全國通用2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習易錯題-易錯點15 概率（理科專用）（含解析）

易錯點15概率

易錯分析

易錯點L事件、頻率和概率概念理解錯誤

1.事件的關(guān)系

定義表示法圖示

一般地，如果事件4發(fā)生時，事件8

包含

一定發(fā)生，則稱“4包含于8”（或“B記作6（或B2.A）

關(guān)系

包含An）

給定事件4,B,若事件力與8不能回

互斥若4c8=0,則4與8互

時發(fā)生,則稱｛與6互斥，記作力以

事件斥

0（或4c5=0）

給定樣本空間a與事件4則由。中

對立若<ri8=0,且［U6=

所有不屬于力的樣本點組成的事件稱

事件0,則/與夕對立（3?

為/的對立事件，記作/

2.事件的運算

定義表示法圖示

給定事件4B,由所有力中的樣本點

并事件與6中的樣本點組成的事件稱為4與記作4±2（或4U作

8的和（或并）

給定事件4B,由4與8中的公共樣

交事件本點組成的事件稱為/與占的積（或記作四（或AC助

交）

3.用頻率估計概率

一般地，如果在〃次重復(fù)進行的試驗中，事件4發(fā)生的頻率為*其中，勿是〃次重復(fù)試驗

事件4發(fā)生的次數(shù)，則當"很大時，可以認為事件4發(fā)生的概率P（⑷的估計值為N

n

易錯點2.古典概型公式理解錯誤

1.古典概型

一般地，如果隨機試驗的樣本空間所包含的樣本點個數(shù)是直限的（簡稱為有限性），而且可以

認為每個只包含一個樣本點的事件（即基本事件）發(fā)生的可能性大小都相等（簡稱為等可能

性），則稱這樣的隨機試驗為古典概率模型，簡稱為古典概型.

2.古典概型的概率公式

古典概型中，假設(shè)樣本空間含有〃個樣本點，如果事件C包含有0個樣本點，則

3.概率的性質(zhì)

性質(zhì)1：對任意的事件4都有OW"（4）W1；

性質(zhì)2：必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P（。）=1,23）=0；

性質(zhì)3：如果事件力與事件6互斥，那么尸（4皮中=。（心+。（而;

性質(zhì)4：如果事件4與事件8互為對立事件，那么尸（。=1一。（⑷，P（4）=l—。（0；

性質(zhì)5：如果6,那么P（1）W必而，由該性質(zhì)可得，對于任意事件4因為0U/U。，所

以O(shè)WPMWL

性質(zhì)6：設(shè)48是一個隨機試驗中的兩個事件，有P（AU*=P（A）+P（助-P（AC助.

易錯點3.條件概率和全概率公式理解錯誤

1.相互獨立事件

一般地，當P（腦=P（J）P（"時,就稱事件｛與6相互獨立（簡稱獨立）.如果事件力與6相

互獨立，則7與7,A與B,力與力也相互獨立.

2.條件概率

（1）概念：一般地，當事件6發(fā)生的概率大于0（即。（面＞0）時,已知事件6發(fā)生的條件下事

D（AC\

件4發(fā)生的概率，稱為條件概率，記作尸（4面，而且發(fā)川0=P"）.

（2）兩個公式

①利用古典概型，KB\A'）^===；

②概率的乘法公式：?（/0=尸（4）去公式）.

3.全概率公式

一般地，如果樣本空間為Q,A,6為事件，則為與6力是互斥的，且B=BQ=B（4+Z）

^BA+BA,從而。（面=P（物+bT）=P（曲）+代瓦?），當尸（心〉0且P（7）＞0時，有P⑵

=戶（冷。⑶心+P5）P⑻⑦.

L^L.

錯題糾正

1.甲、乙、丙、丁4名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動，現(xiàn)有4B,C三個小區(qū)可供

2

選擇，每個志愿者只能選其中一個小區(qū)去服務(wù).則甲不在/小區(qū)、乙不在8小區(qū)服務(wù)的概率

為()

7

A.1cD.—

3-i12

【答案】B

【詳解】依題意，4名志愿者到三個小區(qū)服務(wù)的試驗的基本事件有r種，它們等可能，

甲不在/小區(qū)、乙不在6小區(qū)服務(wù)，甲、乙各有2種選法，內(nèi)、丁各有3種選法，

甲不在4小區(qū)、乙不在6小區(qū)服務(wù)的事件M含有的基本事件有2?x32種，

?2x324

所以甲不在4小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務(wù)的概率尸(用)=亨-=/.

