第1章1.2.2第二課時(shí)同步訓(xùn)練及解析

PAGEPAGE1人教A高中數(shù)學(xué)選修2-3同步訓(xùn)練1．編號(hào)為1、2、3、4、5、6、7的七盞路燈，晚上用時(shí)只亮三盞燈，且任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案有()A．60種 B．20種C．10種 D．8種解析：選C.四盞熄滅的燈產(chǎn)生的5個(gè)空檔中放入3盞亮燈，即Ceq\o\al(3,5)＝10.2．某中學(xué)要從4名男生和3名女生中選4人參加公益勞動(dòng)，若男生甲和女生乙不能同時(shí)參加，則不同的選派方案共有()A．25種 B．35種C．820種 D．840種解析：選A.分3類完成：男生甲參加，女生乙不參加，有Ceq\o\al(3,5)種選法；男生甲不參加，女生乙參加，有Ceq\o\al(3,5)種選法；兩人都不參加，有Ceq\o\al(4,5)種選法．所以共有2Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(4,5)＝25(種)不同的選派方案．3．某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有()A．30種 B．35種C．42種 D．48種解析：選A.法一：可分兩種互斥情況：A類選1門，B類選2門或A類選2門，B類選1門，共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)＝18＋12＝30種選法．法二：總共有Ceq\o\al(3,7)＝35種選法，減去只選A類的Ceq\o\al(3,3)＝1(種)，再減去只選B類的Ceq\o\al(3,4)＝4(種)，故有30種選法．4．從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍的概率是________．解析：從1,2,3,4中任取兩個(gè)數(shù)的組合個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(2,4)＝6，滿足一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)兩倍的組合為{1,2}，{2,4}，故P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)一、選擇題1．9名會(huì)員分成三組討論問題，每組3人，共有不同的分組方法種數(shù)為()A．Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6) B．Aeq\o\al(3,9)Aeq\o\al(3,6)C.eq\f(C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(3,3)) D．Aeq\o\al(3,9)Aeq\o\al(3,6)Aeq\o\al(3,3)解析：選C.此為平均分組問題，要在分組后除以三組的排列數(shù)Aeq\o\al(3,3).2．5本不同的書全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少1本，不同的分法種數(shù)有()A．480 B．240C．120 D．96解析：選B.先把5本書中兩本捆起來，再分成4份即可，∴分法數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)＝240.3．某班級(jí)要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為()A．14 B．24C．28 D．48解析：選A.6人中選4人的方案有Ceq\o\al(4,6)＝15(種)，沒有女生的方案只有一種，所以滿足要求的方案總數(shù)有14種．4．已知圓上9個(gè)點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)連一線段，所有線段在圓內(nèi)的交點(diǎn)有()A．36個(gè) B．72個(gè)C．63個(gè) D．126個(gè)解析：選D.此題可化歸為：圓上9個(gè)點(diǎn)可組成多少個(gè)四邊形，每個(gè)四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)即為所求，所以，交點(diǎn)有Ceq\o\al(4,9)＝126(個(gè))．5．將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中，若每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號(hào)為1,2的卡片放入同一信封，則不同的放法共有()A．12種 B．18種C．36種 D．54種解析：選B.先將1,2捆綁后放入信封中，有Ceq\o\al(1,3)種方法，再將剩余的4張卡片放入另外兩個(gè)信封中，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)種方法，所以共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝18種方法．6．如圖所示的四棱錐中，頂點(diǎn)為P，從其他的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取3個(gè)，使它們和點(diǎn)P在同一平面內(nèi)，不同的取法種數(shù)為()A．40 B．48C．56 D．62解析：選C.滿足要求的點(diǎn)的取法可分為3類：第1類，在四棱錐的每個(gè)側(cè)面上除點(diǎn)P外任取3點(diǎn)，有4Ceq\o\al(3,5)種取法；第2類，在兩個(gè)對(duì)角面上除點(diǎn)P外任取3點(diǎn)，有2Ceq\o\al(3,4)種取法；第3類，過點(diǎn)P的四條棱中，每一條棱上的兩點(diǎn)和與這條棱異面的兩條棱的中點(diǎn)也共面，有4Ceq\o\al(1,2)種取法．所以，滿足題意的不同取法共有4Ceq\o\al(3,5)＋2Ceq\o\al(3,4)＋4Ceq\o\al(1,2)＝56(種)．二、填空題7．在50件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共有________種．解析：分兩類，有4件次品的抽法為Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,46)(種)；有三件次品的抽法有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,46)(種)，所以共有Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,46)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,46)＝4186種不同的抽法．答案：41868．某運(yùn)動(dòng)隊(duì)有5對(duì)老搭檔運(yùn)動(dòng)員，現(xiàn)抽派4個(gè)運(yùn)動(dòng)員參加比賽，則這4人都不是老搭檔的抽派方法數(shù)為________．解析：先抽取4對(duì)老搭檔運(yùn)動(dòng)員，再從每對(duì)老搭檔運(yùn)動(dòng)員中各抽1人，故有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝80(種)．答案：809．2011年3月10日是第六屆世界腎臟日，某社區(qū)服務(wù)站將5位志愿者分成3組，其中兩組各2人，另一組1人，分別去三個(gè)不同的社區(qū)宣傳這屆腎臟日的主題：“保護(hù)腎臟，拯救心臟”，不同的分配方案有________種．(用數(shù)字作答)解析：分配方案有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))×Aeq\o\al(3,3)＝eq\f(10×3×6,2)＝90(種)．答案：90三、解答題10．四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒子中，恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？解：恰有一個(gè)空盒，則另外三個(gè)盒子中小球數(shù)分別為1,1,2，實(shí)際上可轉(zhuǎn)化為先將四個(gè)不同的小球分為三組，兩組各1個(gè)，另一組2個(gè)，分組方法有eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))(種)，然后將這三組再加上一個(gè)空盒進(jìn)行全排列，即共有eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(4,4)＝144(種)．11．要從7個(gè)班中選10人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每班至少1人，共有多少種不同的選法？解：法一：共分三類：第一類：一個(gè)班出4人，其余6個(gè)班各出1人，有Ceq\o\al(1,7)種；第二類：有2個(gè)班分別出2人，3人，其余5個(gè)班各出1人，有Aeq\o\al(2,7)種；第三類：有3個(gè)班各出2人，其余4個(gè)班各出1人，有Ceq\o\al(3,7)種，故共有Ceq\o\al(1,7)＋Aeq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,7)＝84(種)．法二：將10人看成10個(gè)元素，這樣元素之間共有9個(gè)空(兩端不計(jì))，從這9個(gè)空中任選6個(gè)(即這6個(gè)位置放入隔板，將其分為七部分)，有Ceq\o\al(6,9)＝84種放法．故共有84種不同的選法．12．如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A、B的六個(gè)點(diǎn)C1、C2、C3、C4、C5、C6，直徑AB上有異于A、B的四個(gè)點(diǎn)D1、D2、D3、D4.(1)以這10個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形可作出多少個(gè)？其中含C1點(diǎn)的有多少個(gè)？(2)以圖中的12個(gè)點(diǎn)(包括A、B)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)四邊形？解：(1)可分三種情況處理：①C1、C2、…、C6這六個(gè)點(diǎn)任取三點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)三角形；②C1、C2、…、C6中任取一點(diǎn)，D1、D2、D3、D4中任取兩點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)三角形；③C1、C2、…、C6中任取兩點(diǎn)，D1、D2、D3、D4中任取一點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)三角形．∴Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4)＝116