2024屆山東省新數(shù)學(xué)高二年級上冊期末綜合測試試題含解析

2024屆山東省新數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題

注意事項

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

22

rv7

1.已知雙曲線1-3=1(“>0/>0)的左、右焦點分別為耳、F2,點A在雙曲線上，且A囂，X軸，若上U=7則

a-b~\AF2\3

雙曲線的離心率等于。

A百R而

22

C.2D.3

2.已知等差數(shù)列｛4｝共有2"+1項，其中奇數(shù)項之和為290,偶數(shù)項之和為261,則的值為()

A.30B.29

C.28D.27

3.圓/+2工+9+4y一3=0上到直線x+y+l=。的距離為夜的點共有

A」個B.2個

C.3個D.4個

4.4知函數(shù)/⑺的導(dǎo)函數(shù)為尸⑺,且滿足〃x)=24(e)+lnx,則_f(e)=()

A.eB.-l

C.-g-1D.~e

5.已知向量a=(l,0,機)，Z?=(2,0,-2),若a//。，則”=()

A.1B.72

C.6D.2

6.已知四棱錐P—ABC。，AD,平面BC,平面如瓦底面ABC。是梯形，AB=AD=2,BC=4,

NAPE)=NC?B,滿足上述條件的四棱錐的頂點尸的軌跡是()

p

A.橢圓B.橢圓的一部分

C.圓D.不完整的圓

7.某地政府為落實疫情防控常態(tài)化，不定時從當(dāng)?shù)?80名公務(wù)員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人做核酸檢測.把

這批公務(wù)員按001到780進行編號，若018號被抽中，則下列編號也被抽中的是。

A.076B.122

C.390D.522

8.已知兩條異面直線的方向向量分別是“=（3,1,2）,v=（3,2,-l）,則這兩條異面直線所成的角。滿足（）

.c9

A.sin—B.sm6=——

414

C.cos^=-

414

9.已知直線/過點（0,1）,且與直線％-2y+2=0垂直，則直線/的方程是（）

A.x+2y+l=0B.2x+y+l=0

C.x+2y-l=0D.2x+y-1=0

sa,

n_2n

10.設(shè)等差數(shù)列｛%｝,也｝的前〃項和分別是S",卻若，則皆二O

T?3〃+7

3

B.一一

4

叱D.2

11.設(shè)［（%）是函數(shù)/（%）的導(dǎo)函數(shù)，y=/'（%）的圖象如圖所示，則y=/（x）的圖象最有可能的是（）

y

12.已知小q是兩個命題，若"Lp)Vg”是假命題，貝!I()

A.p、q都是假命題B.p、q都是真命題

C.p是假命題q是真命題D.p是真命題q是假命題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列｛aJ的前幾項和為S“，且滿足％=1,oA+1=2",則S202i=.

22

14.已知雙曲線?—1_=1左、右焦點分別為耳，B，點尸是雙曲線左支上一點且|P￡|+|P6|=8,則

sinZPJjF,

sin/PgK

15.圓錐的高為1,底面半徑為豆，則過圓錐頂點的截面面積的最大值為

16.底面半徑為1,母線長為2的圓錐的體積為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖1,在邊長為2的菱形A3C。中，N3AZ)=60。，將ABCD沿對角線30折起到△3。。的位置，如

圖2所示，并使得平面，平面ABO,E是50的中點，平面4BO,且網(wǎng)=26.

CE

BB

圖1圖2

(1)求平面歹5C'與平面尸R4夾角的余弦值；

(2)在線段上是否存在一點V,使得c，“_L平面EBC?若存在，求器的值；若不存在，說明理由.

18.(12分)已知2：2/—3%—220，q-.x2-2(a-l)x+a(a-2)<0.

⑴當(dāng)0e4時，求實數(shù)。的取值范圍；

⑵若P是F的充分不必要條件，求實數(shù)。的取值范圍.

19.(12分)已知函數(shù)/(%)=2inx+--x,且a>0

x

(1)當(dāng)。=1時，求函數(shù)/(*)的單調(diào)區(qū)間；

(2)記函數(shù)g(x)=/(x)+x,若函數(shù)g(尤)有兩個零點外,馬，

①求實數(shù)a的取值范圍；

②證明：%+々<2,1-a

20.(12分)已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且4=1,%+i=2S"+l(“wN*),數(shù)列也｝是公差不為0的等差數(shù)

列，滿足人2=4,且優(yōu),b2,%成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝和也｝通項公式；

(2)設(shè)q,=。“+bn,求數(shù)列｛%｝的前〃項和T..

