第八章 時間數(shù)列分析(統(tǒng)計學(xué)原理-南開大學(xué),陸宇建)

第八章時間數(shù)列分析1一、時間數(shù)列的概念和種類㈠時間數(shù)列的概念㈡時間數(shù)列的種類2㈠時間數(shù)列的概念時間數(shù)列又稱動態(tài)數(shù)列，它是指某社會經(jīng)濟現(xiàn)象在不同時間上的一系列統(tǒng)計指標(biāo)值按時間先后順序加以排列后形成的數(shù)列。例：下表是一個時間數(shù)列。3構(gòu)成時間數(shù)列的兩個要素時間數(shù)列由兩部分構(gòu)成：是反映時間順序變化的數(shù)列，是反映各個指標(biāo)值變化的數(shù)列。4㈡時間數(shù)列的種類按其指標(biāo)表現(xiàn)形式的不同分為三種：

總量指標(biāo)時間數(shù)列

相對指標(biāo)時間數(shù)列

平均指標(biāo)時間數(shù)列其中：絕對數(shù)時間數(shù)列是基本數(shù)列，其余兩種是派生數(shù)列。5⒈總量指標(biāo)時間數(shù)列總量指標(biāo)時間數(shù)列是將總量指標(biāo)在不同時間上的數(shù)值按時間先后順序排列形成的數(shù)列。它反映的是現(xiàn)象在一段時間內(nèi)達(dá)到的絕對水平及增減變化情況?？偭恐笜?biāo)時間數(shù)列又可分為時期數(shù)列和時點數(shù)列。6時期數(shù)列時期數(shù)列是指由時期指標(biāo)構(gòu)成的數(shù)列，即數(shù)列中每一指標(biāo)值都是反映某現(xiàn)象在一段時間內(nèi)發(fā)展過程的總量。7時期數(shù)列具有以下特點：（１）數(shù)列具有連續(xù)統(tǒng)計的特點；（２）數(shù)列中各個指標(biāo)數(shù)值可以相加；（３）數(shù)列中各個指標(biāo)值大小與所包括的時期長短有直接關(guān)系。8時點數(shù)列時點數(shù)列是指由時點指標(biāo)構(gòu)成的數(shù)列，即數(shù)列中的每一指標(biāo)值反映的是現(xiàn)象在某一時刻上的總量。9時點數(shù)列具有以下特點：（１）數(shù)列指標(biāo)不具有連續(xù)統(tǒng)計的特點；（２）數(shù)列中各個指標(biāo)值不具有可加性；（３）數(shù)列中每個指標(biāo)值的大小與其時間間隔長短沒有直接聯(lián)系。10⒉相對指標(biāo)時間數(shù)列相對指標(biāo)時間數(shù)列是將一系列同類相對指標(biāo)值按時間先后順序排列而形成的數(shù)列。它反映的是社會經(jīng)濟現(xiàn)象之間相互聯(lián)系的發(fā)展過程。在相對數(shù)時間數(shù)列中，各個指標(biāo)是不能相加的，因為相加后的指標(biāo)數(shù)值，是沒有實際意義的。11例如：把各個時期商品流轉(zhuǎn)額和流通費聯(lián)系起來對比求得的流通費率；把各個時期實際完成的總產(chǎn)值和計劃總產(chǎn)值聯(lián)系起來對比求得總產(chǎn)值計劃完成百分比。12⒊平均指標(biāo)時間數(shù)列平均指標(biāo)時間數(shù)列是將一系列平均指標(biāo)值按時間先后順序排列而形成的數(shù)列。它反映的是社會經(jīng)濟現(xiàn)象總體各單位某標(biāo)志一般水平的發(fā)展變動程度。13例如，由各個時期職工平均工資所形成的時間數(shù)列，各個時期糧食每公頃年產(chǎn)量所形成的時間數(shù)列等，都是平均數(shù)時間數(shù)列。平均數(shù)時間數(shù)列中，各個指標(biāo)數(shù)值也是不能相加的。因為相加后的指標(biāo)數(shù)值，是毫無實際意義的。14時間數(shù)列的編制原則為保證數(shù)列中各個指標(biāo)數(shù)值的可比性，就成為編制時間數(shù)列應(yīng)遵守的基本原則。具體地應(yīng)注意下列幾點：15時間長短應(yīng)該前后一致在時期數(shù)列中各個指標(biāo)數(shù)值的大小與時期長短有直接的關(guān)系，如果各個指標(biāo)所屬的時期長短不等，一般就難作直接比較。但這個原則也不能絕對化。對時點數(shù)列來說，由于各個指標(biāo)數(shù)值都表明一定瞬間的狀態(tài)，不存在時期長短應(yīng)該相等的問題。但是，為了便于分析，時點數(shù)列指標(biāo)數(shù)值間的間隔最好能相等。16總體范圍應(yīng)該統(tǒng)一例如要研究一個地區(qū)的人口或工業(yè)生產(chǎn)情況．如果那個地區(qū)的行政區(qū)劃有了變動、則前后期指標(biāo)就不能直接對比，必須將資料進行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，使總體范圍前后一致，然后再作動態(tài)分忻，才能正確地說明我們所研究的問題。17計算方法、計算價格和計量單位應(yīng)該統(tǒng)一計算方法有時也可以叫計算口徑，如果計算口徑不一致，如勞動生產(chǎn)率指標(biāo)有的按全部職工計算，有的按生產(chǎn)工人計算；在價格指標(biāo)中計算的價格不統(tǒng)一，如產(chǎn)值指標(biāo)有的按現(xiàn)行價格計算，有的按不變價格計算；則這樣的指標(biāo)數(shù)值就不具有可比性。18經(jīng)濟內(nèi)容要統(tǒng)一例如，固定資產(chǎn)投資指標(biāo)是否包括簡單再生產(chǎn)和城鄉(xiāng)私人建房投資，其經(jīng)濟內(nèi)容就應(yīng)該是前后一致的。19分析指標(biāo)為了研究社會經(jīng)濟現(xiàn)象的發(fā)展水平和發(fā)展速度，認(rèn)識事物發(fā)展在數(shù)量上的規(guī)律性，需要對時間數(shù)列計算出一系列的分析指標(biāo)。主要有：發(fā)展水平、平均發(fā)展水平、增長量、平均增長量、發(fā)展速度、增長速度、平均發(fā)展速度和平均增長速度等幾種。20發(fā)展水平、平均發(fā)展水平、增長量、平均增長量運用于現(xiàn)象發(fā)展水平的分析；發(fā)展速度、增長速度、平均發(fā)展速度和平均增長速度運用于現(xiàn)象發(fā)展速度的分析。21二、現(xiàn)象發(fā)展水平（level）

