中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)專項突破訓(xùn)練專題20 新定義型二次函數(shù)問題（重點(diǎn)突圍）(教師版)

專題20新定義型二次函數(shù)問題【中考考向?qū)Ш健磕夸汿OC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一新定義型二次函數(shù)問題】 1【直擊中考】【考向一新定義型二次函數(shù)問題】例題：（2023秋·江西南昌·九年級南昌市第十七中學(xué)?？计谀┬≠t與小杰在探究某類二次函數(shù)問題時，經(jīng)歷了如下過程：求解體驗：(1)已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則b＝，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，該拋物線關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的拋物線表達(dá)式是．抽象感悟：我們定義：對于拋物線，以y軸上的點(diǎn)為中心，作該拋物線關(guān)于點(diǎn)M對稱的拋物線，則我們又稱拋物線為拋物線y的“衍生拋物線”，點(diǎn)M為“衍生中心”．(2)已知拋物線關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，若這兩條拋物線有交點(diǎn)，求m的取值范圍．問題解決：(3)已知拋物線．①若拋物線y的衍生拋物線為，兩拋物線有兩個交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，求a，b的值及衍生中心的坐標(biāo)；②若拋物線y關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為；關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為；…；關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為，…（為正整數(shù)）．求的長（用含n的式子表示）．【答案】(1)；；；(2)(3)①；衍生中心的坐標(biāo)為；②【分析】（1）把代入即可求出，然后把拋物線解析式變?yōu)轫旤c(diǎn)式即可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，繼而可得頂點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，從而可寫出原拋物線關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的拋物線的表達(dá)式；（2）先求出拋物線的頂點(diǎn)是，從而求出關(guān)于的對稱點(diǎn)是，得，根據(jù)兩拋物線有交點(diǎn)，可以確定方程有解，繼而求得的取值范圍即可；（3）①先求出拋物線以及拋物線的衍生拋物線為，的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩拋物線有兩個交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，求的值及再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出衍生中心的坐標(biāo)；②根據(jù)中心對稱，由題意得出，…

分別是，…的中位線，繼而可得，，…，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得的長，即可求解．【詳解】（1）解：把代入，得，∴，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是，∵關(guān)于的對稱點(diǎn)，∴成中心對稱的拋物線表達(dá)式是：，即，故答案為：，，；（2）∵，∴頂點(diǎn)是∵關(guān)于的對稱點(diǎn)是，∴，∵兩拋物線有交點(diǎn)，∴有解，∴有解，∴，∴；（3）①∵，∴頂點(diǎn)，代入得：①∵，∴頂點(diǎn)，代入得：②由①②得，∵，，∴，∴兩頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得“衍生中心”的坐標(biāo)是；②如圖，設(shè)，…，與軸分別相于，…

，，則，，…，分別關(guān)于，…，中心對稱，∴，…

分別是，…的中位線，∴，，…，∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，理解題意，畫出符合題意的圖形借助數(shù)形結(jié)合思想解決問題是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·浙江紹興·九年級?？茧A段練習(xí)）定義：同時經(jīng)過x軸上兩點(diǎn)的兩條拋物線稱為同弦拋物線．如拋物線與拋物線是都經(jīng)過的同弦拋物線．(1)引進(jìn)一個字母，表達(dá)出拋物線的所有同弦拋物線；(2)判斷拋物線與拋物線是否為同弦拋物線，并說明理由；(3)已知拋物線是的同弦拋物線，且過點(diǎn)，求拋物線對應(yīng)函數(shù)的最大值或最小值．【答案】(1)(2)不是，理由見解析(3)【分析】（1）由題意可直接得出拋物線的所有同弦拋物線為；（2）將拋物線的表達(dá)式化為交點(diǎn)式，即得出其與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)“同弦拋物線”的定義，即可得出結(jié)論；（3）由題意可設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求出a的值，得出拋物線的函數(shù)表達(dá)式，化為頂點(diǎn)式，即可得出答案．【詳解】（1）引進(jìn)一個字母a，則拋物線的所有同弦拋物線可表示為；（2）不是．