2023-2024學(xué)年天津市七區(qū)聯(lián)考高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年天津市七區(qū)聯(lián)考高二上冊期末數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

1.已知空間向量α=(l,2,-3),?=(2,-l,l),c=(2,0,3),貝∣Jt∕?S+c)=()

A.—10B.??/?C.(4,-2,-12)D.(5,0,-15)

【正確答案】A

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解.

【詳解】?+c=(4,-1,4),

a?f?+7'∣=4×l-l×2-3×4=-10,

故選：A

2.直線x+y-2=0的傾斜角為()

A.45oB.90oC.1350D.150°

【正確答案】C

【分析】求出直線的斜率，根據(jù)斜率的定義即可得出傾斜角.

【詳解】直線x+y-2=0化為y=-x+2,則斜率α=iana=T,又傾斜角0a<180。，

所以傾斜角為135.

故選：C.

3.拋物線V=4x的準(zhǔn)線方程為

A.x=-lB.y=-1C.x=lD.y=1

【正確答案】A

【分析】利用V=2px的準(zhǔn)線方程為x=-g能求出拋物線V=4x的準(zhǔn)線方程.

【詳解】V=4x,.?.2p=4,"=2,

.??拋物線丁=4x的準(zhǔn)線方程為x=-g

即工=-1,故選A.

本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單性質(zhì)，意在考查對基礎(chǔ)知識的掌握與應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

4.在等差數(shù)列｛%｝中,4+。3=8,%4=40廁公差為()

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】C

【分析】設(shè)公差為d,根據(jù)題意將已知條件化為《和"的形式,解方程組即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)公差為d,則

∫4+%=84+q+2d=8

?a2a4=40=(q+d)?(q+3d)=4(Γ

解得q=l,d=3.

故選：C.

5.若雙曲線與橢圓片+.=1有公共焦點，且離心率為］百，則雙曲線的漸近線方程為()

2593

_上

A?.y=一±---?--XBn.y一=±后------XC._y—±A?χ∕3XnD.y=±—6x

373

【正確答案】D

【分析】根據(jù)橢圓確定雙曲線焦點，再由離心率求出。，即可求出雙曲線漸近線方程.

【詳解】由橢圓片+片=1知，其焦點坐標(biāo)為(±4,0),

259

所以雙曲線的焦點坐標(biāo)為(±4,0),即c=4,

又e=￡=漢1,所以α=2g,所以A?=。?一Y=*

a3

所以雙曲線的漸近線方程為y=±或x=±冬，

故選：D

6.在棱長為1的正方體45Co-A8'C7)'中，E為線段A8的中點，則點E到直線AC'的距

離為()

A.如B.巫C.互D.-

3644

【正確答案】B

【分析】建立如圖所示，以A為原點，分別以A8,ARAA'的方向為X軸，》軸，Z軸正方向

得空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-Dz,根據(jù)公式點E到直線AC'的距離為d=AE2-ae'ac'計算

TAC'

/

即可解決.

【詳解】由題知，棱長為1的正方體ABcZ)-A'B'CZ>'中，E為線段AB的中點,

所以建立如圖所示，以A為原點,分別以A8,AQ,AA'的方向為X軸，y軸，z軸正方向得空

間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-盯Z,

所以E(g,O,O),A(O,O,O),C'(l,l,l),

所以AE=g,0,0),AC'=(1,1,1),

∏^^?！?

所以點E到直線Ac的距離為d=I--------=-----

丫4126

7.數(shù)列｛4｝中，4=1,且%M=α,,+2",則4=

A.1024B.1023C.510D.511

【正確答案】D

【分析】由題意結(jié)合遞推關(guān)系求解的的值即可.

n

【詳解】由題意可得:aMl-a?=2,貝IJ：

289

%=4+(%一4)+(4-<?)++(a9-?)=1+2'+2++2=2-l=511.

本題選擇。選項.

數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個數(shù)

列的各項，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式，常用的方法有：①求出數(shù)列的前幾項，再歸納猜

想出數(shù)列的一個通項公式；②將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累

加法、累乘法、迭代法求通項.

8.已知直線3x+y+m=0(m>0)與圓Y+y2-2y-4=0相交于A,8兩點，若IABI=JQ,

則，〃的值為()

A.@B.巫C.3D.4

24

【正確答案】D

【分析】求出圓心和半徑，再利用圓心到直線的距離求得d=嘿L由--/=［乎)即

可解得m的值.

【詳解】x'+y2-2y-4=0,化簡為J+(y-l)2=4+l=5,

可得圓心(0,1),半徑為逐，

∣3×O+1+∕72∣∣1÷∕H∣

圓心到直線的距離d=I/T=LI,

√32+l2√10

二.r,即=?∣,.?.l+∕n=±5,(l+∕w)2=25,

二.m=4或相=-6(舍去)

故選：D.

