新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第8章8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用8.2.1一元線性回歸模型8.2.2第1課時(shí)一元線性回歸模型及參數(shù)的最玄乘估計(jì)學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

第1課時(shí)一元線性回歸模型及參數(shù)的最小二乘估計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)1．了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義．(數(shù)學(xué)抽象)2．了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法．(數(shù)學(xué)抽象)3．針對(duì)實(shí)際問題，會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)．(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算)某地區(qū)從某一年開始進(jìn)行了環(huán)境污染整治，得到了如下數(shù)據(jù)：第x年1234567污染指數(shù)y6.15.24.54.73.83.43.1作出這些成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，判斷污染指數(shù)y與x是否線性相關(guān)？在知道y與x線性相關(guān)的前提下，你能找出近似描述y與x之間關(guān)系的一次函數(shù)表達(dá)式嗎？根據(jù)所得到的關(guān)系式，你能估計(jì)出該地區(qū)第8年的污染指數(shù)嗎？知識(shí)點(diǎn)1一元線性回歸模型Y=bx+a+e，Ee=0，De=σ2，為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型．其中，Y稱為________或________，x稱為________或________．a(chǎn)和b1．具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，其樣本點(diǎn)散布在某一條直線y＝bx＋a的附近，可以用一次函數(shù)y＝bx＋a來描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系嗎？知識(shí)點(diǎn)2經(jīng)驗(yàn)回歸方程(1)有關(guān)概念y＝bx＋a稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為________，求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的b，a叫做(2)計(jì)算公式b＝________＝，a＝________(1)經(jīng)驗(yàn)回歸直線過點(diǎn)(x，y)，不一定過成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(2)經(jīng)驗(yàn)回歸直線的截距a和斜率b都是通過樣本估計(jì)而得的，存在著誤差，這種誤差可能導(dǎo)致預(yù)報(bào)結(jié)果的偏差．(3)經(jīng)驗(yàn)回歸方程y＝ax＋b中的b表示x增加1個(gè)單位時(shí)，y的平均變化量為b，而a表示2．正相關(guān)、負(fù)相關(guān)與b的符號(hào)有何關(guān)系？1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)隨機(jī)誤差是一個(gè)隨機(jī)變量． ()(2)經(jīng)驗(yàn)回歸方程最能代表觀測(cè)值x，y之間的線性關(guān)系，且回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(x，y)． ((3)求經(jīng)驗(yàn)回歸方程前可以不進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)． ()(4)利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程求出的值是準(zhǔn)確值． ()2．下列有關(guān)經(jīng)驗(yàn)回歸方程y＝bx＋a①反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系；②反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系；③表示y與x之間不確定關(guān)系；④表示最接近y與x之間真實(shí)關(guān)系的一條直線．3．某地區(qū)近十年居民的年收入x與支出y之間的關(guān)系大致符合y＝0.8x＋0.1(單位：億元)，預(yù)計(jì)今年該地區(qū)居民收入為15億元，則年支出估計(jì)是________億元．類型1一元線性回歸模型的理解【例1】在一元線性回歸模型Y＝bx＋a＋e中，下列說法正確的是()A．Y＝bx＋a＋e是一次函數(shù)B．響應(yīng)變量Y是由解釋變量x唯一確定的C．響應(yīng)變量Y除了受解釋變量x的影響外，可能還受到其他因素的影響，這些因素會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生D．隨機(jī)誤差e是由于計(jì)算不準(zhǔn)確造成的，可通過精確計(jì)算避免隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生[嘗試解答]明確一元線性回歸模型的含義是解題的關(guān)鍵，其中a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx＋a之間的隨機(jī)誤差．