故選：B

2.我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果，其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫

子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，有著十分豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻.這5

部專著中3部產(chǎn)生于漢、魏晉、南北朝時期.某中學(xué)擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)

文化”校本課程學(xué)習內(nèi)容，則所選2部專著均是漢、魏晉、南北朝時期專著的概率為

()

A.—B.-C.—D.-

105105

【答案】A

【詳解】解：從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習內(nèi)容，基本事件總數(shù)

n(Q)=10,

設(shè)力二｛所選2部專著均是漢、魏晉、南北朝時期專著｝

則〃(A)=3

n(A)_3

P(A)=

花J.歷

故選：A.

3.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙

去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有獲得冠軍.”對乙說：“你當然不會

是最差的.”若在此對話的基礎(chǔ)上5人名次的情況是等可能的，則最終丙和丁獲得前兩名的

概率為()

4824

A.—B.—C.-D.-

272799

【答案】A

【詳解】解：根據(jù)題意，當甲同學(xué)為第5名時，乙同學(xué)可能是第2,3,4名，故有A；A；=18

種，

3

當甲同學(xué)不是第5名時，甲、乙同學(xué)可能是第2,3,4名，故有A；A；=36種,

故滿足回答者的所有情況共18+36=54種.

其中，最終丙和丁獲得前兩名的情況有兩類，

當甲同學(xué)為第5名，丙和丁獲得前兩名時有=4種；

當甲同學(xué)不是第5名，內(nèi)和丁獲得前兩名時，有A；A；=4種，

所以，最終丙和丁獲得前兩名的情況有4+4=8種，

所以，最終丙和丁獲得前兩名的概率為尸=晝84

故選：A

4.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四個人到九嶷山、陽明山、云冰山、舜皇山4處景點旅游，每人只去一處

景點，設(shè)事件A為“4個人去的景點各不相同”，事件B為“只有甲去了九嶷山”，則

P（A|B）=（）

5421

A.-B.-C.—D.-

9993

【答案】C

【詳解】由題意，4人去4個不同的景點，總事件數(shù)為4x4x4x4=256,

97

事件B的情況數(shù)為1x3x3x3=27,則事件8發(fā)生的概率為尸（8）=工，

事件A與事件B的交事件A8為“甲去了九嶷山，另外三人去了另外三個不同的景點”

事件AB的情況數(shù)為1xA；=6,則事件AB發(fā)生的概率為P（A5）=2=上，

3

即「缶書）=篇=要2

9

256

故選：C.

5.從裝有。個紅球和匕個藍球的袋中（。，。均不小于2）,每次不放回地隨機摸出一球.記

“第一次摸球時摸到紅球”為A，“第一次摸球時摸到藍球”為&；“第二次摸球時摸到

紅球”為B1,“第二次摸球時摸到藍球”為層，則下列說法錯誤的是（）

A.Pg）=3B.0（圖A）+P（囚4）=1

C.P（fi,）+P（B2）=1D.P（囚4）+P（卻4）=1

【答案】D

【詳解】由題意可知，尸（A）=—＞，P（4）=—

a+ba+b

P3）=P（ABH號北+總&

4

尸電）=尸（的）+尸（.）=島./+左會"芻

從而P（刀）+尸（不）=1,故AC正確;

aa-\

又因為尸⑷A）=今等=幺±員/二1a-\

a+h-\

a+b

ab

p(8|A)==a+b"+6-1=_L_,

\-'P(A)a+b-\

a+b

故P(BJA)+P(4lA)=l,故B正確;

ha

尸⑻4)=畸="5^a

a+b-\

a+b

故尸⑻A）+尸⑷&）=高+與=$兒故D錯誤.

故選:D.

舉一反三/

1.從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（）

A』B-C—D-

632U-3

【答案】D

【詳解】從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有C；=21種不同的取法，

若兩數(shù)不互質(zhì),不同的取法有:（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7種，

21-72

故所求概率P=——=-.

213

故選：D.

2.某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立.已知該棋手與甲、

乙、丙比賽獲勝的概率分別為“，P2，P3,且P3>P2>Pl>0.記該棋手連勝兩盤的概率為。,

則（）

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽，"最大

5

C.該棋手在第二盤與乙比賽，0最大D.該棋手在第二盤與丙比賽，0最大

【答案】D

【詳解】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，

記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序為乙甲丙及丙甲乙的概率均為

則此時連勝兩盤的概率為兩

則“口=：［（1-Pz）PlP3+P2Pl（1-P3）］+；［（I-P3）P|P2+P3Pl（1一生）］

=P|（P2+P3）-2RP2P3；

記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為1,

門與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項A判斷錯誤.

