2023年中考數(shù)學(xué)考前第20講：面積的最值問題（附答案解析）

2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第20講：面積的最值問題

【難點(diǎn)突破】著眼思路，方法點(diǎn)撥，疑難突破;

面積最值問題的分析思路：

1.定方向：規(guī)則圖形面積直接利用面積公式；不規(guī)則圖形面積分解為規(guī)則圖形再表示

2.定目標(biāo)：確定待求條件

3.定解法：解決待求條件，題目中有角度或者三角函數(shù)值。(解直角三角形)，題目中只有

長度。(相似)

4.定最值：根據(jù)函數(shù)解析式和范圍求最值。

【例題I】某農(nóng)場擬建一間矩形種牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠墻(墻足夠長)，已知計(jì)劃中的

建筑材料可建圍墻的總長為50根.設(shè)飼養(yǎng)室的長為X(M),占地面積為y(4).

(1)如圖①，問飼養(yǎng)室的長X為多少時(shí)，占地面積y最大？

(2)如圖②，現(xiàn)要求在圖中所示位置留一個(gè)2加寬的門，且仍使飼養(yǎng)室的占地面積最大，小

敏說：“只要飼養(yǎng)室的長比(1)中飼養(yǎng)室的長多2m就行了.”請你通過計(jì)算，判斷小敏的說

法是否正確.

第1頁共22頁

【例題2】如圖，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片48。。，點(diǎn)尸為正方形/O邊上的一點(diǎn)(不

與點(diǎn)4。重合)，將正方形紙片折疊，使點(diǎn)8落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交Z)C于點(diǎn)

H,折痕為EF,連結(jié)8尸，BH.

(1)求證：ΛAPB=ZBPH.

(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊ZC上移動(dòng)時(shí)，的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論.

(3)設(shè)NP為X,四邊形EFGP的面積為S,求出S關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式，試問S是否存在最

小值？若存在，求出這.個(gè)最小值；若不存在，請說明理由.

1.如圖，在四邊形如SCZ)中，ZABC=90o,4B=BC=2/,E,F分別是/O,CD的中點(diǎn),

連結(jié)8E,BF,若四邊形/BCD的面積為6,則ABEF的面積為().

4_5

A.2B.C.一

32

2.如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。到正方形ABW,圖中陰影部分的

D1.√3

4

第2頁共22頁

3.如圖，在aABC中，NC=90。，AB=IOcm,BC=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AC向點(diǎn)，C以ICm/s的

速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿CB向點(diǎn)B以2cm∕s的速度運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止），在

運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形PABQ的面積最小值為（）

4.用鋁合金型材做一個(gè)形狀如圖1的矩形窗框,設(shè)窗框的一邊為xm,窗戶的透光面積為ym2,

y與X的函數(shù)圖象如圖2.當(dāng)窗戶透光面積最大時(shí)，窗框的另?一邊長是（）

5.如圖（單位：m）,等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形移動(dòng)，直到AB

與CD重合.設(shè)X秒時(shí),三角形與正方形重疊部分的面積為ym2.則y與X的關(guān)系式為

當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時(shí)，三角形移動(dòng)時(shí)間是.

1

6.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線ι?r-I與拋物線y=αχ2+bχ-3交于4、B兩點(diǎn)，

J2

點(diǎn)A在X軸上，點(diǎn)8的縱坐標(biāo)為3.點(diǎn)P是直線A8下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B

重合），過點(diǎn)P作X軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C,作PDj_A8于點(diǎn)D.

（1）求。、b及SinNACP的值；

（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長，并求出線段P。長的最大值；

②連結(jié)P8,線段PC把APDB分成兩個(gè)三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個(gè)三角形

第3頁共22頁

的面積比為9：10?若存在，直接.寫出m的值；若不存在，請說明理由.

7.如圖，已知拋物線y=-χ2+mx+3與X軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)

為（3,0）,拋物線與直線y=-x+3交于C、D兩點(diǎn).連接BD、AD.

（1）求m的值.

