°)上任意一點(diǎn)，則P滿足性質(zhì)：點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離與它到直線X=B的距離之

"2

比為離心率e,若C的右支上存在點(diǎn)。，使得。到左焦點(diǎn)的距離等于它到直線X=上的距離的6倍，則雙曲線的離心

C

率的取值范圍是.

【答案】(l,2]u[3,6)

/“十'>6

2

【分析】若。到X=幺的距離為d有6d-ed>0,由題設(shè)有a~,結(jié)合雙曲線離心率的性質(zhì)，即可求離心率的范

ca---

C

圍.

【詳解】由題意，?^,即絲三=豈巴￡6,整理有e2-5e+6≥0,

a---ac-ae-?

c

所以e≥3或e≤2,

若。到X=幺的距離為d,則。到左、右焦點(diǎn)的距離分別為64、ed9又。在C的右支上，

c

所以6d-4>0,則ev6,又e>l,

綜上，雙曲線的離心率的取值范圍是(l,2]u[3,6).

故答案為：(l,2]u[3,6)

【提分秘籍】

基本規(guī)律

第二定義與焦半徑(了解)：若點(diǎn)P為雙曲線"Zr’上任意一點(diǎn)，則尸滿足性質(zhì)：點(diǎn)

a2

X=—

P到右焦點(diǎn)的距離與它到直線C的距離之比為離心率e,

22

雙曲線二—匚=1(a>0,b>o)的焦半徑公式：(K(-c,O),K(C,0)

a^b^

當(dāng)M(AO,%)在右支上時，|叫\(zhòng)=exi)+a,\MF2?^exa-a.

當(dāng)M(x0,y0)在左支上時，IMFiI=-ex0+a,?MF21=-ex0-a

【變式訓(xùn)練】

2222

1.己知雙曲線C「一馬=l(α>0,6>0)與橢圓上+匯=1的焦點(diǎn)重合，離心率互為倒數(shù)，設(shè)B、A分別為雙曲線C

a2bl1612

的左、右焦點(diǎn)，P為右支上任意一點(diǎn)，則費(fèi)的最小值為_______.

PF2

【答案】8

【解析】求出橢圓的離心率和焦點(diǎn)，從而得雙曲線的離心率，雙曲線的實(shí)半軸長“，可得P∕^≥I,由雙曲線的定義得

PB=PF2+2,這樣誓就可表示為P居的函數(shù)，于是可利用基本不等式求得最小值

PF2

【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為α,,短半軸長為歷，半焦距為c,

則C=Ja；-b：=J16-12=2,故橢圓的離心率e/=*=；,從而雙曲線的離心率e=2=2=2,可得4=1,

Yq2aa

PF；(PF?+2)2-母+4?E+44

PFPF

根據(jù)雙曲線的定義有PB-PF2=2α,S∣JPF∣PF2+2,故"=2=尸瑪=PF2+2+4,

χ

—∣PP2-

由雙曲線的范圍可得尸尸2次一q=1,根據(jù)基本不等式可得PB+PB+422、P耳+4=8,

當(dāng)且僅當(dāng)叨=熹，…2時取f所以舞的最小值為8.故答案為：8,

/V2若附「

2.已知P為雙曲線與-七=l(a>0,b>0)左支上一點(diǎn)，F(xiàn)1,心為其左右焦點(diǎn),的最小值為114,則雙曲線的

a~b~

離心率為()

9-√339+用C9+√339

λdD.

2222

【答案】B

【分析】設(shè)閘=〃則翳=TI+〃+而4/

記J'5)=竺-+“+4”，求導(dǎo)分析單調(diào)性，從而求得最小值，因

n

為最小為IIa故可求得GC關(guān)系，即可求得離心率.

【詳解】設(shè)IP閭=m,歸用=〃，則由雙曲線的定義得：m-n=2a,

耳(2"〃)、￡〃+4〃n∈[c-6t,+∞).

阿nn

i己/(〃)=—^-+〃+4a,n∈[c-tz,+∞),/'(〃)=]——?,令=1——^-=0,得〃=2Q.

nn

(1)當(dāng)c-4≤勿時，n≡?c-a,2a),∕,(∏)=l-^-<0,>=/(〃)單調(diào)遞減;

n

∕t∈(2tz,+oo),r(〃)=i_q>o,y=/(〃)單調(diào)遞增，

n~

8β

???"〃LI=F(2)=,不合題意，舍去；

44

(2)當(dāng)c-a>2α?xí)r，∕,(n)=l-----廠>0恒成立，

???yS)min"(r)=c+3α+*,

?，.c+34+4"=1lα,?'?c2-9rzc÷12^2=0解得c=L或C=-~

'9-√33'9+√33a,離心率e="普

-T~。不滿足c-1>2α,應(yīng)舍去.Jc-2~

故選：B.

3.已知6，鳥為雙曲線r：?-4=l（?>0,力>0）的左、右焦點(diǎn)，以工為圓心，2〃為半徑的圓與「在第一象限的

a^b^

交點(diǎn)為A,直線A5與「交于另一點(diǎn)8.若.484的面積為3/,則『的離心率為（）

3√3

B.√3

【答案】D

【解析】設(shè)直線AK與X軸正方向的夾角為凡利用雙曲線的第二定義表示出「伍|,怛閭，根據(jù),,ABf；的面積以及

c2=a2+b2即可求解.

【詳解】設(shè)雙曲線的右準(zhǔn)線與X軸的交點(diǎn)為D,則怩Z）I=C-9=

設(shè)直線A%與X軸正方向的夾角為θ.

由雙曲線的第二定義可得1-ecos?

∣∕?D∣?eI*II*I2e?∣居Z)I2ex——

λβ=λ+β7=22

l+ecos(9'''∣∣