九年級數(shù)學(xué)上冊講義（人教版）：第25課 弧長和扇形面積、圓錐的側(cè)面展開圖（學(xué)生版）

第25課弧長和扇形面積、圓錐的側(cè)面展開圖課程標(biāo)準(zhǔn)(1)通過復(fù)習(xí)圓的周長、圓的面積公式，探索n°的圓心角所對的弧長和扇形面積S扇形的計算公式，并應(yīng)用這些公式解決問題；

(2)了解圓錐母線的概念，理解圓錐側(cè)面積計算公式，理解圓錐全面積的計算方法，會應(yīng)用公式解決問題；(3)能準(zhǔn)確計算組合圖形的面積.知識點01弧長公式半徑為R的圓中：360°的圓心角所對的弧長(圓的周長)公式：

n°的圓心角所對的圓的弧長公式：(弧是圓的一部分);【注意】(1)對于弧長公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對的弧長是圓周長的，即=；

(2)公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；

(3)弧長公式所涉及的三個量：弧長、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.

知識點02扇形面積公式1．扇形的定義

由組成所圍成的圖形叫做扇形.

2．扇形面積公式

半徑為R的圓中：

360°的圓心角所對的扇形面積(圓面積)公式：

n°的圓心角所對的扇形面積公式：S扇形=

【注意】(1)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.

(3)扇形面積公式S扇形，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；

(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：S扇形=.

知識點03圓錐的側(cè)面積和全面積連接圓錐和的線段叫做圓錐的母線.

圓錐的母線長為l，底面半徑為r，側(cè)面展開圖中的扇形圓心角為n°，則

圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積：S全=S側(cè)+S底=.

【注意】扇形的半徑就是圓錐的，扇形的弧長就是圓錐底面圓的.因此，要求圓錐的側(cè)面積就是求展開圖扇形面積，全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的.

考法01弧長和扇形的有關(guān)計算【典例1】如圖，點C為的中點，∠ABC＝22.5°，AB，則的長為（）A． B． C． D．【即學(xué)即練】如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，則的長為（）A．π B．π C．π D．π【典例2】半徑為2的圓中，扇形MON的圓心角為150°，則這個扇形的面積為（）A． B． C． D．【即學(xué)即練】已知圓錐的母線長是5cm，側(cè)面積是20πcm2，則這個圓錐底面圓的半徑是（

）A．1.5cm B．3cm C．4cm D．6cm考法02圓錐面積的計算【典例3】一個圓錐的母線長為6，側(cè)面展開圖是半圓，則圓錐的側(cè)面積是（）A． B． C． D．【即學(xué)即練】已知圓錐的母線長8cm，底面圓的直徑6cm，則這個圓錐的側(cè)面積是（

）A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2【典例4】如圖，圓錐的底面圓半徑r為5cm，高h(yuǎn)為12cm，則圓錐的側(cè)面積為（

）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【即學(xué)即練】如圖，圓錐的底面半徑OB＝3cm，高OC＝4cm．則這個圓錐的側(cè)面積是(

)A．15cm2 B．12πcm2 C．15πcm2 D．20πcm2考法03組合圖形面積的計算【典例5】如圖，矩形中，，，以為直徑的半圓與相切于點，連接，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練】如圖，正方形的邊，和都是以1為半徑的圓弧，則無陰影兩部分的面積之差是（

）A． B． C． D．【典例6】正方形的面積是33平方米，則陰影部分面積是（）A．33﹣π B．33﹣π C．π D．33﹣π【即學(xué)即練】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，將Rt△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°后得到Rt△ADE，點B經(jīng)過的路徑為，則圖中陰影部分的面積是（

）（提示：圓心角為n°的扇形的面積為，R為扇形所在的圓的半徑）A． B． C． D．題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．已知一個扇形的圓心角為120°，半徑是6cm，則這個扇形的弧長是（）A．8π B．6π C．4π D．2π2．一個圓錐側(cè)面展開圖的扇形的弧長為，則這個圓錐底面圓的半徑為（

