2022-2023學(xué)年遼寧省部分學(xué)校九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含詳細(xì)答案解析）

2022-2023學(xué)年遼寧省部分學(xué)校九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共6小題，每小題4分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.拋物線y=—/—2x一定不經(jīng)過(guò)（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知京，各均為單位向量，那么下列說(shuō)法正確的是（）

A.+e2=2erB.西〃/C.e±=e2D.|^|—|e2|=0

3.在AaBC中，點(diǎn)。，E分別在邊AB,AC上，那么在下列條件中，一定能夠判定DE〃BC的選項(xiàng)是（）

.AD_AC?DE_AD?DE_AD口AD_BD

A'AE=AB°'BC=ACC'^C~AB^~~AE~'CE

4.小英在用“描點(diǎn)法”探究二次函數(shù)性質(zhì)時(shí)，畫出了以下表格，不幸的是，部分?jǐn)?shù)據(jù)已經(jīng)遺忘（如表所示

），小英只記得遺忘的三個(gè)數(shù)中（如加，R,A所示），有兩個(gè)數(shù)相同.根據(jù)以上信息，小英探究的二次函數(shù)解

A.y=x2—3%—2B.y=7X2+7^—?

Jz442

C.V=2%2—5%—1D.y=i%2一?%—3

/J22

5.在AABC中，AB=10,tanB=如果△ABC的形狀和大小都被確定，那么線段AC的長(zhǎng)度不可能為

4

（）

A.6B.8C.10D.12

6.一個(gè)籃球從一定高度自由下落到水平地面上，彈起后會(huì)到達(dá)一個(gè)低于初始高度的最高點(diǎn)位置，又落回地

面，接著繼續(xù)彈起，整個(gè)過(guò)程中籃球的軌跡都在同一直線上，且籃球每次彈起達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，其具有的重

力勢(shì)能都大于該籃球前一次彈起達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)的一半.小英將該籃球從距離水平地面10米處的點(diǎn)A處扔

下，使之自由下落，落到水平地面上的點(diǎn)8處后彈起，第一次彈起后到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，籃球位于點(diǎn)C處，第

二次位于點(diǎn)。處，且C,。分別為AB,BC的黃金分割點(diǎn)，以此類推.同時(shí)，小英發(fā)現(xiàn)對(duì)于實(shí)數(shù)m",若

0<a<1,當(dāng)〃越大，a”越接近0,則整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，籃球的總路程最接近（）

A.15+575B.15+10<5C.20+10<5D.30+10<5

二、填空題：本題共12小題，每小題4分，共48分。

7-給定關(guān)于X的一元二次方程/+2X-3=。，則宙=一.

8.一次函數(shù)y=kx+k過(guò)定點(diǎn)(zn,n),則點(diǎn)(m,m+幾)到原點(diǎn)距離為

9.已知點(diǎn)4(2,2),5(5,6),C(4,8),那么S—BC=

10.函數(shù)為=3x2+kx+3k與函數(shù)%=2kx+2k交于一點(diǎn)，則k=

11.如圖所示，給定△ABC,將AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)8與線段8C中點(diǎn)。重

合，若4D=CD,那么AC：CD=.

12.函數(shù)y-x2-4x+c和無(wú)軸的兩個(gè)交點(diǎn)與頂點(diǎn)組成直角三角形，貝!|c=.

13.在菱形ABC。中，￡為線段CD中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)8E,當(dāng)線段BE的中垂線與線段AO相交時(shí)，假設(shè)mW

sinD<n,當(dāng)機(jī)取最小值，〃取最大值時(shí)，：=.

14.已知四邊形ABC。為矩形，AB=3,BC=4.對(duì)于線段AO上的點(diǎn)E,做出這樣三個(gè)規(guī)定：

(1)點(diǎn)E為線段上向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，將這個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為每秒記錄一次；

(2)點(diǎn)E每一秒運(yùn)動(dòng)的路程恰好為上一次記錄當(dāng)中點(diǎn)A到線段BE的距離；

(3)當(dāng)每一次記錄的線段AE長(zhǎng)之和恰好與矩形A8CZ)的面積一半相同時(shí)，點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng).

若線段AE的值總共記錄了10次，那么線段AE的初始值為.