21.(12分)如圖所示，在正方體ABCD-A|B|CjD|中，E是棱D?的中點.

(I)求直線BE與平面ABB|A|所成的角的正弦值;

(H)在棱C]D1上是否存在一點F,使BF平面A|BE?證明你的結(jié)論.

22.(10分)在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知sin5=2，且區(qū)4.§C=12.

（1）求ABC的面積；

（2）若a、b、c成等差數(shù)列，求》的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解題分析】由雙曲線定義結(jié)合通徑公式、陰=:化簡得出（21=2,最后得出離心率.

I*32

7,2帚

【題目詳解】---|A^|-|AF,|=2a,|AF,|=—,:.\AF^=2a+—

故選：B

2、B

【解題分析】由等差數(shù)列的求和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可

【題目詳解】奇數(shù)項共有（〃+1）項，其和為幺受出?（“+：!）=手?（/+1）=290,

（"+l）4+i=290

偶數(shù)項共有"項，其和為出［g〃?n=勺?n=/用=261,

.?.%=290-261=29

故選：B

3、C

【解題分析】求出圓的圓心和半徑，比較圓心到直線的距離和圓的半徑的關(guān)系即可得解.

【題目詳解】圓一+2》+9+4y-3=0可變?yōu)椋ㄓ?1）2+（丁+2）2=8,

，圓心為(―1,—2),半徑為20，

|-1-2+1|

圓心至ij直線x+y+l=O的距離d0,

二圓上到直線的距離為0的點共有3個.

故選：C.

【題目點撥】本題考查了圓與直線的位置關(guān)系，考查了學(xué)生合理轉(zhuǎn)化的能力，屬于基礎(chǔ)題.

4、C

【解題分析】求出導(dǎo)數(shù)后，把x=e代入，即可求解.

【題目詳解】因為((力=2尸(e)+1,所以((e)=2-(e)+：,解得/(e)=—(=—1

故選：C

5、B

【解題分析】由向量平行，先求出冽的值，再由模長公式求解模長.

【題目詳解】由。//小貝!1口=M，即1=2%加=-24

則；1=；，m=—2x；=—1,所以a=(l,0,—1)

則；=/2+02+(_])2:也

故選：B

6、D

【解題分析】根據(jù)題意，分析得動點P滿足的條件，結(jié)合圓以及橢圓的方程，以及點P的限制條件，即可判斷軌跡.

【題目詳解】因為ADL平面必18,平面則AD〃BC,

又B4u面面八鉆，故可得PALAD.PBLBC；

因為ZAPD=NCPB,故可得tanNAPOMa2M2utanNCPBuJu',

PAPAPBPB

則PB=2Q4,

綜上所述：動點P在BC垂直的平面中，且滿足。3=2上4；

為方便研究，不妨建立平面直角坐標(biāo)系進行說明，

在平面已旬中，因為AB=2,以AB中點為坐標(biāo)原點，

以A3為x軸，過。且垂直于AB的直線為》軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下所示：

因為PB=2Q4,故可得J(x—=2j(x+l『+y2,

整理得：x,1+y2,1+—0x+1=G,

故動點P的軌跡是一個圓；

又當(dāng)尸,A,3三點共線時，幾何體P-ABCD不是空間幾何體，

故動點尸的軌跡是一個不完整的圓.

故選：D.

【題目點撥】本題考察立體幾何中動點的軌跡問題，處理的關(guān)鍵是利用立體幾何知識，找到動點滿足的條件，進而求

解軌跡.

7、B

【解題分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點，寫出組數(shù)與對應(yīng)抽取編號的關(guān)系式，即可判斷和選擇.

【題目詳解】根據(jù)題意，780名公務(wù)員中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取30人，

則需要分為30組，每組26人；

設(shè)第n組抽取的編號為an,故可設(shè)an=26/7+m,

又第一組抽中18號，故可得18=26+機，解得m=-8

故an=26n-8,

當(dāng)〃=5時，a5=26x5-8=122.

故選：B.

8、D

【解題分析】利用向量夾角余弦公式直接求解

【題目詳解】解：兩條異面直線的方向向量分別是M=(3,1,2),v=(3,2-1),

這兩條異面直線所成的角。滿足…岸99

714-^-14

?,融。=卜(《)

14

故選：D

9、D

【解題分析】由題意設(shè)直線/方程為2%+丁+m=0,然后將點(0,1)坐標(biāo)代入求出加，從而可求出直線方程

【題目詳解】因為直線/與直線龍-2y+2=。垂直，所以設(shè)直線/方程為2無+y+m=0,

因為直線/過點(0,1),所以1+加=0,得加=一1,

所以直線/方程為2x+y—1=0,

故選：D

10、C

【解題分析】結(jié)合等差數(shù)列前〃項和公式求得正確答案.

