專題05誘導(dǎo)公式（6種題型）

專題05誘導(dǎo)公式（6種題型）思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦題型一：給角求值問題題型二：給值(式)求值問題題型三：利用誘導(dǎo)公式化簡問題題型四：利用誘導(dǎo)公式化簡求值題型五：利用誘導(dǎo)公式證明恒等式題型六：誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用（），，，這些角都與角有特殊的關(guān)系.已知角的正弦、余弦、正切及余切值，能夠快速求出上述這些角的正弦、余弦、正切及余切值？這就是誘導(dǎo)公式要解決的問題.由于角（）的終邊與角的終邊重合，因此由定義有如下誘導(dǎo)公式：，，，（）.由這組誘導(dǎo)公式，求任意角的正弦、余弦、正切及余切值可以轉(zhuǎn)化為求范圍內(nèi)一個角的相應(yīng)值.角的終邊與角的終邊關(guān)于周對稱，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，而角的終邊與單位圓交于點(diǎn).由于點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，其橫坐標(biāo)相等，而縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，因此有如下誘導(dǎo)公式：，，，.由這組誘導(dǎo)公式，求負(fù)角的正弦、余弦、正切及余切值可以轉(zhuǎn)化為求正角的相應(yīng)值.將角的終邊繞著原點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)弧度，得到角的終邊，這說明角和角的終邊在同一條直線上，但方向相反.角的終邊與單位圓交于點(diǎn).由于點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，其橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，因此有如下誘導(dǎo)公式：，，，.由這組誘導(dǎo)公式，求范圍內(nèi)的角的正弦、余弦、正切及余切值可以轉(zhuǎn)化到范圍內(nèi)一個角的相應(yīng)值.角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，而角的終邊與單位圓交于點(diǎn).由于點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，其橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，而縱坐標(biāo)互相等，因此有如下誘導(dǎo)公式：，，，.由這組誘導(dǎo)公式，求范圍內(nèi)的角的正弦、余弦、正切及余切值可以轉(zhuǎn)化到范圍內(nèi)一個角的相應(yīng)值.以上四組誘導(dǎo)公式說明，（），，的正弦、余弦、正切及余切值的絕對值等于角的相應(yīng)量的絕對值【名稱不變】，但這兩個值之間可能差一個正負(fù)號.由于誘導(dǎo)公式較多，記憶其中的正負(fù)號并不容易，但有一個簡單的方法可以加以判斷，即：當(dāng)為銳角時，等式兩邊必須同正或同負(fù).例如，的絕對值應(yīng)該與的絕對值相等，即成立.但當(dāng)為銳角時，是第二象限的角【符號看象限】，這時，而，所以前式中應(yīng)該取負(fù)號，即有.角的終邊與角關(guān)于直線對稱，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，而角的終邊與單位圓交于點(diǎn).由于點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，而點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，因此有如下誘導(dǎo)公式：，，，.在以上公式中將用代換，就有.同理，有如下誘導(dǎo)公式：，，，.上述兩組誘導(dǎo)公式說明正弦和余弦可以相互轉(zhuǎn)化，正切和余切也可以相互轉(zhuǎn)化.以上兩組誘導(dǎo)公式說明角的正（余）弦、正（余）切值的絕對值，必等于角的余（正）弦、余（正）切值的絕對值【名稱改變】，但這兩者可能差一個正負(fù)號.這個正負(fù)號的確定方法是：當(dāng)角為銳角時，等式兩邊必須同正或同負(fù).例如，的絕對值應(yīng)該同的絕對值相等，即成立.但當(dāng)為銳角時，是第二象限的角【符號看象限】，這時，而，所以前式中應(yīng)該取負(fù)號，即有.奇變偶不變，符號看象限.例如，及都是的奇數(shù)倍，如果等式左邊是，的正弦、余弦、正切、余切之一，那么等式右邊相應(yīng)的必定是的余弦、正弦、余切、正切，這就是“奇變”；而（）、、都是的偶數(shù)倍，等式兩邊的正弦、余弦、正切及余切的名稱就應(yīng)該相同，這就是“偶不變”.等式右邊角正弦、余弦、正切及余切前的符號可以將視為銳角（實際上此時可以為任意角），由等式左邊的角所在的象限的正弦、余弦、正切及余切值的符號來確定，即“符號看象限”.題型一：給角求值問題【例1】求下列各三角函數(shù)值：(1)sin1320°；(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))；(3)tan(－945°)．[解](1)法一：sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).法二：sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－eq\f(\r(3),2).(2)法一：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝coseq\f(31π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(7π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).法二：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(5π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟1“負(fù)化正”——用公式一或三來轉(zhuǎn)化；2“大化小”——用公式一將角化為0°到360°間的角；3“小化銳”——用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角；4“銳求值”——得到銳角的三角函數(shù)后求值.【變式】計算：(1)coseq\f(π,5)＋coseq\f(2π,5)＋coseq\f(3π,5)＋coseq\f(4π,5)；(2)tan10°＋tan170°＋sin1866°－sin(－606°)．[解](1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,5)＋cos\f(4π,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,5)＋cos\f(3π,5)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\f(π,5)＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,5)))))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,5)＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(2π,5)))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,5)－cos\f(π,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,5)－cos\f(2π,5)))＝0.