15.《周髀算經(jīng)》是我國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作，其中記載的“趙爽弦圖”巧妙地證明

了勾股定理，彰顯了我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的智慧.如圖所示，“趙爽弦圖”由四個(gè)全等的

矩形與兩個(gè)正方形拼接而成，已知大正方形的面積是小正方形面積的25倍，設(shè)

AB=a，AD=b，那么4尸=.(用市b表示)

16.如圖所示，在△ABC中，4B=90°,AB=BC,點(diǎn)。在邊8c上，且BD=

2CD,聯(lián)結(jié)AD,如果點(diǎn)E在線段上，使得線段8C是線段AD,AE的比例

中項(xiàng)，聯(lián)結(jié)CE,那么tan/BCE的值為.

AC

17.定義：經(jīng)過(guò)三角形重心且平分這個(gè)三角形周長(zhǎng)的直線叫“重分線”.如果一個(gè)等腰三角形的“重分線”

能經(jīng)過(guò)其兩腰，那么這個(gè)等腰三角形底角余弦值k的取值范圍是.

18.在△力BC中(線段AB,AC,BC為定長(zhǎng))，尸為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，作48,ZC,乙4PB的平分線a,b,

c,直線a,c交于點(diǎn)人，點(diǎn)/2為直線6上一點(diǎn)，且//止/2=90°,當(dāng)點(diǎn)尸移動(dòng)到線段8c中點(diǎn)時(shí)，BP=3,

AC=5,tan^BAP=ShABC=9,則當(dāng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C向點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，5的通取最小值時(shí)，

CP=.

三、解答題：本題共7小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

19.（本小題10分）

計(jì)算下列的三角函數(shù)值（寫出計(jì)算過(guò)程，保留計(jì)算結(jié)果）：si:60。+尊°22”一

cos30-sinz30|tan60-cot60|

、sin215°—2cosl5°sinl5°+sin2750

N-------——市-------------sin600.

sin15—cosl5

20.（本小題10分）

求二次函數(shù)y=x2+ax+3頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的函數(shù)解析式.

21.（本小題10分）

“愚公移山”是我國(guó)著名寓言故事，它告訴了我們堅(jiān)持不懈的道理.某日，小張穿越至愚公的年代，碰到了

移山的眾人.

圖2

（1）在運(yùn)輸山石等雜物時(shí)，有兩條路可行，已知A,8間的直線距離為50里（如圖1所示）.

線路1：折線已知點(diǎn)C在點(diǎn)A東北方向，點(diǎn)2在點(diǎn)。東偏南53。方向，CD//AB,且C,。間的距

離為30里;

線路2：以42為直徑的半圓.如果僅從遠(yuǎn)近考慮，小張應(yīng)該告知愚公選取哪一條線路使得路程更短？請(qǐng)你

通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.

（2）愚公為了能夠更精確地了解所移之山MN的高度，請(qǐng)求小張幫其測(cè)量.如圖2所示，已知在山的后

方有一座高140米的小山尸°,小張站在線段QN上的點(diǎn)E處，EQ=480米，此時(shí)小張測(cè)得點(diǎn)/的仰角為

60。，隨后小張到達(dá)小山山頂點(diǎn)尸處測(cè)得點(diǎn)/的仰角為21。，請(qǐng)你幫小張求出山高的值.（結(jié)果保留3位

有效數(shù)字，以下為參考三角比與數(shù)值）sin37。鹿；sinl6。=晟sin39。=0.63；V2-1.41；/3~1.73

22.（本小題10分）

在菱形A3C。中，E,尸為線段3C上的點(diǎn)，且CD=2BE=4BF,連接AE,。尸交于點(diǎn)G.

(1)如圖(1)所示，^BAE=^ADF,求cosB的值；

(2)連接CG,在圖(2)上求作品在瓦?與前方向上的分向量.

23.(本小題12分)

如圖，在RtzkABC中，^ABC=90°,點(diǎn)。，E分別在邊BC,AC上，聯(lián)結(jié)A。，BE交于點(diǎn)G,且AD=

CD.

(1)如果BE=4B,求證：BE-AG=BC?EG；

(2)如果射線CG交AB于點(diǎn)P,S.AD-AE=BD-CE,求證：點(diǎn)P是AB中點(diǎn).

函數(shù)一直都是初中數(shù)學(xué)所研究的關(guān)鍵，其種類繁多數(shù)不勝數(shù)，我們所熟知的函數(shù)就有“一次函數(shù)”、“二

次函數(shù)”和“反比例函數(shù)”.

