備考2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-基本不等式

專題2.2基本不等式

日題型目錄

題型一直接法求最值

題型二配湊法求最值

題型三"1"的代換求最值

題型四消參法求最值

題型五商式求最值

題型六對(duì)勾函數(shù)求最值

題型七利用基本不等式證明不寺式

題型八利用基本不等式解決實(shí)際問題

題型九基本不等式與其余知識(shí)的綜合應(yīng)用

才典例集練

題型一直接法求最值

例1.（2022秋?海南?？?高三?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)無，y滿足/+丁=2,那么孫的最大值為（）

A.-B.gC.1D.2

42

例2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知3，+9y=18,當(dāng)無+2y取最大值時(shí)，則孫的值為（）

A.72B.2C.3D.4

第二反三

練習(xí)1.（2023春?湖南?高三桃江縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）若正實(shí)數(shù)8滿足乃=1,則當(dāng)他取最大值時(shí)，。的

值是（）

練習(xí)2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)則“2a+A=4”是“仍“”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2

練習(xí)3.（2021春?廣西南寧?高二?？茧A段練習(xí)）函數(shù)y=2無+嚏（尤>0）的最小值為（）

A.1B.2C.2&D.4

練習(xí)4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)/（X）=Q2+2X+C（XeR）的值域?yàn)閇。,+動(dòng)，則工+9的最小值

ca

為（）

A.-4B.4C.8D.-8

8

練習(xí)5.（2022秋?高三課時(shí)練習(xí)）已知正數(shù)x,》滿足3—=9,，則無+一的最小值為（）

y

A.8B.12C.2拒D.4+2夜

題型二配湊法求最值

,11

例3.（2023?上海?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=bg2x+^~大在區(qū)間（不+到上的最小值為_____________.

log4（2x）2

例4.（2022秋?新疆克拉瑪依?高三克拉瑪依市高級(jí)中學(xué)?？计谥校?）已知x>2,求函數(shù)>=尤+工的最小值;

x-2

（2）已知0<x<],求函數(shù)y=x（3-2x）+l的最大值.

舉一反三

4

練習(xí)6.（2021春?陜西渭南?高二校考階段練習(xí)）設(shè)實(shí)數(shù)x滿足1>0,則函數(shù)y=2+3%+—；的最小值為（）

x+1

A.4月-1B.4百+2C.473+1D.6

練習(xí)7.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）（多選）在下列函數(shù)中，最小值是2的函數(shù)有（）

A./（x）=x+-B.〃6=無（2亞-x）

C./(X)=x+14

D./(X)=XH-------(x>-2)

練習(xí)8.（2022秋?吉林?高三吉林毓文中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知0＜尤＜：,函數(shù)y=x（l-2無）的最大值是

練習(xí)9.（2023?山東荷澤?山東省東明縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知。e（0，兀），則-cos2^的最小值為_____.

2sin0

9

練習(xí)10.（2023?陜西榆林?統(tǒng)考三模）若不等式依2一6x+3＞0對(duì)xeR恒成立，則°的取值范圍是,a+一-

（2-1

的最小值為.

題型三"1"的代換求最值

例5.（2023?海南?？?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若正實(shí)數(shù)x,，滿足x+3y=l.則的最小值為（）

xy

A.12B.25C.27D.36

例6.（2023.安徽蚌埠.統(tǒng)考二模）若直線?1（。＞0力＞0）過點(diǎn)（2,3）,則2a+b的最小值為

舉一

練習(xí)n.（2023?北京?高三專題練習(xí)）已知a＞l,b＞l,a3b=100,則log/。+3log/。的最小值為（）

A.4B.6C.8D.12

練習(xí)12.（2023?湖北荊門?荊門某中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)滿足lga+lg6=lg（o+2b）,則2a+〃的最

小值是（）

A.5B.9C.13D.18

r\人

練習(xí)13.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知0〈光＜1,貝lj『+;—的最小值為（）

3x1—x

2032

A.20B.32C.—D.—

33

練習(xí)14.（2023?遼寧沈陽(yáng)?高三校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）已知l＜a＜4,則六+一1的最小值是______.

4—Qa—\

練習(xí)15.（2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考三模）已知實(shí)數(shù)。＞0＞。，且4-6=5,則一二+」的最小值為___________.

