安徽省天域全國(guó)名校協(xié)作體2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期聯(lián)考（二模）數(shù)學(xué)試題（含答案）

-2024學(xué)年第二學(xué)期天域全國(guó)名校協(xié)作體聯(lián)考高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷共5頁(yè)滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘。2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字。3.所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效。4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙。選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，是全集的非空子集，且，則（）A. B. C. D.2.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：數(shù)缺形時(shí)少直觀(guān)，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)分析函數(shù)的圖象特征.則函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.3.已知復(fù)數(shù)且有實(shí)數(shù)根，則（）A. B.12 C. D.204.已知等邊的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，若，則（）A.1 B. C. D.5.已知，是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)滿(mǎn)足，則雙曲線(xiàn)離心率的最小值為（）A. B. C.2 D.6.在數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，首項(xiàng)，且函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則（）A.26 B.63 C.57 D.257.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覟槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，，則（）A.4036 B.4040 C.4044 D.40488.已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)有三個(gè)交點(diǎn)、、，且，則以下能作為直線(xiàn)的方向向量的坐標(biāo)是（）.A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知由樣本數(shù)據(jù)組成的一個(gè)樣本，得到回歸直線(xiàn)方程為，且.剔除一個(gè)偏離直線(xiàn)較大的異常點(diǎn)后，得到新的回歸直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn).則下列說(shuō)法正確的是（）A.相關(guān)變量，具有正相關(guān)關(guān)系B.剔除該異常點(diǎn)后，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值變大C.剔除該異常點(diǎn)后的回歸直線(xiàn)方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.剔除該異常點(diǎn)后，隨值增加相關(guān)變量值減小速度變小10.在平面直角坐標(biāo)系中，角以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以軸的非負(fù)半軸為始邊，其終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，定義，，則（）A. B.C.若，則 D.是周期函數(shù)11.如圖，多面體由正四棱雉和正四面體組合而成，其中，則下列關(guān)于該幾何體敘述正確的是（）A.該幾何體的體積為 B.該幾何體為七面體C.二面角的余弦值為 D.該幾何體為三棱柱非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.從某工廠(chǎng)生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取11個(gè)，其尺寸值為43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（單位：mm），現(xiàn)從這11個(gè)零件中任取3個(gè)，則3個(gè)零件的尺寸剛好為這11個(gè)零件尺寸的平均數(shù)、第六十百分位數(shù)、眾數(shù)的概率為_(kāi)_______.13.已知偶函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，且在區(qū)間上單調(diào)，則________.14.若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的最大值為_(kāi)_______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）已知函數(shù)，（1）若在定義域內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求的極值點(diǎn).16.（15分）據(jù)新華社北京2月26日?qǐng)?bào)道，中國(guó)航天全年預(yù)計(jì)實(shí)施100次左右發(fā)射任務(wù)，有望創(chuàng)造新的紀(jì)錄，我國(guó)首個(gè)商業(yè)航天發(fā)射場(chǎng)將迎來(lái)首次發(fā)射任務(wù)，多個(gè)衛(wèi)星星座將加速組網(wǎng)建設(shè)；中國(guó)航天科技集團(tuán)有限公司計(jì)劃安排近70次宇航發(fā)射任務(wù)，發(fā)射290余個(gè)航天器，實(shí)施一系列重大工程任務(wù)。由于航天行業(yè)擁有廣闊的發(fā)展前景，有越來(lái)越多的公司開(kāi)始從事航天研究，某航天公司研發(fā)了一種火箭推進(jìn)器，為測(cè)試其性能，對(duì)推進(jìn)器飛行距離與損壞零件數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下：飛行距離5663717990102110117損壞零件數(shù)（個(gè)）617390105119136149163參考數(shù)據(jù)：，，，（1）建立關(guān)于的回歸模型，根據(jù)所給數(shù)據(jù)及回歸模型，求關(guān)于的回歸方程（精確到0.1，精確到1）；（2）該公司進(jìn)行了第二項(xiàng)測(cè)試，從所有同型號(hào)推進(jìn)器中隨機(jī)抽取100臺(tái)進(jìn)行等距離飛行測(cè)試，對(duì)其中60臺(tái)進(jìn)行飛行前保養(yǎng)，測(cè)試結(jié)束后，有20臺(tái)報(bào)廢，其中保養(yǎng)過(guò)的推進(jìn)器占比30%，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為推進(jìn)器是否報(bào)廢與保養(yǎng)有關(guān)？保養(yǎng)未保養(yǎng)合計(jì)報(bào)廢20未報(bào)廢合計(jì)60100附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，，，；0.250.10.050.0250.010.0011.3232.7063.8415.0246.63510.82817.（15分）在三棱錐中，平面，，點(diǎn)在平面內(nèi)，且滿(mǎn)足平面平面，垂直于.（1）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度；（2）當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求三棱錐的體積.18.