現(xiàn)在給出分段函數(shù)的定義：對(duì)于自變量x的不同的取值范圍有不同的解析式的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的整體我們

稱為/'(%).

例如：/(x)=1這個(gè)函數(shù)在。<久<1是y=/,在工>1時(shí)是2x,這兩個(gè)不同區(qū)域的函數(shù)組合

形成了函數(shù)

接下來(lái)為絕對(duì)值方程：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若給出方程|x|+|y|=1,那么其圖象可以看作是兩個(gè)

八r%(-X+1,0<x<1f%-1,0<%<1

rx2—2x—k,—2<x<3

一10

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知分段函數(shù)/(%)=《一"，％工一2Q與x軸交于點(diǎn)A,8(點(diǎn)A在點(diǎn)8

—(k+1),x>3

左側(cè))，與>軸交于點(diǎn)c,直線y=警乂—(k+1)與函數(shù)/(%)交于點(diǎn)。，-表

(1)求分段函數(shù)/(%)的最小值；

(2)設(shè)f(x)最小值所在點(diǎn)為。，點(diǎn)E在/(?上，且SUBE=S四邊形ABDC-1,直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)i.在第(2)間的條件下，求證：AACOSRDBC；

ii.在方程|2x|+|y|+比=3上取一點(diǎn)P,點(diǎn)M,N分別在/(久)與直線BC上，若△PMN為等腰直角三角形，

且點(diǎn)尸關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在直線8C上，試問(wèn)：是否存在這樣的APMN,若存在求其周長(zhǎng)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

25.(本小題14分)

在梯形A8CZ)中，AD//BC,48=30,DC=25,BC=AB+CD,8。平分Z71BC,NABD的余切值為2,

E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn).若NB4E+4乙4DB=180°,求線段AE的長(zhǎng)度.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：???a=-1,拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為％=-1,與y軸交于(0,0),

??.拋物線經(jīng)過(guò)二、三、四象限，不經(jīng)過(guò)第一象限.

故選：A.

由函數(shù)解析式可知，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為力=-1,與y軸交于(0,0),判斷不經(jīng)過(guò)的象限.

本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握拋物線的開(kāi)口方向，與y軸的交點(diǎn)，對(duì)稱軸判斷拋物線經(jīng)過(guò)的象限

是解題的關(guān)鍵.

2.【答案】D

【解析】解：根據(jù)單位向量的定義可知：江和石都是單位向量，但是這兩個(gè)向量并沒(méi)有明確方向，

A,B,錯(cuò)誤，。正確，

故選：D.

根據(jù)單位向量的定義逐一判斷即可.

本題考查了平面向量中的單位向量知識(shí)，熟練掌握單位向量的定義是解題的關(guān)鍵.

3.【答案】D

【解析】解：4由籌=言，不能判斷DE〃BC；

民由您=窘，不能判斷。E〃BC；

C?由*=令，不能判斷DE〃BC；

八ADBD

D.,：—

AE~CE9

AD_4D+BD

AE~AE+EC

???△AEDs△ABC,

???Z.ADE=Z-ABC,

??.DE//BC.

故選：D.

A

B乙---------------------

先畫出圖形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定逐項(xiàng)分析判斷即可求解.

本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

4.【答案】B

【解析】解：A、y=/一3%-2的對(duì)稱軸為直線％=

B、y=+六％一羨的對(duì)稱軸為直線式=一，

C、y=2x2—5x—1的對(duì)稱軸為直線％="

D、y=|x2--3的對(duì)稱軸為直線x=|,

若M與R相同，則拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-(只有8選項(xiàng)符合，

將點(diǎn)(1,-4),(2,-3)代入解析式，均符合；

若M與A相同，則拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,沒(méi)有選項(xiàng)符合；

若R與A相同，則拋物線的對(duì)稱軸為直線x=|,選項(xiàng)A、。符合，

但將點(diǎn)(1,-4),(2,-3)代入解析式，卻不符合；

M與R相同，8選項(xiàng)符合，

故選：B.

分別求出各選項(xiàng)拋物線的對(duì)稱軸，根據(jù)每?jī)蓚€(gè)數(shù)相同，分別判斷即可得到答案.

此題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱性，正確理解二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

5.【答案】B

【解析】解：如圖，當(dāng)NC=90。時(shí)，

.,.設(shè)AC=3x,BC=4x,

AC2+BC2=AB2,

■-9x2+16x2=100,

x=2或x=—2舍去，

AC-6,BC-8,

".'AABC的形狀和大小都被確定，

AC=6或AC>10,

???線段AC的長(zhǎng)度不可能為8.