〃+12-b

題型四消參法求最值

例7.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考三模）已知孫＞0,且V+2盯=1,則#+,2的最小值為.

例8.（2022秋?天津靜海?高三靜海一中?？茧A段練習(xí)）若〃,6eR,且〃-/=1,則同+“一」的最大值為

b

舉一m

練習(xí)16.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)a＞0力＞0,且2。+6=1,則,+必?。ǎ?/p>

aa+3b

A.有最小值為紅城B.有最小值為土城

33

C.有最大值為上2員D.有最大值為"馬區(qū)

33

練習(xí)17.（2022秋?江蘇常州?高三江蘇省奔牛高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）實(shí)數(shù)〃，b,。滿足。+人＞0,b＞0,

片—ab+2Z?2—c7=0,則丁一的最小值為（）

ab+b

33

A.-2B.1C.-D.-

48

練習(xí)瓜⑵22秋?陜西西安?高三西安市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正數(shù)仍滿足片-2"+4=°,則的最小

值為（）

A.1B.72C.2D.2夜

練習(xí)19.（2022秋?重慶沙坪壩?高三重慶南開中學(xué)?？计谥校┱龜?shù)滿足2〃+匕=1,貝ij4a,+匕2的最小值為

練習(xí)20.（2023?浙江?二模）若4+62=a+6,則的取值范圍是.

a2+b2

題型五商式求最值

例9.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)匕>0,成+6=1,則〃/，的最小值為（）

例10.（2022?江蘇?高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的最小值

(2)y=/(xG7?)；

々+4

舉一反三

練習(xí)21.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知且必=8,貝1」心生一2的最小值是（）

C.14D.16

練習(xí)22.（2021秋?遼寧沈陽(yáng)?高三沈陽(yáng)市第五中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)X,則丫:一一的最大值是（

B.472C.-472D.1-4A/2

練習(xí)23.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知%>-1,則函數(shù)y=:+戈+4的最小值是

1%—4y

練習(xí)24.（2023?全國(guó)二專題練習(xí)）已知沖=1,且0<y<2，則冗2+16y2最大值為.

練習(xí)25.（2021秋.江蘇徐州.高三?？茧A段練習(xí)）若存在xe（O,心），使〒^~72a成立，貝匹的取值范圍是

\/JI々“I1

題型六對(duì)勾函數(shù)求最值

例11.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)xe[-2,0）,則無+工的取值范圍是

X

例12.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）（多選）已知關(guān)于x的加+6尤+c>。的解集是（-2,3）,則（）

A.a<Q

B.9a+6Z?+4c>0

C.關(guān)于X的不等式次2+法+“<0的解集是14

2

D.——-+c的最小值是-4

3/7+4

舉一反三

練習(xí)26.（2022秋?高三課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)y=/Q）的值域是,則函數(shù)/（%）=+1的值域是（

)

L3」fW

A.[；,4]

B.吟

X

練習(xí)27.（2022秋?吉林長(zhǎng)春.高三東北師大附中?？计谥校┮阎瘮?shù)〃幻=十^的定義域?yàn)?。”），則函數(shù)Ax）的

廠+1

值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[0,+oo）B.[2,+oo）C.0,1D.g,+s]

練習(xí)28.（2023秋?江蘇蘇州?高三統(tǒng)考期末）已知關(guān)于無的不等式以2+法+4>0的解集為（--加）噌,+8],其中

m<0,則）+￡的最小值為（）

A.-4B.4C.5D.8

練習(xí)29.（2023秋?江蘇常州?高三統(tǒng)考期末）（多選）下列函數(shù)中，以3為最小值的函數(shù)有（）.

A.y=6—3cosxB.y=4%-2x+2+7

9ex9

C.y-smxzD.y-1

4sit?尤"4e'

4

練習(xí)30.（2022秋.高三?？计谥校ǘ噙x）己知函數(shù)〃x）=x+—?jiǎng)t下列結(jié)論正確的是（）

x-l

A.若x>l,則/（x）有最小值5B.若x>l,則f（無）有最小值3

C.若x<l,則有最大值-3D.若x<l,則有最大值-5

題型七利用基本不等式證明不等式

例13.（2023?貴州黔西?校考一模）設(shè)b,c均為正數(shù)，S.a+b+c=l,證明:

（1）12+/+。2>1.

（2）a'c+b3a+c'b>abc.