(2)原式＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]＝tan10°－tan10°＋sin66°－sin(180°－66°)＝sin66°－sin66°＝0.題型二：給值(式)求值問題【例2】(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，則sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于()A.eq\f(m2－1,2) B.eq\f(m2＋1,2)C.eq\f(1－m2,2) D．－eq\f(m2＋1,2)(2)已知cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)，且α為第四象限角，求sin(105°＋α)的值．(1)【答案】A【解析】[sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sinα＋cosα＝m，sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sinαcosα＝eq\f(sinα＋cosα2－1,2)＝eq\f(m2－1,2).](2)[解]∵cos(α－75°)＝－eq\f(1,3)＜0，且α為第四象限角，∴sin(α－75°)＝－eq\r(1－cos2α－75°)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＝－eq\f(2\r(2),3)，∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝eq\f(2\r(2),3).解決條件求值問題的兩技巧1尋找差異：解決條件求值問題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系.2轉(zhuǎn)化：可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化.題型三：利用誘導(dǎo)公式化簡問題【例3】設(shè)k為整數(shù)，化簡：eq\f(sinkπ－αcos[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]coskπ＋α).[解]法一：(分類討論)當(dāng)k為偶數(shù)時，設(shè)k＝2m(m∈Z)，則原式＝eq\f(sin2mπ－αcos[2m－1π－α],sin[2m＋1π＋α]cos2mπ＋α)＝eq\f(sin－αcosπ＋α,sinπ＋αcosα)＝eq\f(－sinα－cosα,－sinαcosα)＝－1；當(dāng)k為奇數(shù)時，設(shè)k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．所以原式＝eq\f(－sinkπ＋α[－coskπ＋α],－sinkπ＋αcoskπ＋α)＝－1.三角函數(shù)式化簡的常用方法1合理轉(zhuǎn)化：①將角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.,②依據(jù)所給式子合理選用誘導(dǎo)公式將所給角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角α的三角函數(shù).2切化弦：一般需將表達(dá)式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù).【變式】．化簡：(1)eq\f(tan2π－αsin－2π－αcos6π－α,cosα－πsin5π－α)；(2)eq\f(sin1440°＋α·cos1080°－α,cos－180°－α·sin－α－180°).[解](1)原式＝eq\f(－tanαsin－αcos－α,cosπ－αsinπ－α)＝eq\f(tanα·sinα·cosα,－cosα·sinα)＝－tanα.(2)原式＝eq\f(sin4×360°＋α·cos3×360°－α,cos180°＋α·[－sin180°＋α])＝eq\f(sinα·cos－α,－cosα·sinα)＝eq\f(cosα,－cosα)＝－1.題型四：利用誘導(dǎo)公式化簡求值【例4】(1)已知cos31°＝m，則sin239°tan149°的值是()A.eq\f(1－m2,m) B.eq\r(1－m2)C．－eq\f(1－m2,m) D．－eq\r(1－m2)(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))的值為________．(1)B【解析】[(1)sin239°tan149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin59°(－tan31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝eq\r(1－cos231°)＝eq\r(1－m2).(2)eq\f(1,2)【解析】coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(1,2).]題型五：利用誘導(dǎo)公式證明恒等式【例5】(1)求證：eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2π＋θ).(2)求證：eq\f(cos6π＋θsin－2π－θtan2π－θ,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ)))＝－tanθ.[證明](1)右邊＝eq\f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))·－sinθ－1,1－2sin2θ)＝eq\f(2sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))))sinθ－1,1－2sin2θ)＝eq\f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))sinθ－1,1－2sin2θ)＝eq\f(－2cosθsinθ－1,cos2θ＋sin2θ－2sin2θ)＝eq\f(sinθ＋cosθ2,sin2θ－cos2θ)＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝左邊，所以原等式成立．(2)左邊＝eq\f(cosθsin－θtan－θ,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ)))＝eq\f(cosθsinθtanθ,－sinθcosθ)＝－tanθ＝右邊，所以原等式成立．三角恒等式的證明的策略1遵循的原則：在證明時一般從左邊到右邊，或從右邊到左邊，或左右歸一，總之，應(yīng)遵循化繁為簡的原則.2常用的方法：定義法，化弦法，拆項拆角法，公式變形法，“1”的代換法.【變式】．求證：eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋x)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5π,2)))tan6π－x)＝－1.[證明]因為eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋x)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5π,2)))tan6π－x)＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,2)＋x)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)－2π))tan－x)＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x)),－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))tanx)＝eq\f(－sinx,cosxtanx)＝－1＝右邊，所以原等式成立．