易錯(cuò)點(diǎn)11 直線與圓-2022年高考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)題（新高考專(zhuān)用）（教師版含解析）

易錯(cuò)點(diǎn)11直線與圓

易錯(cuò)題［01］寫(xiě)直線的截距式方程忽略截距為零的情況

直線的截距式方程為^+2=1,其中a力分別為該直線在X軸、y軸上的截距，用截距式方

ab

程表示直線，首先保證直線在x軸、y軸上的截距都存在，且不為零，當(dāng)截距不存在，或截

距為零，不能使用截距方程表示直線。

易錯(cuò)題(02］利用斜率判斷直線的垂直忽略斜率不存在的情況

若直線44的斜率分別為人，&，貝以U=&&=-1,另外還要注意當(dāng)一條直線的斜率不存

在，另一條直線的斜率為零，這兩條直線也垂直，因此用斜率判斷直線的垂直，不要忽略斜

率不存在的情況，此外為了避免討論直線的斜率是否存在，可利用直線的方向向量，若

分別為直線1?12的方向向量，則4_LJoa7=0。

易錯(cuò)題【03】忽視方程表示圓的條件致誤

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)，(y-4=r2(r>0),圓的一般方程為V+9+以+后,+尸=(),在

用圓的一般方程解題時(shí)要注意￡>2+爐-4/>0這一條件。

易錯(cuò)題［04］忽略三角形三頂點(diǎn)不共線致誤

求解與4ABC與直線與圓的交匯問(wèn)題，要注意三點(diǎn)不共線。

易錯(cuò)題01

直線/過(guò)點(diǎn)P(l,3)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,則直線/的方程為

【警示】本題錯(cuò)誤解法是：因?yàn)橹本€/過(guò)點(diǎn)P(l,3),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，設(shè)直線/的

方程為二+上=1,則,+』=1,所以。=4,故直線/的方程為二+上=1,即》+、-4=0.

aaab44

【答案】y=3x或x+y-4=0

【問(wèn)診】錯(cuò)誤原因是忽略宜線/過(guò)原點(diǎn)，截距為零的情況.正確解法為：若直線/過(guò)原點(diǎn)，滿足

題意，此時(shí)直線/的方程為y=3x；若直線I不過(guò)原點(diǎn),設(shè)直線/的方程為二+工=1,則

aa

i3xv

一+二=1,所以a=4,故直線/的方程為之+上=1,即x+y—4=0.所以直線/的方程為

ab44

y=3x或x+y-4=0.

【叮囑】直線/的方程可以表示為^+上=1的條件是直線I在兩坐標(biāo)軸上的截距存在且不

ab

為零.

變式練習(xí)〉)

1.過(guò)點(diǎn)A(l,4),且橫、縱截距的絕對(duì)值相等的直線共有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】C

【解析】當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，橫、縱截距都為0,符合題意，當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線

xv1+-=1|a=-3{a-5

方程為±+9=1.由題意得b解得八°或《u綜上，符合題意的宜線共有3條.

。b\\a\=\b\,也=3[b=5

故選C.

2.過(guò)點(diǎn)A。,2)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為()

A.x-y+l=OB.x+y-3=0

C.2x-y=0或x+y-3=0D.2x-y=0或x-y+l=0

【答案】D

【解析】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，方程為y=2x,即2x—y=0；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，

設(shè)方程為±+且=1,..?直線過(guò)(1,2),工一2=1,,a=_1,.?.方程為x-)+=O,故選

a-aaa

D.

。為何值時(shí),(1)直線/i：x+2ay—1=0與直線，2：(3〃—l)x—ay—1=0平行?

(2)直線&2x+a)，=2與直線如ax+2y=l垂直？

【警示】本題錯(cuò)誤解法是：(1)直線x+2a)，-1=0與直線(3a—l)x—紗一1=0的方程可變形

為y=__Lx+L與\，=%二

7Jy2/十2小)axa'

?當(dāng)__L=%二1且

?,」2aa旦牙cf

即時(shí),兩直線平行.