例14.（2021秋?廣西欽州?高二校考期中）證明:

（1）］+/^■24（I>2）；

（2）2az+2b之>（a+bf.

舉一K㈢

33

練習(xí)31.已知〃>0,b>Of”中年=2,證明:

(1)a1+啟J/+bj24；

(2)/+房<2-

練習(xí)32.已知〃>0,Z?>0,且a+b=2.

⑴求〃2+從的最小值；

(2)證明：7^+1+7^+T<2A/2.

練習(xí)33.（2022秋.云南昆明.高一云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）⑴求函數(shù)”、）=。記（、>7）的最

大值;

(2)已知。>0,6>0,。+6=1,求證:

練習(xí)34.已知居yeR+,且X+y=l,求證:

⑴孫

⑵ITIT"

練習(xí)35.（2021?全國(guó)?高一專題練習(xí)）證明：+

題型八利用基本不等式解決實(shí)際問題

例15.目前，我國(guó)汽車工業(yè)迎來了巨大的革命時(shí)代，確保汽車產(chǎn)業(yè)可持續(xù)發(fā)展，國(guó)內(nèi)汽車市場(chǎng)正由傳統(tǒng)燃油車向新

能源、智能網(wǎng)聯(lián)汽車升級(jí)轉(zhuǎn)型.某汽車企業(yè)決定生產(chǎn)一種智能網(wǎng)聯(lián)新型汽車，生產(chǎn)這種新型汽車的月成本為400（萬(wàn)

元），每生產(chǎn)尤臺(tái)這種汽車，另需投入成本p（x）（萬(wàn)元），當(dāng)月產(chǎn)量不足40臺(tái)時(shí)，p（x）=4x（萬(wàn)元）；當(dāng)月產(chǎn)量不

小于40臺(tái)時(shí)，p（x）=21尤+幽2一900（萬(wàn)元）.若每臺(tái)汽車售價(jià)為20（萬(wàn)元），且該車型供不應(yīng)求.

X

（1）求月利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于月產(chǎn)量無（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）月產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)能獲得最大月利潤(rùn)?并求出最大月利潤(rùn).

例16.（2022秋?浙江衢州?高一校考期中）如圖，居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場(chǎng)所，它的主體造型平面圖是由

兩個(gè)相同的矩形A8CD和E/汨構(gòu)成的面積為200m2的十字形地域.計(jì)劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價(jià)為

4200元/n?；在四個(gè)相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價(jià)為210元/n?；再在四個(gè)空角（圖中四個(gè)

三角形）上鋪草坪，造價(jià)為80元/mL受地域影響，的長(zhǎng)度最多能達(dá)到4m,其余邊長(zhǎng)沒有限制.

EF

（1）設(shè)總價(jià)為S（單位：元），長(zhǎng)為x（單位：m）,試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

⑵當(dāng)x為何值時(shí)，S最??？并求出這個(gè)最小值.

舉一反三

練習(xí)36.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖所示，有一批材料長(zhǎng)為24m,如果用材料在一邊靠墻（墻足夠長(zhǎng)）的地

方圍成一塊矩形場(chǎng)地，中間用同樣的材料隔成兩個(gè)面積相等的矩形，那么圍成的矩形場(chǎng)地的最大面積是多少？

//////////////

練習(xí)37.（2023春?內(nèi)蒙古呼和浩特?高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知某公司計(jì)劃生產(chǎn)一批產(chǎn)品總共f萬(wàn)件其

成本為+（萬(wàn)元/萬(wàn)件），其廣告宣傳總費(fèi)用為由萬(wàn)元，若將其銷售價(jià)格定為（4+手J萬(wàn)元/萬(wàn)件.

⑴將該批產(chǎn)品的利潤(rùn)，（萬(wàn)元）表示為f的函數(shù)；

（2）當(dāng)廣告宣傳總費(fèi)用為多少萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元?

練習(xí)38.為響應(yīng)國(guó)家“降碳減排”號(hào)召，新能源汽車得到蓬勃發(fā)展，而電池是新能源汽車最核心的部件之一.湖南某企

業(yè)為抓住新能源汽車發(fā)展帶來的歷史性機(jī)遇，決定開發(fā)生產(chǎn)一款新能源電池設(shè)備.生產(chǎn)這款設(shè)備的年固定成本為200

萬(wàn)元，每生產(chǎn)了臺(tái)需要另投入成本。（x）（萬(wàn)元），當(dāng)年產(chǎn)量x不足45臺(tái)時(shí)，a（x）=gd+30無一300萬(wàn)元，

當(dāng)年產(chǎn)量x不少于45臺(tái)時(shí)，"x）=61x+筆-900萬(wàn)元.若每臺(tái)設(shè)備的售價(jià)與銷售量的關(guān)系式為（60+y］萬(wàn)元，

經(jīng)過市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)新能源電池設(shè)備能全部售完.