（2）拋物線上有一點(diǎn)P,滿足SAABP=4SAABD，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

第4頁共22頁

8.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=αχ2+bχ-3(α≠0)與X軸交于4—2,0)、8(4,0)

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段A8上以每秒3個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從

點(diǎn)8出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，

另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)aPBQ存在時(shí)，求運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)^P8Q的面積最大，最大面積是多

少？

(3)當(dāng)aP8Q的面積最大時(shí)，在BC下方的拋物線上存在點(diǎn)K,使5ACBK：SAP8Q=5：2,求

點(diǎn)K的坐標(biāo).

第5頁共22頁

9.如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片」伙7）,點(diǎn)，為正方形4〃邊上的一點(diǎn)（不

與點(diǎn),4、Z）點(diǎn)重合）.將正方形紙片折疊，使點(diǎn)8落在。處，點(diǎn)（‘落在。處，P。交/X.于

H，折痕為EF，連結(jié)8∕*、BH.

（1）求證:N1PA=N8∕7∕?

⑵當(dāng)點(diǎn)〃在邊」/）上移動(dòng)時(shí)，?ltl）H的周長是否發(fā)生變化?并證明你的結(jié)論.

⑶設(shè)IP為工，四邊形∕?.7<,7'的面積為S,試問、,是否存在最小值?若存在，求出這個(gè)最

小值;若不存在，請說.明理由.

（各用圖）

第6頁共22頁

10.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=aχ2+bx-5與X軸交于A(-1,0),B(5,

0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖2,CE〃x軸與拋物線相交于點(diǎn)E,點(diǎn)H是直線CE下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)H

且與y軸平行的直線與BC,CE分別相交于點(diǎn)F,G,試探究當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形

CHEF的面積最大，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)K為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)M(4,m)是該拋物線上的一點(diǎn)，在X軸，y軸上分別找

點(diǎn)P,Q,使四邊形PQKM的周長最小，求出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo).

第7頁共22頁

2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第20講：面積的最值問題答案解

析

【難點(diǎn)突破】著眼思路，方法點(diǎn)撥，疑難突破；

面積最值問題的分析思路：

1.定方向：規(guī)則圖形面積直接利用面積公式；不規(guī)則圖形面積分解為規(guī)則圖形再表示

2.定目標(biāo)：確定待求條件

3.定解法：解決待求條件，題目中有角度或者三角函數(shù)值。(解直角三角形)，題目中只有

長度。(相似)

4.定最值：根據(jù)函數(shù)解析式和范圍求最值。

【例題1】某農(nóng)場擬建一間矩形種牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠墻(墻足夠長)，已知計(jì)劃中的

建筑材料可建圍墻的總長為50憶設(shè)飼養(yǎng)室的長為x(M，占地面積為y(∕).

(1)如圖①，問飼養(yǎng)室的長X為多少時(shí)，占地面積y最大？

(2)如圖②，現(xiàn)要求在圖中所示位置留一個(gè)2加寬的門，且仍使飼養(yǎng)室的占地面積最大，小

敏說：“只要飼養(yǎng)室的長比(1)中飼養(yǎng)室的長多2機(jī)就行了.”請你通過計(jì)算，判斷小敏的說法

是否正確.

解：(1)..？=獷^^=一會》-25)2+等，

當(dāng)x=25時(shí)，y最大，

即當(dāng)飼養(yǎng)室的長為25m時(shí)，占地面積y最大.

50—CY—2)1

(2)?.>=x_γ---=-；(L26)2+338,

.?.當(dāng)x=26時(shí)，y最大，即當(dāng)飼養(yǎng)室的長為26m時(shí)，占地面積y最大.

?.?26-25=l,2,.?.小敏的說法不正確.

【例題2】如圖，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片/I8CZ),點(diǎn)P為正方形邊上的一點(diǎn)(不

與點(diǎn)4。重合)，將正方形紙片折疊，使點(diǎn)8落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于點(diǎn)、

H,折痕為E尸，連結(jié)8P,BH.

(1)求證：ZAPB=ZBPH.

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在邊上移動(dòng)時(shí)，的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論.

第8頁共22頁

(3)設(shè)/尸為x,四邊形EFG尸的面積為S,求出S關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式，試問S是否存在最

小值？若存在，求出這個(gè)最小值：若不存在，請說明理由.