指標(biāo)的種類及計算１、發(fā)展水平２、平均發(fā)展水平3、增長量4、平均增長量22１、發(fā)展水平發(fā)展水平是時間數(shù)列中的每一項具體數(shù)值，又稱發(fā)展量。它反映社會經(jīng)濟現(xiàn)象在各個時期所達(dá)到的規(guī)模和發(fā)展的程度。用a,b,c…或a0,

a1,a2…an表示。發(fā)展水平既可以表現(xiàn)為總量指標(biāo)，也可表現(xiàn)為相對指標(biāo)或平均指標(biāo)。時間數(shù)列中第一個指標(biāo)數(shù)值（a0）叫最初水平，最后一個指標(biāo)數(shù)值（an）叫最末水平。23常見的時間數(shù)列形式時間發(fā)展水平24２、平均發(fā)展水平平均發(fā)展水平又稱序時平均數(shù)或動態(tài)平均數(shù)。它是時間數(shù)列中各項發(fā)展水平的平均數(shù)。反映現(xiàn)象在一段時期中發(fā)展的一般水平。25序時平均數(shù)與一般平均數(shù)的區(qū)別和共同點共同點：它們都是將各個變量值差異抽象化。26序時平均數(shù)的作用在動態(tài)分析中，平均發(fā)展水平除了反映某種社會經(jīng)濟現(xiàn)象在一段時間內(nèi)所達(dá)到的一般水平，并對其作出概括說明外；還可以用來消除現(xiàn)象在短時間內(nèi)波動的影響，便于在各段時間之間進行比較，觀察現(xiàn)象的發(fā)展趨勢；同時也還可以用來解決時間數(shù)列中的某些可比性問題，例如由于各月日歷日數(shù)不同，往往會影響商店各月銷售額的多少，如果計算各月的每日平均銷售額指標(biāo)來進行對比。27平均發(fā)展水平的計算有以下幾種方法：序時平均數(shù)可以根據(jù)總量指標(biāo)時間數(shù)列來計算，也可以根據(jù)相對數(shù)時間數(shù)列或平均數(shù)時間數(shù)列來計算。根據(jù)總量指標(biāo)時間數(shù)列計算序時平均數(shù)是最基本的方法。現(xiàn)分別說明如下：（１）由總量指標(biāo)時間數(shù)列計算序時平均數(shù)由于總量指標(biāo)時間數(shù)列分為時期數(shù)列和時點數(shù)列，從而形成以下幾種計算方法：28①由時期數(shù)列計算

