高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期中考模擬卷02（解析版）

高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期中考模擬卷02一、單選題1．（2023·遼寧·鞍山一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)全集，集合，，則等于（

）A．或 B．或C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式、一元一次不等式求集合A、B，再應(yīng)用集合的并、補(bǔ)運算求.【詳解】由題設(shè)，，，，∴，故.故選：C2．（2023春·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】運用復(fù)數(shù)乘法運算及復(fù)數(shù)相等可求得a、b的值，再運用共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模的運算公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)（a，），則，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得，解得或，所以．故選：B.3．（2023春·遼寧營口·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由即可求出，則可求出的值.【詳解】當(dāng)時，，無解，當(dāng)時，，所以，故選：B.4．（2023秋·遼寧營口·高二營口市第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）各項不為零的等差數(shù)列中，，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則A．4 B．8 C．16 D．64【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可求得，再利用等比數(shù)列性質(zhì)求得結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可得：又各項不為零

，即由等比數(shù)列性質(zhì)可得：本題正確選項：【點睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）等差數(shù)列前項和為，滿足，則下列結(jié)論中正確的是A．是中的最大值 B．是中的最小值C． D．【答案】D【詳解】本題考查等差數(shù)列的前n項和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì).設(shè)公差為則由等差數(shù)列前n項和公式知：是的二次函數(shù)；又知對應(yīng)二次函數(shù)圖像的對稱軸為于是對應(yīng)二次函數(shù)為無法確定所以根據(jù)條件無法確定有沒有最值；但是根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性，必有即故選D6．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知方程在上有且僅有兩個不同的解、，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】等價于的圖象與直線有且僅有兩個公共點，即直線與的圖象在內(nèi)相切，利用導(dǎo)數(shù)求出即可判斷選項CD，再利用反證法分析選項AB即得解.【詳解】要使方程在上有兩個不同的解，則的圖象與直線有且僅有兩個公共點，所以直線與的圖象在內(nèi)相切，此時，，設(shè)切點，由，∴.所以選項C正確，選項D錯誤.若選項A正確，則可得，所以.令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，與矛盾，所以選項A錯誤；若選項B正確，則可得，因為，所以，所以不成立，所以選項B錯誤.故選：C.7．（2023春·遼寧錦州·高二統(tǒng)考期末）已知，設(shè)曲線在處的切線斜率為，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可得，利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞減；根據(jù)大小關(guān)系可得結(jié)論.【詳解】當(dāng)時，，，，，在上單調(diào)遞減；，所以，而，所以，.故選：A.8．（2023·遼寧·建平縣實驗中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音.若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是奇函數(shù) B．的最小正周期為C．的最大值為 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】D【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷A；由可判斷B；利用換元法將問題化歸為二次函數(shù)給定區(qū)間求最值可判斷C；對求導(dǎo)，判斷的單調(diào)性可判斷D.【詳解】因為，定義域為R，所以是偶函數(shù)，故A不正確；因為，所以的最小正周期不是，故B不正確；因為，令，則，所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為，故C不正確；當(dāng)，，則，當(dāng)時，，，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D正確.故選：D.二、多選題9．（2023秋·遼寧大連·高一校考階段練習(xí)）下列命題中是真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．是的必要不充分條件【答案】AC【分析】對于A，B，C利用不等式的性質(zhì)判斷即可，對于D，利用充分條件和必要條件的定義判斷【詳解】解：對于A，因為，所以，所以，所以A正確；對于B，當(dāng)時，由不等式的性質(zhì)可知，若，則，所以B錯誤；對于C，由不等式的性質(zhì)可知是正確的；對于D，由得，所以是的充分不必要條件，所以D錯誤，故選：AC【點睛】此題考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用，考查充分條件和必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題10．（2023秋·遼寧朝陽·高二建平縣實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，G分別是棱，，的中點，則（