）A．6 B．12 C．24 D．23．已知，如圖，⊙O的半徑為6，正六邊形ABCDEF與⊙O相切于點C、F，則的長度是（）A．2π B．3π C．4π D．5π4．如圖，將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到線段OB．若OA＝8，則點A經(jīng)過的路徑長度為（

）A． B． C． D．5．如圖所示，邊長為1的正方形網(wǎng)格中，O，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點，若與所在圓的圓心都為點O，那么陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．6．如圖所示，某盞路燈照射的空間可以看成如圖所示的圓錐，它的高米，底面半徑米，則圓錐的側(cè)面積是多少平方米（結(jié)果保留）（

）A． B． C． D．7．已知扇形的半徑為圓心角為則此扇形的面積是_____________．8．如圖，將以線段AB和曲線BCA圍成的圖形ABCA繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°至圖形AB′C′A的位置，若AB＝8，則圖中陰影部分的面積為______．9．如圖是一段彎形管道，其中，，中心線的兩條圓弧半徑都為．求圖中管道的展直長度．10．下列每個正方形的邊長為2，求下圖中陰影部分的面積．題組B能力提升練1．75°的圓心角所對的弧長是2.5πcm，則此弧所在圓的半徑是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm2．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．把它沿AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的全面積為(

)A．16π B．20π C．36π D．40π3．一塊等邊三角形的木板，邊長為1，現(xiàn)將木板沿水平線翻滾（如圖），那么B點從開始至結(jié)束所走過的路徑長度為（

）A． B． C．4 D．4．如圖，六邊形ABCDEF是半徑為2的圓的內(nèi)接正六邊形，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以點C為圓心，CA的長為半徑畫弧，交AB于點D，則弧AD的長為（

）A． B． C． D．26．一個垃圾填埋場，它在地面上的形狀為長，寬的矩形，有污水從該矩形的四周邊界向外滲透了，則該垃圾填埋場外圍受污染土地的面積為（

）A． B． C． D．7．若一個扇形的半徑是9cm，且它的弧長是6πcm，則此扇形的圓心角等于_____．8．如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐母線l=6，扇形的圓心角，則該圓錐的底面圓的半徑r長為______．9．如圖是某居民小區(qū)的一塊長為2a米，寬為b米的長方形空地，為了美化環(huán)境，準(zhǔn)備在這個長方形的四個頂點處修建一個半徑為a米的扇形花臺，然后在花臺內(nèi)種花，其余種草．如果建造花臺及種花費用每平方米需要資金100元，種草每平方米需要資金50元，那么美化這塊空地共需資金多少元？10．用鐵皮制作圓錐形容器蓋，其尺寸要求如圖所示．(1)求圓錐的高；(2)求所需鐵皮的面積（結(jié)果保留）．題組C培優(yōu)拔尖練1．一個扇形的弧長是20πcm，面積是240πcm2，則這個扇形的圓心角是（

）A．120° B．150° C．60° D．100°2．如圖，將⊙O沿弦AB折疊，恰好經(jīng)過圓心O，若⊙O的半徑為3，則的長為（

）A． B． C． D．3．如圖，從一張腰長為90cm，頂角為120°的等腰三角形鐵皮OAB中剪出一個最大的扇形OCD，用此剪下的扇形鐵皮圍成一個圓錐的側(cè)面（不計損耗），則該圓錐的底面圓的半徑為（）cm．A．15 B．30 C．45 D．30π4．如圖，邊長為的正方形內(nèi)接于，，分別與相切于點和點，的延長線與的延長線交于點，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．5．如圖，在Rt△ABC中，，，，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到．在此旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為(

)A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π6．蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．下圖是一個蒙古包的示意圖，底面圓半徑DE=2m，圓錐的高AC=1.5m，圓柱的高CD=2.5m，則下列說法錯誤的是（）A．圓柱的底面積為4πm2 B．圓柱的側(cè)面積為10πm2C．圓錐的母線AB長為2.25m D．圓錐的側(cè)面積為5πm27．扇形的圓心角是120°，面積是3πcm2，則扇形的弧長是___________cm，將此扇形卷成一個圓錐，則底面圓的半徑為_________cm．8．如圖