強基計劃專題練07 立體幾何（原卷版）

專題訓(xùn)練07立體幾何一、單選題1．設(shè)為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為4、5、6的直線，給出下列三個結(jié)論：①存在使得是直角三角形；②存在使得是等邊三角形；③三條直線上存在四點使得四面體為在一個頂點處的三條棱兩兩互相垂直的四面體，其中，所有正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．如圖，斜三棱柱中，底面是正三角形，分別是側(cè)棱上的點，且，設(shè)直線與平面所成的角分別為，平面與底面所成的銳二面角為，則（

）A．B．C．D．二、多選題3．如圖，圓柱的底面半徑和母線長均為是底面直徑，點在圓上且，點在母線，點是上底面的一個動點，則（

）A．存在唯一的點，使得B．若，則點的軌跡長為4C．若，則四面體的外接球的表面積為D．若，則點的軌跡長為4．已知正四面體的棱長為，其所有頂點均在球的球面上．已知點滿足，，過點作平面平行于和，平面分別與該正四面體的棱相交于點，則（

）A．四邊形的周長是變化的B．四棱錐體積的最大值為C．當時，平面截球所得截面的周長為D．當時，將正四面體繞旋轉(zhuǎn)90°后與原四面體的公共部分的體積為5．勒洛FranzReuleaux（1829～1905），德國機械工程專家，機構(gòu)運動學(xué)的創(chuàng)始人.他所著的《理論運動學(xué)》對機械元件的運動過程進行了系統(tǒng)的分析，成為機械工程方面的名著.勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體.如圖所示，設(shè)正四面體的棱長為2，則下列說法正確的是（

）A．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為B．勒洛四面體被平面截得的截面面積是C．勒洛四面體表面上交線的長度為D．勒洛四面體表面上任意兩點間的距離可能大于26．設(shè)四面體的六條棱長分別為，，…，，體積為，四個面的面積分別為，，，，面與面所成的內(nèi)二面角為，，，，為任意四個正實數(shù)，為空間里任意一點．下列不等式對任意滿足均為銳角的四面體恒成立的是（

）A．B．C．D．7．如圖，在直棱柱中，各棱長均為2，，則下列說法正確的是（

）A．三棱錐外接球的體積為B．異面直線與所成角的正弦值為C．當點M在棱上運動時，最小值為D．N是所在平面上一動點，若N到直線與的距離相等，則N的軌跡為拋物線8．如圖，正方體中，頂點A在平面內(nèi)，其余頂點在的同側(cè)，頂點，B，C到的距離分別為，1，2，則（