9.己知尸是橢圓二+.=1的左焦點，點Q(4,3),若P是橢圓上任意一點，貝”PQ∣+∣PF∣

43

的最大值為()

A.4+372B.4+4√2C.3亞D.4√2

【正確答案】A

【分析】設(shè)橢圓的右焦點為片(1,0),?PQ?+?PF?<2a+?QFt?,計算得到答案.

【詳解】設(shè)橢圓的右焦點為耳。,0),

IPQI+IPFl=IPQI+24-1Pf；∣≤2α+用=4+√?壽=4+3&,

當(dāng)P,Q,K三點共線，且可在RQ之間時等號成立.

故選：A

二、填空題

10.已知空間向量α=(2,-l,3),0=(-4,2,x),且α與B是共線向量，則實數(shù)X的值為

【正確答案】-6

【分析】根據(jù)向量共線得到α=力b,列出方程組，求出答案.

'2=-4/11

【詳解】設(shè)α=M，則＜-l=2∕l,解得.""I

3=xλX=-6

故-6

11.已知一ABC的三個頂點A(-3,l),B(3,-3),C(l,7),則BC邊上的高所在直線方程為

【正確答案】x-5y+8=O

【分析】求出直線BC的斜率，進而由垂直關(guān)系得到所求直線的斜率，由直線方程點斜式得

到答案.

【詳解】直線BC的斜率為片=-5,故BC邊上的高所在直線的斜率為：，

則BC邊上的高所在直線方程為y-1=g(x+3),

整理得x-5y+8=0.

故x-5y+8=0

12.在平行六面體ABcD-A'B'C'D'中，AB=5,AD=4,A4'=3,

NBAD=ZBAAr=ZDAA'=60°,則AC的長為.

【正確答案】√97

【分析】由空間向量基本定理得到AC'=48+A。+M',平方后得至IJAC內(nèi)=97，得到AC'的

長.

【詳解】由題意得：AC,=AB+AD+AA?

2/\2222

故AC=(AB+AD÷AA,)=AB~÷AD+Λ4r+2AB?AD+2AB?AAz+2AD?Λ4,

=25+16+9÷2×5×4∞s600+2×5×3cos600+2×4×3∞s600

=50÷5×4+5×3+4×3=97,

故Ac="卜阮

故歷

13.已知等比數(shù)列｛%｝滿足q=-1,?,+?3+?5=-21,貝ij%+%+%=.

【正確答案】-84

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求解即可.

,4

【詳解】aλ+ai+a5=ɑ?(l+?^+<y)=-21,al=-1,

.?.l+?2+√=21,解得d=4,

2

.?.α3+α5+a1=(αl+α3+as)?q=-21×4=-84,

故-84

14.過雙曲線I-A=I(a>08>0)的右焦點作X軸的垂線，交雙曲線于A,8兩點，以48為

Q-Zr

直徑的圓恰好過雙曲線的左焦點，則雙曲線的離心率為.

【正確答案】l+√2??√2+l

【分析】設(shè)雙曲線的左右焦點分別為耳，F(xiàn).根據(jù)題意可得舊用=JABI,從而建立方程，

即可求得雙曲線的離心率.

【詳解】設(shè)雙曲線A-1=l(α>O*>O)的左右焦點分別為斗巴，

CTb

過雙曲線二-*=l(α>O,A>O)的右焦點做X軸的垂線，交雙曲線于A,B兩點，

a2及

2h2

則IA8∣=拳，又因為以AB為直徑的圓恰好過雙曲線的左焦點，

所以閨用=即2c=J,所以c2-2αc-∕=o,

貝∣J∕-2e-l=0,解得：e=l+√5或e=l-√5(舍去)，

故答案為.1+&

15.己知實數(shù)x,y滿足(x-2>+y2=ι,則工ZI的最小值是.

X

4

【正確答案】

【分析】設(shè)火=上」，轉(zhuǎn)化為直線y=履+1(XWO)與圓有公共點，只需聯(lián)立方程有解，利用

X

判別式即可求出.

【詳解】令Z=W,即y=H+l(χ*0),

X

y=fcv+l

聯(lián)立/72J消元得(1+公)/+(2h4)x+4=0,

(X-2)+y=l

4

由題意，Δ=(2*-4)2-16(l+?2)≥0,解得-γ≤l≤0,

故％的最小值為

X3

故T

三、解答題

16.己知等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,q-4=78,S3=39,等差數(shù)列我｝滿足也=4,

4+1是4和4的等差中項，求｛%｝和｛〃｝的通項公式.

【正確答案】%=3",bn=2n+?.

【分析】根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項公式列方程求解即可.

【詳解】設(shè)｛七｝的公比為4,顯然qwl.

3

alq-a｝=78,

由題意彳αl(l-√)解得4=3,g=3

=39,

.ι-q

所以｛叫的通項公式為%=3".

設(shè)數(shù)列｛bn｝的公差為d,則4=3,α2=9,ai=27

所以4+1=?9+K27=18,所以4=17,

即3+7d=17,解得d=2,d=3+(〃-l)x2=2〃+l.

17.已知圓心為C的圓經(jīng)過A(4,2),8(1,5)兩點，且圓心C在直線2x-7y+12=0上.

