安徽省天域全國名校協(xié)作體2023-2024學年高三下學期聯(lián)考（二模）數(shù)學試題（含答案）

-2024學年第二學期天域全國名校協(xié)作體聯(lián)考高三年級數(shù)學學科試題考生須知：1.本卷共5頁滿分150分，考試時間120分鐘。2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字。3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效。4.考試結束后，只需上交答題紙。選擇題部分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，是全集的非空子集，且，則（）A. B. C. D.2.我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休.在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)的圖象特征.則函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.3.已知復數(shù)且有實數(shù)根，則（）A. B.12 C. D.204.已知等邊的邊長為2，點，分別為，的中點，若，則（）A.1 B. C. D.5.已知，是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線上存在點滿足，則雙曲線離心率的最小值為（）A. B. C.2 D.6.在數(shù)列中，為其前項和，首項，且函數(shù)的導函數(shù)有唯一零點，則（）A.26 B.63 C.57 D.257.已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，則（）A.4036 B.4040 C.4044 D.40488.已知直線與曲線有三個交點、、，且，則以下能作為直線的方向向量的坐標是（）.A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知由樣本數(shù)據(jù)組成的一個樣本，得到回歸直線方程為，且.剔除一個偏離直線較大的異常點后，得到新的回歸直線經(jīng)過點.則下列說法正確的是（）A.相關變量，具有正相關關系B.剔除該異常點后，樣本相關系數(shù)的絕對值變大C.剔除該異常點后的回歸直線方程經(jīng)過點D.剔除該異常點后，隨值增加相關變量值減小速度變小10.在平面直角坐標系中，角以坐標原點為頂點，以軸的非負半軸為始邊，其終邊經(jīng)過點，，定義，，則（）A. B.C.若，則 D.是周期函數(shù)11.如圖，多面體由正四棱雉和正四面體組合而成，其中，則下列關于該幾何體敘述正確的是（）A.該幾何體的體積為 B.該幾何體為七面體C.二面角的余弦值為 D.該幾何體為三棱柱非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.從某工廠生產(chǎn)的零件中隨機抽取11個，其尺寸值為43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（單位：mm），現(xiàn)從這11個零件中任取3個，則3個零件的尺寸剛好為這11個零件尺寸的平均數(shù)、第六十百分位數(shù)、眾數(shù)的概率為________.13.已知偶函數(shù)的圖像關于點中心對稱，且在區(qū)間上單調，則________.14.若實數(shù)，滿足，則的最大值為________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）已知函數(shù)，（1）若在定義域內是減函數(shù)，求的取值范圍；（2）當時，求的極值點.16.（15分）據(jù)新華社北京2月26日報道，中國航天全年預計實施100次左右發(fā)射任務，有望創(chuàng)造新的紀錄，我國首個商業(yè)航天發(fā)射場將迎來首次發(fā)射任務，多個衛(wèi)星星座將加速組網(wǎng)建設；中國航天科技集團有限公司計劃安排近70次宇航發(fā)射任務，發(fā)射290余個航天器，實施一系列重大工程任務。由于航天行業(yè)擁有廣闊的發(fā)展前景，有越來越多的公司開始從事航天研究，某航天公司研發(fā)了一種火箭推進器，為測試其性能，對推進器飛行距離與損壞零件數(shù)進行了統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如下：飛行距離5663717990102110117損壞零件數(shù)（個）617390105119136149163參考數(shù)據(jù)：，，，（1）建立關于的回歸模型，根據(jù)所給數(shù)據(jù)及回歸模型，求關于的回歸方程（精確到0.1，精確到1）；（2）該公司進行了第二項測試，從所有同型號推進器中隨機抽取100臺進行等距離飛行測試，對其中60臺進行飛行前保養(yǎng)，測試結束后，有20臺報廢，其中保養(yǎng)過的推進器占比30%，請根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為推進器是否報廢與保養(yǎng)有關？