第5章 一階電路

第5章動態(tài)電路的時(shí)域分析2.一階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)求解；重點(diǎn)

4.一階電路的階躍響應(yīng)。3.穩(wěn)態(tài)分量、暫態(tài)分量求解；1.動態(tài)電路方程的建立及初始條件的確定；含有電容和電感這樣的動態(tài)元件的電路稱動態(tài)電路。特點(diǎn)：1.動態(tài)電路

5.1動態(tài)電路當(dāng)動態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時(shí)（換路）需要經(jīng)歷一個(gè)變化過程才能達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這個(gè)變化過程稱為電路的過渡過程。例+-usR1R2（t=0）i0ti過渡期為零電阻電路K未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)i=0,uC

=0i=0,uC=UsK+–uCUsRCi

(t=0)K接通電源后很長時(shí)間，電容充電完畢，電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)。+–uCUsRCi

(t→

)初始狀態(tài)過渡狀態(tài)新穩(wěn)態(tài)t1USuct0?i有一過渡期電容電路K未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)i=0,uL

=0uL=0,i=Us/RK接通電源后很長時(shí)間，電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)，電感視為短路。初始狀態(tài)過渡狀態(tài)新穩(wěn)態(tài)t1US/Rit0?UL有一過渡期K+–uLUsRLi

(t=0)+–uLUsRLi

(t→

)電感電路過渡過程產(chǎn)生的原因電路內(nèi)部含有儲能元件

L、C，電路在換路時(shí)能量發(fā)生變化，而能量的儲存和釋放都需要一定的時(shí)間來完成。電路結(jié)構(gòu)、狀態(tài)發(fā)生變化換路支路接入或斷開電路參數(shù)變化2.動態(tài)電路的方程+–uCUsRCi

(t>0)應(yīng)用KVL和元件的VCR得：+–uLUsRLi

(t>0)有源電阻電路一個(gè)動態(tài)元件一階電路+–uLUSRLi

(t>0)CuC＋－＋－二階電路一階電路描述電路的方程是一階微分方程。一階電路中只有一個(gè)動態(tài)元件。（1）描述動態(tài)電路的電路方程為微分方程；結(jié)論：（2）動態(tài)電路方程的階數(shù)等于電路中動態(tài)元件的個(gè)數(shù)；

動態(tài)電路的分析方法建立微分方程：1.t=0＋與t=0－的概念認(rèn)為換路在

t=0時(shí)刻進(jìn)行0－

換路前一瞬間

0＋

換路后一瞬間初始條件為t=0＋時(shí)u，i

及其各階導(dǎo)數(shù)的值。0－0＋0tf(t)

5.2動態(tài)電路的初始條件圖示為電容放電電路，電容原先帶有電壓Uo,求開關(guān)閉合后電容電壓隨時(shí)間的變化。例R－+CiuC(t=0)解特征根方程：得通解：代入初始條件得：說明在動態(tài)電路的分析中，初始條件是得到確定解答的必需條件。t=0+時(shí)刻當(dāng)i()為有限值時(shí)iucC+-q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。2.電容的初始條件0q

=CuC電荷守恒結(jié)論當(dāng)u為有限值時(shí)

L

(0＋)=

L

(0－)iL(0＋)=iL(0－)iuL+-L3.電感的初始條件t=0+時(shí)刻0磁鏈?zhǔn)睾銚Q路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。結(jié)論

L

(0+)=

L

(0－)iL(0+)=iL(0－)qc(0+)=qc

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)4.換路定則（1）電容電流和電感電壓為有限值是換路定律成立的條件。注意:換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。（2）換路定律反映了能量不能躍變。(2)由換路定律uC

(0+)=uC

(0－)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效電路(1)由0－電路求uC(0－)或iL(0－)+-10V+uC-10k40kuC(0－)=8V(3)由0+等效電路求

iC(0+)iC(0－-)=0iC(0+)例1求

iC(0+)+-10ViiC+uC-k10k40k電容開路電容用電壓源替代iL(0+)=iL(0－)=2A例2t=0時(shí)閉合開關(guān)k,求uL(0+)iL+uL-L10VK1

4

+uL-10V1

4

0+電路2A先求由換路定律:電感用電流源替代10V1

4

解電感短路求初始值的步驟:1.由換路前電路（一般為穩(wěn)定狀態(tài)）求uC(0－)和iL(0－)；2.由換路定律得uC(0+)

和iL(0+)。3.畫0+等效電路。4.由0+電路求所需各變量的0+值。b.電容（電感）用電壓源（電流源）替代。a.換路后的電路。5.3一階電路的零輸入響應(yīng)換路后外加激勵為零，僅由動態(tài)元件初始儲能所產(chǎn)生的電壓和電流。1.RC電路的零輸入響應(yīng)已知uC

(0－)=U0iK(t=0)+–uRC+–uCR特征根特征方程RCp+1=0則

uR=Ri零輸入響應(yīng)代入初始值uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0tU0uC0I0ti0令

=RC,稱

為一階電路的時(shí)間常數(shù)（1）電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；從以上各式可以得出：連續(xù)函數(shù)躍變（2）響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與RC有關(guān)；時(shí)間常數(shù)