(1)求圓C的方程；

(2)已知點M(7,2),點N在圓C上運動，求線段MN中點P的軌跡方程.

【正確答案】(I)(X-I)?+(y-2)2=9

,9

(2)(x-4)72+(y-2)2=-

4

【分析】(1)設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將點AB的坐標(biāo)代入圓的方程，結(jié)婚圓心在直線

2x-7y+12=0上，列出方程組，解之即可求解；

(2)設(shè)點P的坐標(biāo)是(χ,y),點N的坐標(biāo)是(χ∣,y),利用中點坐標(biāo)公式和點N在圓C上運動

即可求解.

【詳解】⑴設(shè)圓C的方程為(x-α)2+(y-b)2=/,由題意得

22

(4-α)+(2-?)=r(α=l

222

(l-0)+(5-?)=r,解得2=2

2Λ-7?+12=0(r=3

所以圓C的方程為(X-I)2+(y-2)2=9.

(2)設(shè)點P的坐標(biāo)是(x,y),點N的坐標(biāo)是(x”x),

由于點M的坐標(biāo)為(7,2),點P是線段MN的中點，所以X=怨,y=%2,

于是x∣=2x-7,y∣=Iy-2

因為點N在圓C上運動，所以點N的坐標(biāo)滿足圓C的方程，

即(XLl)2+(必一2)2=9

所以(2x_7_l)2+(2y_2_2)2=9,

整理得(X-4)2+(”2)2=g

所以，線段MN中點尸的軌跡方程(x-4)2+(y-2)2=g?

4

18.如圖，在四棱錐P-ABCO中，P4，底面A5CO,AD〃BC,AB±ADf

PA=AB=BC=-AD=I,E為PB中點,作EV_LPC交PC于點F

2

P

⑴求證：PCl■平面AE戶；

(2)求平面AEF與平面PBD夾角的余弦值.

【正確答案】(1)證明見解析

喈

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法證明線面垂直；

(2)把二面角計算問題轉(zhuǎn)化為法向量夾角問題.

【詳解】(1)證明：依題意得，以A為原點，AftARAP所在直線分別為X軸、＞軸、Z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

8(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,l),

因為點E為尸8中點，所以星,0,3，

22

所以，AE=(g,O,J,又PC=(1,1,-1),

而AbPC=Ll+0x1+k(-I)=0,

22

所以AE_LPC.

由已知EF_LPC,且AECEF=E,AE,￡尸在平面AEF內(nèi)，

所以PC，平面AE尸.

(2)由(1)知PC為平面AEE的一個法向量，

又PO=(0,2,-1),PB=(1,0,-1),

設(shè)平面PBD的一個法向量為〃=(x,y,z),則平面AEf與平面PBD的夾角就是PC與"的夾角

或其補角.

X=Z,

n?PB=0,X-Z=OLL.

,所以2—3所以1

n?PD-0,y=2z-

取〃=(2,1,2),則∞s<"^>=?==?=V?

所以平面AEF與平面PBD的夾角的余弦值為—.

9

19.已知橢圓cJ+∕=l(α>6>0)過點(6,0),且離心率為乎

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過橢圓C的右焦點廠的直線/與橢圓相交于4,B兩點,且尸B=2AF,求直線/的方程.

【正確答案】⑴工+片=1

32

(2)y=±√2(x-1)

【分析】(1)根據(jù)橢圓的離心率公式，將點的坐標(biāo)代入橢圓方程，即可求得“和6的值，即

可求得橢圓方程；

(2)設(shè)直線/的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量的坐標(biāo)運算，即可求得直線/

的方程.

【詳解】(1)由橢圓過點(√Iθ)可知，/=3,

又e=正得。=族■,即/=3/,

3

所以2a2=3?2，所以從=2,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+匕=1.

32

2

μ+∕.1

(2)由(1)知，F(xiàn)(1,O),設(shè)直線/的方程為y=?x—l),4(XQI),B(w,%)聯(lián)立，32

y=?(Λ-1)

解得(2+3k2)x2-6k2x+3?2-6=0,

6?23二一6

所以%+A=

22+3k2，X'X2~2+3k2

由F8=IAF得毛-I=2(1-χl),BPx2=3-2Λ1,

6A?6+3/-6+3/

所以$+3-2芭=--素■,所以須二2+3/'XL2+3公

匚匚i、i6+3&~—6+3k~—6+3A~/1∕?≠zg2,

所以-----TX----------=---------廠，化間e得o弘f2=6,

2+3公2+3F2+3fc2

所以Z=±√Σ,所以直線/的方程y=±√∑(x-l)

20.己知數(shù)列｛4｝的前"項和為S“，且2S“=3q-〃(〃GN)

⑴求證：上“+；｝是等比數(shù)列;

(2)在?！芭ca.”之間插入〃個數(shù)，使這〃+2個數(shù)組成一個公差為4的等差數(shù)列，求數(shù)列1十1

的前”項和.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵叫一箸

【分析】(1