數(shù)列習(xí)題集、等差數(shù)列、等比數(shù)列、求通項(xiàng)方法、求和方法總結(jié)1

數(shù)列教案1．?dāng)?shù)列的概念 〔1〕數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。記作，在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)〔或首項(xiàng)〕，在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng)，……，序號為的項(xiàng)叫第項(xiàng)〔也叫通項(xiàng)〕記作；數(shù)列的一般形式：，，，……，，……，簡記作。例：判斷以下各組元素能否構(gòu)成數(shù)列〔1〕a,-3,-1,1,b,5,7,9;(2)2010年各省參加高考的考生人數(shù)?！?〕通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。例如：①：1，2，3，4，5，…②：…數(shù)列①的通項(xiàng)公式是=〔7，〕，數(shù)列②的通項(xiàng)公式是=〔〕。說明：①表示數(shù)列，表示數(shù)列中的第項(xiàng)，=表示數(shù)列的通項(xiàng)公式；②③不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……〔3〕數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：序號：123456項(xiàng)：456789上面每一項(xiàng)序號與這一項(xiàng)的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個(gè)序號集合到另一個(gè)數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集〔或它的有限子集〕的函數(shù)當(dāng)自變量從1開始依次取值時(shí)對應(yīng)的一系列函數(shù)值……，，……．通常用來代替，其圖象是一群孤立點(diǎn)。例：畫出數(shù)列的圖像.〔4〕數(shù)列分類：①按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；②按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列〔遞增數(shù)列、遞減數(shù)列〕、常數(shù)列和擺動數(shù)列。例：以下的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列？〔1〕1，2，3，4，5，6，…(2)10,9,8,7,6,5,…(3)1,0,1,0,1,0,…(4)a,a,a,a,a,…〔5〕數(shù)列{}的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：例：數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式練習(xí)1．根據(jù)數(shù)列前4項(xiàng)，寫出它的通項(xiàng)公式：〔1〕1，3，5，7……；〔2〕，，，；〔3〕，，，?！?〕9，99，999，9999…〔5〕7，77，777，7777，…(6)8,88,888,8888…2．?dāng)?shù)列中，〔1〕寫出，，，，；〔2〕是否是數(shù)列中的項(xiàng)？假設(shè)是，是第幾項(xiàng)？3．〔2003京春理14，文15〕在某報(bào)《自測健康狀況》的報(bào)道中，自測血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表.觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白〔_____〕內(nèi)。4、由前幾項(xiàng)猜測通項(xiàng)：根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，在空格及括號中分別填上適當(dāng)?shù)膱D形和數(shù)，寫出點(diǎn)數(shù)的通項(xiàng)公式.〔1〕〔1〕〔4〕〔7〕〔〕〔〕5.觀察以下各圖，并閱讀下面的文字，像這樣，10條直線相交，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多是〔〕，其通項(xiàng)公式為.2條直線相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)3條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)4條直線相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)A．40個(gè)B．452條直線相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)3條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)4條直線相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)等差數(shù)列1、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。例：等差數(shù)列，2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：；說明：等差數(shù)列〔通?？煞Q為數(shù)列〕的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列，為遞減數(shù)列。例：1.等差數(shù)列中，等于〔〕A．15B．30C．31D．642.是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，如果，那么序號等于〔A〕667〔B〕668〔C〕669〔D〕6703.等差數(shù)列，那么為為〔填“遞增數(shù)列”或“遞減數(shù)列”〕3、等差中項(xiàng)的概念：定義：如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)。其中，，成等差數(shù)列即：〔〕例：1．〔06全國I〕設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，假設(shè)，，那么〔b〕A．B． C．D．2.設(shè)數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，那么它的首項(xiàng)是〔〕A．1B.2C.4D.84、等差數(shù)列的性質(zhì)：〔1〕在等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)為哪一項(xiàng)它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；〔2〕在等差數(shù)列中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列；〔3〕在等差數(shù)列中，對任意，，，；〔4〕在等差數(shù)列中，假設(shè)，，，且，那么；5、等差數(shù)列的前和的求和公式：。(是等差數(shù)列)遞推公式：例：1.如果等差數(shù)列中，，那么〔A〕14〔B〕21〔C〕28〔D〕352.〔2009湖南卷文〕設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，那么等于()A．13B．35C．49D．633.〔2009全國卷Ⅰ理〕設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，假設(shè),那么=4.〔2010重慶文〕〔2〕在等差數(shù)列中，，那么的值為〔〕〔A〕5〔B〕6〔C〕8〔D〕105.假設(shè)一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，那么這個(gè)數(shù)列有〔〕A.13項(xiàng) B.12項(xiàng) C.11項(xiàng) D.10項(xiàng)6.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，假設(shè)7.〔2009全國卷Ⅱ理〕設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，假設(shè)那么8．〔98全國〕數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，b1=1，b1+b2+…+b10=100.〔Ⅰ〕求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)bn；9.數(shù)列是等差數(shù)列，，其前10項(xiàng)的和，那么其公差等于()C.D.10.〔2009陜西卷文〕設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,假設(shè),那么11．〔00全國〕設(shè)｛an｝為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，S7＝7，S15＝75，Tn為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，求Tn。