湖北省恩施市市書院中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測試題含解析

湖北省恩施市市書院中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.在中，已知，，，則的面積等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略2.黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案，則第n個圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是（

）A.4n+2 B.4n－2 C.2n+4 D.3n+3參考答案：A因?yàn)椋悍椒ㄒ唬海w納猜想法）觀察可知：除第一個以外，每增加一個黑色地板磚，相應(yīng)的白地板磚就增加四個，因此第n個圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是一個“以6為首項(xiàng)，公差是4的等差數(shù)列的第n項(xiàng)”．故第n個圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是4n+2方法二：（特殊值代入排除法）或由圖可知，當(dāng)n=1時，a1=6，可排除B答案當(dāng)n=2時，a2=10，可排除CD答案．故答案為A3.下列不等式中成立的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則參考答案：D4.圓：與圓：的位置關(guān)系是（

）A．相交

B．外切

C．內(nèi)切

D．相離參考答案：B5.等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和等于（

）

A．6

B．5

C．4

D．3參考答案：C略6.過拋物線的焦點(diǎn)作一條斜率不為0的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若線段、的長分別為、，則等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略7.（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B8.雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C．（0，±2） D．（±2，0）參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得其焦點(diǎn)位置以及c的值，由此可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為：，其焦點(diǎn)在y軸上，且c==2；則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±2），故選：C．9.若曲線（t為參數(shù)）與曲線x2+y2=8相交于B，C兩點(diǎn)，則|BC|的值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】J9：直線與圓的位置關(guān)系；QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】根據(jù)參數(shù)方程與普通方程的互化方法，然后聯(lián)立方程組，通過弦長公式，即可得出結(jié)論．【解答】解：曲線（t為參數(shù)），化為普通方程y=1﹣x，曲線x2+y2=8，y=1﹣x代入x2+y2=8，可得2x2﹣2x﹣7=0，∴|BC|=?=．故選：D．10.如圖21－4所示的程序框圖輸出的結(jié)果是()圖21－4A．6

B．－6

C．5

D．－5參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知集合，則=

參考答案：略12.計算3+5+7+…+（2n+3）=．參考答案：n2+4n+3【考點(diǎn)】85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】直接利用求和公式求解即可．【解答】解：3+5+7+…+（2n+3）==n2+4n+3．故答案為：n2+4n+3．13.如果實(shí)數(shù)x，y滿足（x+2）2+y2=3，則的最大值是．參考答案：【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；直線與圓．【分析】設(shè)=k，的最大值就等于連接原點(diǎn)和圓上的點(diǎn)的直線中斜率的最大值，由數(shù)形結(jié)合法的方式，易得答案【解答】解：設(shè)=k，則y=kx表示經(jīng)過原點(diǎn)的直線，k為直線的斜率．所以求的最大值就等價于求同時經(jīng)過原點(diǎn)和圓上的點(diǎn)的直線中斜率的最大值，如圖示：從圖中可知，斜率取最大值時對應(yīng)的直線斜率為正且與圓相切，此時的斜率就是其傾斜角∠EOC的正切值．易得|OC|=2，|CE|=r=，可由勾股定理求得|OE|=1，于是可得到k=tan∠EOC==，即為的最大值．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．14.用鐵皮制造一個底面為正方形的無蓋長方體水箱，要求水箱的體積為4，當(dāng)水箱用料最省時水箱的高為____________.參考答案：115.有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從這10件產(chǎn)品中任取兩件，用表示取到次品的件數(shù)，則的概率是_______；_______．參考答案：

【分析】表示兩件產(chǎn)品中，一個正品一個次品，可求概率；求出的所有取值，分別求出概率可得.【詳解】,根據(jù)題意的所有取值為；，，，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)變量的期望，明確隨機(jī)變量的可能取值及分布列是求解關(guān)鍵.16.參考答案：、、17.已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中點(diǎn)，求直線AE與平面ABC1D1所成角的正弦值

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，點(diǎn)P在棱DF上．（1）若P為DF的中點(diǎn)，求證：BF∥平面ACP（2）若直線PC與平面FAD所成角的正弦值為，求PF的長度．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的性質(zhì)．【分析】（1）連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接OP．利用OP為三角形BDF中位線，可得BF∥OP，利用線面平行的判定，可得BF∥平面ACP；（2）由已知中平面ABEF⊥平面ABCD，由面面垂直的性質(zhì)定理可得AF⊥平面ABCD，進(jìn)而AF⊥CD，結(jié)合四邊形ABCD為矩形及線面垂直的判定定理，可得CD⊥平面FAD，故∠CPD就是直線PC與平面FAD所成角，進(jìn)而解三角形求出DF和PD，進(jìn)而可得PF的長度．【解答】證明：（1）連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接OP．∵P是DF中點(diǎn)，O為矩形ABCD對角線的交點(diǎn)，∴OP為三角形BDF中位線，…∴BF∥OP，又∵BF?平面ACP，OP?平面ACP，∴BF∥平面ACP．