a：發(fā)展水平n：時間數(shù)列的項數(shù)：平均發(fā)展水平29例：設(shè)某工廠1990年各月份的總產(chǎn)值資料如下：30根據(jù)上面資料，計算各個季度中平均每—個月的總產(chǎn)值（這個平均數(shù)就是序時平均數(shù)），并將各季度的平均月產(chǎn)值按時間先后順序排列起來，就形成由序時平均數(shù)排列起來的平均數(shù)時間數(shù)列。如8-5表。31②由時點數(shù)列計算時點數(shù)列有連續(xù)時點數(shù)列和間斷時點數(shù)列之分，其計算方法也不相同。32連續(xù)時點數(shù)列的連續(xù)時點數(shù)列：以天為間隔的時點數(shù)列。又分為逐日登記和變動登記兩種計算方法。33連續(xù)時點數(shù)列逐日登記的

a：時點指標(biāo)值

n：天數(shù)：平均發(fā)展水平34例例如：已知某企業(yè)一個月內(nèi)每天的工人人數(shù)，要計算該月內(nèi)每天平均工人數(shù)，就可將每天的工人數(shù)相加，除以該月的日歷日數(shù)即得。35連續(xù)時點數(shù)列變動登記的

a：時點指標(biāo)值

f：時點指標(biāo)值持續(xù)時間長度：平均發(fā)展水平36例例如：某企業(yè)4月1日至4月10日工人數(shù)為1500人，4月11日至4月底增加到1600人。則該企業(yè)4月份平均工人數(shù)為：37間斷時點數(shù)列

間斷時點數(shù)列：時點間隔在一天以上的時點數(shù)列。又分為等間隔時點數(shù)列和不等間隔時點數(shù)列兩種計算方法。38等間隔時點數(shù)列“首末折半法”等間隔時點數(shù)列：相鄰的兩個時點間的時間長度相等。根據(jù)間隔相等的間斷時點數(shù)列計算序時平均數(shù)，可將首項數(shù)值的1/2加上中間各項數(shù)值，再加上末項數(shù)值的1/2，然后被項數(shù)減l”去除即得。a：時點指標(biāo)值n:時間數(shù)列項數(shù)39例要求：計算第二季度的平均職工人數(shù)。4041不等間隔時點數(shù)列不等間隔時點數(shù)列：相鄰的兩個時點間的時間長度不相等。f:時間長度42例：根據(jù)表8-7資料，計算序時平均數(shù)。43（２）由相對指標(biāo)或平均指標(biāo)時間數(shù)列計算序時平均數(shù)相對指標(biāo)或平均指標(biāo)計算形式均為。因此兩種時間數(shù)列是由具有相互聯(lián)系的兩個總量指標(biāo)時間數(shù)列對比構(gòu)成。計算其序時平均數(shù)的方法也是由總量指標(biāo)計算序時平均數(shù)的方法派生出來。44基本公式為：：相對或平均指標(biāo)時間數(shù)列的序時平均數(shù)：子項指標(biāo)指標(biāo)時間數(shù)列的序時平均數(shù)：母項指標(biāo)指標(biāo)時間數(shù)列的序時平均數(shù)

ａ數(shù)列和ｂ數(shù)列既可以是時期數(shù)列也可以是時點數(shù)列。45具體方法為：先根據(jù)資料分別計算出子、母項指標(biāo)構(gòu)成的兩個時間數(shù)列的序時平均數(shù)（，），然后將兩個序時平均數(shù)進行對比，從而得到相對指標(biāo)或平均指標(biāo)時間數(shù)列的序時平均數(shù)（）。