12.等差數(shù)列的前項(xiàng)和記為，=1\*GB3①求通項(xiàng)；=2\*GB3②假設(shè)=242，求13.在等差數(shù)列中，〔1〕；〔2〕；(3)6.對于一個(gè)等差數(shù)列：〔1〕假設(shè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，那么①偶奇；②；〔2〕假設(shè)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項(xiàng)，那么①奇偶；②。7.對于一個(gè)等差數(shù)列，仍成等差數(shù)列。例：1.等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，那么它的前3A.130 B.170 C.210 D.2602.一個(gè)等差數(shù)列前項(xiàng)的和為48，前2項(xiàng)的和為60，那么前3項(xiàng)的和為。3．等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為100，前100項(xiàng)和為10，那么前110項(xiàng)和為4.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，=5．〔06全國II〕設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，假設(shè)＝，那么＝A． B．C． D．8．判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法：=1\*GB3①定義法：是等差數(shù)列=2\*GB3②中項(xiàng)法：是等差數(shù)列=3\*GB3③通項(xiàng)公式法：是等差數(shù)列=4\*GB3④前項(xiàng)和公式法：是等差數(shù)列例：1.數(shù)列滿足，那么數(shù)列為〔〕A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷2.數(shù)列的通項(xiàng)為，那么數(shù)列為〔〕A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷3.一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，那么數(shù)列為〔〕A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷4.一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，那么數(shù)列為〔〕A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷5.一個(gè)數(shù)列滿足，那么數(shù)列為〔〕A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷6.數(shù)列滿足=8，〔〕=1\*GB3①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；7．〔01天津理，2〕設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn=n2，那么{an}是〔〕A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列9.數(shù)列最值〔1〕，時(shí)，有最大值；，時(shí)，有最小值；〔2〕最值的求法：①假設(shè)，的最值可求二次函數(shù)的最值；可用二次函數(shù)最值的求法〔〕；②或者求出中的正、負(fù)分界項(xiàng)，即：假設(shè)，那么最值時(shí)的值〔〕可如下確定或。例：1．等差數(shù)列中，，那么前項(xiàng)的和最大。2．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，=1\*GB3①求出公差的范圍，=2\*GB3②指出中哪一個(gè)值最大，并說明理由。 3．〔02上?！吃O(shè)｛an｝〔n∈N*〕是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，那么以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A.d＜0 B.a7＝0C.S9＞S5 D.S6與S7均為Sn的最大值4．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)〔〕，那么數(shù)列的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是5.是等差數(shù)列，其中，公差?！?〕數(shù)列從哪一項(xiàng)開始小于0？〔2〕求數(shù)列前項(xiàng)和的最大值，并求出對應(yīng)的值．6.是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，其中，公差，假設(shè),求數(shù)列前項(xiàng)和的最大值．7.在等差數(shù)列中，，，求的最大值．利用求通項(xiàng)．1.數(shù)列的前項(xiàng)和．〔1〕試寫出數(shù)列的前5項(xiàng)；〔2〕數(shù)列是等差數(shù)列嗎？〔3〕你能寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？2．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和那么3.〔2005湖北卷〕設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=2n2，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；4.數(shù)列中，前和=1\*GB3①求證：數(shù)列是等差數(shù)列=2\*GB3②求數(shù)列的通項(xiàng)公式5.〔2010安徽文〕設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，那么的值為〔〕〔A〕15(B)16(C)49〔D〕64等比數(shù)列1．等比數(shù)列定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：：。遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式在等比數(shù)列中,，那么在等比數(shù)列中,,那么3.〔07重慶文〕在等比數(shù)列{an}中，a2＝8，a1＝64，，那么公比q為〔〕〔A〕2 〔B〕3 〔C〕4 〔D〕84.在等比數(shù)列中，，，那么=5.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前三項(xiàng)和為21，那么〔〕A33B72C84D189等比中項(xiàng)：假設(shè)三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，那么稱為的等比中項(xiàng)，且為是成等比數(shù)列的必要而不充分條件.例：1.和的等比中項(xiàng)為()2.〔2009重慶卷文〕設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，那么的前項(xiàng)和=〔〕A． B． C． D．等比數(shù)列的根本性質(zhì)，〔1〕〔2〕〔3〕為等比數(shù)列，那么下標(biāo)成等差數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列.〔4〕既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列.例：1．在等比數(shù)列中,和是方程的兩個(gè)根,那么()2.在等比數(shù)列，，，那么=3.在等比數(shù)列中，=1\*GB3①求=2\*GB3②假設(shè)4.等比數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，且〔〕A．12B．10C．8D．2+5.〔2009廣東卷理〕等比數(shù)列滿足，且，那么當(dāng)時(shí)，〔〕A.B.C.D.前項(xiàng)和公式例：1.等比數(shù)列的首相，公比，那么其前n項(xiàng)和2.等比數(shù)列的首相，公比，當(dāng)項(xiàng)數(shù)n趨近與無窮大時(shí)，其前n項(xiàng)和3.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已，求和4．〔2006年北京卷〕設(shè)，那么等于〔〕A． B．C． D．5．〔1996全國文，21〕設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，假設(shè)S3＋S6＝2S9，求數(shù)列的公比q；6．設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，假設(shè)Sn+1,Sn，Sn+2成等差數(shù)列，那么q的值為.5.假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，，那么，，成等比數(shù)列.