理由如下：∵，∴拋物線與x軸交于點(diǎn)為，∴拋物線與拋物線不是同弦拋物線；（3）∵拋物線與拋物線是同弦拋物線，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得：解得：．∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．∵，∴拋物線有最小值，最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查新定義，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握“同弦拋物線”的定義是解題關(guān)鍵．2．（2022·九年級單元測試）小明在課外學(xué)習(xí)時遇到這樣一個問題：定義：如果二次函數(shù)，，，是常數(shù)）與，，，是常數(shù)）滿足，，，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．小明是這樣思考的：由函數(shù)可知，，，根據(jù)，，求出，，，就能確定這個函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．請參考小明的方法解決下面的問題：(1)寫出函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；(2)若函數(shù)與互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的值；(3)已知函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)、、關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別是、、，試證明經(jīng)過點(diǎn)、、的二次函數(shù)與函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．【答案】(1)(2)1(3)見解析【分析】（1）根據(jù)“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義求出，，，從而得到原函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；（2）根據(jù)“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義得到，，再解方程組求出和的值，然后根據(jù)乘方的意義計算；（3）先根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題確定，，，再利用關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到，，，則可利用交點(diǎn)式求出經(jīng)過點(diǎn)，，的二次函數(shù)解析式為，再把化為一般式，然后根據(jù)“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義進(jìn)行判斷．【詳解】（1）解：，，，，，，，，，函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”為；（2）解：根據(jù)題意得，，解得，，；（3）證明：當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，解得，，則，，點(diǎn)、、關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別是，，，，，，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)，，的二次函數(shù)解析式為，把代入得，解得，經(jīng)過點(diǎn)，，的二次函數(shù)解析式為，而，，，，經(jīng)過點(diǎn)、、的二次函數(shù)與函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會求二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；對新定義的理解能力．3．（2021秋·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期中）定義：關(guān)于x軸對稱且對稱軸相同的兩條拋物線叫作“同軸對稱拋物線”．例如：的“同軸對稱拋物線”為．(1)請寫出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；及其“同軸對稱拋物線”的頂點(diǎn)坐標(biāo)；寫出拋物線的“同軸對稱拋物線”為．(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B是拋物線L：上一點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)B作x軸的垂線，交拋物線L的“同軸對稱拋物線”于點(diǎn)C，分別作點(diǎn)B、C關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點(diǎn)、，連接、、、，設(shè)四邊形的面積為．①當(dāng)四邊形為正方形時，求a的值．②當(dāng)拋物線L與其“同軸對稱拋物線”圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）共有11個橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)時，請求出a的取值范圍．【答案】(1)，，(2)①a；②或【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)式的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；先化成頂點(diǎn)式，再求“同軸對稱拋物線”的解析式；（2）①寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再由對稱軸求出點(diǎn)，然后結(jié)合正方形的性質(zhì)列出方程求a；②先由對稱性分析得到封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上整點(diǎn)的個數(shù)，然后針對拋物線L開口的不同進(jìn)行分類討論．