第五章 Wash函數(shù)和CRC編碼

第五章Walsh函數(shù)和CRC編碼3/26/20241CDMA系統(tǒng)工程64階walWalsh泛應(yīng)用于IS-95系統(tǒng)：前向信道數(shù)據(jù)與周期Walsh系列相乘（正交擴譜）理論上，不同信道的不同Walsh序列相互正交消除或抑制多址干擾（MAI）實際上，多徑信號、其它小區(qū)信號異步性引起非正交；導(dǎo)致干擾采用PN序列擴頻，依靠處理增益克服干擾反向信道使用Walsh函數(shù)作正交調(diào)制編碼，不用于區(qū)分信道介紹Walsh函數(shù)性質(zhì)、生成方法及其譯碼（IS95未規(guī)定）3/26/20242CDMA系統(tǒng)工程5.1Walsh函數(shù)定義N階waWalsh的定義：N個函數(shù)的集合，記為{Wj(t);t∈[0,T],j=0,1,2,3…N-1},

Wj(t)值域：｛－１，０，１｝，０為跳躍點取值；對于所有的ｊ，有Wj(０)＝１；在區(qū)間[0,T]內(nèi)，Wj(t)有ｊ次符號變化（過零點）；

Wj(t)或是奇函數(shù)或是偶函數(shù)（關(guān)于［0,T］中的點）；3/26/20243CDMA系統(tǒng)工程參見下圖所示函數(shù)。驗證為８階Walsh函數(shù)：了解Walsh函數(shù)的性質(zhì)，掌握Walsh函數(shù)的構(gòu)造方法3/26/20244CDMA系統(tǒng)工程5.2

Walsh序列性質(zhì)（對稱性，有序性）變換：+1→”0”;-1→”1”;j→二進制數(shù)3/26/20245CDMA系統(tǒng)工程Walsh序列對稱性（歷史）當時，Walsh序列關(guān)于點，或者奇對稱或者偶對稱如16階Walsh函數(shù)中：3/26/20246CDMA系統(tǒng)工程3/26/20247CDMA系統(tǒng)工程用K位二進制數(shù)表示W(wǎng)alsh函數(shù)下標j,

則：Wj(0)=1→Wj0=0，13→1101，W13→：寫出如下序列：０１０１１０１０１０１００１０１3/26/20248CDMA系統(tǒng)工程Walsh函數(shù)的有序性（用于譯碼）：3/26/20249CDMA系統(tǒng)工程3/26/202410CDMA系統(tǒng)工程綜上所述，（有序性）歸納如下：Walsh序列關(guān)于集合aK奇對稱或偶對稱；Walsh序列關(guān)于集合aK-1(多對稱點)具有同樣的對稱性；同樣處理，Walsh序列關(guān)于集合a1具有同樣的對稱性。3/26/202411CDMA系統(tǒng)工程5.3

Walsh函數(shù)產(chǎn)生Walsh函數(shù)可以用多種方法生成：用萊德馬契函數(shù)；用哈達瑪矩陣；用Walsh函數(shù)對稱特性。3/26/202412CDMA系統(tǒng)工程5.3.2

用哈達瑪矩陣生成Walsh函數(shù)哈達瑪矩陣是方陣，元素是+1或-1，行之間正交，列之間正交。哈達瑪矩陣HN（N為階，取值為1,2,4t,t為正整數(shù)）3/26/202413CDMA系統(tǒng)工程哈達瑪矩陣生成原理：Ha×Hb=Hab,若Ha中元素為+1，則用Hb代入；若為-1，則用-Hb代入。若N為２的冪，規(guī)定H1=[+1]，則：3/26/202414CDMA系統(tǒng)工程例：構(gòu)造N=16階哈達瑪矩陣規(guī)范形式:3/26/202415CDMA系統(tǒng)工程3/26/202416CDMA系統(tǒng)工程上述哈達瑪矩陣第i行用二進制序列表示，如下表所示：3/26/202417CDMA系統(tǒng)工程如果，則所有的哈達瑪矩陣的行序列和列序列都是Walsh序列。兩者排列轉(zhuǎn)換關(guān)系為：3/26/202418CDMA系統(tǒng)工程例：考慮16階沃爾什序列，找出與W7相對應(yīng)哈達瑪矩陣的行。解：由于X7=(0111),于是可得：3/26/202419CDMA系統(tǒng)工程兩種序號的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系如下表所示：3/26/202420CDMA系統(tǒng)工程兩種序號轉(zhuǎn)換關(guān)系還可以用矩陣表示如下：注意：IS-95中“64階Walsh函數(shù)”表，是哈達瑪序列表3/26/202421CDMA系統(tǒng)工程思考題：

請利用公式a和b，計算IS-95中“64階Walsh函數(shù)”表中前16個哈達瑪序列對應(yīng)的Walsh序列號。3/26/202422CDMA系統(tǒng)工程5.3.3