解：(1)由折的疊性質(zhì)，得PE=BE,NEPH=NEBC=90。,"EBP=NEPB,

：.ZEPH-/EPB=AEBC-AEBP,即ZPBC=NBPH.

又?：ADHB3：.ZAPB=ZPBC.

：.NAPB=ZBPH.

Q)/XPHD的周長不變，為定值8.證明如下：

如解圖①，過點(diǎn)8作8Q_LPH,垂足為0.

由(1)知N∕PB=∕8P4,

又,；NA=NBQP=90°,BP=BP,

：.∕XABP^∕?QBP.：.AP=QP,AB=BQ.

又TAB=BC,C.BC=BQ.

又,：NC=NBQH=90。,BH=BH,

XBCH烏/XBQH.：.CH=QH.

二△尸?！ǖ闹荛L=PD+P"+/Y)+PQ+0〃+尸。+HC+/P++8=

8.

(3)如解圖②，過點(diǎn)F作FΛ∕LZ8,垂足為"，則在N=BC=NB.

又「EF為折痕，：.EF±BP.

：.∕EFM+NMEF=ZABP+NBEF=90°,

：.NEFM=ZABP.

又VZA=ZEMF=90°,，XEFM藝APBA.

,EM=AP=x.

222

在Rt△力尸E中，AE+AP=PEf即(4-BE)2+/=3^2,

解得BE=2~?-'~.

8

第9頁共22頁

/.CF=BE-EM=2+---x.

8

又???四邊形PEFG與四邊形BEFC全等,

.?S=^(BE+CF)-BC=IHTX4,

即S=-χ2~2x+S.

2

配方得，S=^(χ-2)2+61

二當(dāng)x=2時(shí)，S有最小值6.

1.如圖，在四邊形48CZ)中，ZABC=90o,/8=5C=2/，E,F分別是/O,CQ的中點(diǎn),

連結(jié)BE,BF,EF若四邊形/88的面積為6,則48EF的面積為().

4.2B.-C.-D.≤1

324

【解析】連結(jié)ZC,過B作EF的垂線交/C于點(diǎn)G,交EF于點(diǎn)H,〈/ABC=%。,4B=

BC=2亞,.?.AC=74B2+AC2=7(2/)4(2/))=4,：A48C為等腰三角形,8∕ΛLZC,

J.∕?ABG,Z?BCG為等腰直角三角形，；./IG=BG=2,

；SAABC=UB?BC=Lχ2?∣iχ2?∣i=4,.?.SΔJOC=2,V^≡-=2,；.GH=LBG=LJ.BH=~,

一22SMCD422

又；EF=LAC=2,.?.SABEF=1E尸8"=Lχ2χ5=5,故選C。

22222

2.如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。到正方形ABeD-圖中陰影部分的

面積為()

第10頁共22頁

【分析】設(shè)BC與CD的交點(diǎn)為E,連接AE,利用"HL"證明RtAAB乍和RtZkADE全等，根據(jù)

全等三角形對應(yīng)角相等NDAE=/BAE,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出/DAB，=60。，然后求出∕DAE=3（Γ,

再解直角三角形求出DE,然后根據(jù)陰影部分的面積=正方形ABCD的面積-四邊形ADEB，的

面積，列式計(jì)算即可得解.

【解答】解：如圖，設(shè)Be與CD的交點(diǎn)為E,連接AE,

在Rt?AB,E和Rt?ADEφ,???，

1AB'=AD

ΛRt?AB,E^Rt?ADE(HL),

二NDAE=NB'AE,

：旋轉(zhuǎn)角為30。，

，NDAB'=60°,

3.如圖，在AABC中，ZC=90°,AB=IOcm,BC=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AC向點(diǎn)C以ICm/s的

速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿CB向點(diǎn)B以2cm∕s的速度運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止），在

運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形PABQ的面積最小值為（）

第11頁共22頁

Pi

AB

A.19cm2B.16cm2C.15cm2D.12cm2

【分析】在RtAABC中，利用勾股定理可得出AC=6cm,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(0≤t≤4),則PC=

(6-t)cm,CQ=2tcm,利用分割圖形求面積法可得出S四邊形PABQ=t2-6t+24,利用配方法即

可求出四邊形PABQ的面積最小值，此題得解.