【詳解】（1）解：由知頂點(diǎn)坐標(biāo)為，由知頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線的“同軸對稱拋物線”為；故答案為：，，．（2）①當(dāng)時，，∴，∴，∴，∵拋物線L的對稱軸為直線，∴點(diǎn)，∴，∵四邊形是正方形，∴，即，解得：（舍）或．②拋物線L的對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵L與“同軸對稱拋物線”關(guān)于x軸對稱，∴整點(diǎn)數(shù)也是關(guān)于x軸對稱出現(xiàn)的，∴封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上的整點(diǎn)可以是3個或5個，L與x軸圍成的區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)個數(shù)為4個或3個，（i）當(dāng)時，∵L開口向上，與y軸交于點(diǎn)，∴封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上只可能有3個整點(diǎn)，兩個區(qū)域內(nèi)各有4個整點(diǎn)，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，解得：；（ii）當(dāng)時，∵L開口向下，與y軸交于點(diǎn)，∴封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上只可能有5個整點(diǎn)，兩個區(qū)域內(nèi)各有3個整點(diǎn)，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，解得：，綜上所述：或．【點(diǎn)睛】此題借助二次函數(shù)考查正方形的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式找頂點(diǎn)坐標(biāo)，及新定義“同軸對稱拋物線”．4．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）【閱讀理解】定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一個動點(diǎn)，若x，y都可以用同一個字母表示，那么點(diǎn)P的運(yùn)動路徑是確定的．若根據(jù)點(diǎn)P坐標(biāo)求出點(diǎn)P運(yùn)動路徑所對應(yīng)的關(guān)系式是函數(shù)，則稱由點(diǎn)坐標(biāo)求函數(shù)表達(dá)式的過程叫做將點(diǎn)“去隱”．例如，將點(diǎn)（m為任意實數(shù)）“去隱”的方法如下：設(shè)，，由①得將③代入②得，整理得，則直線是點(diǎn)M的運(yùn)動路徑．【遷移應(yīng)用】在平面直角坐標(biāo)系中，已知動點(diǎn)（a為任意實數(shù)）的運(yùn)動路徑是拋物線．(1)請將點(diǎn)Q“去隱”，得到該拋物線表達(dá)式；(2)記（1）中拋物線為W（如圖），W與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），其頂點(diǎn)為點(diǎn)C，現(xiàn)將W進(jìn)行平移，平移后的拋物線始終過點(diǎn)A，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為．?。┰嚧_定點(diǎn)運(yùn)動路徑所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；ⅱ）在直線的左側(cè)，是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)ⅰ）；ⅱ）或．【分析】（1）設(shè)，，可得；（2）?。┰O(shè)拋物線的解析式為，由，可得；ⅱ）在上，則C點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，此時，為等腰三角形；設(shè)，當(dāng)時，；當(dāng)時，只能在右側(cè)不符合題意．【詳解】（1）解：設(shè)，，由①得③，將③代入②得；（2）解：，，令，則，解得或，點(diǎn)A在B的左側(cè)，，，?。┰O(shè)拋物線的解析式為，，平移后的拋物線過點(diǎn)，，令，，；ⅱ）存在點(diǎn)，使為等腰三角形，理由如下：在上，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，此時，為等腰三角形；設(shè)，當(dāng)時，，整理得：，解得或（舍），；當(dāng)時，只能在右側(cè)，此時不符合題意；綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，理解定義，將所求問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·湖南長沙·九年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）定義若拋物線（）與直線有兩個交點(diǎn)，則稱拋物線為直線的“雙幸運(yùn)曲線”，其交點(diǎn)為該直線的“幸運(yùn)點(diǎn)”．(1)已知直線解析式為，下列拋物線為該直線的“雙幸運(yùn)曲線”的是________；（填序號）①；②；③；(2)如圖，已知直線l：，拋物線為直線l的“雙幸運(yùn)曲線”，“幸運(yùn)點(diǎn)”分別為、，在直線l上方拋物線部分是否存在點(diǎn)使△面積最大，若存在，請求出面積的最大值和點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；(3)已知x軸的“雙幸運(yùn)曲線”（）經(jīng)過點(diǎn)（1，3），（0，），在x軸的“幸運(yùn)點(diǎn)”分別為、，試求的取值范圍．