2024年新高考2卷數(shù)學(xué)解析幾何專題2（直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）（學(xué)生版）

專題二直線與圓錐曲線的位置關(guān)系核心知識必刷1、核心知識點串講（1）直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定判定直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，一般是把直線l的方程代入圓錐曲線C的方程中，消去y(也可以消去x)，得到一個關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0.①當(dāng)a≠0時，ax2+bx+c=0是一個一元二次方程，若△=b2?4ac>0,，則直線l與圓錐曲線C有兩個不同的交點，即相交；若△=b2?4ac=0,則直線l與圓錐曲線C有兩個相同的交點，即相切；若△=b2?4ac<0,，則直線l與圓錐曲線C無交點，即相離.②當(dāng)a=0時，ax2+bx+c=0退化為了一個一元一次方程，則直線l與圓錐曲線C只有一個交點，此時只可能是如下兩種情況：①當(dāng)C是雙曲線時，說明直線l與雙曲線漸近線平行；②當(dāng)C是拋物線時，說明直線l與拋物線的對稱軸平行.因此當(dāng)直線l與雙曲線或拋物線只有一個公共點時，應(yīng)特別注意區(qū)分是相交(只有一個交點)還是相切(兩個相同的交點)。（2）弦長和弦中點當(dāng)直線l:y=kx+b與圓錐曲線C相交時,設(shè)兩個交點A,B的坐標分別為(x?,y?)和(x?,y?),則弦長|AB|=x其中x?，x?正好是直線方程代入曲線方程，消去后所得一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0由根與系數(shù)的關(guān)系有x因此，要求弦長，一般并不需要具體求出交點A，B的坐標，這就是我們通常所說的“設(shè)而不求”，這是一種非常重要的方法.同學(xué)們應(yīng)注意掌握.關(guān)于弦中點，若設(shè)弦AB的中點坐標為(x?，y?)，則x命題特點分析直線和圓錐曲線有相交、相切和相離三種位置關(guān)系.把直線和圓錐曲線結(jié)合到一起，形成某種位置關(guān)系是高考命題中解析幾何解答題的基本框架，特別是當(dāng)直線被圓錐曲線所截時，有關(guān)弦長、弦中點以及與之相關(guān)的面積問題更是高考命題的熱點問題。第一部分基礎(chǔ)訓(xùn)練*1．若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(5)B．5C.eq\r(2)D．2*2．設(shè)橢圓C1的離心率為eq\f(5,13)，焦點在x軸上且長軸長為26.若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為()A.eq\f(x2,42)－eq\f(y2,32)＝1B.eq\f(x2,132)－eq\f(y2,52)＝1C.eq\f(x2,32)－eq\f(y2,42)＝1D.eq\f(x2,132)－eq\f(y2,122)＝1*3．已知a>b>0，橢圓C1的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，雙曲線C2的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，C1與C2的離心率之積為eq\f(\r(3),2)，則C2的漸近線方程為()A．x±eq\r(2)y＝0 B.eq\r(2)x±y＝0C．x±2y＝0 D．2x±y＝0**4．(2018·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：eq\f(x2,3)－y2＝1，O為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝()A.eq\f(3,2)B．3C．2eq\r(3)D．4**5．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與直線3x＋eq\r(6)y＋3＝0垂直，以C的右焦點F為圓心的圓(x－c)2＋y2＝2與它的漸近線相切，則雙曲線的焦距為()A．1B．2C.eq\r(5)D．2eq\r(5)**6．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝eq\f(9,4)ab，則該雙曲線的離心率為()A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(9,4)D．3*7．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的一條漸近線為eq\r(3)x＋y＝0，則a＝________.*8．與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1共焦點，離心率之和為eq\f(14,5)的雙曲線標準方程為________．**9．在平面直角坐標系xOy中，過雙曲線C：x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦點F作x軸的垂線l，則l與雙曲線C的兩條漸近線所圍成的三角形的面積是________．*10．已知等軸雙曲線的焦點在x軸上，且焦點到漸近線的距離是eq\r(2)，則此雙曲線的方程為________．第二部分真題再現(xiàn)【例1】(2023年北京卷)已知橢圓離心率為，A、C分別是E的上、下頂點，B，D分別是的左、右頂點，．*(1)求的方程；***(2)設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動點，直線與直線交于點，直線與直線交于點．求證：．【跟蹤練習(xí)】(2018年高考數(shù)學(xué)江蘇卷)如圖，在平面直角坐標系中，橢圓C過點，焦點，圓O的直徑為．*(1)求橢圓C及圓O的方程；(2)設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P．**①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標；**②直線l與橢圓C交于兩點．若的面積為，求直線l的方程．【例2】(2022新高考全國I卷)已知點在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點，直線的斜率之和為0．*(1)求l斜率；***(2)若，求的面積．【跟蹤練習(xí)】(2014高考數(shù)學(xué)遼寧理科)圓的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當(dāng)該三角形面積最小時，切點為P(如圖)，雙曲線過點P且離心率為．**(1)求的方程；***(2)橢圓過點P且與有相同的焦點，直線過的右焦點且與交于A，B兩點，若以線段AB為直徑的圓心過點P，求的方程．【例3】（2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)）已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P．**（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；***（2）若，求|AB|．【跟蹤練習(xí)】（2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)）已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.**（1）證明：直線AB過定點：***（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.第三部分強化訓(xùn)練1、(2020江蘇高考)在平面直角坐標系中，已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上且在第一象限內(nèi)，，直線與橢圓相交于另一點．*(1)求的周長；**(2)在軸上任取一點，直線與橢圓的右準線相交于點，求的最小值；***(3)設(shè)點在橢圓上，記與的面積分別為，若，求點的坐標．2、(2023年天津卷)設(shè)橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．**(1)求橢圓方程及其離心率；***(2)已知點是橢圓上一動點(不與端點重合)，直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．（2019年高考天津卷理數(shù)）設(shè)橢圓的左焦點為，上頂點為．已知橢圓的短軸長為4，離心率為．*（1）求橢圓的方程；***（2）設(shè)點在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點為直線與軸的交點，點在軸的負半軸上．若（為原點），且，求直線的斜率．4、(2020天津高考)已知橢圓的一個頂點為，右焦點為，且，其中為原點．*(Ⅰ)求橢圓方程；***(Ⅱ)已知點滿足，點在橢圓上(異于橢圓的頂點)，直線與以為圓心的圓相切于點，且為線段的中點．求直線的方程．5、(2022高考北京卷)已知橢圓：的一個頂點為，焦距為．*(1)求橢圓E的方程；***(2)過點作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點M，N，當(dāng)時，求k的值．6、(2021年新高考Ⅰ卷)在平面直角坐標系中，已知點、，點的軌跡為．*(1)求的方程；***(2)設(shè)點在直線上，過兩條直線分別交于、兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和．7、(2020年高考課標Ⅲ卷理科)已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點．*(1)求的方程；***(2)若點在上，點在直線上，且，，求的面積．8、(2016高考數(shù)學(xué)上海理科)雙曲線的左、右焦點分別為，直線過且與雙曲線交于兩點．**(1)若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；***(2)設(shè)，若的斜