）A．平面 B．平面C．點在平面內(nèi) D．點F在平面內(nèi)【答案】BD【分析】連接、根據(jù)正方體的性質(zhì)可得，即可得到平面，再根據(jù)中位線的性質(zhì)及平行公理得到，即可得到、、、四點共面，從而得解；【詳解】解：連接、，在正方體中，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又，所以，所以、、、四點共面，即點F在平面內(nèi)，故B、D正確；再連接，顯然不在平面，所以與平面不平行，故A錯誤；由平面，可知點不在平面內(nèi)，故C錯誤；故選：BD11．（2023秋·遼寧丹東·高一鳳城市第一中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，有4個零點，，，，則（

）A．實數(shù)的取值范圍是 B．函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱C． D．的取值范圍是【答案】ACD【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)零點與方程的根的關(guān)系，即可分析零點，進(jìn)而判斷正誤.【詳解】解：由題可知，當(dāng)時，有2個零點，故，解得，當(dāng)時，此時，而，易知，也有2個零點，故，A正確；，B錯誤；的4個零點滿足：，則，是方程的兩個根，則有，且，，于是得，C正確；由C選項知，，由，得：，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而得，D正確.故選：ACD.12．（2023秋·遼寧朝陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．，若恒成立，則B．若，則C．若，則D．若，且，則【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：由圖可知，，所以，又，所以，所以，又，且，所以，所以；對于A：因為，所以，，所以，故A正確；對于B：若，即，所以或，，即或，，故B錯誤；對于C：因為關(guān)于對稱，又，即，所以和關(guān)于對稱，故，所以，故C正確；對于D：因為且，由在區(qū)間內(nèi)的對稱軸為可知，，所以，故D正確；故選：ACD三、填空題13．（2023春·遼寧沈陽·高一同澤高中校考階段練習(xí)）已知，且，則的值為.【答案】【分析】利用換元法令，則結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，求的值注意符號的判斷．【詳解】令，則∵，則故答案為：．14．（2023·海南省直轄縣級單位·?？寄M預(yù)測）已知正數(shù)，滿足，若，則．【答案】6【分析】化簡不等式，利用基本不等式求出，即可得出的值.【詳解】由題意，由，得，即，故．又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，此時，解得或，則，所以.故答案為：.15．（2023·吉林長春·東北師大附中?？家荒＃┤粼趦?nèi)存在極值，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有變號零點，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的取值范圍．【詳解】在內(nèi)存在極值，則在內(nèi)有變號零點，，，與同號，則有，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：16．（2023秋·遼寧沈陽·高一東北育才學(xué)校校考階段練習(xí)）在古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個球，這個球與圓柱的側(cè)面及兩個底面都相切，相傳這個圖形表達(dá)了阿基米德最引以自豪的發(fā)現(xiàn)．記圓柱的體積是球的體積的m倍，圓柱的表面積是球表面積的n倍，則m與n的大小關(guān)系是．【答案】【分析】設(shè)球的半徑為，利用圓柱的體積是球的體積的m倍，圓柱的表面積是球表面積的n倍，可得，，即可得出結(jié)論．【詳解】設(shè)球的半徑為R，因圓柱的體積是球的體積的m倍，圓柱的表面積是球表面積的n倍，則，，得．故答案為：．四、解答題17．（2023秋·遼寧撫順·高二校考開學(xué)考試）已知中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求的值；(2)若，，求的周長與面積.【答案】(1)(2)11，【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變換的知識求得.（2）先求得，然后利用正弦定理求得，從而求得三角形的周長與面積.【詳解】（1）由正弦定理得，故，而在中，，故，又，所以，則，則，，故.（2）因為，且，所以，.