【答案】(1)②(2)存在，最大面積為此時(3)【分析】（1）分別聯(lián)立一次函數(shù)與拋物線的解析式，再判斷方程組的解的個數(shù)得到函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)，結(jié)合新定義可得答案；（2）如圖，過作軸交于點(diǎn)先求解A，B的坐標(biāo)，再設(shè)則可得再利用面積公式列二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（3）先求解則拋物線為：再結(jié)合拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，可得再利用，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：聯(lián)立∴即∴方程無解，∴兩個函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，∴根據(jù)定義：拋物線不為該直線的“雙幸運(yùn)曲線”；同理：由可得：方程有兩個不相等的實根，∴兩個函數(shù)有兩個交點(diǎn)，∴拋物線為該直線的“雙幸運(yùn)曲線”；由可得：解得：方程有兩個相等的實根，∴兩個函數(shù)有1個交點(diǎn)，∴拋物線不為該直線的“雙幸運(yùn)曲線”；故選②（2）存在，理由如下：如圖，過作軸交于點(diǎn)聯(lián)立∴解得：∴∴設(shè)則∴∴當(dāng)時，面積最大，最大面積為此時∴（3）∵（）經(jīng)過點(diǎn)（1，3），（0，），∴解得：∴拋物線為：令則結(jié)合題意可得方程有兩個不相等的實根∴∴∵∴，解得，∴，∴∴當(dāng)時，最小，為，當(dāng)時，最大，為∴【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，新定義的理解，一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練構(gòu)建函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題是關(guān)鍵．6．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax2+2ax+c組成一個開口向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點(diǎn)A（﹣3，0）、B（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為G、H（0，﹣1）．(1)求拋物線C2的解析式和點(diǎn)G的坐標(biāo)．(2)點(diǎn)M是x軸下方拋物線C1上的點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線C2于點(diǎn)D，求線段MN與線段DM的長度的比值．(3)如圖②，點(diǎn)E是點(diǎn)H關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)，連接EG，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y＝x2+x﹣1，G（0，﹣3）(2)(3)存在，（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）【分析】（1）將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函數(shù)的解析式．（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，），N（t，0），分別求出MN，DM，再求比值即可．（3）先求出E（﹣2，﹣1），設(shè)F（x，0），分來兩種情況討論：①當(dāng)EG＝EF時，，可得F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②當(dāng)EG＝FG時，2＝，F(xiàn)點(diǎn)不存在．【詳解】（1）解：將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，∴，解得，∴y＝x2+x﹣1，在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，則y＝﹣3，∴G（0，﹣3）．（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，），N（t，0），∴NM＝﹣t2﹣2t+3，，∴＝．（3）存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形，理由如下：由（1）可得y＝x2+2x﹣3的對稱軸為直線x＝﹣1，∵E點(diǎn)與H點(diǎn)關(guān)于對稱軸x＝﹣1對稱，∴E（﹣2，﹣1），設(shè)F（x，0），①當(dāng)EG＝EF時，∵G（0，﹣3），∴EG＝2，∴2＝，解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②當(dāng)EG＝FG時，2＝，此時x無解；綜上所述：F點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·安徽淮北·九年級淮北市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)活動課上，小明興趣小組對二次函數(shù)的圖象進(jìn)行了深入的探究，如果將二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)辄c(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和，就會得到的一個新的點(diǎn)，他們把這個點(diǎn)定義為點(diǎn)的“簡樸”點(diǎn)．