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．關(guān)于一元線性回歸模型Y=bx+a+e，①表達(dá)式Y(jié)＝bx＋a＋e刻畫的是變量Y與變量x之間的線性相關(guān)關(guān)系；②bx＋a反映了由于x的變化而引起的Y的線性變化；③誤差項(xiàng)e是一個(gè)期望值為0的隨機(jī)變量，即E(e)＝0；④對(duì)于所有的x值，e的方差σ2都相同．其中正確的是________(填序號(hào))．類型2求經(jīng)驗(yàn)回歸方程【例2】隨著網(wǎng)絡(luò)的普及，網(wǎng)上購物的方式已經(jīng)受到越來越多年輕人的青睞，某家網(wǎng)絡(luò)店鋪商品的成交量x(單位：件)與店鋪的瀏覽量y(單位：次)之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示：x/件24568y/次3040506070(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖；(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(3)當(dāng)這種商品的成交量突破100件(含100件)時(shí)，預(yù)測(cè)這家店鋪的瀏覽量至少為多少．[嘗試解答]求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的基本步驟(1)畫出散點(diǎn)圖，從直觀上分析數(shù)據(jù)間是否存在線性相關(guān)關(guān)系；(2)(3)代入公式求出y＝bx＋a(4)寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程并對(duì)實(shí)際問題作出估計(jì)．提醒：只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程才有實(shí)際意義．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民收入逐年增長(zhǎng)，該地一銀行連續(xù)五年年底的儲(chǔ)蓄存款情況如表所示．年份x20182019202020212022儲(chǔ)蓄存款額y/千億元567810為了計(jì)算方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，令t＝x－2017，z＝y(tǒng)－5，得到下表．t12345z01235(1)作z關(guān)于t的散點(diǎn)圖，求z關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)通過(1)中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程．[嘗試解答]類型3利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)【例3】(源自湘教版教材)一個(gè)車間為了估計(jì)加工某種新型零件所花費(fèi)的時(shí)間，進(jìn)行了10次試驗(yàn)，測(cè)得的數(shù)據(jù)如表所示：零件個(gè)數(shù)x102030405060708090100加工時(shí)間y/min626875818995102108115122(1)y與x之間是否具有相關(guān)關(guān)系？(2)如果y與x之間具有相關(guān)關(guān)系，求經(jīng)驗(yàn)回歸方程(結(jié)果保留三位小數(shù))．(3)據(jù)此估計(jì)加工110個(gè)零件所用的時(shí)間．[嘗試解答](1)判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)：可以利用經(jīng)驗(yàn)，也可以畫散點(diǎn)圖．(2)求經(jīng)驗(yàn)回歸方程，注意運(yùn)算的正確性．(3)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)估計(jì)：估計(jì)值不是實(shí)際值，兩者會(huì)有一定的誤差．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得如表數(shù)據(jù)：x681012y2356(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y＝(3)試根據(jù)求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力．參考公式：b＝，a＝y(tǒng)－bx．1．某樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝0.5x＋0.7，當(dāng)x＝8時(shí)，y的實(shí)際值為4.5，則當(dāng)x＝8時(shí)，預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的差值為()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.42．對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，3，…，8)，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝16x＋a，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝6，y1＋y2＋y3＋…＋y8＝9，則a的值為(A．－2 B．2C．－1 D．13．調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對(duì)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程：y＝0.254x＋0.321．