第三章 圓錐曲線的方程 章末測試（基礎）（解析版）

第三章圓錐曲線方程章末測試（基礎）單選題(每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分)1．（2023春·陜西西安·高二?？茧A段練習）已知點在拋物線上，則拋物線的焦點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為點在拋物線上，所以，則，所以拋物線的標準方程是，則拋物線的焦點坐標為，故選：C.2．（2023春·廣東深圳·高二?？计谥校╇p曲線的焦點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，所以，又因為焦點在軸上，所以焦點坐標為.故選：A.3．（2023春·廣東深圳·高二?？计谥校E圓與直線的位置關系是（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定【答案】B【解析】直線過定點在橢圓內，故直線與橢圓相交.故選:B.4．（2023春·河南駐馬店·高二統考階段練習）已知，分別是橢圓：的左、右焦點，是橢圓在第一象限內的一點，若，則（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】由橢圓的方程可得，，所以，設，則，由在第一象限可得，即，因為，所以，整理可得，解得或2（舍，即，，所以在中，，故選：A．

5．（2023春·內蒙古赤峰·高二校考階段練習）在橢圓上求一點，使點到直線的距離最大時，點的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如下圖所示：

根據題意可知，當點在第三象限且橢圓在點處的切線與直線平行時，點到直線的距離取得最大值，可設切線方程為，聯立，消去整理可得，，因為，解得，所以，橢圓在點處的切線方程為，因此，點到直線的距離的最大值為,聯立，可得點的坐標為.故選：B.6．（2022秋·江蘇徐州·高二統考期中）已知等軸雙曲線的焦距為8，左、右焦點在軸上，中心在坐標原點，點的坐標為，為雙曲線右支上一動點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為等軸雙曲線的左、右焦點在軸上，中心在坐標原點，所以可設雙曲線的方程為，又因為雙曲線的焦距為8，所以，而，所以，故雙曲線的標準方程為.由雙曲線的定義可知，，由題意可知，，，，所以,故的最大值為，當且僅當三點共線且點位于第一象限時取得最大值.故選：B

7．（2022秋·江蘇淮安·高二統考期中）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且與橢圓有相等的焦距，則C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由橢圓得其半焦距為，依題意，，雙曲線的漸近線方程為，于是，即，由，解得，所以雙曲線C的方程為.故選：A8．（2023·浙江溫州·高二校聯考期中）橢圓（）的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在點P滿足，則橢圓C的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設橢圓的上頂點為,則令,則,

且，,,故選：B.二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）9．（2023秋·高二課時練習）對于橢圓，下面說法正確的是（

）A．長軸長為2 B．短軸長為3 C．離心率為 D．焦距為2【答案】CD【解析】橢圓的方程為，其中，則，所以其長軸長．短軸長，焦距，離心率．故A、B錯誤，C、D正確.故選：CD．10．（2023秋·高二課時練習）點為橢圓C的兩個焦點，橢圓C上存在點P，使得，則橢圓C的方程可以是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】設橢圓方程為，設橢圓上頂點為B，橢圓上存在點，使得，

則需，由余弦定理可得，，即，，，則，檢驗可得選項A，C，D滿足.故選：ACD.11．（2023秋·高二單元測試）已知雙曲線，給出以下4個命題，真命題的是（）A．直線與雙曲線有兩個交點B．雙曲線C與1有相同的漸近線C．雙曲線C的焦點到一條漸近線的距離為3D．雙曲線的焦點坐標為【答案】BC【解析】A，因為直線與漸近線平行，與雙曲線只有一個交點，錯誤；B，兩曲線漸近線方程均為，正確；C，右焦點為到漸近線的距離為，正確；D，因，所以雙曲線焦點坐標為和，錯誤．故選：BC12．（2023春·廣東深圳·高二?？计谥校┤舴匠趟硎镜那€為，則下面四個說法中正確的是（

）A．若，則為橢圓B．若為橢圓，且焦點在軸上，則C．曲線可能是圓D．若為雙曲線，則【答案】BC【解析】方程所表示的曲線為.A.當，取時，方程為，表示圓，錯誤；B.若為橢圓，且焦點在y軸上，則，即，所以B正確；C.時，方程為，表示圓，所以C正確；.若為雙曲線，可得，解得或，所以D錯誤.故選：BC三、填空題(每題5分，4題共20分)13．（2023春·湖南長沙·高二雅禮中學校考期末）若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為．【答案】【解析】，，即，，雙曲線方程為，漸近線方程為．故答案為：14．（2023春·甘肅臨夏·高二?？茧A段練習）橢圓的焦點坐標為和，橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和為10的橢圓的標準方程為.【答案】【解析】依題意，橢圓長軸長，則，而橢圓半焦距，因此橢圓短半軸長，所以所求橢圓標準方程是.故答案為：15．（2022秋·江蘇徐州·高二統考期中）設是雙曲線的左、右焦點，是坐標原點．過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則雙曲線的離心率為．【答案】【解析】如圖所示：

設雙曲線的一條漸近線方程為，因為焦點到漸近線的距離為，所以，則，所以，因為，所以，解得：.故答案為：.16．（2023春·湖南·高二校聯考階段練習）已知點是雙曲線上一點，分別是雙曲線的左、右焦點，的周長為，則的面積為．【答案】【解析】根據對稱性，不妨設在雙曲線的右支上，則．因為的周長為，所以，所以．

在中，，則，所以的面積為．故答案為：.四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）17．（2023·云南昭通）已知命題：實數滿足不等式；命題：實數滿足方程表示雙曲線.(1)若命題為真命題，求實數的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）由，得，而，所以所以實數的取值范圍為.（2）命題為真時，實數的取值范圍為；命題為真時，，即實數的取值范圍為，而是的充分不必要條件，即，所以（等號不同時成立），解得，所以實數的取值范圍.18．（2022秋·湖南永州·高二統考階段練習）已知雙曲線的離心率為，虛軸長為．(1)求雙曲線C的方程；(2)已知直線與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且線段AB的中點在圓上，求m的值．【答案】(1)(2)．【解析】（1）∵，∴，∵，∴，，∴，∴所求雙曲線方程為；（2）由，消y得，，故，，∴AB中點為，代入中可得，∴．19．（2023·陜西渭南）已知橢圓與橢圓有共同的焦點，且橢圓經過點．(1)求橢圓的標準方程；(2)設為橢圓的左焦點，為原點，為橢圓上任意一點，求的最大值．【答案】(1)(2)6【解析】（1）橢圓的焦點坐標為，橢圓的焦點坐標為．可設橢圓的標準方程為．由橢圓經過點，可得，解得或（舍）．橢圓的標準方程為．（2）由（1）可得，設，，得，且，，，，當時，取最大值6．20．（2023春·河南）已知橢圓，左右焦點分別為，，直線與橢圓交于，兩點，弦被點平分．(1)求直線的方程；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【解析】（1）因為弦被點平分，所以設交點坐標則，兩式相減得：），所以直線的斜率，故直線的方程為（2），聯立橢圓與直線方程得所以，所以，又因為直線過點，所以．

21．（2023春·陜西安康·高二?？计谥校┮阎獧E圓的一個焦點為，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)不過原點的直線與橢圓交于兩點，求面積的最大值及此時直線的方程.【答案】(1)(2)最大值為，方程為【解析】（1）由已知得，由離心率，得，橢圓的方程為.（2）設，聯立可得，，直線與橢圓交于兩點，，解得，由韋達定理可得，由弦長公式可得，點到直線的距離為，，當且僅當，即時取等號，面積的最大值為，此時直線的方程為.22．（20