他們發(fā)現(xiàn)：二次函數(shù)所有簡樸點(diǎn)構(gòu)成的圖象也是一條拋物線，于是把這條拋物線定義為的“簡樸曲線”．例如，二次函數(shù)的“簡樸曲線”就是，請按照定義完成：(1)點(diǎn)的“簡樸”點(diǎn)是________；(2)如果拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求該拋物線的“簡樸曲線”；(3)已知拋物線圖象上的點(diǎn)的“簡樸點(diǎn)”是，若該拋物線的“簡樸曲線”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題目中給出的信息解答即可；（2）先將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，求出a的值，得出拋物線解析式，然后根據(jù)題意寫出拋物線的“簡樸曲線”即可；（3）先根據(jù)點(diǎn)，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，把點(diǎn)B代入拋物線關(guān)系式得出b、c的關(guān)系式，然后把b、c的關(guān)系式代入拋物線的關(guān)系式，得出，寫出其“簡樸曲線”的關(guān)系式為：，并求出化為頂點(diǎn)式，得出，將n看作c的函數(shù)，求出當(dāng)0≤c≤3時，n的取值范圍即可．（1）解：根據(jù)題意可知，點(diǎn)A(x，y)的“簡樸”點(diǎn)是，∴點(diǎn)P（1，2）的“簡樸”點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1+2=3，即．故答案為：．（2）將點(diǎn)M（1，-3）代入拋物線得：，解得：，即拋物線的解析式為，∴拋物線的“簡樸曲線”為，即．（3）根據(jù)題意可知，點(diǎn)是點(diǎn)B（x，y）的“簡樸”點(diǎn)，∴，解得：，即，將點(diǎn)代入拋物線得：，則，∴拋物線為，∴拋物線的“簡樸曲線”為：，即∵其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），∴，將n看作c的函數(shù)，∵，時，n有最大值，且最大值為1，當(dāng)0≤c≤3時，，n有最小值，且最小值為，∴當(dāng)0≤c≤3時，n的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．8．（2022春·九年級課時練習(xí)）定義：若二次函數(shù)的圖象記為，其頂點(diǎn)為，二次函數(shù)的圖象記為，其頂點(diǎn)為，我們稱這樣的兩個二次函數(shù)互為“反頂二次函數(shù)”．分類一：若二次函數(shù)經(jīng)過的頂點(diǎn)B，且經(jīng)過的頂點(diǎn)A，我們就稱它們互為“反頂伴侶二次函數(shù)”．(1)所有二次函數(shù)都有“反頂伴侶二次函數(shù)”是______命題．（填“真”或“假”）(2)試求出的“反頂伴侶二次函數(shù)”．(3)若二次函數(shù)與互為“反頂伴侶二次函數(shù)”，試探究與的關(guān)系，并說明理由．(4)分類二：若二次函數(shù)可以繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到二次函數(shù)；，我們就稱它們互為“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”．①任意二次函數(shù)都有“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”是______命題．（填“真”或“假”）②互為“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”的對稱中心點(diǎn)M有什么特點(diǎn)？③如圖，，互為“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”，點(diǎn)E，F(xiàn)的對稱點(diǎn)分別是點(diǎn)Q，G，且軸，當(dāng)四邊形EFQG為矩形時，試探究二次函數(shù)，的頂點(diǎn)有什么關(guān)系．并說明理由．【答案】(1)假(2)(3)見解析(4)①真；②見解析；③見解析【分析】（1）根據(jù)題意舉反例驗證求解即可；（2），則“反頂伴侶二次函數(shù)”為，再將（2，1）代入求出a值，即可得出解析式；（3）根據(jù)題意，分別表示出過頂點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)解析式，進(jìn)行相加化簡即可得出結(jié)果；（4）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找到對稱中心M，可知對于任意二次函數(shù)都有“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”；②利用A，B坐標(biāo)求出中點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而得出結(jié)論；③根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行的性質(zhì)，得出AB∥y軸，進(jìn)而得出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)均為（h，h），最后得出結(jié)論．【詳解】（1）解：令的頂點(diǎn)坐標(biāo)A為（1，4），開口向上，則的頂點(diǎn)坐標(biāo)B為（4，1），此時C1不經(jīng)過B（4，1），∴所有二次函數(shù)都有“反頂伴侶二次函數(shù)”是假命題．故答案為：假．（2）解：，則“反頂伴侶二次函數(shù)”為，由題意，得將（2，1）代入，得，解得a=-1，∴的“反頂伴侶二次函數(shù)”為．（3）解：∵二次函數(shù)經(jīng)過的頂點(diǎn)B，且經(jīng)過的頂點(diǎn)A，∴①，②，①+②，得，當(dāng)h=k時，與任意非零實數(shù)；當(dāng)h≠k時，=0．