(2)當(dāng)一第一?=—1時(shí)，兩直線垂直，此方程無(wú)解，故無(wú)論。為何值時(shí)，兩直線都不垂直.

【問(wèn)診】（1）沒(méi)考慮斜率不存在即。=0的情況；（2）沒(méi)有考慮/3的斜率不存在且14的斜率為0

也符合要求這種情況.

【答案】⑴①當(dāng)"=0時(shí),兩直線的斜率不存在，直線h：xT=0,直線』x+l=0,此時(shí)

②當(dāng)時(shí),/1：y=一斗產(chǎn)+/,

直線人的斜率為心=一

直線/2的斜率為攵2="3a「-1，

f_J__3〃-1

I2aa,

要使兩直線平行，必須J]"]“解得。=今

島-7

綜合①②可得當(dāng)“=o或時(shí),兩直線平行.

（2）方法一①當(dāng)4=0時(shí)，直線卜的斜率不存在，直線/3：

工一1=0,直線3），一；=0,此時(shí),/3，h

②當(dāng)存0時(shí)，直線6：>■=一方+二與直線/4：尸一梟直線6的斜率為依=一，直線U的斜

率為自=一/要使兩直線垂直，必須《3必=-1,

即子（一9=T,不存在實(shí)數(shù)a使得方程成立.

綜合①②可得當(dāng)?=0時(shí),兩直線垂直.

方法二要使直線N2x+ay=2和直線正ax+2y=1垂直,根據(jù)兩直線垂直的充要條件，必

須4A2+8182=0,即2a+2a=0,解得a=0,所以，當(dāng)?=0時(shí),兩直線垂直.

【叮囑】求宜線方程，特別是研究含參數(shù)的直線方程問(wèn)題時(shí)，一定要對(duì)宜線斜率的存在性進(jìn)行

討論,這是避免出錯(cuò)的重要方法.

支式練習(xí)

1.己知直線4：（/-l）x+2y=O與直線，2：x+（a—l）y+4=0垂直，則實(shí)數(shù)〃的值為（)

A.a=lB.a=—3C.。=1或a=—3D.不存在

【答案】c

【解析】當(dāng)a=l時(shí)，直線4：y=0,網(wǎng)線4：x=T,兩直線垂直，符合題意；當(dāng)4H1時(shí)，由

兩直線垂直口J得。--1+2（。-1）=0,解得a=—3或1（舍去），綜上所述，。=1或。=—3.

故選C

2.（2022屆“四省八校”高三上學(xué)期期中）直線（2m-l）x+沖+2=0和直線如+3y+l=0垂直，

則實(shí)數(shù)機(jī)的值為（）

A.0或-1B.-1

C.3土瓜D.3+瓜

【答案】A

【解析】因?yàn)橹本€（2，〃-l）x+m），+2=0和直線儂+3y+l=0垂直，所以（2〃?-1）加+3加=0,

,〃=-1或a=0.故選A.

易錯(cuò)題03

已知圓C的方程為/+丫2+辦+2丫+/=0,過(guò)點(diǎn)A（l,2）作圓

的切線有兩條，求〃的取值范圍.

【警示】本題錯(cuò)誤解法是：將圓C的方程配方有

,a,4—3a2

（x+》+（y+1）2=-—.

圓心C的坐標(biāo)為（一/—1）,半徑0肛.

當(dāng)點(diǎn)A在圓外時(shí)，過(guò)點(diǎn)A可以作圓的兩條切線，

|4Cl>r,即弋1+1+2+色小2兔,

化簡(jiǎn)得。2+。+9>0,/=1—4x9=-35<0,

??.（zGR.

【問(wèn)診】錯(cuò)解中只考慮了點(diǎn)A在圓C外部，而忽視了圓C的方程是圓的一般式方程爐+9+

公+2），+蘇=0表示圓的條件沒(méi)有考慮.