【解答】解：在RtZSBC中，ZC=90o,AB=IOcm,BC=8cm,

226cm

ΛAC=VAB-BC=-

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(0≤t≤4),則PC=(6-t)cm,CQ=2tcm,

22

.".SInl邊杉PABQ=SAABe-SΔCPQ=~AC?BC--JPC?CQ,=~×6×8-?(θ-t)×2t=t-6t+24=(t^3)+151

.?.當(dāng)t=3時(shí),四邊形PABQ的面積取最小值,最小值為15.

故選C.

4.用鋁合金型材做一個(gè)形狀如圖1的矩形窗框,設(shè)窗框的一邊為×m,窗戶的透光面積為ym2,

y與X的函數(shù)圖象如圖2.當(dāng)窗戶透光面積最大時(shí)，窗框的另一邊長是()

A.1米B.1.5米C.2米D.2.5米

【分析】因?yàn)閄=I時(shí)，面積最大，為1.5,根據(jù)圖形是矩形，由面積公式易得另一邊為1.5

米.

【解答】解：由圖象可知，當(dāng)X=I時(shí)，窗戶透光面積最大.

因?yàn)樽畲笸腹饷娣e是1.5平方米，即矩形的最大面積是1.5平方米，此時(shí)X=I米，

根據(jù)矩形面積計(jì)算公式，另一邊為1.5米.

故選：B.

5.如圖(單位：m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線L向正方形移動(dòng)，直到AB

第12頁共22頁

與CD重合.設(shè)X秒時(shí),三角形與正方形重疊部分的面積為yr∏2.則y與X的關(guān)系式為小

當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時(shí)，三角形移動(dòng)時(shí)間是5秒.

【分析】（1）根據(jù)題意可知，三角形與正方形重合部分是個(gè)等腰直角三角形，且直角邊都

是2x,據(jù)此可得出y、X的函數(shù)關(guān)系式；

（2）將正方形的面積的一半代入（1）的函數(shù)關(guān)系式中，即可求得X的值.（其實(shí)此時(shí)AB

與DC重合，也就是說等腰三角形運(yùn)動(dòng)的距離正好是正方形的邊長IOm,因此x=5）

【解答】解：：三角形與正方形重合部分是個(gè)等腰直角三角形，且直角邊都是2x,

y=2×2;

：當(dāng)y=50時(shí)，2×2=50,

.?.χ2=25,

，x=5（負(fù)值舍去）.

故答案是：y=2×2,5秒.

6.如圖L在平面直角坐標(biāo)系中，直線J:χ.∣與拋物線y=αχ2+bχ-3交于A、8兩點(diǎn)，

點(diǎn)A在X軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3.點(diǎn)P是直線A8下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B

重合），過點(diǎn)P作X軸的垂線交直線A8于點(diǎn)C,作PDJ_AB于點(diǎn)D.

（1）求。、b及sin/ACP的值；

（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長，并求出線段P。長的最大值；

②連結(jié)PB,線段PC把APDB分成兩個(gè)三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個(gè)三角形

的面積比為9：10?若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由.

【解析】（1）設(shè)直線「L與y軸交于點(diǎn)邑那么4—2,0）,8（4,3）,E（0,l）?

第13頁共22頁

在RtZXAEO中，OA=2,OE=I,所以、三.所以sin4E():八.

因?yàn)镻C〃E。，所以NACP=NAE。.因此Sin一X(Ti.

5

將4—2,0)、B(4,3)分別代入y=αx2+bχ-3,得!&'"'"

l∣6u+4Λ-3=3.

解得U,h-

(2)由/“m.I),

得/*C-(―/w+1)T-?Λf.―—桁_3)=__副\"

2222

所以「D=∕Vsmj"'P?^∕?C=^(-1∕√+ιw+4>?-^(ιιι-02+^g?