由經(jīng)驗(yàn)回歸方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元．4．如圖是一組數(shù)據(jù)(x，y)的散點(diǎn)圖，經(jīng)最小二乘估計(jì)公式計(jì)算，y與x之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝bx＋1，則b＝________．回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：1．經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定過哪個(gè)點(diǎn)？2．y與x正、負(fù)相關(guān)的充要條件各是什么？3．b的實(shí)際意義是什么？“回歸”一詞的由來統(tǒng)計(jì)學(xué)中的“回歸”一詞，是統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓引入的．早在19世紀(jì)80年代，高爾頓就開始了親代與子代(即父母親與子女)之間相似特征(身高、性格等)的研究．他收集了一些親代的身高x與子代的身高y的成對(duì)數(shù)據(jù)，并作出了散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)y與x的關(guān)系可以借助一次函數(shù)來近似表示，而且總體上親代的身高增加時(shí)，子代的身高也增加．但是，高爾頓在研究過程中，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象．他收集的數(shù)據(jù)顯示，總體上親代的平均身高為68英寸(約為172.72cm)，子代的平均身高為69英寸，子代的平均身高比親代的平均身高大1英寸(約為2.54cm)．于是，一個(gè)自然的推想是：平均身高為63英寸的親代，其子代的平均身高應(yīng)約為64英寸；平均身高為72英寸的親代，其子代的平均身高應(yīng)約為73英寸．但實(shí)際數(shù)據(jù)顯示：平均身高為63英寸的親代，其子代的平均身高為67英寸，增加量為4英寸；平均身高為72英寸的親代，其子代的平均身高為71英寸，增加量為－1英寸．也就是說，平均身高不同的親代，其子代的平均身高增加量并不相等，但子代的平均身高有回歸于中心(即總體平均值)的趨勢(shì)．正是由于這種現(xiàn)象的存在，高爾頓引入了“回歸”一詞．雖然不是所有相關(guān)關(guān)系中都會(huì)發(fā)生類似的現(xiàn)象，但從那以后，“回歸”就成了相關(guān)關(guān)系討論中一個(gè)約定俗成的詞了．第1課時(shí)一元線性回歸模型及參數(shù)的最小二乘估計(jì)[必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知]知識(shí)點(diǎn)1因變量響應(yīng)變量自變量解釋變量截距斜率e思考1提示：不能．知識(shí)點(diǎn)2(1)經(jīng)驗(yàn)回歸直線(2)y－思考2提示：Y與X正相關(guān)的充要條件是b>0，Y與X負(fù)相關(guān)的充要條件是b<0．課前自主體驗(yàn)1．(1)√(2)√(3)×(4)×2．①④[y＝bx＋a表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系，而不是y與x之間的函數(shù)關(guān)系，但它反映的關(guān)系最接近y與x之間的真實(shí)關(guān)系，故3．12.1[∵y＝0.8x＋0.1，∴y＝0.8×15＋0.1＝12.1(億元)．][關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難]例1C[對(duì)于A中，一元線性回歸模型Y＝bx＋a＋e中，方程表示的不是確定性關(guān)系，因此不是一次函數(shù)，所以A說法錯(cuò)誤；對(duì)于B中，響應(yīng)變量Y不是由解釋變量x唯一確定的，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，響應(yīng)變量Y除了受解釋變量x的影響外，可能還受到其他因素的影響，這些因素會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)誤差e的產(chǎn)生，所以C正確；對(duì)于D中，隨機(jī)誤差是不能避免的，只能將誤差縮小，所以D錯(cuò)誤．故選C．]跟進(jìn)訓(xùn)練1．①②③④[根據(jù)一元線性回歸模型的含義可知，以上說法均正確．]例2解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示．(2)根據(jù)散點(diǎn)圖可得，變量x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系．根據(jù)數(shù)據(jù)可知，代入公式得b＝＝1390-5×5×50145-5故所求的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是y＝7x＋15．(3)根據(jù)上面求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，當(dāng)成交量突破100件(含100件)，即x＝y(tǒng)-157≥100時(shí)，y≥715，所以預(yù)測(cè)這家店鋪的瀏覽量至少為跟進(jìn)訓(xùn)練2．解：(1)作散點(diǎn)圖，直觀看z與t具有線性相關(guān)關(guān)系．根據(jù)z關(guān)于t的表格數(shù)據(jù)，得t＝15(1＋2＋3＋4＋5)z＝15(0＋1＋2＋3＋5)且∴b＝＝45-5×a＝z－bt＝2.2－1.2×3所以z關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為z＝1.2t－1.4．(2)z＝1.2t－1.4，代入t