故選：B.

當(dāng)NC=90。時(shí)，根據(jù)tanB=黑=',可設(shè)力C=3x,BC=4x,根據(jù)勾股定理得x=2,所以AC=6,根據(jù)

△48C的形狀和大小都被確定，可得4C=6或2C210,即可解決問(wèn)題.

本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是理解題意，判斷出三角形唯一確定的AC的范圍，屬于中考?？碱}

型.

6.【答案】A

【解析】解：籃球的總路程為：10+10X受+10X（要）2+10X（受）3+……+10X（受）n<

1015+5V-5，

故選：A.

先求出每次彈跳的路程，再求和.

本題考查了黃金分割的應(yīng)用，掌握等比數(shù)列的求和公式是解題的關(guān)鍵.

7.【答案】嶗

【解析】解：%2+2%-3=0,

???/+2%=3,

%2+2x+1=3+1,

+I）2=4,

.2022_2022_1011

J（%+1）2=丁=丁，

故答案為：等.

根據(jù)完全平方公式可得（久+1）2=4,然后代入式子中進(jìn)行計(jì)算即可解答.

本題考查了一元二次方程的解，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

8.【答案】72

【解析】解：,?,y=kx+k=k(x+l),

.?.一次函數(shù)y=kx+k過(guò)定點(diǎn)(-1,0),

m=—1,n=0,

(jn,m+71)即點(diǎn)(—1,—1)到原點(diǎn)距離為VI?+12=y/~2,

故答案為：V-2-

根據(jù)一次函數(shù)y=kx+k過(guò)定點(diǎn)(-1,0),求得m=-1,n=0,再根據(jù)勾股定理即可求解.

本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

9.【答案】5

111

X3X4X1X2X

【解析】解：S&ABC2--2--2-

2x6=5.

故答案為：5.

把三角形的面積看成矩形的面積減去周圍的三個(gè)三角形的

面積即可.

本題考查三角形的面積，坐標(biāo)與圖形的關(guān)系等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合.

10.【答案】12

【解析】解：,函數(shù)為=3x2+kx+3k與函數(shù)%=2kx+

2/c交于一點(diǎn),

3K2+kx+3k=2kx+2k有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

即3/—kx+k=0,

：.A=b2-4ac=k2-12k=0,

解得：七=0(舍去)，k2=12,

故答案為：12.

依題意得出3/—"+k=。有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，計(jì)算/=0,解方程即可求解.

本題考查了二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，掌握一元二次方程根的判別式，將函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化

為方程的解的情況是解題的關(guān)鍵.

11.【答案】V3

【解析】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得=力。，

Z-B=Z.ADB,

???AD=CD,

AB=AD=CD,

??,點(diǎn)2與線段8C中點(diǎn)。重合，

AB=AD=CD=BD,

Z_B=Z-ADB——60°,Z.CAD=zC,

1

.-./.CAD=ZC=^ADB=30°,

.-.ABAC=180°-60°-30°=90°,

BC=2AB=2CD,

在RtAABC中，

AB2+AC2=BC2,

CD2+AC2=(2CD)2,

AC2=3CD2,

AC=y/~3CD，

■■AC：CD=<3.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合已知條件證得△ABD是等邊三角形，△2CD是等腰三角形，繼而得到==

60。，ZC=30%得到A/IBC是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得到答案.

本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形和等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合已知

條件證得ZB=AD=CD=BD是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

12.【答案】3

【解析】解：?函數(shù)y=/-4x+c和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

???方程——4%+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根，

.../=(-4)2-4c=16-4c>0,

即c<4,

由求根公式得：久=坦第生=2±門=7，

?,?方程%2—4x+c=。的根為第1=2—V4—c,&=2+V4—c,

...函數(shù)丫=%2一4%+c和1軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(2-7,0),(2+"^7,0),

yy=x2—4x+c=(x—2)2+c—4,

???頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,c-4),

?.?函數(shù)y=X2-4X+c和％軸的兩個(gè)交點(diǎn)與頂點(diǎn)組成的直角三角形為等腰直角三角形，

???V4—c=4—c,

解得c=4（舍去）或c=3,

故答案為：3.

先求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)與頂點(diǎn)組成的直角三角形是

等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可.