46①由兩個時期數(shù)列相應(yīng)項對比所形成的相對數(shù)時間數(shù)列計算序時平均數(shù)。例：某企業(yè)1990年1、2、3月份產(chǎn)品產(chǎn)量計劃完成倩況的資料，如8-8表：要求：計算第一季度平均計劃完成程度（％）。4748②由兩個時點數(shù)列相應(yīng)項對比所形成的相對數(shù)時間數(shù)列計算序時平均數(shù)現(xiàn)舉例說明如下：要求：計算第四季度生產(chǎn)工人占全部職工人數(shù)的平均比重。4950③由兩個不同性質(zhì)數(shù)列對比而形成的相對數(shù)時間數(shù)列計算序時平均數(shù)。51分析欲求平均勞動生產(chǎn)率，須先求產(chǎn)值的序時平均數(shù)和職工人數(shù)的序時平均數(shù)。注意：產(chǎn)值是時期指標(biāo)，月末職工人數(shù)是時點指標(biāo)，52

53543、增長量增長量是某種現(xiàn)象在一定時期內(nèi)所增長的絕對數(shù)量。它是報告期水平與基期水平之差，反映報告期比基期增長的水平。即：

增長量＝報告期水平－基期水平55增長量的分類計算時，根據(jù)基期的不同增長量分為逐期增長量和累積增長量。56累積增長量累積增長量是以固定的基期水平計算的，表示現(xiàn)象在較長時期變動的數(shù)量。公式為：

