新教材高中數(shù)學人教A版學案7-1-2復數(shù)的幾何意義

7．1.2復數(shù)的幾何意義[目標]1.能說出復數(shù)與復平面內(nèi)的點、平面向量之間的一一對應關(guān)系；2.會分析復數(shù)的幾何意義，記住復數(shù)的模的幾何意義．[重點]復數(shù)的幾何意義與復數(shù)的模．[難點]復數(shù)的幾何意義．要點整合夯基礎(chǔ)知識點一復平面[填一填]建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面．x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，虛軸上的點(0,0)不對應虛數(shù)．[答一答]1．實軸上的點一定表示實數(shù)，虛軸上的點一定表示虛數(shù)嗎？提示：在復平面中，實軸上的點一定表示實數(shù)，但虛軸上的點不一定表示虛數(shù)．事實上，虛軸上的點(0,0)是原點，它表示實數(shù)0，虛軸上的其他點都表示純虛數(shù)．知識點二復數(shù)的兩種幾何意義[填一填]復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)一一對應復平面內(nèi)的點Z(a，b)．復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)一一對應平面向量eq\o(OZ,\s\up15(→)).[答一答]2．(1)在復平面中，復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點是Z(a，bi)嗎？(2)復平面中，復數(shù)與向量一一對應的前提條件是什么？提示：(1)不是，在復平面中，復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點應該是Z(a，b)，而不是(a，bi)．(2)前提條件是復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的對應向量eq\o(OZ,\s\up15(→))是以原點O為起點的，否則就談不上一一對應，因為在復平面內(nèi)與eq\o(OZ,\s\up15(→))相等的向量有無數(shù)個．知識點三復數(shù)的模[填一填]向量eq\o(OZ,\s\up15(→))的模叫做復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).[答一答]3．(1)復數(shù)的模一定是正數(shù)嗎？(2)若復數(shù)z滿足|z|＝1，那么在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點Z的軌跡是什么？提示：(1)不一定，復數(shù)的模是非負數(shù)，即|z|≥0，當z＝0時，|z|＝0；反之，當|z|＝0時，必有z＝0.(2)點Z的軌跡是以原點為圓心，半徑等于1的一個圓．知識點四共軛復數(shù)[填一填]一般地，當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)．復數(shù)z的共軛復數(shù)用eq\x\to(z)來表示．[答一答]4．互為共軛復數(shù)的兩個復數(shù)有什么特點？提示：實部相等，虛部相反，模相同．典例講練破題型類型一復數(shù)與復平面內(nèi)點的對應關(guān)系[例1]已知復數(shù)z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.當復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點滿足下列條件時，求a的值(或取值范圍)(1)在實軸上；(2)在第三象限．[分析]解答本題可先確定復數(shù)z的實部、虛部，再根據(jù)要求列出關(guān)于a的方程(組)或不等式(組)求解．[解]復數(shù)z＝(a2－1)＋(2a－1)i的實部為a2－1，虛部為2在復平面內(nèi)對應的點為(a2－1,2a－1)(1)若z對應的點在實軸上，則有2a－1＝0，解得a＝eq\f(1,2).(2)若z對應的點在第三象限，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1<0，,2a－1<0，))解得－1<a<eq\f(1,2).復數(shù)集與復平面內(nèi)所有的點組成的集合之間存在著一一對應關(guān)系.每一個復數(shù)都對應著一個有序?qū)崝?shù)對，復數(shù)的實部、虛部分別對應點的橫坐標、縱坐標，從而討論復數(shù)對應點在復平面內(nèi)的位置，關(guān)鍵是確定復數(shù)的實、虛部，由條件列出相應的方程或不等式組.