55255

所以PD的最大值為人"

5

(3)當(dāng)SPCD:Sd￠8=9：10時(shí)，E:

Δ2

當(dāng)Sme。:SΔPCS=10：9時(shí)，由?

7.如圖，已知拋物線y=-χ2+mx+3與X軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)

為(3,0),拋物線與直線y=-χ+3交于C、D兩點(diǎn).連接BD、AD.

(1)求m的值.

(2)拋物線上有一點(diǎn)P,滿足SZ?ABP=4SMBD,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

第14頁共22頁

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題；

(2)利用方程組首先求出點(diǎn)D坐標(biāo).由面積關(guān)系，推出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法

求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可;

【解答】解：(1)：拋物線y=-χ2+mx+3過(3,0),

0=-9+3m+3,

/.m=2

7

X2

,y=-x2÷2x÷3=2

39

y=一尸+3(xl=0邛=-Z

(2)由I得=3

ΛD(,-),

*?*SΔABP=4SΔABD>

AB×∣yp∣=4×AB×,

ΛI(xiàn)ypI=9,yp=±9,

當(dāng)y=9時(shí)，-X2+2X+3=9,無實(shí)數(shù)解，

2

當(dāng)y=-9時(shí)，-x+2x+3=-9,χ1=l+V^,χ2=l-?/??,

.?.P(1+?∕13,-9)WcP(1-?/??,-9).

8.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=αχ2+bχ-3(α≠0)與X軸交于4—2,0)、8(4,0)

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AB上以每秒3個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從

點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，

另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)aPBQ存在時(shí)，求運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)^P8Q的面積最大，最大面積是多

少？

第15頁共22頁

(3)當(dāng)^P8Q的面積最大時(shí)，在8C下方的拋物線上存在點(diǎn)K,使SMBK：SAPBQ=5：2,求

點(diǎn)K的坐標(biāo).

【解析】(1)因?yàn)閽佄锞€與X軸交于4—2,0)、B(4,0)兩點(diǎn)，所以y=a(x+28x—4).

所以一8。=-3.解得“3.

8

所以拋物線的解析式為:?r+2Kt4>-X3.

884

(2)如圖2,過點(diǎn)Q作QH_LX軸，垂足為H.

在RtZ?8Co中，08=4,OC=3,所以8C=5,SinB='.

5

在RtZkBQH中,BQ=t,所以QH=BQSin8=31.

5

II?9.9

所以SM8Q=RPQH∣63/>?/(/Ir--

225IOIO

o

因?yàn)?≤t≤2,所以當(dāng)t=l時(shí)?，Z?P8Q的面積最大，最大面積是。

IO

(3)當(dāng)^P8Q的面積最大時(shí)，t=l,此時(shí)P是AB的中點(diǎn)，P(l,0),BQ=1。

如圖3,因?yàn)閍P8C與4P8Q是同高三角形，S.C:SΔPBQ=BC：BQ=S：1。

當(dāng)SMBK:S"BQ=5：2時(shí)，SMBC:SHBK=2:Io

因?yàn)閊P8C與aCBK是同底三角形，所以對應(yīng)高的比為2：1。

如圖4,過X軸上的點(diǎn)D畫CB的平行線交拋物線于K,那么P8：D8=2：1。

因?yàn)辄c(diǎn)K在8C的下方，所以點(diǎn)。在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為J1.0).

過點(diǎn)K作KE_Lx軸于E.設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為(r,?ι+2K'4|).

8

rrrn(x÷2)(x-4)1

由“，得X-.整理，得χ2-4χ+3=0.

DEBO4

——x

7

解得x=l,或x=3.所以點(diǎn)K的坐標(biāo)為(L或Z

第16頁共22頁

第(3)題也可以這樣思考:

由SACBK:5ΔP6Q=5:2,SΔP6Q=∣<j,得S.BK=J?

如圖5,過點(diǎn)K作X軸的垂線交BC于F.設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為'v1).

84

由于點(diǎn)F在直線BC：i?r3上.所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為(r.'τ1).

44

所以KF=Jr-3)X3)=?.3I.

48482

?CBK被KF分割為ACKF和ABKF,他們的高的和為0B=4.