（4）解：①如圖∵A，B的中點(diǎn)為M，∴對稱中心為M，∴任意二次函數(shù)都有“反頂旋轉(zhuǎn)二次函數(shù)”．故答案為：真；②∵M(jìn)為A，B的中點(diǎn)，∴M的坐標(biāo)為，即M在直線y=x上．③解：∵軸，四邊形EFQG為矩形，∴AB∥y軸，∴h=k，即A，B的坐標(biāo)均為（h，h），∴A，B兩點(diǎn)重合在直線y=x上．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)，讀懂題意，理解新定義是解決問題的關(guān)鍵．9．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）定義：將二次函數(shù)l的圖象沿x軸向右平移t，再沿x軸翻折，得到新函數(shù)l′的圖象，則稱函數(shù)l′是函數(shù)l的“t值衍生拋物線”．已知l：y＝x2﹣2x﹣3．(1)當(dāng)t＝﹣2時，①求衍生拋物線l′的函數(shù)解析式；②如圖1，函數(shù)l與l'的圖象交于M（，n），N（m，﹣2）兩點(diǎn)，連接MN．點(diǎn)P為拋物線l′上一點(diǎn)，且位于線段MN上方，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交MN于點(diǎn)Q，交拋物線l于點(diǎn)G，求S△QNG與S△PNG存在的數(shù)量關(guān)系．(2)當(dāng)t＝2時，如圖2，函數(shù)l與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．函數(shù)l′與x軸交于D，E兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)F．點(diǎn)K在拋物線l′上，且∠EFK＝∠OCA．請直接寫出點(diǎn)K的橫坐標(biāo)．【答案】(1)①；②；(2)點(diǎn)K的橫坐標(biāo)為4或【分析】（1）①利用拋物線的性質(zhì)和衍生拋物線的定義解答即可；②利用待定系數(shù)法求得直線MN的解析式，設(shè)P（m，﹣m2﹣2m+3），則得到Q（m，﹣2m），G（m，m2﹣2m﹣3），利用m的代數(shù)式分別表示出PQ，QG的長，再利用同高的三角形的面積比等于底的比即可得出結(jié)論；（2）利用函數(shù)解析式求得點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出線段OA，OC，OD，OE，AC，OF的長，設(shè)直線FK的解析式為y＝kx﹣5，設(shè)直線FK交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥EF于點(diǎn)N，用k的代數(shù)式表示出線段OM．FM，ME的長，利用∠EFK＝∠OCA，得到sin∠EFK＝sin∠OCA，列出關(guān)于k的方程，解方程求得k值，將直線FK的解析式與衍生拋物線l′的函數(shù)解析式聯(lián)立即可得出結(jié)論．(1)解：①∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴當(dāng)t＝﹣2時，將二次函數(shù)l的圖象沿x軸向右平移t個單位得：y＝（x+1）2﹣4．∴此時函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）．再沿x軸翻折，得到新函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）．∵沿x軸翻折，得到新函數(shù)的形狀大小不變，開口方向相反，∴沿x軸翻折，得到新函數(shù)的解析式為y＝﹣（x+1）2+4．∴衍生拋物線l′的函數(shù)解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；②∵M(jìn)（，n），N（m，﹣2）兩點(diǎn)在拋物線y＝x2﹣2x﹣3上，∴n＝2，m．∴M（，2），N（，﹣2）．∴直線MN的解析式為y＝﹣2x．如圖，設(shè)P（m，﹣m2﹣2m+3），∵PQ∥y軸，∴Q（m，﹣2m），G（m，m2﹣2m﹣3）．∴PQ＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（﹣2m）＝﹣m2+3，QG＝（﹣2m）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3，∴PQ＝QG．∴QGPG．∵△PNG與△QNG高相等，∴．∴S△QNG與S△PNG存在的數(shù)量關(guān)系：；(2)解：點(diǎn)K的橫坐標(biāo)為4或．理由：當(dāng)t＝2時，函數(shù)l的衍生拋物線l′的函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5．令x＝0，則y＝﹣5，∴F（0，﹣5）．∴OF＝5．令y＝0，則﹣x2+6x﹣5＝0，解得：x＝1或5．∴D（1，0），E（5，0）．∴OE＝5．∴OF＝OE．∴∠OFE＝∠OEF＝45°．令x＝0，則y＝﹣3，∴C（0，﹣3）．∴OC＝3．令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或3．∴A（﹣1，0）．∴OA＝1．∴AC．設(shè)直線FK交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥EF于點(diǎn)N，如圖，設(shè)直線FK的解析式為y＝kx﹣5，令y＝0，則x，∴M（，0）．∴OM，∴FM．ME＝OE﹣OM＝5．∵M(jìn)N⊥EF，∠OEF＝45°，∴MN＝NE（5）．∵∠EFK＝∠OCA，∴sin∠EFK＝sin∠OCA．∵sin∠MFE，∴．解得：k＝2或．∴直線FK的解析式為y＝2x﹣5或yx﹣5．∴或．∴或．∴點(diǎn)K的橫坐標(biāo)為4或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上