【題目詳解】依題意等差數(shù)列｛??｝，｛b,,｝的前"項和分別是Sn,Tn,

故可設(shè)工=加2“2,7；=，（3”2+7〃），2^0,

22

當(dāng)時，=S?-S?_1=A-2TI-2-2（2-1）=（4n-2）2,

b22

n=7；-7；_1=2-（3?+7n）-2^3（n-l）+7（n-l）］=（6n+4）2,

所以a6=222,Z?4=282,

a.22211

所以—=----——

b,28214,

故選:C

11、C

【解題分析】利用導(dǎo)函數(shù)的圖象，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，得到函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值點，然后判斷選項即可

【題目詳解】解：由題意可知：尤<0和x>2時，/(%)>0,函數(shù)/(%)是增函數(shù),

xe(O,2)時，r(x)<0,函數(shù)/(%)是減函數(shù);

%=0是函數(shù)/(%)的極大值點，x=2是函數(shù)/(%)的極小值點;

所以函數(shù)/(%)的圖象只能是C

故選：C

12、D

【解題分析】由已知可得「p,g都是假命題，從而可分析判斷各選項

【題目詳解】；“Vg”是假命題，

~1p,q都是假命題，

，p真，g假，

故選：D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、21012-3

2"

【解題分析】當(dāng)心2時，可得3a==2,可得數(shù)列｛4｝隔項成等比數(shù)列，即所以數(shù)列｛4｝的

4-12

奇數(shù)項和偶數(shù)項分別是等比數(shù)列，分別求和，即可得解.

H

【題目詳解】因為4=1,a,,an+l=2,所以g=2,

a2〃

當(dāng)〃22時，_丹=2〃1,工—二—-2,

an-l/

所以數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別是等比數(shù)列,

「*2(1-2⑼°)

所以s.--------------1-------------------=2—J?

1-21-2

故答案為：21012-3.

14、3

【解題分析】根據(jù)雙曲線方程求出。，再根據(jù)雙曲線的定義可知|P6|所|=4,即可得到|尸周、\PF2\,再由正弦

定理計算可得；

22

【題目詳解】解：因為雙曲線為4=1,所以a=2、c=3,因為點尸是雙曲線左支上一點且|P4|+歸閭=8,

所以|P閭―歸制=4,所以歸丹=2,|尸鳥|=6,在△「￡耳中，由正弦定理可得.町L.J?」，所以

sinZPF2F｛sinAPF｛F2

sin/P耳B_P&3

sin/尸月片—PF「；

故答案為：3

15、2

【解題分析】求出圓錐軸截面頂角大小，判斷并求出所求面積最大值

【題目詳解】如圖，是圓錐軸截面，SC是一條母線，

0L

設(shè)軸截面頂角為。，因為圓錐的高為1,底面半徑為石，所以tan￡=后，夕6（0,萬），

ezuc2n"

所以一=一，0=——>—,

2332

設(shè)圓錐母線長為/,則/=JF+（G）2=2,

11°

截面SBC的面積為S=—SBSCsin/BSC=-l2sin/BSC,

22

TC1

因為NBSCelO,——],所以N3SC=一時，S=-x22=2

32max2

故答案為：2

【解題分析】先由勾股定理求圓錐的高，再結(jié)合圓錐的體積公式丫=35底〃運算即可得解.

【題目詳解】解：設(shè)圓錐的高為〃，由勾股定理可得力=后二/=也，

由圓錐的體積可得V=xVxG=巫，

33

故答案為叵

3

【題目點撥】本題考查了圓錐的體積公式，重點考查了勾股定理，屬基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、⑴—

5

（2）不存在，理由見解析

【解題分析】（1）利用垂直關(guān)系，以點E為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面EBC和平面儂的法向量力和

",利用公式cos即可求解;

(2)若滿足條件，CMIIm，利用向量的坐標(biāo)表示，判斷是否存在點滿足CM〃加.