I1.19

所以SACBK=彳X4(-<"-?VI解得x=l,或x=3.

8,4

9.如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片」"(7),點(diǎn)，為正方形,4〃邊上的一點(diǎn)(不

與點(diǎn)4、。點(diǎn)重合).將正方形紙片折疊，使點(diǎn)8落在P處，點(diǎn)('落在。處，PG交/X于

H，折痕為￡尸，連結(jié)8P、BH.

(1)求證:∕XP8=NB∕7∕.

(2)當(dāng)點(diǎn)“在邊」/)上移動(dòng)時(shí)，\/，/)〃的周長是否發(fā)生變化?并證明你的結(jié)論.

⑶設(shè)IP為X,四邊形/W'的面積為、,，試問、,是否存在最小值?若存在，求出這個(gè)最

小值;若不存在，請說明理由.

第17頁共22頁

P

DD

(各用圖)

解析：⑴注意到//)./(,那么,IPB.

因?yàn)樗倪呅巍??(8沿拆痕Fl-折疊后與四邊形重合,

：.乙PBC=乙BrH，

：?LAPB=AiPH.

(2)如圖8,過點(diǎn)"作Bpl/>〃于點(diǎn)p?

VΔAPB=ZBPH,

二點(diǎn)“在〃的平分線上,

?,?BQ=BA=BC>

???RiMBP=RdQBP，RlMeH=RlMQH，

：.QP=AP,QH=(H,

???/>〃="+('〃

：.ATOIff的周長=Z)∕>+(4P+('")+D"=zlD+(7)=8?

所以點(diǎn)，在邊上移動(dòng)時(shí)，?PDH的周長不會發(fā)生變化.

⑶假設(shè)四邊形//(,7'的面積S存在最小值.由于四邊形//(力沿折痕El折疊后與四邊形

BE+CF

EHiP重合，則S=—gg(.

???乙1:90。，

：.AP…-門.

VAP=X-PE=BE=—

.?.V+"=(4-∕1/I,

第18頁共22頁

4E?比三

8

3T%T

過點(diǎn)/,.作/V垂足為A/,

則=BC=4B,CF=AW.

VEF為折痕，點(diǎn)〃與點(diǎn)，是一對對應(yīng)點(diǎn),

:?EFIBP>

：.ZJ,BA=fXf-ΛEFM..

ZFM=WjFEM,

"PBA=4E卜V.

,?,ZX≡Wσ≡ZΔA//--

AZAB*AEMF

ME-AΓ=X，

y

CF=BE-ME=**X

8

Gβf+C∕R,

S=~gβ(

=^x2-2x+8

因?yàn)楫?dāng)X-2時(shí)，、?的最小值為6,

所以四邊形EFGP的面積、,存在最小值為6.

第19頁共22頁

10.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=aχ2+bx-5與X軸交于A(-1,0),B(5,

0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖2,CE〃x軸與拋物線相交于點(diǎn)E,點(diǎn)H是直線CE下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)H

且與y軸平行的直線與BC,CE分別相交于點(diǎn)F,G,試探究當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形

CHEF的面積最大，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)K為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)M(4,m)是該拋物線上的一點(diǎn)，在X軸，y軸上分別找

點(diǎn)P,Q,使四邊形PQKM的周長最小，求出點(diǎn)P,Q的坐標(biāo).

【答案】(1)解：把A(-l,0),B(5,0)代入y=aχ2+bx-5得

；CJ=嗯一,%」,$：I(1=1

%=；革用?T涵-%解得力=-4

二二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-4×-5

(2)解：如圖2,

3B2

第20頁共22頁

設(shè)H(t,t2-4t-5),

2

：CE∣∣x軸，.?.-5=X-4×-5,解得，×ι=0,x2=4,

ΛE(4,-5),.?.CE=4,

VB(5,0),C(0,-5),

,'?!?????'?=.1

-i=??.?.‰=i-S,

直線BC的解析式為y2=x-5,.?.F(t,t-5),

；CE∣∣x軸，HFIly軸，ΛCElHF,

■1?常,

JC8

.?.四邊形CHEF的面