…解：（2）∵∠BAF=90°，∴AF⊥AB，又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，∴AF⊥平面ABCD，…∴AF⊥CD∵四邊形ABCD為矩形∴AD⊥CD

…又∵AF∩AD=A，AF，AD?平面FAD∴CD⊥平面FAD∴∠CPD就是直線PC與平面FAD所成角…∴sin∠CPD=，又∵AD=2，AB=CD=AF=1，∴DF==，PD===，∴得PF=DF﹣PD=

…19.（12分）已知函數(shù)，其圖象在點(diǎn)（1，）處的切線方程為（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求在區(qū)間[—2，4]上的最大值．參考答案：（1）ａ=1

b=（2）8（1），由題意得。得：ａ=1

，b=

……………5分

(2)得：x=2或x=0……………6分有列表且正確

…………9分(說明單調(diào)性也對)…11分

而f（-2）=-4，f（4）=8，……………12分

所以，f（x）的最大值為8.……………13分20.在矩形中ABCD中，AB=4，BC=2，M為動點(diǎn)，DM、CM的延長線與AB（或其延長線）分別交于點(diǎn)E、F，若?+2=0．（1）若以線段AB所在的直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，試求動點(diǎn)M的軌跡方程；（2）不過原點(diǎn)的直線l與（1）中軌跡交于G、H兩點(diǎn)，若GH的中點(diǎn)R在拋物線y2=4x上，求直線l的斜率k的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；軌跡方程．專題：平面向量及應(yīng)用．分析：（1）設(shè)M（x，y），由已知D、E、M及C、F、M三點(diǎn)共線求得xE、xF，可得、的坐標(biāo)，=，代入?+2=0，化簡可得點(diǎn)M的軌跡方程．（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m（m≠0），A（x1，y1）、B（x2，y2），M（x0，y0），由，可得關(guān)于x的一元二次方程，由△＞0，可得4k2﹣m2+3＞0①．利用韋達(dá)定理求得M的坐標(biāo)，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入y2=4x，可得m=﹣，k≠0②，將②代入①求得k的范圍．解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），由已知得A（﹣2，0）、B（2，0）、C（2，2）、D（﹣2，2），由D、E、M及C、F、M三點(diǎn)共線得，xE，xF=．又=（xE+a，0），=（xF﹣a，0），=，代入?+2=0，化簡可得+=1．（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m（m≠0），A（x1，y1）、B（x2，y2），M（x0，y0），由，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由題意可得△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，即4k2﹣m2+3＞0①．又x1+x2=﹣，故M（﹣，），將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入y2=4x，可得m=﹣，k≠0②，將②代入①得：16k2（3+4k2）＜81，解得﹣＜k＜且k≠0．點(diǎn)評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．21.某校從參加高一年級期中考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下部分頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：

（1）求分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個頻率分布直方圖；（2）估計本次考試的平均分；

（3）用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[60，80）的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至多有1人在分?jǐn)?shù)段[70，80）的概率。參考答案：（1）分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的頻率為1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1-0.7=0.3，故，如圖所示。

………4分（2）平均分為=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71；

………8分（3）由題意[60，70）分?jǐn)?shù)段人數(shù)為0.15×60=9人；[70，80）分?jǐn)?shù)段人數(shù)為0.3×60=18人；∵在[60，80）的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本，∴[60，70）分?jǐn)?shù)段抽取2人，分別記為m，n；[70，80）分?jǐn)?shù)段抽取4人，分別記為a，b，c，d；設(shè)從樣本中任取2人，至多有1人在分?jǐn)?shù)段[70，80）為事件A，則基本事件空間包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），…，（c，d），共15種，則事件A包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d），共9種，∴。

………………12分22.（理）如圖，點(diǎn)為斜三棱柱的側(cè)棱上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn).（1）求證：；（2）在任意中有余弦定理：.拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明。（3）在（2）中，我們看到了平面圖形中的性質(zhì)類比到空間圖形的例子，這樣的例子還有不少。下面請觀察平面勾股定理的條件和結(jié)論特征，試著將勾股定理推廣到空間去。勾股定理的類比三角形ABC四面體O-ABC條件AB⊥ACOA、OB、OC兩兩垂直結(jié)論AB2+AC2=BC2？請在答題紙上完成上表中的類比結(jié)論，并給出證明.參考答案：(1)證：；（4分）(2)解：在斜三棱柱中，有，其中為平面與平面所組成的二面角.

（7分）上述的二面角為，在中，T，由于，有.

（10分）（3）空間勾股定理的猜想：已知四面體O-ABC的三條側(cè)棱OA、O