[變式訓練1](1)已知a∈R，則復數(shù)(a2＋a＋1)－(a2－2a＋3)i對應的點在復平面內(nèi)的第四象限(2)已知復數(shù)x2－6x＋5＋(x－2)i在復平面內(nèi)對應的點在第三象限，則實數(shù)x的取值范圍為(1,2)．解析：(1)因為a2＋a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，－(a2－2a＋3)＝－(a－1)2故復數(shù)對應的點在第四象限．(2)因為復數(shù)x2－6x＋5＋(x－2)i在復平面內(nèi)對應的點在第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－6x＋5<0，,x－2<0.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<5，,x<2.))所以1<x<2.即1<x<2為所求實數(shù)x的取值范圍．類型二復數(shù)與向量的對應關(guān)系[例2]已知向量eq\o(OA,\s\up15(→))對應的復數(shù)是4＋3i，點A關(guān)于實軸的對稱點為A1，將向量eq\o(OA1,\s\up15(→))平移，使其起點移動到A點，這時終點為A2.(1)求向量eq\o(OA1,\s\up15(→))對應的復數(shù)；(2)求點A2對應的復數(shù)．[分析]根據(jù)復數(shù)與點、復數(shù)與向量的對應關(guān)系求解．[解](1)∵向量eq\o(OA,\s\up15(→))對應的復數(shù)是4＋3i，∴點A對應的復數(shù)也是4＋3i，因此點A坐標為(4,3)，∴點A關(guān)于實軸的對稱點A1為(4，－3)，故向量eq\o(OA1,\s\up15(→))對應的復數(shù)是4－3i.(2)依題意知eq\o(OA1,\s\up15(→))＝eq\o(AA2,\s\up15(→))，而eq\o(OA1,\s\up15(→))＝(4，－3)，設(shè)A2(x，y)，則有(4，－3)＝(x－4，y－3)，∴x＝8，y＝0，即A2(8,0)，∴點A2對應的復數(shù)是8.1.根據(jù)復數(shù)與平面向量的對應關(guān)系，可知當平面向量的起點為原點時，向量的終點對應的復數(shù)即為向量對應的復數(shù).反之，復數(shù)對應的點確定后，從原點引出的指向該點的有向線段，即為復數(shù)對應的向量.2.解決復數(shù)與平面向量一一對應的題目時，一般以復數(shù)與復平面內(nèi)的點一一對應為工具，實現(xiàn)復數(shù)、復平面內(nèi)的點、向量之間的轉(zhuǎn)化.[變式訓練2]在復平面內(nèi)，O是原點，向量eq\o(OA,\s\up15(→))對應的復數(shù)為2＋i.(1)如果點A關(guān)于實軸的對稱點為點B，求向量eq\o(OB,\s\up15(→))對應的復數(shù)；(2)如果(1)中的點B關(guān)于虛軸的對稱點為點C，求點C對應的復數(shù)．解：(1)設(shè)向量eq\o(OB,\s\up15(→))對應的復數(shù)為z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，則點B的坐標為(x1，y1)，由題意可知，點A的坐標為(2,1)．根據(jù)對稱性可知：x1＝2，y1＝－1，故z1＝2－i.(2)設(shè)點C對應的復數(shù)為z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，則點C的坐標為(x2，y2)，由對稱性可知：x2＝－2，y2＝－1，故z2＝－2－i.類型三復數(shù)模的計算[例3]已知復數(shù)z1＝－eq\r(3)＋i，z2＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i.(1)求|z1|與|z2|的值，并比較它們的大?。?2)設(shè)復平面內(nèi)，復數(shù)z滿足|z2|≤|z|≤|z1|，復數(shù)z對應的點Z的集合是什么？[分析](1)利用復數(shù)模的定義來求解．若z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝eq\r(a2＋b2).(2)先確定|z|的范圍，再確定點Z滿足的條件，從而確定點Z的圖形．[解](1)|z1|＝eq\r(－\r(3)2＋12)＝2，|z2|＝eq\r(－\f(1,2)2＋－\f(\r(3),2)2)＝1.∵2>1，∴|z1|>|z2|.(2)由(1)知|z2|≤|z|≤|z1|，則1≤|z|≤2.