（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，已知橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且橢圓過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）已知平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)均在上，求平行四邊形的面積的最大值.19.（17分）對(duì)稱(chēng)變換在對(duì)稱(chēng)數(shù)學(xué)中具有重要的研究意義.若一個(gè)平面圖形在（旋轉(zhuǎn)變換或反射變換）的作用下仍然與原圖形重合，就稱(chēng)具有對(duì)稱(chēng)性，并記為的一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換.例如，正三角形在（繞中心作的旋轉(zhuǎn)）的作用下仍然與重合（如圖1圖2所示），所以是的一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換，考慮到變換前后的三個(gè)頂點(diǎn)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，記；又如，在（關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸所在直線(xiàn)的反射）的作用下仍然與重合（如圖1圖3所示），所以也是的一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換，類(lèi)似地，記.記正三角形的所有對(duì)稱(chēng)變換構(gòu)成集合.一個(gè)非空集合對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算。來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，假如同時(shí)滿(mǎn)足：Ⅰ.，； Ⅱ.，；Ⅲ.，，； Ⅳ.，，.對(duì)于一個(gè)群，稱(chēng)Ⅲ中的為群的單位元，稱(chēng)Ⅳ中的為在群中的逆元.一個(gè)群的一個(gè)非空子集叫做的一個(gè)子群，假如對(duì)于的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群.（1）直接寫(xiě)出集合（用符號(hào)語(yǔ)言表示中的元素）；（2）同一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換的符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)形式不唯一，如.對(duì)于集合中的元素，定義一種新運(yùn)算*，規(guī)則如下：，.①證明集合對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算*來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群；②已知是群的一個(gè)子群，，分別是，的單位元，，，分別是在群，群中的逆元.猜想，之間的關(guān)系以及，之間的關(guān)系，并給出證明；③寫(xiě)出群的所有子群.圖1圖2圖32023-2024學(xué)年第二學(xué)期天域全國(guó)名校協(xié)作體聯(lián)考高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.題號(hào)12345678答案BCDADCDC二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.題號(hào)91011答案BCACDACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12. 13. 14.四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（1）∵，∴，若在定義域內(nèi)是減函數(shù)，則對(duì)恒成立，即恒成立，所以，，解得……………………6分（2）當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴無(wú)極值點(diǎn)；…8分當(dāng)時(shí)，，令，解得，令，解得，則在上是單調(diào)遞減，在上是單調(diào)遞增，在上是單調(diào)遞減，∴的極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為.…………12分綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為.……13分16.（1）由題意……3分………………6分故關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程為……7分（2）設(shè)零假設(shè)為：是否報(bào)廢與是否保養(yǎng)無(wú)關(guān)由題意，報(bào)廢推進(jìn)器中保養(yǎng)過(guò)的共臺(tái)，未保養(yǎng)的推進(jìn)器共臺(tái).補(bǔ)充列聯(lián)表如下：保養(yǎng)未保養(yǎng)合計(jì)報(bào)廢61420未報(bào)廢542680合計(jì)6040100…………11分則……14分根于小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為是否報(bào)廢與是否保養(yǎng)有關(guān)，此推斷的錯(cuò)誤的概率不大于0.01.…………15分17.（1）作交于，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，因?yàn)?，，平面，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以………?分分別以直線(xiàn)，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，設(shè)，因?yàn)?，所以，，，所以，即………?分設(shè)中點(diǎn)為，則，如圖：又，所以，因此，的軌跡為圓弧，其長(zhǎng)度為……7分（2）由（1）知，可設(shè)，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即，令則，，…………10分為平面的一個(gè)法向量，令二面角為角，因?yàn)樗越獾?，（舍去）或，則，或…………13分從而可得三棱錐的體積………………15分18.（1）由題意知，解得，所以；所以橢圓的方程為；……4分（2）①若直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)的方程為，，，因?yàn)?，故可設(shè)方程設(shè)為，由得，則，且，……7分所以，同理，………………9分因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?……11分設(shè)兩平行線(xiàn)，間的距離為，則，因?yàn)?，所?所以.所以當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值為4.…………14分②若直線(xiàn)的斜率不存在，此時(shí)平行四邊形為矩形，設(shè)，易知，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等；………………16分綜上所述：的面積的最大值為4.……………………17分19.解析：（1）由題設(shè)可知，正三角形的對(duì)稱(chēng)變換如下：繞中心作的旋轉(zhuǎn)變換；繞中心作的旋轉(zhuǎn)變換；繞中心作的旋轉(zhuǎn)變換；關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸所在直線(xiàn)的反射變換；關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸所在直線(xiàn)的反射變換；關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸所在直線(xiàn)的反射變換.綜上，.（形式不唯一）………………3分（2）①Ⅰ.，，；Ⅱ.，，，所以……………