有限域用于描述序列或編碼的代數(shù)結(jié)構(gòu)有限域的定義：定義了四則運算的有限元素集合，記為GF(q)，q（元素數(shù)）稱為階，滿足：１、域?qū)τ凇凹樱?，“乘·”運算封閉；２、域總是包含唯一相加恒等元０和唯一相乘恒等元１，使得對于任意元素∈GF(q)，有：＋０＝，·１＝３、對于任意元素,存在唯一的加法逆元，使得：

對于任意的元素，存在唯一的乘法逆元，使得：

3/26/202423CDMA系統(tǒng)工程逆運算減法（－）和除法（÷）定義如下：４、對于元素，有以下規(guī)則：

3/26/202424CDMA系統(tǒng)工程實數(shù)集、有理數(shù)集是域（不是有限域）實數(shù)集內(nèi)大于或等于零的元素集合及所有整數(shù)集合不是域。（為什么？）在GF(q)中，整數(shù)元素上的運算一般為模q的加法和乘法

驗證：運算封閉+01234001234112340223401334012440123●012340000001012342024133031424043210,1,2,3,4的加法逆元分別為0,4,3,2,11,2,3,4的乘法逆元為1,3,2,4在整數(shù)域GF(5)中加法、乘法運算見下表：相加恒等元相乘恒等元3/26/202425CDMA系統(tǒng)工程當q為素數(shù)時，GF(q)稱為素數(shù)域素數(shù)域中，一定包含加法恒等元０和乘法恒等元１，使得：對于任何數(shù)（p為素數(shù)，m為整數(shù)），總存在有限域

域特征：一個域中，相乘恒等元累加得到的相加恒等元的最小個數(shù)3/26/202426CDMA系統(tǒng)工程如：GF(5)的特征是５，GF(2)的特征是2,的特征是ｐ01001110

最簡單的域是GF(2)(m=1,p=2),加、乘運算見下表：

010001013/26/202427CDMA系統(tǒng)工程在符號和中，約定，當,指素數(shù)域。當ｍ＞1時，是素數(shù)域GF(p)的擴展域3/26/202428CDMA系統(tǒng)工程5.3.4矢量空間在序列和編碼的數(shù)學表述中，矢量空間起到十分重要的作用。n維歐氏空間上的矢量：有向直線坐標表示定義：群G是一些對象的集合，記為，對這個集合里的元素，規(guī)定一個數(shù)學運算，記為＊，（或為＋或為·），并且滿足以下特性：

封閉性：G在＊運算下是封閉的；即如果a∈G,b∈G,則a＊b也是G中元素。

結(jié)合律：對于集合中的任意三個元素a,b,c，滿足結(jié)合律；即任意的a∈G,

b∈G，c∈G,有（a＊b）＊c=a＊（b＊c）。

恒等元：在集合中存在一個恒等元，對集合中的任意元素a∈G,均有a*(恒等元)＝a成立。

逆元：對于集合中的每一個元素都存在逆元，亦即對于每一個元素a，均可以找到一個逆元，滿足a＊(逆元)＝（恒等元）。3/26/202429CDMA系統(tǒng)工程域F上矢量空間V的概念：在一個域F上定義矢量空間V是元素的集合，元素稱為矢量，滿足下列性質(zhì)：矢量在矢量加法上構(gòu)成矢量群；滿足分配律：對任意u,v∈V,α，β∈F；有

α(u+v)=αu+αv;(α+β)u=αu+βu

滿足結(jié)合律：對于任何u∈V；α，β∈F；有

(αβ)u=

α(βu)對于相乘恒等元１∈F，u∈V

，有1u=u

3/26/202430CDMA系統(tǒng)工程n

位二進制數(shù)（有序序列，共有個），可以構(gòu)成GF(2)上的矢量空間，記為Vn,其矢量加法和標量乘法（數(shù)乘）定義如下：

3/26/202431CDMA系統(tǒng)工程子空間的概念：Vn的子集S稱為子空間，如果集合S中存在全零矢量（0,0,‥,0）集合S中的任何兩矢量的和仍在集合S中（封閉性）考慮Vn中的K個矢量，其線性組合為：

如果存在并不全為零標量，使得：則稱線性相關(guān)；否則線性無關(guān)。

3/26/202432CDMA系統(tǒng)工程如果一個矢量空間中的任意矢量都可以由某個集合中的矢量構(gòu)成，稱矢量空間由該集合張成。在任何一個矢量空間或子空間中，至少存在一組線性無關(guān)的矢量可以張成該空間；這組矢量稱為矢量空間的基,其中矢量個數(shù)稱為矢量空間的維數(shù)。3/26/202433CDMA系統(tǒng)工程矢量空間的矩陣表示考慮線性無關(guān)矢量集合：張成16個元素的矢量空間，其中的任意的矢量表示為：G稱為生成矩陣，其行矢量是矢量空間的基本矢量。3/26/202434CDMA系統(tǒng)工程5.3.5用基本矢量產(chǎn)生Walsh函數(shù)可以證明：階Walsh序列構(gòu)成GF(2)上個K維矢量空間