因為不等式|z|≥1的解集是圓|z|＝1上和該圓外部所有點的集合，不等式|z|≤2的解集是圓|z|＝2上和該圓的內(nèi)部所有點組成的集合，所以滿足條件1≤|z|≤2的點Z的集合是以原點O為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)(包括邊界，如圖陰影部分所示)．1.兩個復數(shù)不全為實數(shù)時不能比較大小；而任意兩個復數(shù)的模均可比較大小.2.復數(shù)模的意義是表示復數(shù)對應的點到原點的距離，這可以類比實數(shù)的絕對值，也可以類比以原點為起點的向量的模來加深理解.3.|z1－z2|表示點Z1，Z2兩點間的距離，|z|＝r表示以原點為圓心，以r為半徑的圓.[變式訓練3]已知復數(shù)z＝3＋ai，且|z|<4，求實數(shù)a的取值范圍．解：∵z＝3＋ai(a∈R)，|z|＝eq\r(32＋a2)，由已知得eq\r(32＋a2)<4，∴a2<7，即－eq\r(7)<a<eq\r(7)，∴a∈(－eq\r(7)，eq\r(7))．類型四共軛復數(shù)[例4]已知復數(shù)z＝2－i，則|eq\x\to(z)|的值為()A．5B.eq\r(5)C．3D.eq\r(3)[解析]因為z＝2－i，所以由共軛復數(shù)的定義知eq\x\to(z)＝2＋i，所以|eq\x\to(z)|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).[答案]B共軛復數(shù)的求法及其關(guān)系(1)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復數(shù)為eq\x\to(z)＝a－bi.(2)互為共軛復數(shù)關(guān)于實軸對稱．(3)互為共軛復數(shù)的模長相等．[變式訓練4]在復平面內(nèi)，復數(shù)eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i的共軛復數(shù)對應的點位于(D)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：z的共軛復數(shù)eq\x\to(z)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，eq\x\to(z)對應的點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))，位于第四象限.課堂達標練經(jīng)典1．在復平面內(nèi)，若eq\o(OZ,\s\up15(→))＝(0，－5)，則eq\o(OZ,\s\up15(→))對應的復數(shù)為(C)A．0B．－5C．－5iD．5解析：eq\o(OZ,\s\up15(→))對應的復數(shù)z＝0－5i＝－5i.2．已知復數(shù)z＝6－2i(i為虛數(shù)單位)，則在復平面內(nèi)z的共軛復數(shù)eq\x\to(z)所對應的點為(B)A．(6，－2)B．(6,2)C．(－2,6)D．(2,6)解析：由題意，可知eq\x\to(z)＝6＋2i，則在復平面內(nèi)eq\x\to(z)所對應的點為(6,2)．故選B.3．已知復數(shù)z＝eq\r(2)－3i，則復數(shù)的模|z|是(D)A．5B．8C．6D.eq\r(11)解析：|z|＝eq\r(\r(2)2＋－32)＝eq\r(11).4．在復平面內(nèi)，復數(shù)6＋5i，－2＋3i對應的點分別為A，B，若C為線段AB的中點，則點C對應的復數(shù)是(C)A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i解析：復數(shù)6＋5i對應的點為A(6,5)，復數(shù)－2＋3i對應的點為B(－2,3)．利用中點坐標公式得線段AB的中點C(2,4)，故點C對應的復數(shù)為2＋4i.5．已知復數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋8i，求復數(shù)z.解：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝eq\r(a2＋b2)，代入方程得，a＋bi＋eq\r(a2＋b2)＝2＋8i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－15，,b＝8.))∴z＝－15＋8i.——本課須掌握的兩大問題1．對復數(shù)幾何意義的理解(1)復數(shù)集中的復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內(nèi)的點Z(a，b)是一一對應的．(2)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與平面向量eq\o(OZ,\s\up15(→))＝(a，b)也是一一對應的．