由（1）得，，則，由正弦定理得，則，.故的周長為，的面積為.18．（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？家荒＃┮阎獢?shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意得當(dāng)時，，兩式相減得到，再求得，即可得到數(shù)列的通項公式；（2）由（1）得，求得成立；當(dāng)時，得到，結(jié)合裂項求和法，求得，進(jìn)而證得.【詳解】（1）解：因為，當(dāng)時，，兩式相減得，可得，令，可得，所以數(shù)列的通項公式為.（2）解：由（1）知，且，當(dāng)時，可得成立；當(dāng)時，，所以，因為，可得，可得，所以，綜上可得，.19．（2023·吉林長春·東北師大附中?？家荒＃┘质?023年開始，高考取消文理分科，實行“”的模式，其中的“1”表示每位學(xué)生必須從物理、歷史中選擇且只能選擇一個科目．某校高一年級有2000名學(xué)生（其中女生900人），該校為了解高一年級學(xué)生對物理、歷史的選科情況，采用比例分配的分層抽樣的方法抽取了200名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，其中選擇歷史的男生有40人，選擇物理的女生有30人．(1)利用以上信息完成下面的列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為學(xué)生性別與選擇科目有關(guān)？性別選擇物理選擇歷史總計男生女生總計(2)某個外語學(xué)習(xí)小組共有7人，其中有3人選擇了歷史，4人選擇了物理，隨機(jī)抽取4人進(jìn)行對話練習(xí)，用表示抽中的4人中，選擇歷史的同學(xué)人數(shù)，求的分布列及期望．附：，其中0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析；能認(rèn)為學(xué)生性別與選擇科目有關(guān)(2)分布列見解析；【分析】（1）根據(jù)分層抽樣得到抽取男生和女生的人數(shù)，進(jìn)而得到列聯(lián)表，求出的值比較即可；（2）根據(jù)排列組合的知識求出各值時的概率即可，寫出分布列，求出期望即可.【詳解】（1）根據(jù)采用比例分配的分層抽樣得其中抽取男生的人數(shù)為人，則抽取女生人數(shù)為人，則列聯(lián)表如下：性別選擇物理選擇歷史總計男生7040110女生306090總計100100200則，能認(rèn)為學(xué)生性別與選擇科目有關(guān)；（2）可能取值為，，，，，，則的分布列如：.20．（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽市第一二〇中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，，D，E分別是線段AC，的中點，在平面ABC內(nèi)的射影為D．

(1)求證：平面BDE；(2)若點F為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理證明；（2）利用空間向量的坐標(biāo)運算求出二面角的余弦值求解.【詳解】（1）連接,因為為等邊三角形，D是線段AC的中點，所以，又因為平面，平面，所以,,平面,所以平面,平面,所以，由題設(shè)可知，四邊形為菱形，所以,因為D，E分別是線段AC，的中點，所以,所以，又因為平面BDE,所以平面BDE.（2）

以為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，則所以平面的一個法向量,設(shè)平面的一個法向量為,所以，設(shè)，則，所以，設(shè)，所以，因為，所以二次函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，所以，所以銳二面角的余弦值的取值范圍．21．（2023·吉林長春·東北師大附中校考一模）橢圓的離心率為，過橢圓焦點并且垂直于長軸的弦長度為1．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓相交于，兩點，與軸相交于點，若存在實數(shù)，使得，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率公式，結(jié)合橢圓垂直于長軸的弦長公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線是否存在斜率，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運算公式、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因為該橢圓的離心率為，所以有，在方程中，令，解得，因為過橢圓焦點并且垂直于長軸的弦長度為1，所以有，由可得：，所以橢圓的方程為；（2）當(dāng)直線不存在斜率時，由題意可知直線與橢圓有兩個交點，與縱軸也有兩個交點不符合題意；當(dāng)直線存在斜率時，設(shè)為，所以直線的方程設(shè)為，于是有，因為該直線與橢圓有兩個交點，所以一定有，化簡，得，設(shè)，于是有，因為，所以，代入中，得，于是有，化簡，得，代入中，得.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是由向量等式得到.22．（2023春·遼寧·高二鳳城市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)(1)求在處的切線方程；(2)若對任意的恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，然后證得在區(qū)間上，，再分與討論，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因為，則，且，所以切線方程為.（2）由已