（1）求年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）年產(chǎn)量x為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這一款新能源電池設(shè)備的生產(chǎn)中獲利最大？最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？

練習(xí)39.（2022?高三課時(shí)練習(xí)）用32m2的材料制造某種長(zhǎng)方體形狀的無蓋車廂，按交通部門的規(guī)定車廂寬度為2m,

則車廂的最大容積是.

練習(xí)40.（2022秋?安徽馬鞍山?高三安徽工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）如圖，安工大附中欲利用原有的墻（墻足夠

長(zhǎng)）為背面，建造一間長(zhǎng)方體形狀的房屋作為體育器材室.房屋地面面積為18m2,高度為3m.若房屋側(cè)面和正面每

平方米的造價(jià)均為1000元，屋頂?shù)脑靸r(jià)為6000元，且不計(jì)房屋背面和地面的費(fèi)用，則該房屋的最低總造價(jià)為

元.

題型九基本不等式與其余知識(shí)的綜合應(yīng)用

例17.（2023?浙江?二模）記S”為正數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知應(yīng)-4｝是等差數(shù)列.

⑴求六

400

⑵求最小的正整數(shù)加，使得存在數(shù)列也,｝,黑-個(gè)＞2.

18.（河北省名校2023屆高三5月模擬數(shù)學(xué)試卷）已知平面向量滿足卜-可=1且°j,當(dāng)向量心6與向量3a

的夾角最大時(shí)，向量b的模為.

舉一反三

練習(xí)41.（2022秋?黑龍江牡丹江?高三?？计谀┠掣劭诘乃顈（米）隨著時(shí)間f（時(shí)）呈現(xiàn)周期性變化，經(jīng)研究

可用y=asin，+6cos，+c來描述，若潮差（最高水位與最低水位的差）為3米，求〃+/?的取值范圍.

OO

練習(xí)42.（2021?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）在ABC中，角A,3,C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a",c,且6+c=12,be=a2-14a+85,

則ABC的周長(zhǎng)為（）

A.17B.18C.19D.前三個(gè)選項(xiàng)都不對(duì)

,、cos2a+—

練習(xí)43.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若ae10,】2j且c一os\宗一「\=sin〉~/則「5-叫cos%的最小值為（）

_V272D.好

A.D.---------r

10101010

若向量衣在上的投影向量為:A-貝3一3的

練習(xí)44.（2023春?江蘇宿遷?高三?？茧A段練習(xí)）在ABC中,

最大值為（）

71717171

A.B.C.D.

~34612

練習(xí)45.（2022秋?四川攀枝花?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S”，若&=8,則q+2%+a3

（）

A.有最小值4（應(yīng)+1）B.有最大值4（0+1）

C.小于4（&+1）D.大于4（虎+1）

專題2.2基本不等式

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題型一直接法求最值

題型二配湊法求最值

題型三"1"的代換求最值

題型四消參法求最值

題型五商式求最值

題型六對(duì)勾函數(shù)求最值

題型七利用基本不等式證明不寺式

題型八利用基本不等式解決實(shí)際問題

題型九基本不等式與其余知識(shí)的綜合應(yīng)用

集練—

題型一直接法求最值

例1.（2022秋?海南?？?高三?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)無，y滿足/+丁=2,那么孫的最大值為（）

A.-B.gC.1D.2

42

【答案】C

【分析】根據(jù)重要不等式Y(jié)+y222個(gè)即可求最值，注意等號(hào)成立條件.

【詳解】由V+y2=2N2孫，可得肛VI,當(dāng)且僅當(dāng)無=>=1或x=y=-l時(shí)等號(hào)成立.

故選：C.

例2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知3，+9>=18,當(dāng)無+2y取最大值時(shí)，則孫的值為（）

A.72B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】先根據(jù)己知3，+9y=18使用基本不等式，整理求出x+2y取最大值時(shí)的x和y值，再得出結(jié)果.