）平面 B．平面平面C．直線與所成角比直線與所成角大 D．正方體的棱長為三、填空題9．祖暅，字景爍，祖沖之之子，南北朝時代的偉大科學(xué)家．祖暅在數(shù)學(xué)上有突出的貢獻，他在實踐的基礎(chǔ)上，于5世紀末提出下面的計算原理——祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．請同學(xué)們用祖暅原理解決如下問題：如題圖，有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為的鐵球，再注人水，使水面與球正好相切（而且球與倒圓錐相切效果很好，水不能流到倒圓錐容器底部），然后將球取出，則這時容器中水的深度為________．10．所有的頂點都在兩個平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱體，這兩個平行的面稱為上下底面，它們之間的距離稱為擬柱體的高．生產(chǎn)實際中，我們經(jīng)?？吹近S沙、碎石、灰肥等堆積成上下底面平行，且都是矩形的形狀，這種近似于棱臺的形體就是一種特殊的擬柱體（如圖所示），已知其高為h，上底面、下底面和中截面（經(jīng)過高的中點且平行于底面的截面）面積分別為，和，請你用，，，h表示出這種擬柱體的體積V＝______．11．已知正方體的棱長為1，、分別為棱、的中點，為棱上的動點，為線段的中點.則下列結(jié)論中正確序號為______.①；②平面；③的余弦值的取值范圍是；④△周長的最小值為四、解答題12．棱柱的所有棱長都等于2，，平面平面，．（1）證明：；（2）求二面角的平面角的余弦值；（3）在直線上是否存在點，使平面？若存在，求出點的位置．13．正四棱錐的底面正方形邊長是4，是在底面上的射影，，是上的一點，，過且與、都平行的截面為五邊形.（1）在圖中作出截面（寫出作圖過程）；（2）求該截面面積.14．查找并閱讀關(guān)于蜂房結(jié)構(gòu)的資料，建立數(shù)學(xué)模型說明蜂房正面采用正六邊形面，底端是封閉的六角棱錐體的底，由三個相同的菱形組成（菱形的銳角為，鈍角為）的原因．15．2021年6月17日，神舟十二號載人飛船順利升空并于6.5小時后與天和核心艙成功對接，這是中國航天史上的又一里程碑，我校南蒼穹同學(xué)既是航天迷，又熱愛數(shù)學(xué)，于是他為正在參加期末檢測的你們編就了這道題目，如圖，是神舟十二號飛船推進艙及其推進器的簡化示意圖，半徑相等的圓與圓柱底面相切于四點，且圓與與與與分別外切，線段為圓柱的母線.點為線段中點，點在線段上，且.已知圓柱，底面半徑為.（1）求證：平面；（2）線段上是否存在一點，使得平面若存在，請求出的長，若不存在，請說明理由；（3）求二面角的余弦值；（4）如圖，是飛船推進艙與即將對接的天和核心艙的相對位置的簡化示意圖.天和核心艙為底面半徑為2的圓柱，它與飛船推進艙共軸，即共線.核心艙體兩側(cè)伸展出太陽翼，其中三角形為以為斜邊的等腰直角三角形，四邊形為矩形.已知推進艙與核心艙的距離為4，即，且，.在對接過程中，核心艙相對于推進艙可能會相對作出逆時針旋轉(zhuǎn)的運動，請你求出在艙體相對距離保持不變的情況下，在艙體相對旋轉(zhuǎn)過程中，直線與平面所成角的正弦值的最大值.16．如圖，已知四棱錐中，平面，平面平面，且，，，點在平面內(nèi)的射影恰為的重心.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.17．北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和．例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為，故其總曲率為．（1）求四棱錐的總曲率；（2）若多面體滿足：頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)，證明：這類多面體的總曲率是常數(shù)．18．如圖1所示為一種魔豆吊燈，圖2為該吊燈的框架結(jié)構(gòu)圖，由正六棱錐和構(gòu)成，兩個棱錐的側(cè)棱長均相等，且棱錐底面外接圓的直徑為，底面中心為，通過連接線及吸盤固定在天花板上，使棱錐的底面呈水平狀態(tài)，下頂點與天花板的距離為，所有的連接線都用特殊的金屬條制成，設(shè)金屬條的總長為y．（1）設(shè)∠O1AO=(rad)，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式，并寫出θ的范圍；（2）請你設(shè)計θ，當角θ正弦值的大小是多少時，金屬條總長y最?。?9．如圖，在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，（1）求證：直線AC⊥平面BDB1；（2）求直線A1B1與平面ACC1所成角的正弦值.20．已知橢圓的左、右焦點分別為、．經(jīng)過點且傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點（其中點在軸上方），的周長為8．（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖，把平面沿軸折起來，使軸正半軸和軸確定的半平面，與負半軸和軸所確定的半平面互相垂直．①若，求異面直線和所成角的大??；②若折疊后的周長為，求的大?。?1．在三棱柱中，側(cè)面為矩形，，，是的中點，與交于點，且平面.(1)證明：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.五、雙空題22．如圖，在矩形中，，，，，分別為，，，的中點，與交于點，現(xiàn)將，，，分別沿，，，把這個矩形折成一個空間圖形，使與重合，與重合，重合后的點分別記為，，為的中點，則多面體的體積為_______；若點是該多面體表面上的動點，滿足時，點的軌跡長度為__________．24．祖暅原理：“冪勢既同