【小問1詳解】

?：BC'=CD,E為80的中點

：.CE1BD,

又?平面BCZ>_L平面A3。，平面BCZ)平面45￡)=瓦)，C'Eu_L平面BCZ),

CE_1_平面ABD,

如圖以E原點，分別以E5、AE、EO所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則5(1,0,0),4(0,,0),0(-1,0,0),F(0,-百，2百)，C(0,0,百)，

二而=(」，-52百)，宓=(-1,0,百)，AB=(1,5°)，

設(shè)平面EBC'的法向量為機=(x,y,z),

m?BF=—x—A/3V+2y/3z=0

則｛廠，

m?BCr=—x+J3z=0

取z=l,得平面EBC的一個法向量m=(也，1,1),

設(shè)平面尸R4的法向量為〃=(%b,c),

n-BF=-q-j3b+2y/3c=0

則「

n-AB=〃+y/3b=0

取6=1,得平面尸5A的一個法向量為〃=(-G，1,0),

/\m-n—2v5

?cos(m,n)=i—i-j-r-—T=——---

,,\/|m|.|n|V5x25

設(shè)平面ABD與平面EBC的夾角為仇貝!Jcos6=cos(ni,n^=

平面ABD與平面FBC夾角的余弦值為—.

5

【小問2詳解】

假設(shè)在線段上存在M(x,j,z),使得C'M■，平面EBC',

設(shè)AM=44￡)(034)，則(x，，+G，z)=2(-l,G，0),即(x,y+#)，z)=(“，后，。)，

x=-2,j=\/3(A-1),z=0,

/.CM=(-4,6(4-

m=(A1,1)是平面EBC的一個法向量

由根〃CM，得，=封:2=二走，此方程無解.

V311

二線段AO上不存點M,使得平面EBC'.

【解題分析】⑴將％=0代入k-2(。-l)x+-2)<0即可求解；⑵首先結(jié)合已知條件分別求出命題P和9的解,

寫出f,然后利用充分不必要的特征即可求解.

【題目詳解】(1)由題意可知，0-—2(?！?)x0+a(a—2)<0,解得0<。<2,

故實數(shù)。的取值范圍為(0,2)；

(2)由2/—3x—220，解得xW—g或x之2,

由-—2(a-l)x+a(a-2)<0,解得a-2cxea,

故命題。：x<--^x>2；命題4：a-2<x<a,

2

從而F；xWa-2或x^a,

因為P是F的充分不必要條件，

1

所以｛》|工<一5或工?2｝1；｛X|%4。一2或％2。｝,

a-22—3

從而2,解得一

2

a<2

3

故實數(shù)。的取值范圍為[—,2].

2

19、(1)函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞減

2

(2)①0<a<—；②證明見解析

【解題分析】(1)求導(dǎo)，求解可得導(dǎo)函數(shù)恒小于等于0,即得證；

(2)①分析函數(shù)左(x)=-2xlnx的單調(diào)性，由。=—2xlnx有兩個實數(shù)根可求解；

-----=21n%]>％]------(

1x,xa<l-x,

②由(1)得21nx>k一,再利用其放縮可得:,由此有；，問題得證.

X4cl1Cl<1-X,

-----=2In%2>%2-----------i一

、%X?

【小問1詳解】

當(dāng)”=1時，函數(shù)/(%)=21nx+—-x,%>0

x

因為/(X)=2_J__1=_1￡Z121<0

Xx~X

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+00)上單調(diào)遞減；

【小問2詳解】

⑴由已知可得方程a=-2Wnx有兩個實數(shù)根

(o

記左(x)=-2xlnx,貝!|k'(x)--2(1+Inx).當(dāng)xe0,-|時，k\x)>0,函數(shù)4(x)是增函數(shù)；

Ie；

當(dāng)時，k\x)<0,函數(shù)A(x)是減函數(shù)，

.2

所以0<a<左故0<a<一

(?)易知，當(dāng)*>1時，k{x)<0,故0<占,々<1.由(1)可知，當(dāng)0<x<l時,

/(%)>/(1)=0,所以21nx>x--

X

—=2In>玉---

X,X(7<1-X

由<;，得」所以9+9W2(l—a)

Q、1〃V11%2

——2In%2>x?----

因為所以七+々<2，=

20、(1)4=3"T,bn=2n

—1

（2）T=-----+/+〃

2

【解題分析】（1）根據(jù)4=求出｛4｝是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，求出｛%｝的通項公式,

Sn-Sn_vn>2

求出｛包｝的公差，進而求出｛〃｝的通項公式；（2）分組求和.

【小問1詳解】

因為a"+l=2S“+lewN*）①，所以當(dāng)時，a〃=2S,i+l②，①一②得：an+1-an=2an,即%=3%③，令

”=1得：％=2H+1=3=3%,滿足③，綜上：｛4｝是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，故a“=3f

設(shè)｛2｝的公差為d（d7O）,則周=。也，因為白=4,所以16=（4—d）（4+2d）,解得：［=2或0（舍去），所以

bu=4+2（〃-2）=2n

【小問2詳解】

g=%+么=3"T+2",貝U7；=l+3+32++3n