【詳解】由已知3*+9〉=18可得3"+3?〉=18,

則18=3工+32y>2^3xx32y=2y，即3x+2y<81,

所以x+2yV4,當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)2y=2時(shí)取等號(hào)，即犬=2,尸1,

此時(shí)秒=2.

故選：B.

舉一m

練習(xí)1.（2023春?湖南?高三桃江縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）若正實(shí)數(shù)“、b滿足。+26=1,則當(dāng)而取最大值時(shí)，。的

值是（）

A.■-B.—C.—D.—

2468

【答案】A

【分析】利用基本不等式等號(hào)成立的條件可求得必取最大值時(shí)。的值.

【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)。、b滿足a+2b=1,則。+2622j^K,可得abv）,

O

[a=2b1

當(dāng)且僅當(dāng)，1時(shí)，即當(dāng)a=2b=:時(shí)，等號(hào)成立.

[a+2b-l2

故選：A.

練習(xí)2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)。力,則“2a+6=4”是“而22”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】利用基本不等式由2a+6=4可得用42,可得充分性不成立；當(dāng)。=2,6=2時(shí)可得必要性不成立，即可得

出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)基本不等式可得2a+b=4N即22J2am,可得必W2,

所以充分性不成立；

若abN2,可令。=22=2滿足4b22,止匕時(shí)2a+6=6w4；

即必要性不成立；

所以“2a+6=4”是“用之2”的既不充分也不必要條件.

故選：D

2

練習(xí)3.（2021春?廣西南寧?高二?？茧A段練習(xí)）函數(shù)y=2尤+—（x>0）的最小值為（）

X

A.3B.2C.272D.4

【答案】D

【分析】利用基本不等式運(yùn)算求解.

2

【詳解】,**x>0,貝lj2%>0,—>0,

x

：.y=2x+->2.2x--=4,當(dāng)且僅當(dāng)2關(guān)=工，即x=l時(shí)，等號(hào)成立，

X\XX

2

故函數(shù)y=2x+—（尤>0）的最小值為4.

X

故選：D.

練習(xí)4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)"同=加+2彳+。（XGR）的值域?yàn)閇0,+動(dòng)，則工+&的最小值

ca

為（）

A.-4B.4C.8D.-8

【答案】B

【分析】根據(jù)/（元）的值域求得ac=l,結(jié)合基本不等式求得的最小值.

【詳解】由于二次函數(shù)〃勸=加+2]+。（xeR）的值域?yàn)閇0,+e）,

\a>0

所以L.△，所以ac=l,c>0,

[△=4一4ac=0

14「

所以_+_N2j------=44,

ca\ca

141

當(dāng)且僅當(dāng)乙二2即。=2,c=：時(shí)等號(hào)成立.

ca2

故選：B

8

練習(xí)5.（2022秋?高三課時(shí)練習(xí)）已知正數(shù)x,》滿足3—=9，，則無+一的最小值為（）

y

A.8B.12C.2拒D.4+2夜

【答案】B

【分析】可通過已知條件，先找到*與y的等量關(guān)系，然后把等量關(guān)系帶入要求的式子，消掉x,從而得到關(guān)于y的

兩項(xiàng)乘積為定值的和的關(guān)系，然后再使用基本不等式完成求解.

【詳解】由已知，X,y均為正數(shù)，3—=9"=3",故x-4=2y,即x-2y=4,所以

OOIo-8

x+—=4+2y+-上4+2,2y.—=4+8=12,當(dāng)且僅當(dāng)2y=—,y=2時(shí)等號(hào)成立.

yy\'y>

故選：B.

題型二配湊法求最值

例3.（2023?上海?高三專題練習(xí)）函數(shù)>=log2尤+"j不7在區(qū)間（不+8）上的最小值為______________

log4（2x）2

【答案】20-1.

【分析】對(duì)函數(shù)變形后，利用基本不等式求出最小值.

,1,2

【詳解[y=iog2x+-——=iog2x+--------,

log4(2x)l+log2x

因?yàn)閤e(；,+oo],所以log2xe(-l,y),故l+log2xe(0,—),

故y=(l+log2x)+—-------1>2(l+log2x)--^-------1=2a-1,

1+log2XN1+log2X

2

當(dāng)且僅當(dāng)l+log/=「——，即x=2邑時(shí)，等號(hào)成立.

