Riordan陣方法、組合和式及其漸近性的中期報告

Riordan陣方法、組合和式及其漸近性的中期報告Riordan陣是一個矩陣，它的第i行第j列的元素是Ri(i,j)，其中Ri(i,j)是一個由Ri(i-1,j)和Ri(i-1,j-1)計算得到的數(shù)列。使用Riordan陣可以產(chǎn)生一系列組合和式，例如Stirling數(shù)和歐拉數(shù)等。在本報告中，我們將首先討論Riordan陣的定義和性質(zhì)，然后介紹一些基于Riordan陣的組合和式，最后討論它們的漸近性。1.Riordan陣的定義和性質(zhì)Riordan陣的定義如下：定義1.對于給定的數(shù)列{g(n)}和{f(n)}，Riordan陣是矩陣A=(aij)∞×∞，其中a0,0=1，而當i≥1時，aij=f(i-1+j)/g(j)(j≤i)。Riordan陣的重要性質(zhì)是：對于任意特定的數(shù)列{f(n)}和{g(n)}，Riordan陣A總是可逆的且其逆矩陣B=(bij)滿足：bij=(-1)j+if(i-1-j)/g(j).另外，我們也可以證明，Riordan陣的行列式是：det(A)=g(0)f(1)f(2)...f(n-1).這個性質(zhì)使得Riordan陣在組合計數(shù)中非常有用，因為它為一個組合問題提供了一個數(shù)學結(jié)論，用于計算該問題的方案數(shù)。2.基于Riordan陣的組合和式2.1Stirling數(shù)斯特林數(shù)是組合數(shù)學中的一個重要概念。它們被定義為第一類斯特林數(shù)S(n,k)和第二類斯特林數(shù)s(n,k)，它們分別計算將n個對象劃分為k個非空環(huán)或劃分為k個非空集合的方案數(shù)。利用Riordan陣，我們可以定義第一類Stirling數(shù)和第二類Stirling數(shù)的生成函數(shù)。我們令：f(x)=ex和g(x)=1，然后根據(jù)Riordan陣的定義得到：aij=1/i!(j-i)!,(i≤j)。那么，第一類Stirling數(shù)的生成函數(shù)和第二類Stirling數(shù)的生成函數(shù)分別為：S(x,y)=exp(y(x-1))和s(x,y)=exp(y(x-1))/x.這樣，我們就得到了第一類Stirling數(shù)和第二類Stirling數(shù)的組合和式。2.2Bell數(shù)Bell數(shù)是組合數(shù)學中的另一個重要概念，它們用于計算具有n個元素的集合的劃分數(shù)。Bell數(shù)B(n)是由下列遞推式定義的：B(n+1)=∑nk=0(nk)B(k)其中(nk)是二項式系數(shù)。使用Riordan陣的方式，我們可以將Bell數(shù)定義為：f(x)=ln(1+x)和g(x)=1，然后Riordan陣的定義導(dǎo)致：aij=(i-1)!(j-i)!(j-1)!(1-j+x)i-1.那么，Bell數(shù)的生成函數(shù)將是：B(x)=exp(ln(1+x)/(1-x))。2.3歐拉數(shù)歐拉數(shù)是組合數(shù)學中的另一個重要概念，它們是一類具有重要性質(zhì)的整數(shù)序列，常用于計算用于定義拓撲不變量的集合或圖的數(shù)目和性質(zhì)。利用上述方法，我們可以計算歐拉數(shù)的生成函數(shù)，對于歐拉數(shù)e(n,k)，我們定義：f(x)=ex-1和g(x)=(1+x),然后利用Riordan陣的定義得到：aij=(j-1)x(i-1+j-i)/(1+x).那么，歐拉數(shù)的生成函數(shù)為：E(x,y)=exp(y/(1+x))3.漸近性質(zhì)在組合計數(shù)中最常見的問題之一是計算組合問題的漸近解。Riordan陣的定義和性質(zhì)很容易推廣到漸近問題。例如，在基于Riordan陣的Stirling數(shù)定義中，我們可以定義下列Riordan矩陣：aij=(j-i)/iη+1其中η是一個正實數(shù)，而j≥i。在這個定義下，我們可以證明，S(x,y)~exp[ηln(1+1/y)+yln(x/1-x)]當x趨近于1時，上式會趨近于：S(x,y)~exp[ηln(1+1/y)-y(1-x)ln2]這個結(jié)果說明，當n趨近于無窮大時，第一類Stir