由K個線性無關(guān)的基本矢量張成由Walsh序列下標矢量構(gòu)成K×K單位陣其每一行下標對應(yīng)的Walsh序列線性無關(guān)可以構(gòu)成生成矩陣。

3/26/202435CDMA系統(tǒng)工程舉例：考慮生成N=16階Walsh序列1、由構(gòu)成單位矩陣的下標矢量，得到對應(yīng)的Walsh序列2、構(gòu)成生成矩陣：3/26/202436CDMA系統(tǒng)工程3、通過矩陣計算得到全部16階Walsh序列如通過計算得到3/26/202437CDMA系統(tǒng)工程5.4

用于CDMA的正交Walsh函數(shù)5.4.1前向鏈路Walsh函數(shù)接收端解擴信息符號通過預(yù)先指定的Walsh序列進行相關(guān)而加以恢復(fù)前向鏈路（包括導(dǎo)頻信道、同步信道以及業(yè)務(wù)信道）信息符號分別與不同的64階周期性Walsh序列進行模2和Walsh函數(shù)（序列）用作區(qū)別信道和標識序列信息與序列同步后：19.2kb/s1符號覆蓋64序列4.8kb/s4周期Walsh序列3/26/202438CDMA系統(tǒng)工程其中是數(shù)據(jù)符號的能量

是一個數(shù)據(jù)符號周期（即符號率為19.2ksps對應(yīng)的周期）

表示第個Walsh函數(shù)設(shè)第個移動用戶的第個數(shù)據(jù)符號為前向鏈路基帶波形

為：3/26/202439CDMA系統(tǒng)工程接收端（移動臺i）恢復(fù)數(shù)據(jù)符號原理見下圖：移動臺的接收機只接收到發(fā)送給移動臺

的信號，抑制了發(fā)給其他移動臺的信號，只要接收波形與本地Walsh序列同步3/26/202440CDMA系統(tǒng)工程5.4.2反向鏈路的Walsh函數(shù)編碼原理：1、（64，6）編碼器以28.8ksps接收交織符號；2、編碼器以28.8×64/6=307.2ksps輸出Walsh編碼后的二進制符號，或者以307.2/64=4.8ksps輸出64進制Walsh

編碼符號；3、根據(jù)編碼符號，確定出哈達瑪矩陣下標i,通過查表得到哈達瑪序列反向鏈路信道（包括接入信道和業(yè)務(wù)信道）采用64進制正交調(diào)制，（n=64,k=6）分組信道編碼器提供6編碼符號內(nèi)相關(guān)譯碼，解調(diào)定時3/26/202441CDMA系統(tǒng)工程5.5Walsh函數(shù)譯碼基站接收譯碼：確定移動臺發(fā)射Walsh符號方法：相關(guān)度量兩函數(shù)之間的相似程度并進行比較相關(guān)計算：標量積或內(nèi)積，記為<A,B>序列相關(guān)：對應(yīng)分量相乘、累加3/26/202442CDMA系統(tǒng)工程5.5.1相關(guān)譯碼相關(guān)定義：設(shè)N階Walsh函數(shù)：

其中任意兩函數(shù)之間相關(guān)記為：

序列相關(guān)：三種計算方法：3/26/202443CDMA系統(tǒng)工程如果兩個函數(shù)或序列正交，則相關(guān)值為03/26/202444CDMA系統(tǒng)工程譯碼算法：舉例：16階Walsh函數(shù)如表所示：3/26/202445CDMA系統(tǒng)工程3/26/202446CDMA系統(tǒng)工程“最小漢明距離”等效判決注意：漢明距離僅對序列分量屬于GF(2)是有效的度量3/26/202447CDMA系統(tǒng)工程糾錯問題：3/26/202448CDMA系統(tǒng)工程若則自學快速Walsh變換譯碼部分（4個“1”）3/26/202449CDMA系統(tǒng)工程5.6IS-95數(shù)據(jù)幀CDMA系統(tǒng)中，信息彼特是以幀的形式傳送前向業(yè)務(wù)信道幀結(jié)構(gòu)如下圖所示：3/26/202450CDMA系統(tǒng)工程對于9.6kbit/s、4.8kbit/s的數(shù)據(jù)，F(xiàn)為幀質(zhì)量指示比特，即奇偶校驗比特，使用循環(huán)碼構(gòu)成3/26/202451CDMA系統(tǒng)工程5.10

幀和消息結(jié)構(gòu)質(zhì)量指示器幀質(zhì)量指示器FQI的作用：1、接收包是否有錯2、輔助確定接收幀數(shù)據(jù)速率3/26/202452CDMA系統(tǒng)工程5.10.1前向鏈路CRC計算9.6kbit/s信息使用12bitFQI，生成多項式為：編碼器電路為：編碼器為線性循環(huán)碼（184，172）3/26/202453CDMA系統(tǒng)工程4.8kbit/s信息使用8bitFQI，生成多項式為編碼器電路為：3/2