故答案為：20-1

例4.(2022秋.新疆克拉瑪依?高三克拉瑪依市高級(jí)中學(xué)?？计谥?(1)已知x>2,求函數(shù)y=x+—1的最小值;

x-2

(2)已知?！从?lt;：,求函數(shù)y=x(3—2x)+1的最大值.

17

【答案】⑴4；(2)—.

O

【分析】(1)先構(gòu)造出乘積的定值，再用基本不等式求和的最小值；

(2)先構(gòu)造出和的定值，再用基本不等式求積的最大值.

【詳解】(1)x>2時(shí)，x-2>0,根據(jù)基本不等式，

可得：y=x+^—=x-2+^—+2>2.(x-2)?——+2=4

x—2x—2\x—2

當(dāng)％-2=」=，即x=3時(shí)取得等號(hào)，

x-2

故％=3時(shí)，y取得最小值是4；

3

(2)0<x<-,故3—2x>0,

2

根據(jù)基本不等式可得：y=--2x(3-2x)<l-f2%+3~2%?=

22I2J8

33

當(dāng)2x=3-2尤，即x時(shí)取得等號(hào)，故x時(shí)，

44

Q17

『(3-2"+1的最大值是：+1=?.

OO

舉一反三

4

練習(xí)6.(2021春.陜西渭南?高二校考階段練習(xí))設(shè)實(shí)數(shù)x滿足1>0,則函數(shù)y=2+3尤+—；的最小值為()

x+1

A.4.s/3-lB.4石+2C.4百+1D.6

【答案】A

4

【分析】將函數(shù)變形為y=3(%+l)+--1,再根據(jù)基本不等式求解即可得答案.

【詳解】由題意%>0,所以x+l>0,

44

所以y=2+3x+——=2+3(x+l)—3+——

x+1x+1

=3(X+1)+-^--1>2^3(X+1)-^--1=4A/3-1,

當(dāng)且僅當(dāng)3(元+1)=￡,即工=竿-1>0時(shí)等號(hào)成立，

所以函數(shù)y=2+3尤的最小值為4S'-：!.

故選：A

練習(xí)7.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))(多選)在下列函數(shù)中，最小值是2的函數(shù)有()

A.f[x)=x+—B./(x)=%(2夜-%)

C.f(^)=x+—D./(x)=x+(x>-2)

【答案】CD

【分析】結(jié)合基本不等式的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】A選項(xiàng)，f(x)=x+^,=—2<2,所以A選項(xiàng)不符合.

B選項(xiàng)，/(X)=X(2A/2-X)<X+2=7=2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=2近-=a時(shí)等號(hào)成立，所以B選項(xiàng)不符合.

C選項(xiàng)，對(duì)于函數(shù)〃制=了+m，

當(dāng)尤>0時(shí)，/(%)=%+—>2^x--=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=',x=l時(shí)等號(hào)成立.

當(dāng)x<0時(shí)，/(尤)=(-x)+」-22j(-x)-」-=2,當(dāng)且僅當(dāng)一x==-,尤=一1時(shí)等號(hào)成立,

綜上所述，/(x)=x+：的最小值是2,符合題意.

D選項(xiàng)，x>—2,x+2>0,

44I4―

〃x)=x+——=x+2+--------2>2J(x+2)-----------2=2,

v7x+2x+2V)x+2

4

當(dāng)且僅當(dāng)1+2=―^,%=0時(shí)等號(hào)成立，所以D選項(xiàng)符合.

x+2

故選：CD

練習(xí)8.(2022秋?吉林?高三吉林毓文中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知0<尤<；,函數(shù)丫=尤(1-2尤)的最大值是

【答案】1/0.125

O

【分析】由基本不等式漏41審]，得2x(1_2x)/巴產(chǎn)立=；,由此即可求出函數(shù)y=x(l-2x)的最大值.

【詳解】0<x<1,

i——）2

.-.x（l-2x）=l-2x（l-2x）<l-2x+0-2同=1

2228

當(dāng)且僅當(dāng)2x=l-2x時(shí)，即x=工時(shí)等號(hào)成立，

4

因此，函數(shù)y=x（l-2x）的最大值為]

O

故答案為:，.

O

練習(xí)9.（2023?山東荷澤?山東省東明縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知。e（0,兀），則-cos?6的最小值為_____.