累積增長量=57逐期增長量逐期增長量是以報告期前一期水平為基期計算的，表示現(xiàn)象較短時期變動的數(shù)量。公式為：

逐期增長量=58例59二者的關(guān)系為：逐期增長量之和等于累積增長量。公式表示為：60年距增長量在實際統(tǒng)計分析工作中，為了消除季節(jié)變動的影響，也常計算本期發(fā)展水平比去年同期發(fā)展水平的增減數(shù)量，這個指標(biāo)可以叫做“年距增長量”。年距增長量＝本期發(fā)展水平－去年同期發(fā)展水平61例如：某地區(qū)1991年第三季度鋼產(chǎn)量為500萬噸，1990年第三季度鋼產(chǎn)量為400萬噸，則：年距增長量＝500萬噸一400萬噸＝100萬噸說明1992年第三季度鋼產(chǎn)量比去年同期增產(chǎn)100萬噸。624、平均增長量平均增長量是某種現(xiàn)象在一定時期內(nèi)平均每期增長的數(shù)量。它可將各個逐期增長量相加后，被逐期增長量的個數(shù)來除，即采用簡單算術(shù)平均法就可求得；或?qū)⒗塾嬙鲩L量被時間數(shù)列項數(shù)減“1”來除，也可求得。63我國在1985年到1990年間每年手表平均增長量為：64（三）現(xiàn)象發(fā)展的速度指標(biāo)１、發(fā)展速度２、增長速度3、平均發(fā)展速度和平均增長速度4、速度與水平指標(biāo)的結(jié)合運用65１、發(fā)展速度發(fā)展速度是以相對數(shù)的形式表現(xiàn)的動態(tài)分析指標(biāo)，它是兩個不同時期發(fā)展水平指標(biāo)對比的結(jié)果。說明的是報告期水平是基期水平的百分之幾或若干倍。66發(fā)展速度的分類發(fā)展速度由于計算時基期的不同而分為環(huán)比發(fā)展速度和定基發(fā)展速度。67定基發(fā)展速度定基發(fā)展速度是各報告期水平同某一固定基期水平對比，說明現(xiàn)象在較長時期內(nèi)發(fā)展的總速度。特點：基期固定計算方法：定基發(fā)展速度=68環(huán)比發(fā)展速度環(huán)比發(fā)展速度是報告期水平與前一期水平之比，反映現(xiàn)象在前后兩期的發(fā)展變化情況。特點：基期不固定計算方法：環(huán)比發(fā)展速度=69二者的關(guān)系是：環(huán)比發(fā)展速度的連乘積等于定基發(fā)展速度。公式表示為：702、增長速度增長速度是反映現(xiàn)象數(shù)量增長程度的動態(tài)相對指標(biāo)，由增長量對比基期水平或發(fā)展速度減１（100%）而得。71增長速度與發(fā)展速度具有密切的關(guān)系，兩者僅相差一個基數(shù)而已。所以將發(fā)展速度減“1”也可求得增長速度：72增長速度的分類根據(jù)增長量的分類，增長速度又分為定基增長速度和環(huán)比增長速度。73例仍用我國子表產(chǎn)量資料，計算發(fā)展速度和增長速度如下74增長速度與發(fā)展速度的不同發(fā)展速度說明的是報告期水平為基期水平的多少倍或百分之幾，增長速度說明的是報告期水平比基期水平增加了多少倍或減少了百分之幾。發(fā)展速度總是正的，而增長速度則有正有負(fù)，分別表示正增長和負(fù)增長。環(huán)比增長速度的連乘積不等于定基增長速度。75年距增長速度在實際統(tǒng)計分析中，為丁消除季節(jié)變動的影響，也常計算“年距增長速度”，用以說明年距增長量與去年同期發(fā)展水平對比達(dá)到的相對增長程度。763、平均發(fā)展速度和平均增長速度平均發(fā)展速度和平均增長速度統(tǒng)稱為平均速度，是各個時期環(huán)比速度的平均數(shù)，說明社會經(jīng)濟現(xiàn)象在較長時期內(nèi)速度變化的平均程度。平均發(fā)展速度表示現(xiàn)象逐期發(fā)展的平均速度。平均增長速度則反映了現(xiàn)象逐期遞增的平均速度。77（１）平均發(fā)展速度的計算平均發(fā)展速度是對各期環(huán)比發(fā)展速度求平均的結(jié)果，計算方法有幾何平均法和方程式法。常用的方法是幾何平均法。78幾何平均法平均發(fā)展速度x是環(huán)比發(fā)展速度。79例：某地區(qū)糧食產(chǎn)量1985—1987年平均發(fā)展速度是1.03，1988—1989年平均發(fā)展速度是1.05，1990年比1989年增長６％，試求1985—1990年的平均發(fā)展速度。8081（２）平均增長速度的計算平均增長速度=平均發(fā)展速度－182例：8384推算預(yù)測an85例：已知1990年我們國民收入生產(chǎn)額為14300億元，若以平均每年增長5%的速度發(fā)展，到2000年國民收入生產(chǎn)額將達(dá)到什么水平？86874、計算和應(yīng)用平均速度時應(yīng)注意的幾個問題（1）要結(jié)合具體研究目的，適當(dāng)?shù)剡x擇基期，并注意其所依據(jù)的基本指標(biāo)在整個研究時期的同質(zhì)性。88（2）速度與水平指標(biāo)的結(jié)合運用現(xiàn)象發(fā)展的水平分析是現(xiàn)象發(fā)展速度分析的基礎(chǔ)，速度分析是水平分析的深入和繼續(xù)，把它們結(jié)合起來運用，就能夠?qū)ΜF(xiàn)象發(fā)展變化的規(guī)律做出更加深刻的分析。89①要把發(fā)展速度和增長速度同隱藏其后的發(fā)展水平結(jié)合起來進行分析。這種分析可采用增長１％的絕對值指標(biāo)。它是以絕對增長量除以相應(yīng)的百分?jǐn)?shù)表現(xiàn)的增長速度，即前期水平的百分之一。90②要把平均速度指標(biāo)與時間數(shù)列發(fā)展水平指標(biāo)結(jié)合運用。平均速度指標(biāo)是環(huán)比速度的代表值，如果時間數(shù)列中各期水平差異大，平均速度就掩蓋了它們的差別，這時就需要把各期水平和環(huán)比速度結(jié)合起來應(yīng)用。91第四節(jié)現(xiàn)象變動的趨勢分析一、概述時間數(shù)列中各項發(fā)展水平的發(fā)展變化，是由許多復(fù)雜因素共同作用的結(jié)果。影響因素歸納起來大體有四種：長期趨勢、季節(jié)變動、循環(huán)變動和不規(guī)則變動。921.長期趨勢長期趨勢指現(xiàn)象在一段較長的時間內(nèi)，由于普遍的、持續(xù)的、決定性的基本因素的作用，使發(fā)展水平沿著一個方向，逐漸向上或向下變動的趨勢叫長期趨勢。認(rèn)識和掌握事物的長期趨勢，可以把握事物發(fā)展變化的基本特點。93Trend:Thelong-termgeneralchangeinthelevelofthedatawitha durationoflongerthanayear.Itcanbelinear（straightline）ornon-linear（smoothcurve）,likee.g.