故選：D

3.現(xiàn)有5位老師，若每人隨機進入兩間教室中的任意一間聽課，則恰好全都進入同一間教

室的概率是（）

A.B.C.I）.

【答案】B

【詳解】5位老師，每人隨機進入兩間教室中的任意一間聽課，共有廠|種方法,

其中恰好全都進入同一間教室，共有2種方法，所以

故選：B

4.一個口袋中有大小、形狀完全相同的4個紅球，3個藍球，3個白球，現(xiàn)從袋中隨機抽取

3個球.事件甲：3個球的顏色互不相同；事件乙：恰有2個紅球；事件丙：至多有1個藍

球；事件?。?個球顏色均相同.則下列結(jié)論正確的是（）

A.事件甲與事件丁為對立事件B.事件乙的概率是事件丁的6倍

C.事件丙和事件丁相互獨立D.事件中與事件丙相互獨立

【答案】B

6

【詳解】事件甲與事件丁為互斥事件，但事件取得的3個球為2個紅球，1個白球發(fā)生時,

事件甲與事件丁都不發(fā)生，所以事件甲與事件丁不對立，A項錯誤；事件甲的概率

，事件乙的概率，事件丙的概率，事件

丁的概率,故B項正確；事件丙和事件丁同時發(fā)生的

，故C項錯誤；因為事件中與事件丙同時發(fā)生的事件為甲事件,

用所以事件甲與事件丙不相互獨立，故D項錯誤.

故選：B.

5.在一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4.連續(xù)拋擲這個正

四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件口為“兩次記錄的

數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件口為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”，事件口為“第二次記錄的數(shù)

字為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）

A.事件口與事件口是對立事件B.事件□與事件口不是相互獨立事件

C.D.

【答案】C

【詳解】對于A,事件口與事件匚是相互獨立事件，但不是對立事件，故A錯誤：

立事件,故B錯誤；

對于C,連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，記錄的結(jié)果一共有「"腳,

其中，事件口發(fā)生,則兩次朝下的點數(shù)為一奇一偶,有「|種,所以

因為拋擲正四面體向卜的數(shù)字為奇數(shù)和偶數(shù)的方法種數(shù)相同，所以

所以，故C正確；

對于D,事件匚」表示第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)，第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)，故

故D錯誤.

故選：C.

7

易錯題通關(guān)

一、單選題

1.在中國農(nóng)歷中，一年有24個節(jié)氣，“立春”居首.北京2022年冬奧會開幕正逢立春，開

幕式上“二十四節(jié)氣”的倒計時讓全世界領(lǐng)略了中華智慧.墩墩同學(xué)要從24個節(jié)氣中隨機

選取4個介紹給外國的朋友，則這4個節(jié)氣中含有“立春”的概率為（）

A.—B.-C.—D.-

226238

【答案】B

【詳解】從24個節(jié)氣中選擇4個節(jié)氣，共有CM種情況，

這四個節(jié)氣中含有“立春”的情況有CM種情況，

故這4個節(jié)氣中含有“立春”的概率為學(xué)=1.

。24°

故選：B

2.從一堆產(chǎn)品（其中正品與次品都多于2件）中任取2件，觀察正品件數(shù)和次品件數(shù)，則

下列每對事件互斥但不對立的是（）

A.“至少有1件次品”與“全是次品”

B.“恰好有1件次品”與“恰好有2件次品”

C.“至少有1件次品”與“全是正品”

D.“至少有1件正品”與“至少有1件次品”

【答案】B

【詳解】從一堆產(chǎn)品中任取2件，基本事件為“全是正品”，“一件正品，一件次品”，“全

是次品”，共3種情況，

其中AD不互斥，C是對立事件，只有B互斥但不對立.

故選：B.

3.天河英才秋季運動會三個吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”，現(xiàn)將三張分別印

有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”這三個圖案的卡片（卡片的形狀、大小和質(zhì)地完全相同）放入

盒子中.若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的概

率是（）

A.-B.-C.2D.-

3399

【答案】C

8

【詳解】設(shè)三張卡片“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”依次記為AHC,若從盒子中依次有放回

地取出兩張卡片，則基本事件為：AB,AC,8C,A4,B8,CC,8A,C4,C8共9種，

則其中一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的基本事件為：AB,BA共2種，

所有所求概率為p=《

故選：C.