本題考查拋物線與x軸交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是判定拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)與頂點(diǎn)組成的直角三

角形是等腰直角三角形.

13.【答案】十

【解析】解：設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為。，

???E為線段中點(diǎn)，

???DE=1a,

當(dāng)BE的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí)，sin。取得最小值，如圖，連接AC、BD交于點(diǎn)、O,過(guò)點(diǎn)。作DF148于

點(diǎn)F,

則BD=DE=沙,

???四邊形A8C。是菱形,

11

/.ACLBD,OB=OD=：BD=：a,OA=OC,

24

在RtZkAB。中，AO=y/AB2-OB2=J口2_(3)2=苧。,

???DF?AB=BD,A0,

CL1

?**DFxa=7ax---a，

L4

?*?DF——--a，

o

/15r―

..sin血。=%

a8

???^ADC=180°

???sin^ADC=sin(180°-Z5A0)=sin^BAD=邙

o

??"苧

當(dāng)4。=90。時(shí)，sin。取得最大值1,即n=l；

m

,n~8'

設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為。，當(dāng)5E的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí)，sin。取得最小值，如圖，連接AC、5。交于點(diǎn)O,

過(guò)點(diǎn)。作DF14B于點(diǎn)凡利用勾股定理和三角函數(shù)定義即可求得sin/BAD="=受=成，得出

ADa8

sinNADC=sin（180。一NB4D）=sinNBAD=孚，即m=孚；當(dāng)4。=90。時(shí)，sin。取得最大值1,即

OO

71=1;即可求得答案.

本題考查了三角函數(shù)定義，菱形性質(zhì)，三角形面積，勾股定理，利用面積法求出。產(chǎn)的值是解題關(guān)鍵.

14.【答案】0.03

設(shè)第n次記錄的AE的長(zhǎng)為廝,

ABxAE^_3al

+a2H---l-a10=gx3x4=6,"i-

BE132+af

設(shè)A到BE的距離分別喝,

=%.+d],3=22=%.+di+C？2，a=9di+2H-----

貝。。+壯10。+嘉=%.+弓\-d9,

10。1+9dl+8d2+，,，+d9=6,

E點(diǎn)友動(dòng)的總路程為由+di++…+dg=@10,

如圖，AFLEF,

設(shè)第10次記錄時(shí)，AE=a10,則ZF=四，

..9dl+d】_dg

10(Z|9

即dg=10di，

同理可得dg=9d1，d7=8di，.....,d2=2d0

?，?104+9dl+8d2+…+四

=10。1+9dl+8x3dl+，,，+2x9dl+lOd1

=10。1+9dl+24dl+…+18di+lOd1

=10^+(9+24+28+30+30+28+24+18+10)^

=10%+201心=6,

...M=3al

Jai+32,

lOa^+201xji==6

解得：a~0.0284372359108~0.03,

故答案為：0.03.

1,_ABxAE^_3al

設(shè)第〃次記錄的AE的長(zhǎng)為a九，則-+a=-x3x4=6,電―BE1一ry~^，然后求得

10ZJ3十

dg—10d],c/g—9d1,dy—8d1，，d2=2dr代入進(jìn)行計(jì)算即可求解.

本題考查了相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，理解題意解題的關(guān)鍵.

15.【答案】|a：-|K

B

【解析】解:連接AD、AF,

???四邊形A3CD、四邊形EPG8都是正方形,

：.HF、8。共線，

=方，^AD=3，

.?.DB=AB-AD=五一b，

???大正方形的面積是小正方形面積的25倍，

1

FH=-BD,

由圖可得=DF,

142

???DF=±X^DB=^BD,

???~AF=AD+DF=b+|(a—b)=|五一|b,

故答案為：|a-|K

連接A。、AF貝UH/、8。共線，先求出麗=方—方，由已知可知FH="BD,由圖可得BH=DF,再求

DF=^BD,則存=而+而=|五一萩

本題考查平面向量，熟練掌握平面向量的定義，正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.【答案】:

【解析】解：過(guò)E作EF1BC于R如圖：

設(shè)CD=比，貝IjBD=2x,BC=3x=AB,

AD=y]AB2+BD2=(3x)2+(2x)2=713x,

???線段2C是線段A。，AE的比例中項(xiàng)，

???線段AB是線段相＞,AE的比例中項(xiàng)，謖=唬=獸＞=四型

AD/13x13

ABAE/V「97134713

礪=漉'DE=AD-AE=/13x--^x=.久，

???4BAD=乙EAB,

ABDs^AEB,

???乙ABD=乙AEB=90°,

???乙DEB=90°,

???EFIBC,

,DFDE

.?,cozsZz?￡ncDF=-=-

DP2（用）28

X

''DF』2x=13

EF=7DE?-DF2=J(察x)2—2=l|x,CF=CD+DF=X+^X^X,

12

EFTo^4

???tanz^CE=-=^-=-

CF±±7

13xr

故答案為：三

過(guò)E作EF1BC于F,設(shè)CD=久，貝UBD=2x,BC=3x=AB,由線段8c是線段AD,AE的比例中項(xiàng),

可得==比，DE=AD-AE=證明△ABDSAAEB,可得NABD=NAEB=90。=

乙DEB,從而cos/EDF=鰲=黑，可得。尸=匹！=色％,即可求得EF=7DE?_DF2=栗,CF=

?i,,pp4

CD+DF=-x,故taMBCE=^V.

本題考查直角三角形的綜合應(yīng)用，涉及相似三角形判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理及應(yīng)用等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是用含x的代數(shù)式表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度.

11

<f<

17.【答案】3--c-2-

【解析】解：如圖1,當(dāng)“重分線”經(jīng)過(guò)等腰三角形底角的頂點(diǎn)時(shí),

A

此時(shí)，△ABC是等邊二角形,

i

???k=cos60°=-；

如圖2,當(dāng)“重分線”平行于等腰三角形的底邊時(shí),

BD=DC=b,

2

由題意得，AE=AF=^a.

vEF平分△48C的周長(zhǎng),

AE+AF=a+b,即ga=a+b,

-1a=b,,

BDb1

■■■k=cosB--ATTBT=—a=K3

11

<f<

綜上所述,3--c-2-

故答案為：太人品.

根據(jù)題意，分別得出“重分線”的兩種特殊情況，進(jìn)而求解即可.

本題考查了三角形重心的性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1,等腰三角形的性

質(zhì)，余弦函數(shù)的定義，求得“重分線”的特殊位置對(duì)應(yīng)的余弦值是解題的關(guān)鍵.

18.【答案】4

【解析】解：如圖：過(guò)點(diǎn)A作力于點(diǎn)”，

???點(diǎn)P移動(dòng)到線段BC中點(diǎn)時(shí)，BP=3,

BC=2BP=6,

???S^ABC=9,

...4“=Z^￡=3,

DC

VAC=5,

??.CH=AC2-AH2=4,

??,直線〃，c交于點(diǎn)A，

???人是△ARP的內(nèi)心，

1

.?.^PA="PB,

???4尸/2=90°,即乙4P，2=90°一乙4P/1=^(180°-/.APB｝乙4PC,

??.P%是的平分線，

k為叢ZPC的內(nèi)心，

如圖所示，過(guò)點(diǎn)//2分別作8C的垂線，垂足分別為區(qū)F,設(shè)/2/=廠2,AP與〃2交于點(diǎn)/，

SA4"2=；八（勺+「2），〃為三角形的鉛垂高，水平寬乘以鉛錘高的一半），

當(dāng)A/與q+o最小時(shí),SAA/透取得最小值，

乙=90°,

觀察圖形，當(dāng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C向點(diǎn)2的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)/BP。=NOP/?=45。時(shí)，勺+上最小，

止匕時(shí)4/1BC,即AP1BC,

如圖所示，

PC=HC=4,

故答案為：4.

過(guò)點(diǎn)A作AH1BC于點(diǎn)X,根據(jù)當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到線段BC中點(diǎn)時(shí)，BP=3,AC=5,SAABC=9,得出BC,

AH的長(zhǎng)，根據(jù)題意，作出圖形，得出透取得最小值，點(diǎn)P與點(diǎn)H重合，即可求解.

本題考查了解直角三角形，三角形內(nèi)心的相關(guān)問(wèn)題，根據(jù)題意作出圖形是解題的關(guān)鍵.

19.［答案］解：sin60°tan2°2245°_Jsin215°-2c°sl5°sinl5°+sin27sz_

cos30°-sin230°|tan60°-cot60°|sinl5°-cosl5°°'

苧l2022J（sinl5°-cosl5°）273

+

y/~3A.21I-TJ1sinl5°-cosl5°2

2x（2）|V3-^-|

7373

4H——I-1—2-

=4+1

=5.