quadraticetc.tYtexponential

94２、季節(jié)變動季節(jié)變動指現(xiàn)象受季節(jié)的影響而發(fā)生的變動。即現(xiàn)象在一年內(nèi)或更短的時間內(nèi)隨著時序的更換，呈現(xiàn)周期重復(fù)的變化。季節(jié)變動的原因，既有自然因素又有社會因素。95Seasonalvariations:Regularwavelikefluctuationsofconstantlength,repeatingthemselveswithinaperiodofnolongerthanayear.Seasonalvariationsareusuallyassociatedwiththefourseasonsoftheyear,buttheymayalsorefertoanysystematicpatternthatoccursduringamonth,aweekorevenasingleday.tYt96３、循環(huán)變動指現(xiàn)象發(fā)生的周期比較長的漲落起伏變動。多指經(jīng)濟發(fā)展興衰相替之變動。97Peak

Cyclicalvariations: Wavelikemovements,quasiregular fluctuationsaroundthelong-termtrend, lastinglongerthanayear.BeginningtroughEndingtroughThetimegapbetweenthebeginningtroughandendingtroughisthelengthofthecycle,whiletheverticaldistancebetweenthethroughandthepeakistheamplitudeofthecycle.tYt98Thetimeperiodbetweenthebeginningtroughandthepeakiscalledexpansionphase,whiletheperiodbetweenthepeakandtheendingtroughistermedcontractionphase.Cyclicalvariationsareoftenattributedtobusinesscycles,i.e.totheupsanddownsinthegenerallevelofbusinessactivity.However,whileseasonalvariationsareabsolutelyregularandoccurovercalendarperiodsnolongerthanayear,cyclicalvariationsmightanddochangebothintheirintensity（amplitude）andduration,andtheylastlongerthanayear.Itisfarmoredifficulttostudyandpredictthecyclicalcomponentthantheseasonalcomponent.994、不規(guī)則變動除以上各因素外，受臨時的、偶然因素或不明原因而引起的非周期性、非趨勢性的隨機變動，不規(guī)則變動是無法預(yù)測的。100

Therandomvariationsofthedatacomprisethedeviationsoftheobservedtimeseriesfromtheunderlyingpattern.

Whenthisirregularcomponentisstrongcomparedtothe（quasi-）regularcomponents,ittendstohidetheseasonalandcyclical variations,anditisdifficulttobedetachedfromthepattern.

However,ifwemanagetocapturethetrend,theseasonalandcyclical variations,theremainingchangesdonothaveanydiscernible（可辨別的）pattern,sotheyaretotallyunpredictable.101

Thefourcomponentsofatimeseries（T:trend,S:seasonal,C:cyclical, R:random）canbecombinedindifferentways.Accordingly,thetime seriesmodelusedtodescribetheobserveddata（Y）canbeAdditive:Multiplicative:E.g.:Ifthetrendislinear,thesetwomodelslookasfollows:Inanadditivemodeltheseasonal,cyclicalandrandomvariationsareabsolutedeviationsfromthetrend.Inamultiplicativemodeltheseasonal,cyclicalandrandomvariationsarerelative（percentage）deviationsfromthetrend.Theydonotdependonthelevelofthetrend.Thehigherthetrend,themoreintensivethesevariationsare.102

Thesetimeserieshaveanincreasinglineartrendcomponent,butthefluctuationsaroundthistrendhavethesameintensity;thefluctuationsaroundthistrendaremoreandmoreintensive.