4.在醫(yī)學(xué)生物學(xué)試驗中，經(jīng)常以果蠅作為試驗對象，一個關(guān)有6只果蠅的籠子里，不慎混

入了兩只蒼蠅（此時籠內(nèi)共有8只蠅子：6只果蠅和2只蒼蠅），只好把籠子打開一個小孔，

讓蠅子一只一只地往外飛，直到兩只蒼蠅都飛出，再關(guān)閉小孔.記事件4表示“第％只飛出

籠的是蒼蠅"，左=1,2,…,8,則外414）為（）

A.-B.-C.-D.-

5675

【答案】C

【詳解】由題得P（4）=矍V，P（4A）=黑占總，

則尸⑷&）=號符=；,故A,B,D錯誤.

故選：C.

5.足球運動是目前全球體育界最具影響力的項目之一，深受青少年喜愛.有甲，乙，丙，

丁四個人相互之間進行傳球訓(xùn)練，從甲開始傳球，甲等可能地把球傳給乙，丙，丁中的任何

一個人，以此類推，則經(jīng)過三次傳球后乙只接到一次球的概率為（）

,1?1八8八16

A.—B.-C.—D.—

2792727

【答案】D

【詳解】由題意，根據(jù)第一次傳給乙第二次傳給甲或丙或丁第三次傳給丙丁或甲丁或甲丙,

第一次傳給丙或丁第二次傳給乙第三次傳給甲或丙或丁，第一次傳給丙或丁第二次傳給甲丁

或甲丙第三次傳給乙分別求出概率，再求和可得答案.

16

F=1X1X2+2X1X1+2X2XI=

333333327

故選：D

6.現(xiàn)將除顏色外其他完全相同的6個紅球和6個白球平均放入力、8兩個封閉的盒子中，甲

從盒子/中，乙從盒子6中各隨機取出一個球，若2個球同色，則甲勝，且將取出的2個球

全部放入盒子/中；若2個球異色，則乙勝，且將取出的2個球全部放入盒子8中.按上述

規(guī)則重復(fù)兩次后，盒子4中恰有8個球的概率是（）

9

【答案】A

【詳解】若兩次取球后，盒子A中恰有8個球，則兩次取球均為甲勝，即兩次取球均為同色.

331

若第次取球甲、乙都取到紅球，概率為2、二=:，

664

則第一次取球后盒子力中有4個紅球和3個白球，盒子6中有2個紅球和3個白球，

第二次取同色球分為取到紅球或取到白球，概率4為2+33=[17,

故第一次取球甲、乙都取到紅球且兩次取球后，

11717

盒子/有8個球的概率為^乂王=詢，

同理，第一次取球甲、乙都取到白球且兩次取球后，

盒子/中有8個球的概率為=工，所以兩次取球后，

140

盒子A中恰有8個球的概率是1法7+高17=去17.

故選:A.

7.在二項式+馬=）的展開式，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列,

把展開式中所有的項重新

排成一列，有理項中恰有兩項相鄰的概率為（）

【答案】B

【詳解】展開式通項為二1

由題意2c-27=C；?2°+C；?2々，.-.n=8.

所以當r=0,4,8時已業(yè)為整數(shù)，相應(yīng)的項為有理項，

4

因為二項式展開式中共有9項，其中有3項是有理項，6項是無理項,

耳A；后2

所求恰有兩項有理項相鄰的概率為P=

2

故選：B.

8.為加快新冠病毒檢測效率，檢測機構(gòu)采取“10合1檢測法”，即將1（）個人的拭子樣本合

并檢測，若為陰性，則可以確定所有樣本都是陰性的：若為陽性，則還需要對本組的每個人

再做檢測.現(xiàn)對來自重點管控區(qū)的10（）人進行核酸檢測，若有2人感染病毒，則隨機將其平

均分成10組后這兩名感染患者在同一組的概率為（）

10

【答案】c

【詳解】若有2人感染病毒，隨機這100人平均分成10組,

「8-10—10「10「10—10010

^98^90^80^7()^L50^40^30^20

則這兩名感染患者在同一組的分組方法數(shù)為6c

「8010「10「10「10「10「10「10010

198190&80&70^60L50^40&30&20

因此，所求概率為p=「10plOplOplOplOpiOplOplOpIO

^1(X)-90—80—70^60^50^40—30—20

A；；

故選：C.