2sinS

【答案】V2-1

【分析】根據(jù)給定條件，利用同角公式，結(jié)合均值不等式求解作答.

【詳解】6?洋㈤,0<sin^<L

——-----cos20=————Fsin26>-1>2J———xsin20-1=y/2-1，

2sin-612sin20V2sin261

當(dāng)且僅當(dāng)z'=sin2e,即,泊o一2T時(shí)取等號(hào)，

2sin6^smc/一乙

所以c」2八-COS?。的最小值為行—1.

2sin0

故答案為：V2-1

Q

練習(xí)10.（2023?陜西榆林?統(tǒng)考三模）若不等式辦2_6x+3>0對(duì)恒成立，則〃的取值范圍是,。+--

a-1

的最小值為.

【答案】（3,”）7

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得。>3,再利用基本不等式，即可求解.

【詳解】當(dāng)。=0時(shí)，不等式-6x+3>0對(duì)尤eR不恒成立，不符合題意（舍去）；

當(dāng)。片0時(shí)，要使得加-6x+3>0對(duì)xeR恒成立，

[A>0

則滿足A*S八，解得。>3,所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為（3,+8）.

[△=36-12。<0

因?yàn)椤?gt;3,可得。-3>0,所以。+2=。一1+2+122囪+1=7,

a-1a-1

Q

當(dāng)且僅當(dāng)。=4時(shí)，等號(hào)成立，所以3的最小值為7.

a-1

故答案為：（3,+8）；7.

題型三"1"的代換求最值

例5.（2023海南?？?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若正實(shí)數(shù)x,y滿足x+3y=l.則二+工的最小值為（）

xy

A.12B.25C.27D.36

【答案】C

【分析】根據(jù)基本不等式“1”的用法求解即可;

【詳解】解：因?yàn)閤+3y=l,所以乜+,=乜+工（x+3y）=15+迎+2.

%yI%"Xy

因?yàn)橛饄>0,所以迎+營(yíng)22、戶三=12,當(dāng)且僅當(dāng)也=土，即x=3，y時(shí)，等號(hào)成立，

xy\XyXy39

所以，’的最小值為27.

xy

故選：C

例6.（2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考二模）若直線5+/1（。>0,6>0）過點(diǎn)（2,3）,則2a+人的最小值為.

【答案】7+4有/46+7

【分析】由直線三+；=1（。>0,6>0）過點(diǎn)（2,3）,可得工+：=1,利用基本不等式“1”的代換，求出最小值.

abab

l詳解】,??直線；+1=1（〃>00）過點(diǎn)（2,3）,

231

..—I—=1.

ab

:.2a+b=（2a+=7+—+—>7+4.1—--=7+4A/3,當(dāng)且僅當(dāng)Z?=G〃，即〃=2+6，b=26+3時(shí)取

\ab）ab\ab

等號(hào).

.?.2a+b的最小值為7+46.

故答案為：7+4指.

舉一反三

練習(xí)11.（2023?北京?高三專題練習(xí)）已知。>1,b>l,a3b=100,則bg010+31og〃10的最小值為（）

A.4B.6C.8D.12

【答案】B

【分析】條件等式兩邊取對(duì)數(shù)后，得31ga+lg6=2,再結(jié)合換底公式，以及基本不等式“1”的妙用，即可求解.

【詳解】因?yàn)橘|(zhì)=100,所以坨否=2,即31ga+lgb=2,

.(31ga+lg6)=,6+IgZ??91ga

所以log"10+31og〃10=X+A=l5+2僵裂=6,

IgaIgb2(lgaIgZ?IgaIgb

當(dāng)且僅當(dāng)lg6=31g。，即。=]0與，匕=10時(shí)等號(hào)成立，

所以log.10+310gz,1。的最小值為6.

故選：B.

練習(xí)12.（2023?湖北荊門?荊門某中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)。涉滿足lga+lgb=lg（a+2b）,則2a+6的最

小值是（）

A.5B.9C.13D.18

【答案】B

2121

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，求得4+；=1,且。>0,6>0,利用24+6=（2。+?（4+；）,結(jié)合基本不等式，即

abab

可求解.

【詳解】由lga+lgb=lg(a+2Z?),可得lgab=lg(a+2b),所以々6=4+2/?,

21

即一+一=1,且〃>0,人>0,