3-1導(dǎo)數(shù)的概念及運算

§3.1導(dǎo)數(shù)的概念及運算1．導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的概念(2)如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點處都有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值在(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個新函數(shù)，這個函數(shù)稱為函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)．記作f′(x)或y′.2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率k，即k＝_______．f′(x0)3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝__f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝_______f(x)＝cosxf′(x)＝_________f(x)＝exf′(x)＝___αxα－1cos__x－sin__xex04.導(dǎo)數(shù)的運算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有(1)[f(x)±g(x)]′＝______________；(2)[f(x)·g(x)]′＝__________________；f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)5．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝__________，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于_____的導(dǎo)數(shù)與_____的導(dǎo)數(shù)的乘積.yu′·ux′y對uu對x【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率.(

)(2)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點.(

)(3)與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線.(

)(4)函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導(dǎo)數(shù)是f′(x)＝cosx．(

)【答案】

(1)×

(2)√

(3)×

(4)×1．若f(x)＝x·ex，則f′(1)等于(

)A．0

B．eC．2eD．e2【解析】

f′(x)＝ex＋x·ex，∴f′(1)＝2e.【答案】

C5．曲線y＝－5ex＋3在點(0，－2)處的切線方程是________．【解析】

因為y′|x＝0＝－5e0＝－5，所以曲線在點(0，－2)處的切線方程為y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.【答案】

5x＋y＋2＝0【思維升華】

求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；遇到函數(shù)的商的形式時，如能化簡則化簡，這樣可避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運算量．跟蹤訓(xùn)練1(1)f(x)＝x(2017＋lnx)，若f′(x0)＝2018，則x0等于(

)A．e2B．1C．ln2D．e(2)已知函數(shù)f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a為實數(shù)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．若f′(1)＝3，則a的值為________．題型二導(dǎo)數(shù)的幾何意義角度一求切線方程【例2】

(1)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f(x)＝ln(－x)＋3x，則曲線y＝f(x)在點(1，－3)處的切線方程是________．(2)已知函數(shù)f(x)＝xlnx，若直線l過點(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為(

)A．x＋y－1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y＋1＝0D．x－y＋1＝0角度三求參數(shù)的值【例4】

(1)(2018·泉州模擬)函數(shù)y＝ex的切線方程為y＝mx，則m＝________．【解析】

(1)設(shè)切點坐標(biāo)為P(x0，y0)，由y′＝ex，得y′|x＝x0＝ex0，從而切線方程為y－ex0＝ex0(x－x0)，又切線過定點(0，0)，從而－ex0＝ex0(－x0)，解得x0＝1，則m＝e.【思維升華】

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點處切線的斜率，應(yīng)用時主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)已知切點A(x0，f(x0))求斜率k，即求該點處的導(dǎo)數(shù)值：k＝f′(x0)．(2)已知斜率k，求切點A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.跟蹤訓(xùn)練2(1)(2018·開封模擬)曲線f(x)＝x3－x＋3在點P處的切線平行于直線y＝2x－1，則點P的坐標(biāo)為(

)A．(1，3)B．(－1，3)C．(1，3)和(－1，3)D．(1，－3)(2)(2018·云南一檢)已知函數(shù)f(x)＝axlnx＋b(a，b∈R)，若f(x)的圖象在x＝1處的切線方程為2x－y＝0，則a＋b＝________．【解析】

(1)f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，則3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，經(jīng)檢驗，點(1，3)，(－1，3)均不在直線y＝2x－1上，故選C.(2)由題意，得f