二、多選題

9.從甲袋中摸出一個紅球的概率是g,從乙袋中摸出一個紅球的概率是g,從兩袋各摸出

一個球，下列結(jié)論正確的是（）

A.2個球都是紅球的概率為，

B.2個球不都是紅球的概率為:

C.至少有1個紅球的概率為:

D.2個球中恰有1個紅球的概率為g

【答案】ACD

【詳解】設(shè)“從甲袋中摸出一個紅球”為事件4,從“乙袋中摸出一個紅球”為事件4，

則尸（A）=；，P（A）=p

對于A選項，2個球都是紅球為A4,其概率為故A選項正確，

326

對于B選項，“2個球不都是紅球”是“2個球都是紅球”的對立事件，其概率為

故B選項錯誤，

對于C選項,2個球至少有一個紅球的概率為1-P（4）尸（%）=l-|x；=|,故c選項正確，

對于D選項，2個球中恰有1個紅球的概率為gx；+gxg=g,故D選項正確.

故選；ACD.

10.甲口袋中有3個紅球，2個白球和5個黑球，乙口袋中有3個紅球，3個白球和4個黑

球，先從甲口袋中隨機取出一球放入乙口袋，分別以A，4和4表示由甲口袋取出的球是

11

紅球，白球和黑球的事件；再從乙口袋中隨機取出一球，以8表示由乙口袋取出的球是紅球

的事件，則下列結(jié)論中正確的是()

A.4，&,&是兩兩互斥的事件B.事件A與事件6相互獨立

C.網(wǎng)用&)=五D.P(B)=-

【答案】AC

【詳解】由題意得可知A，4,4是兩兩互斥的事件，故A正確；

3?11

「尸⑷=歷‘尸⑷=歷二尸⑷=5

13

，尸(同4)=饋個=空=5，故c正確；

5

34.

由尸(樞)=海=崢,

V1"P(A)2ii

io

Aoio1oo

P(B)=P(?A)+^A)+P(BA3)=-X-+-X^+-X-=-

「(B|A)WP(8)

事件A與事件8不獨立，故B、D錯誤；

故選：AC

三、解答題

II.臺灣是中國固有領(lǐng)土，臺海局勢牽動每個人的心.某次海軍對抗演習中，紅方飛行員甲

負責攻擊藍方艦隊.假設(shè)甲距離藍方艦隊100海里，且未被發(fā)現(xiàn)，若此時發(fā)射導(dǎo)彈，命中藍

方戰(zhàn)艦概率是0.2,并可安全返回.若甲繼續(xù)飛行進入到藍方方圓50海里的范圍內(nèi)，有0.5

的概率被敵方發(fā)現(xiàn)，若被發(fā)現(xiàn)將失去攻擊機會，且此時自身被擊落的概率是0.6.若沒被發(fā)

現(xiàn)，則發(fā)射導(dǎo)彈擊中藍方戰(zhàn)艦概率是0.8,并可安全返回.命中戰(zhàn)艦紅方得10分，藍方不

得分；擊落戰(zhàn)機藍方得6分，紅方不得分.

(D從期望角度分析，甲是否應(yīng)繼續(xù)飛行進入到藍方方圓50海里的范圍內(nèi)？

(2)若甲在返回途中發(fā)現(xiàn)敵方兩架轟炸機，此時甲彈艙中還剩6枚導(dǎo)彈，每枚導(dǎo)彈命中轟炸

機概率均為0.5.

(i)若甲同時向每架轟炸機各發(fā)射三枚導(dǎo)彈，求恰有一架轟炸機被命中的概率；

(ii)若甲隨機向一架轟炸機發(fā)射一枚導(dǎo)彈，若命中，則向另一架轟炸機發(fā)射一枚導(dǎo)彈，若

不命中，則繼續(xù)向該轟炸機發(fā)射一枚導(dǎo)彈，直到兩架轟炸機均被命中或?qū)椨猛隇橹?，求?/p>

終剩余導(dǎo)彈數(shù)量X的分布列.

12

【答案】(1)

由題可知，若不進入50海里，甲相對得分的期望為0.2X10=2,

若進入50海里，甲相對得分的期望為0.5X0.8X10+0.5X0.6X(-6)=2.2,

所以甲應(yīng)繼續(xù)飛行進入到藍方方圓50海里的范圍內(nèi)；

(2)

(i)因為每枚導(dǎo)彈命中轟炸機概率均為0.5,

所以一架轟炸機被命中的概率為1-。-0.5)3=：,

O

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所以恰有一架轟炸機被命中的概率為

O32

(ii)由題可知X的可能取值為0,1,2,3,4,

因為尸(X=4)=0.5x0.5=0.25,

P(X=3)=(1-O.5)XO.5XO.5+O.5X(1-O.5)XO.5=O.25,

P(X=