保養(yǎng)未保養(yǎng)合計報廢20未報廢合計60100附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，，，；0.250.10.050.0250.010.0011.3232.7063.8415.0246.63510.82817.（15分）在三棱錐中，平面，，點在平面內，且滿足平面平面，垂直于.（1）當時，求點的軌跡長度；（2）當二面角的余弦值為時，求三棱錐的體積.18.（17分）在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，已知橢圓長軸長是短軸長的2倍，且橢圓過點.（1）求橢圓的方程；（2）已知平行四邊形的四個頂點均在上，求平行四邊形的面積的最大值.19.（17分）對稱變換在對稱數(shù)學中具有重要的研究意義.若一個平面圖形在（旋轉變換或反射變換）的作用下仍然與原圖形重合，就稱具有對稱性，并記為的一個對稱變換.例如，正三角形在（繞中心作的旋轉）的作用下仍然與重合（如圖1圖2所示），所以是的一個對稱變換，考慮到變換前后的三個頂點間的對應關系，記；又如，在（關于對稱軸所在直線的反射）的作用下仍然與重合（如圖1圖3所示），所以也是的一個對稱變換，類似地，記.記正三角形的所有對稱變換構成集合.一個非空集合對于給定的代數(shù)運算。來說作成一個群，假如同時滿足：Ⅰ.，； Ⅱ.，；Ⅲ.，，； Ⅳ.，，.對于一個群，稱Ⅲ中的為群的單位元，稱Ⅳ中的為在群中的逆元.一個群的一個非空子集叫做的一個子群，假如對于的代數(shù)運算來說作成一個群.（1）直接寫出集合（用符號語言表示中的元素）；（2）同一個對稱變換的符號語言表達形式不唯一，如.對于集合中的元素，定義一種新運算*，規(guī)則如下：，.①證明集合對于給定的代數(shù)運算*來說作成一個群；②已知是群的一個子群，，分別是，的單位元，，，分別是在群，群中的逆元.猜想，之間的關系以及，之間的關系，并給出證明；③寫出群的所有子群.圖1圖2圖32023-2024學年第二學期天域全國名校協(xié)作體聯(lián)考高三年級數(shù)學學科參考答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.題號12345678答案BCDADCDC二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.題號91011答案BCACDACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12. 13. 14.四、解答題：共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）∵，∴，若在定義域內是減函數(shù)，則對恒成立，即恒成立，所以，，解得……………………6分（2）當時，，∴在上單調遞增，∴無極值點；…8分當時，，令，解得，令，解得，則在上是單調遞減，在上是單調遞增，在上是單調遞減，∴的極小值點為，極大值點為.…………12分綜上，當時，無極值點；當時，的極小值點為，極大值點為.……13分16.（1）由題意……3分………………6分故關于的線性回歸方程為……7分（2）設零假設為：是否報廢與是否保養(yǎng)無關由題意，報廢推進器中保養(yǎng)過的共臺，未保養(yǎng)的推進器共臺.補充列聯(lián)表如下：保養(yǎng)未保養(yǎng)合計報廢61420未報廢542680合計6040100…………11分則……14分根于小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為是否報廢與是否保養(yǎng)有關，此推斷的錯誤的概率不大于0.01.…………15分17.（1）作交于，因為平面平面，且平面平面，所以平面，又因為平面，所以，因為平面，且平面，所以，因為，，平面，，所以平面，又因為平面，所以…………3分分別以直線，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，設，因為，所以，，，所以，即…………5分設中點為，則，如圖：又，所以，因此，的軌跡為圓弧，其長度為……7分（2）由（1）知，可設，，，設平面的一個法向量為，則即，令則，，…………10分為平面的一個法向量，令二面角為角，因為所以解得，（舍去）或，則，或…………13分從而可得三棱錐的體積………………15分18.（1）由題意知，解得，所以；所以橢圓的方程為；……4分（2）①若直線的斜率存在，設的方程為，，，因為，故可設方程設為，由得，則，且，……7分所以，同理，………………9分因為，所以，因為，所以.……11分設兩平行線，間的距離為，則，因為，所以.所以.所以當時，的面積取得最大值為4.…………14分②若直線的斜率不存在，此時平行四邊形為矩形，設，易知，又，所以，當且僅當時取等；………………16分綜上所述：的面積的最大值為4.……………………17分19.解析：（1）由題設可知，正三角形的對稱變換如下：繞中心作的旋轉變換；繞中心作的旋轉變換；繞中心作的旋轉變換；關于對稱軸所在直線的反射變換；關于對稱軸所在直線的反射變換；關于對稱軸所在直線的反射變換.綜上，.（形式不唯一）………………3分（2）①Ⅰ.，，；Ⅱ.，，，所以……………