【解析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系先化簡(jiǎn)代數(shù)式，再代入特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可.

本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系以及特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一

是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特

殊值規(guī)律去記.

2

20.【答案】解：y=%2+ax+3=(%+^)2+3—?

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(―,3—當(dāng)，

???3-9-(-獷+3，

.,.二次函數(shù)y=x2+ax+3頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的函數(shù)解析式為y=-x2+3.

【解析】根據(jù)題意，將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，進(jìn)而即可求解.

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，把函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵.

21.【答案】(1)解：如圖，過(guò)點(diǎn)C,。分別作的垂線，垂足分別為G,F,

???CD//AB,CG1AB,DFVAB,

：.CG=DF,

依題意，2LCAG=45°,/.DBF=53°,則NBDF=37。，AG=CG=DF,

3

???sin37°x

4

???sin53°=cos37°=

在RtAACG中，AC=42CG=V2AG,

..,DFDF53353

在RtDBDn=-^^—=-DF,BF^DBXsin37"?(DS=|X^DF=7DF,

???CD=30里，AB=50里，

37

???AB-CD=AG^BF=AG+yAG=^-AG=20,

44

解得：AG=y,

AC=y/~2AG=8°^^x16，DB=JX當(dāng)右14，

74/

AC+CD+DB=16+30+14=60里,

???AB=50里，

路線2,半圓的路程為兀Xy=257T?78.54里，

所以線路1：折線ACD2的路程更短；

(2)如圖，設(shè)PH1MN于點(diǎn)連接PE,過(guò)點(diǎn)￡作ET1MP于點(diǎn)T,

M

則PQNH是矩形，

NH=PQ=140,PH=QN,HP//NQ,

依題意，AMEN=60°,4MPH=21。,

則A/VMP=90°-21°=69°,

在RtAPQE中，PQ=140,EQ=480,

EP=JPQ2+收2=7JO?+4802=500m,

7

???sinZ.PEQ=—,

7

sinl6°x—,

???乙PEQ=16°,

???HP//NQ,

???乙HPE=乙PEQ=16°,

???乙EPT=乙EPH+乙HPT=16°+21°=37°,

在Rt△PTE中，TE=PExsin37°=500x|=300m,

在Rt△NME中，乙MEN=60°,

???乙NME=30°,

???乙EMT=乙NMP-乙NME=69°-30°=39°,

在Rt△MET中，ME=———=?476,

1sinzFMTsin390.63

在RtAMNE中，MN=MExcos30°=476x容?412（米），

山高M(jìn)N為412米.

【解析】（1）過(guò)點(diǎn)C,。分別作AB的垂線，垂足分別為G,F,分別解RtAACG,Rt^DBF,計(jì)算4C+

CD+DB,以及半圓，即可求解；

（2）設(shè)PH1MN于點(diǎn)H,連接PE,過(guò)點(diǎn)E作ETLMP于點(diǎn)T,根據(jù)已知條件得出NPEQ=16。，解Rt△

PTE,RtAMET,RtAMNE,即可求解.

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

22.【答案】（1）解：?.?四邊形42。是菱形，

CD=BC=AB,AD〃BC,

???CD=2BE=4BF,

設(shè)BF=a,貝UBE=2a,BC=AD=AB=4a,EF=a,

???AD“BC,

ADGs工EFG,

.EG__FG__EF__1

''AG~GD~AD~4f

tEG_1

???~EA=S9

???AD“BC,

Z.ADF=Z.GFE,

???乙BAE=Z.ADF,

???Z-BAE=Z.GFE,

又???乙GEF=乙BEA,

EFGSEAB,

，備篇,KB=4EGF="GD'

即羲吟喑

???5EG2=2a2,GF=2EG,

東漢珥zr廠do2To

用半,：EG=—^―a，F(xiàn)r?Gr=2ETG?r——--a，

“，廠廠4/10”廠「8VT0

???AG=4EG=---a，GD=4FG=---a.

如圖，過(guò)點(diǎn)A作AHIEO于點(diǎn)〃,

設(shè)GH=%,則HD=GD-GH=-x,

在RtAAHG,RtANHD中，AG2-GH2-AD2-HD2=AH2,

，4710、27/d、2x8V10、7

???(―^—a)2-%2=(4a)2-

/To

解得:X=~~~CL.

/I0

GH^-a5

cosB=cos乙AGH=.=—.-=刀.