的大小反映了電路過渡過程時(shí)間的長短

=RC

大→

過渡過程時(shí)間長

小→

過渡過程時(shí)間短電壓初值一定：R大（C一定）

i=u/R

放電電流小放電時(shí)間長U0tuc0

小

大C大（R一定）

W=Cu2/2

儲能大物理含義工程上認(rèn)為,經(jīng)過3

－5

,過渡過程結(jié)束。

：電容電壓衰減到原來電壓36.8%所需的時(shí)間。

＝t2－t1

t1時(shí)刻曲線的斜率等于I0tuc0

t1t2U00.368U00.135U00.05U00.007U0t0

2

3

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

次切距的長度（3）能量關(guān)系電容不斷釋放能量被電阻吸收,

直到全部消耗完畢。設(shè)uC(0+)=U0電容放出能量：電阻吸收（消耗）能量：uCR+－C例已知圖示電路中的電容原本充有24V電壓，求K閉合后，電容電壓和各支路電流隨時(shí)間變化的規(guī)律。解這是一個(gè)求一階RC零輸入響應(yīng)問題，有：i2K3+uC2

6

5F－i3i1+uC4

5F－i1t>0等效電路分流得：2.RL電路的零輸入響應(yīng)特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值i(0+)=I0A=i(0+)=I0iK(t=0)USL+–uLRR1t>0iL+–uLR-RI0uLttI0iL0從以上式子可以得出：連續(xù)函數(shù)躍變（1）電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；（2）響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與L/R有關(guān)；令

=L/R,稱為一階RL電路時(shí)間常數(shù)L大W=Li2/2起始能量大R小

P=Ri2放電過程消耗能量小放電慢

大

大→

過渡過程時(shí)間長

小→

過渡過程時(shí)間短物理含義時(shí)間常數(shù)

的大小反映了電路過渡過程時(shí)間的長短

=L/R電流初值i(0)一定：（3）能量關(guān)系電感不斷釋放能量被電阻吸收,

直到全部消耗完畢。設(shè)iL(0+)=I0電感放出能量：電阻吸收（消耗）能量：iL+–uLR例t=0時(shí),開關(guān)K由1→2，求電感電壓和電流及開關(guān)兩端電壓u12。解iLK(t=0)+–24V6H3

4

4

6

+－uL2

12t>0iL+–uLR小結(jié)4.一階電路的零輸入響應(yīng)和初始值成正比，稱為零輸入線性。一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲能元件的初值引起的響應(yīng),都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。2.衰減快慢取決于時(shí)間常數(shù)

RC電路

=RC

,

RL電路

=L/RR為與動態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。3.同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時(shí)間常數(shù)。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC電路RL電路動態(tài)元件初始能量為零，由t>0電路中外加輸入激勵作用所產(chǎn)生的響應(yīng)。列方程：iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0－)=05.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)非齊次線性常微分方程解答形式為：1.RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解與輸入激勵的變化規(guī)律有關(guān)，為電路的穩(wěn)態(tài)解變化規(guī)律由電路參數(shù)和結(jié)構(gòu)決定全解uC

(0+)=A+US=0

A=－

US由起始條件uC

(0+)=0

定積分常數(shù)A的通解通解（自由分量，暫態(tài)分量）特解（強(qiáng)制分量，穩(wěn)態(tài)分量）的特解-USuC‘uC“USti0tuc0（1）電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)；電容電壓由兩部分構(gòu)成：從以上式子可以得出：連續(xù)函數(shù)躍變穩(wěn)態(tài)分量（強(qiáng)制分量）暫態(tài)分量（自由分量）+（2）響應(yīng)變化的快慢，由時(shí)間常數(shù)

＝RC決定；大，充電慢，小充電就快。（3）響應(yīng)與外加激勵成線性關(guān)系；（4）能量關(guān)系電容儲存：電源提供能量：電阻消耗：RC+-US電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉(zhuǎn)換成電場能量儲存在電容中。例t=0時(shí),開關(guān)K閉合，已知

uC（0－）=0，求（1）電容電壓和電流，（2）uC＝80V時(shí)的充電時(shí)間t。解500

10

F+-100VK+－uCi(1)這是一個(gè)RC電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，有：（2）設(shè)經(jīng)過t1秒，uC＝80V2.RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)iLK(t=0)US+–uRL+–uLR已知iL(0－)=0，電路方程為：tuLUStiL00例t=0時(shí),開關(guān)K打開，求t>0后iL、uL的變化規(guī)律

。解這是一個(gè)RL電路零狀態(tài)響應(yīng)問題，先化簡電路，有：iLK+–uL2HR80

10A200

300

iL+–uL2H10AReqt>05.5一階電路的全響應(yīng)電路的初始狀態(tài)不為零，同時(shí)又有外加激勵源作用時(shí)電路中產(chǎn)生的響應(yīng)。iK(t=0)US+–uRC+–uCR解答為uC(t)=uC'+uC"uC

(0－)=U0以RC電路為例，非齊次方程

=RC1.全響應(yīng)全響應(yīng)穩(wěn)態(tài)解uC'=US暫態(tài)解uC

(0+)=A+US=U0

A=U0-US由起始值定A2.全響應(yīng)的兩種分解方式強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)解)自由分量(暫態(tài)解)uC"-USU0暫態(tài)解uC'US穩(wěn)態(tài)解U0uc全解tuc0全響應(yīng)

=

強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)解)+自由分量