知識資料函數(shù)

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。PAGE第頁/共頁函數(shù)1.1基本概念、內(nèi)容、定理、公式函數(shù)是高等數(shù)學研究的主要對象，它反映客觀世界量與量之間的互相依賴關系，是學好高等數(shù)學的基礎.1．函數(shù)的概念：2．函數(shù)的性質：（1）有界性：若對，都有，則稱在集合上有界；否則稱在集合上無界，即對，，使得成立.（2）單調(diào)性：若對于定義域上的隨意兩點，有（或）稱鄭重單調(diào)增強（或鄭重單調(diào)減少）.又倘若有（或）稱單調(diào)增強（或單調(diào)減少）.（3）奇偶性：若定義域在軸上關于原點對稱，對，都有，稱為偶函數(shù)；又對，都有，稱為奇函數(shù).（4）周期性：若，對，都有，則稱為周期函數(shù)，且稱具有上述性質的最小正數(shù)為函數(shù)的周期.3．復合函數(shù)：設函數(shù)與且，這時通過可表示為的函數(shù)，稱為復合函數(shù)，記作，其中稱為中間變量.4．反函數(shù)設函數(shù)，倘若對于有唯一決定的，使得，則決定是的函數(shù)稱為的反函數(shù)，記作.具有鄭重單調(diào)性的函數(shù)其反函數(shù)總是存在的.5．初等函數(shù)，由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次復合步驟所構成的由一個式子表示的函數(shù)稱為初等函數(shù).1.2例題選講例1-1求下列函數(shù)的定義域：（1）已知定義域為.（2）已知定義域為.（3）已知.(4)，已知定義域為，表示不超過的最大整數(shù)。例1-2已知，求.進一步題目改為：已知，求.進一步設，求。例1-3設，求.解：將絕對值寫成分段函數(shù)的形式：將題目進一步改為：設，且求.練習1：設函數(shù)在內(nèi)有定義，在區(qū)間上，，若，其中是常數(shù)，（1）寫出在上的表達式；（2）問為何值時，在處可導？練習2：（17屆北京市數(shù)學比賽題）設且，求。分析：設，則，從而，由得故。例1-4設在上有定義，且，求證：為周期函數(shù).普通地，，同樣可以證實為周期函數(shù).例1-5若函數(shù)（）的圖形關于兩條直線和對稱（，則函數(shù)為周期函數(shù).分析：由條件知：，，于是在和的中點處有：預測：.練習1：設函數(shù)在上是奇函數(shù)，且，對，（1）試用表示和；（2）問為何值時，是以2為周期的周期函數(shù)。練習2：倘若是上延續(xù)的周期函數(shù)，且，求。練習3：（08考研）設是周期為2的延續(xù)函數(shù)，（1）證實：對，都有；（2）證實：是周期為2的周期函數(shù)。例1-6試證：定義在對稱區(qū)間內(nèi)的任何函數(shù)都可以表示為偶函數(shù)與奇函數(shù)之和的形式，并且表示法是唯一的.例1-7證實函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增強，并由此證實不等式.例1-8設，且時滿意（為常數(shù)，）證實為奇函數(shù).進一步：設除與兩點外，對全體實數(shù)存心義，且滿意，求滿意此條件的.例1-9證實若對任何實數(shù)，有且，則（1）；（2）.例1-10設在內(nèi)有定義，且對于隨意恒有，證實在內(nèi)為常數(shù).例1-11設函數(shù)在點的鄰域內(nèi)有界，且滿意方程，其中，求.1.3練習題1-1設定義于，且存在正數(shù)和使對一切都成立，證實存在正數(shù)和以為周期的函數(shù)，使得.1-2設，且，試求與.1-3設，，且，求的表達式和定義域.1-4設、及是單調(diào)增函數(shù)，且，證實.1-5設滿意，，求.1-6證實不是周期函數(shù).1-7試證定義在同一個數(shù)集上且周期是可通約的兩個周期函數(shù)的和與差也是周期函數(shù)，并求的周期.1-8設在上有定義，且在該區(qū)間上恒有，其中為正實數(shù)，試證：為周期函數(shù).1-9設對，且，，證實：.1-10設在上有定義，且，若單調(diào)減少，證實：.1.4答案與提醒1-1設，.即，故.1-2，.1-3，.1-4由，得；又是單調(diào)增函數(shù)，，故.同理可證.1-5對等式（1）中分離用代替后得：，兩邊同乘以，得（2）同理，得（3）（）（1）+（2）+，得兩邊對求極限，得，即.1-6反證法：設是以為周期的函數(shù)，則對，.即.令，，即（1）.令，，即（2）.由（1）（2）得出矛盾！1-7證實：設和是定義在同一數(shù)集上，周期分離為和的兩個周期函數(shù).因為和是可通約的，即，于是有，其中互質.設，則===.故是一個周期為的周期函數(shù)且為和的最小公倍數(shù).同理可證是一個周期為的周期函數(shù)且為和的最小公倍數(shù).故的周期為.1-8因為==，注重到，即有.1-9先證，假設，使得，取，在條件中令，得，即