如以下圖所示：例：1.〔2009遼寧卷理〕設(shè)等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，假設(shè)=3，那么=A.2B.C.D.32.一個(gè)等比數(shù)列前項(xiàng)的和為48，前2項(xiàng)的和為60，那么前3項(xiàng)的和為〔〕A．83B．108C．75D．633.數(shù)列是等比數(shù)列，且6.等比數(shù)列的判定法〔1〕定義法：為等比數(shù)列；〔2〕中項(xiàng)法：為等比數(shù)列；〔3〕通項(xiàng)公式法：為等比數(shù)列；〔4〕前項(xiàng)和法：為等比數(shù)列。為等比數(shù)列。例：1.數(shù)列的通項(xiàng)為，那么數(shù)列為〔〕A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷2.數(shù)列滿足，那么數(shù)列為〔〕A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷3.一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，那么數(shù)列為〔〕A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷7.利用求通項(xiàng)．例：1.〔2005北京卷〕數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．2.〔2005山東卷〕數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為，且，證明數(shù)列是等比數(shù)列．求數(shù)列通項(xiàng)公式方法〔1〕．公式法〔定義法〕根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)例：1等差數(shù)列滿足：，求；2.數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；3.數(shù)列滿足=8，〔〕，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；4.數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；5.設(shè)數(shù)列滿足且，求的通項(xiàng)公式6.數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。7.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式8.數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；9.數(shù)列滿足〔〕，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；10.數(shù)列滿足且〔〕，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；11.數(shù)列滿足且〔〕，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；12.數(shù)列數(shù)列滿足那么數(shù)列的通項(xiàng)公式=〔2〕累加法1、累加法適用于：假設(shè)，那么兩邊分別相加得例：1.數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。2.數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。3.數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。4.設(shè)數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式〔3〕累乘法適用于：假設(shè)，那么兩邊分別相乘得，例：1.數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。2.數(shù)列滿足，，求。3.，，求?！?〕待定系數(shù)法適用于解題根本步驟：1、確定2、設(shè)等比數(shù)列，公比為3、列出關(guān)系式4、比擬系數(shù)求，5、解得數(shù)列的通項(xiàng)公式6、解得數(shù)列的通項(xiàng)公式例：1.數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。2.〔2006，重慶,文,14〕在數(shù)列中，假設(shè)，那么該數(shù)列的通項(xiàng)_______________3.〔2006.福建.理22.本小題總分值14分〕數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式；4.數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)5.數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)6.數(shù)列中，,，求7.數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)8.數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。遞推公式為〔其中p，q均為常數(shù)〕。先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足9.數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。〔5〕遞推公式中既有分析：把關(guān)系通過轉(zhuǎn)化為數(shù)列或的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。1.〔2005北京卷〕數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．2.〔2005山東卷〕數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為，且，證明數(shù)列是等比數(shù)列．3．?dāng)?shù)列中，前和=1\*GB3①求證：數(shù)列是等差數(shù)列=2\*GB3②求數(shù)列的通項(xiàng)公式4.數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n項(xiàng)和滿足，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式?！?〕根據(jù)條件找與項(xiàng)關(guān)系例1.數(shù)列中，，假設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式2.〔2009全國卷Ⅰ理〕在數(shù)列中，〔I〕設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式〔7〕倒數(shù)變換法適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項(xiàng)例：1.數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。〔8〕對無窮遞推數(shù)列消項(xiàng)得到第與項(xiàng)的關(guān)系例：1.〔2004年全國I第15題，原題是填空題〕數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式。2.設(shè)數(shù)列滿足，．求數(shù)列的通項(xiàng)；〔8〕、迭代法例：1.數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以又，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為?！?〕、變性轉(zhuǎn)化法1、對數(shù)變換法適用于指數(shù)關(guān)系的遞推公式例：數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)椋?。兩邊取常用對?shù)得 2、換元法適用于含根式的遞推關(guān)系例：數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，那么數(shù)列求和1．直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。公比含字母時(shí)一定要討論(理)無窮遞縮等比數(shù)列時(shí)，例：1.等差數(shù)列滿足，求前項(xiàng)和2.等差數(shù)列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n項(xiàng)和Sn=100,那么n=〔〕A．9B．10C．11D．123.等比數(shù)列滿足，求前項(xiàng)和4.設(shè)，那么等于〔〕 A. B.C. D.2．錯(cuò)位相減法求和：如：例：1．求和2.求和：3.設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，〔Ⅰ〕求，的通項(xiàng)