AG47108

—5—0

(2)解：如圖所示,

取A。的中點(diǎn)。，連接C。，過(guò)點(diǎn)。作PD〃CG交C。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連接GP,則礙，正，即為所求,

理由如下，如圖，設(shè)G。交PC于點(diǎn)T,

???Q是A。的中點(diǎn)，E是8C的中點(diǎn),

AQ=EC,

又ADIIBC,

??.AECQ是平行四邊形,

PC//AE,

.”=也

*'GTAQ'

??.GT=DT,

vPD//CG,

???乙PDT=乙CGT,

在△PTD與△CTG中，

2PTD=Z.CTG

GT=DT,

/PDT=乙CGT

,MPTD山CTG(ASA),

??.PD=CG,

???四邊形PDCG是平行四邊形，

??.PD=CG,

??.GP//AB.

???次在瓦?與前方向上的分向量是而，刀.

【解析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出CD==AB,AD//BC,根據(jù)已知條件設(shè)=則BE=2a,BC=

AD=AB=Aa,EF=a,證明△ZDGs^EFG,AEFG^EAB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出EG=?。，

FG=2EG=^-a，過(guò)點(diǎn)A作/"1ED于點(diǎn)H,進(jìn)而根據(jù)余弦的定義即可求解；

(2)取A。的中點(diǎn)Q,連接C。，過(guò)點(diǎn)。作尸?！–G交CQ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連接GP,則方，正，即為所

求.

本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，平面向量，求余弦，掌握

以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

23.【答案】證明：(1)如圖1,vAD=CD,J4

??.Z,EAG=乙ACB,攵/

.?.BE=AB,

???Z-AEG=Z-CAB,C^~~--------------------乙------r

D

CAB,圖1

AG__EG_

~BC~~AB

AG_EG_

~BC~~BE

??.BE,AG=BC,EG.

(2)如圖2,聯(lián)結(jié)OE,交CP于點(diǎn)H,

???AD-AE=BD-CE,且ZD=CD,

.AE_BD_BD

??而一而一而‘

.-E+CE_BD+CD

??CE-CD'

tCE__CD_

^CA~~CB9

乙ECD=Z-ACB,

???△EDCs工ABC,

圖2

???Z-CED=乙CAB,

??.ED//AB,

???EH//AP,

DEHs2CAP,

EH_CH

?t?~,

APCP

同理曳=0,

BPCP

.EH_DH

??，

APBP

AP_EH

''~BP~麗’

???EH//BP,

EGHs^BGP,

.EH_GH

BPGP

同理空=些，

APGP

.EH_DH

BPAP

.BP_EH

??，

APDH

tAP__BP_

??麗—麗‘

...Ap2=BP?,

??.AP=BP,

???點(diǎn)尸是AB的中點(diǎn).

【解析】(1)由4。=CD,得NR4G=4ACB,由BE=AB,得乙4EG=乙CAB,即可根據(jù)“兩角分別相等的

兩個(gè)三角形相似"證明△AEGSASB,所以黑=黑=黑，則BE-4G=BC-EG；

BCABBE

(2)聯(lián)結(jié)。E,交CP于點(diǎn)H,由ADME=BD-CE,MXD=CD,得臂=黑=需推導(dǎo)出當(dāng)=累，可證

明△EDCSA4BC,n^CED=ACAB,所以ED〃4B,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可證明瞿=黑=胃，黑=

ArDrCrDr

%=粵，可推導(dǎo)出需=整，從而證明力p=BP,則點(diǎn)P為AB的中點(diǎn).

ArurDrAr

此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí)，證明△AEGSA&IB

以及蔡=翳是解題的關(guān)鍵.

24.【答案】解：⑴?.?直線y=警乂—(k+1)與函數(shù)/(X)交于點(diǎn)冷一的，且一2<§<3,

32k+11〃

?一豆=丁'[(上+1),

解得k=3,

%2—2%—3(—2<%<3)

-TQW—2),

{9-4(%>3)

當(dāng)—2<%<3時(shí)，y=x2—2x—3=(x—I)2—4,

.,?％=1_時(shí)，y有最小值-4,

當(dāng)久時(shí)，

4—2Jy=——x>0,

當(dāng)》23時(shí)，y=|x-4>0,

綜上，/(%)的最小值為-4.

答：/(%)的最小值為-4.

(2)???分段函數(shù)與x軸交于點(diǎn)A,8(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,

當(dāng)y=0時(shí),-1)2—