Thoughinpracticethemultiplicativemodelisthemorepopular,both modelshavetheirownmeritsand,dependingonthenatureofthetime seriestobeanalysed,theyareequallyacceptable.103二、長期趨勢的測定為了反映現(xiàn)象發(fā)展變化的長期趨勢．須對原有時問數(shù)列進行統(tǒng)計處理，一般稱之為時間數(shù)列的修勻，修勻時間數(shù)列可以有很多統(tǒng)計方法?，F(xiàn)就最主要的方法分別敘述如下。104（一）時距擴大法

這種方法是將時間數(shù)列各項指標(biāo)所反映的時期適當(dāng)擴大使指標(biāo)數(shù)值相應(yīng)增大，以消除偶然因素所引起的波動影響，從而現(xiàn)象發(fā)展變化的趨勢就能夠明顯地表露出來。例：某省歷年重大自然科學(xué)技術(shù)研究成果統(tǒng)計資料加以說明。105從表8-14資料（見Excel08-14）可知，某省重大自然科學(xué)技術(shù)研究成果項數(shù)在各年之間時多時少，起伏不定。若將時期從一年擴大為三年，則時多時少的變化不見了，呈現(xiàn)出來的是不斷增長這一長期趨勢。修勻后的數(shù)據(jù)整理如表8-15（見Excel08-14）。

106現(xiàn)將以上結(jié)果繪制成圖，實線表示原有數(shù)據(jù)，虛線為修勻后數(shù)據(jù)（年平均數(shù)）。107

在應(yīng)用時距擴大法修勻時間數(shù)列時，一個重要的問題是把時距擴大到適當(dāng)程度。這就要按照現(xiàn)象發(fā)展的具體情況而定。如果擴大得不夠，便不能消除偶然因素的影響；擴大過了頭，反而會掩蓋現(xiàn)象發(fā)展變化的趨勢。時期數(shù)列各項指標(biāo)數(shù)值的大小與其所屬時期長短有緊密關(guān)聯(lián)，時距擴大，指標(biāo)數(shù)值相應(yīng)增大。所以，單純擴大時距，只能用于時期數(shù)列，不能用于時點數(shù)列，因為在時點數(shù)列中，時距擴大，指標(biāo)數(shù)值不一定增大，必須在擴大時距的基礎(chǔ)上通過原有的時點數(shù)字求出序時平均數(shù)，這樣才能反映出客觀現(xiàn)象發(fā)展的長期趨勢。

108（二）移動平均法這是對原有時間數(shù)列進行修勻，測定其長期趨勢的一個常用而又較為簡單的方法。又稱繼動平均法。它是采用逐項遞移的辦法分別計算一系列移動的序時平均數(shù)．形成一個新的派生序時平均數(shù)時間數(shù)列。在這個派生的時間數(shù)列中，短期的偶然因素引起的變動被削弱，從而呈現(xiàn)出現(xiàn)象在較長時間的基本發(fā)展趨勢。

109Example:Thedaily（Monday–Friday）salesfiguresduringthelastfourweekswererecordedinamedium-sizemerchandisingfirm.Plottheseriesonagraph.110week1week2week3week4Thistimeseriesseemstohaveaslightupwardlineartrendandweeklyseasonalvariations.Calculate3-daymovingaverages.NoMAvalueforthefirst（neitherforthelast）day.111Calculate5-daymovingaverages.Plottheoriginaltimeseriesandthe3-day,5-daymovingaverages（MA（3）andMA（5）,respectively）onthesamegraph.MA（3）MA（5）

Thisfiguresuggeststhatthelongerthemovingaverageperiodthestrongerthesmoothingeffect,theshorterthesmoothedseries.Whenthemovingaverageperiodisrelativelylarge,alongwiththerandomvariations,theseasonalandcyclicalvariationsarealsoremovedandonlythelong-termtrendcanberevealed.112Whatifanevennumberofperiodsareusedtocalculatethemovingaverages?

Forexample,ifwecalculate4-periodmovingaverages,MA（4）mustbeplacedtothemiddleofthe‘window’,i.e.betweenthesecondandthirdobservationsinvolvedinthearithmeticmean.

Sincethismakesinterpretationandgraphingdifficulty,weprefertousecenteredmovingaverageswhich,inthiscase,arethe2-periodmovingaveragesofthe4-periodmovingaverages.（Ex1）Calculatethe4-daycenteredmovingaverages,CMA（4）.113（三）分段平均法此法是將時間數(shù)列各項數(shù)值平均分為幾部份，各求其平均數(shù)，然后將這幾個平均數(shù)繪在圖上，據(jù)此可確定兩點等，聯(lián)結(jié)兩點成一直線。分段平均法用于擬臺趨勢直線，又稱之為半數(shù)平均法。其數(shù)學(xué)根據(jù)是∑（y—yc）＝0114例今假定某地生產(chǎn)某種化肥歷年產(chǎn)量的統(tǒng)計資料如表8-17（見Excel）