題型六：誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用【例6】已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3,2)π))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)的值．[解]方程5x2－7x－6＝0的兩根為x1＝－eq\f(3,5)，x2＝2，因為－1≤sinα≤1，所以sinα＝－eq\f(3,5).又α是第三象限角，所以cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4)，所以eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3,2)π))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),sinαcosα)·tan2α＝eq\f(cosα－sinα,sinαcosα)·tan2α＝－tan2α＝－eq\f(9,16).誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用要“三看”一看角：①化大為??；②看角與角間的聯(lián)系，可通過相加、相減分析兩角的關(guān)系.二看函數(shù)名稱：一般是弦切互化.三看式子結(jié)構(gòu)：通過分析式子，選擇合適的方法，如分式可對分子分母同乘一個式子變形.【變式】．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－α))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,2)－α))＝eq\f(60,169)，且eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)，求sinα與cosα的值．[解]sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,2)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,2)＋α))＝－sinα，∴sinα·cosα＝eq\f(60,169)，即2sinα·cosα＝eq\f(120,169).①又∵sin2α＋cos2α＝1，②①＋②得(sinα＋cosα)2＝eq\f(289,169)，②－①得(sinα－cosα)2＝eq\f(49,169).又∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴sinα＞cosα＞0，即sinα＋cosα＞0，sinα－cosα＞0，∴sinα＋cosα＝eq\f(17,13)，③sinα－cosα＝eq\f(7,13)，④(③＋④)÷2得sinα＝eq\f(12,13)，(③－④)÷2得cosα＝eq\f(5,13).一、填空題1、化簡：________【答案】；【解析】原式=；【考點(diǎn)】誘導(dǎo)公式；2、化簡=【答案】；【解析】；【考點(diǎn)】誘導(dǎo)公式；3、計算__________________【答案】0；【解析】因，于是得：原式；4、已知，則的值為【答案】；【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式得，即，又，所以，；5、已知，且是第二象限角，則的值等于_______【答案】；【解析】由，且是第二象限角，所以，，所以，；故答案為：；6、計算：sin585°cos1290°＋cos(－30°)sin210°＋tan135°=【答案】eq\f(\r(6)－\r(3)－4,4)；【解析】sin585°cos1290°＋cos(－30°)sin210°＋tan135°＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210°)＋cos30°sin210°＋tan(180°－45°)＝sin225°cos210°＋cos30°sin210°－tan45°＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos30°sin(180°＋30°)－tan45°＝sin45°cos30°－cos30°sin30°－tan45°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,2)－1＝eq\f(\r(6)－\r(3)－4,4).7、若，則__________【答案】；【解析】利用誘導(dǎo)公式得，故答案為：；8、若，則【答案】；【解析】因為,所以；9、化簡：___________.【答案】1；【解析】原式；；10、已知角α終邊上一點(diǎn)P(－4，3)，則eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin－π－α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))的值為____________．【答案】－eq\f(3,4)；【解析】因為角α終邊過點(diǎn)P(－4,3)，所以tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(3,4)，所以原式＝eq\f(－sinα·[－sinπ＋α],cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π－\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,2)＋α)))＝eq\f(－sinα·sinα,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－α))·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))＝eq\f(－sinα·sinα,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))·cosα)＝eq\f(－sinα·sinα,－sinα·cosα)＝tanα＝－eq\f(3,4).11、若＝，則的值是________．【答案】【解析】＝，所以，.故答案為：.12．已知cosα＝eq\f(1,5)，且α為第四象限角，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝________.【答案】eq\f(2\r(6),5)【解析】因為cosα＝eq\f(1,5)，且α為第四象限角，所以sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(2\r(6),5)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝－sinα＝eq\f(2\r(6),5).二、選擇題13、已知，則（）A．0 B．m C．m D．不確定【答案】C；【解析】由；14、已知，化簡：（）A．B．C． D．隨k的變化而變化【答案】B【解析】因，則當(dāng)k是奇數(shù)時，，當(dāng)k是偶數(shù)時，，所以故選：B15、已知，則的值是 ()A.B. C.D.【答案】B；【解析】；16、化簡，得（）A．1B． C．D．【答案】B；【解析】依題意，原式；故選：B三、解答題17、已知，（1）求的值；（2）求：的值；【答案】（1）3；（2）4；【解析】（1）由題：，所以，；（2）；18.如圖，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，將繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至.求點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】如圖，由，在單位圓中滿足，.這樣對點(diǎn)，有，.所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為.19、已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α為第三象限角，求：eq\f