。先將數(shù)列中各項數(shù)值平均分為兩半，苦數(shù)列項數(shù)是偶數(shù)項，平分兩部份不成問題。而上表資料為奇數(shù)項，因此，平分之前先作如下處理：刪去第一項數(shù)字，即將1978華產(chǎn)量772萬噸刪左?；蛘邉h去中間—項數(shù)字，即刪占第七項1984年產(chǎn)量數(shù)字。再有一種處理方法是把中間一項即1984年產(chǎn)量計其兩次，使數(shù)列變?yōu)榕紨?shù)項。115

現(xiàn)根據(jù)表中資料，將第一項1978年數(shù)字刪去，整個數(shù)列分關(guān)兩部份。第一年到第六年為數(shù)列前半的年份，第七年到第十二年又?jǐn)?shù)列后半的年份，并分別用t1、t2代表前半部份年份及后半部份年價的平均數(shù)（見Excel）

。用y1代表前半部份數(shù)值的平均數(shù)，y2代表后半部份數(shù)值的平均數(shù)（見Excel）

。116

兩點決定一條直線，直線方程為：117

118（四）最小平方法（最小二乘法）其中心思想是通過最小平方法，擬合一條趨勢線，使這條趨勢線必須滿足下列兩點要求：（1）原數(shù)列（亦即各散點）與趨勢線的離差平方和為最??；（2）原數(shù)列（亦即各散點）與趨勢線的離差總和為零。這里，（1）是最基本的，如果〔1）能夠滿足，（2）也就必然能得到滿足。119以公式表示如下：120

這個方法可用于配合直線，也可用于配合曲線。必須根據(jù)被研究現(xiàn)象發(fā)展變化的情況具體步驟：先要根據(jù)長時間豐富的統(tǒng)計資料，在直角坐標(biāo)上繪制散點圖。從圖上看，大體上呈直線變動的，就配合直線；大體上呈曲線變動的，就配合曲線。1211.直線趨勢122

123

以8-17某地某種化肥產(chǎn)量的實際資料進行計算，將計算表列出如表8-19。得直線趨勢方程；

yc＝774十0.78t計算各年的趨勢值。各年實際值和趨勢值之離差總和亦為零。即，∑（y—yc）＝0.將原數(shù)列繪成折線圖并將分段平均法與最小平方法配合的兩條直線一并列出得圖8-3：124

1252.曲線趨勢曲線有多種多樣。當(dāng)客觀現(xiàn)象的發(fā)展呈曲線變動時，仍然可以用最小平方法配合曲線，根據(jù)曲線方程，求得趨勢值。以二次曲線為例，二次曲線方程為：y＝a十bt十ct2方程中有三個待定參數(shù)a、b、c，因而按最小平方法得出下列三個標(biāo)準(zhǔn)方程：126

127三、季節(jié)變動的測定測定季節(jié)變動的方法很多，以其是否考慮長期趨勢的影響來看分為兩種：一是不考慮長期趨勢的影響，直接根據(jù)原始的時間數(shù)列來計算；一是將原始的時間數(shù)列中長期趨勢影響剔除以后再進行計算。前者常用的方法是按月（季）平均法。后有常用的方法是移動平均趨勢剔除法。128不管應(yīng)用哪種方法，都需要具備若干年至少應(yīng)有五年各月（季）發(fā)展水平的資料，才能比較正確地觀察現(xiàn)象受季節(jié)變動的影響情況。129

（一）按月（季）平均法

是月度資料就按月平均，是季度資料就按季平均。根據(jù)按月（或季）平均法來測定季節(jié)變動的一般計算步驟和方法如下：（1）分別就每年各月的數(shù)字加總后，求各該年的月平均數(shù)；（2）各年同月數(shù)字加總，求若干年內(nèi)同月的平均數(shù)；（3）若干年內(nèi)每個月的數(shù)字加總，求總的月平均數(shù)；（4）將若干年內(nèi)同月的平均數(shù)與總的月平均數(shù)相比，即得各月的季節(jié)比率，是為季節(jié)指數(shù)。

130例設(shè)某禽蛋加工廠5年來各月總產(chǎn)量資料如表8-24。（見Excel8-24）。由表8—24資料可知：

各月份季節(jié)比率之和，