【答案】將圓C的方程配方有（x+當(dāng)2+“+1）2=二一,

4-3/

...圓心C的坐標(biāo)為（一/一1）,半徑r=^4~3a\

當(dāng)點(diǎn)A在圓外時(shí)，過(guò)點(diǎn)A可作圓的兩條切線,.??HCI〉,；

即J+缶2+2駐守,

化簡(jiǎn)得。2+。+9>0.②

由①②得一手的取值范圍是一邛.

【叮囑】二元二次方程表示圓是有條件的，必須有。2+序一440.本題的失分原因是忽視了這

個(gè)條件.在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí),可以直接判斷。2+序_440,也可以配方后，判斷方程右側(cè)大于

0,因?yàn)橛覀?cè)相當(dāng)于用對(duì)于曲線方程中含有參數(shù)的，都要考慮參數(shù)的條件.

史義練習(xí)〉》

1.若點(diǎn)P(l,l)在圓C:x2+y2+x-y+%=。的外部，則實(shí)數(shù)人的取值范圍是()

A.(-2,+co)B.-2,-；1,2,；)D.(-2,2)

【答案】C

[1+1+1—l+Zc>01

【解析】由題意得，八，解得-2<々<；,故選C.

|l+l-4k>02

2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)41,2)可做圓/+/+皿—2丫+4=0的兩條切線，則加的范圍是()

A.(—co,—2^3)I(2-\/3,+<x))B.(―5,—2>/3)(2A/3,+QO)

C.(—00,-2'x/2)(2>/2,+00)D.(—5,—2^/2)(2>/2,-i-co)

【答案】B

【解析】圓/+/+7nL2y+4=0,即為+(y-])2=：_一3,

，*3—2月或心2怎由題意知點(diǎn)A在圓外，「」+4+.1+4〉。，解得心￡

所以-5<m<-2Q或巾>2代.故選B

易錯(cuò)題04

已知RtAABC的斜邊為AB,點(diǎn)A(—2,03(4,0),求點(diǎn)C滿足的方程.

【警示】本題錯(cuò)誤解法是：設(shè)C(x,y),由于直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)是斜邊長(zhǎng)的一半，如圖,

這

樣直角三角形斜邊上的中點(diǎn)為M(l,0),c

則半徑叫陰=3,4^/^

即得所求圓的方程為(X—1)2+V=9.

【問(wèn)診】因?yàn)楹鲆暯Y(jié)論的檢驗(yàn)，沒(méi)有注意到點(diǎn)C是直角三角形的頂點(diǎn)，即C點(diǎn)不能在直線AB

上，因此造成錯(cuò)解.

【答案】設(shè)C(x,y),由于直角三角形斜邊上的中點(diǎn)為M(1,O),如圖所示，則半徑為;|AB|=3,即

得圓的方程為(x—1)2+V=9.但是頂點(diǎn)C不能在直線AB上，因此.泛0,也就是要除去兩個(gè)點(diǎn),

即(一2,0),(4,0),因此(7點(diǎn)滿足的方程為。-1)2+尸=9。￥0).

【叮囑】要注意一些軌跡問(wèn)題中包含的某些隱含條件，也就是曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍.

變式練習(xí)

1.在AABC中，8(—2,0),C(2,0),A(x,y),給出△ABC滿足的條件，就能得到動(dòng)點(diǎn)A

的軌跡方程.下表給出了一些條件及方程：

條件方程

ABC周長(zhǎng)為10Ci：V=25

②&A8C面積為10C2：x2+y2=4(y#0)

X2y2

③AABC中，N4=90。C3：3+a=l°￥0)

則滿足條件①，②，③的軌跡方程依次為()

A.。3,Cl，C2B.C],C2,C3

C.。3，。2，ClD.C],。3，。2

【答案】A

【解析】對(duì)于①,△we的周長(zhǎng)為io,則|陰+忸q+wq=io,

又忸。=4,所以|4四+恒4=6>忸4,此時(shí)動(dòng)點(diǎn)4的軌跡為橢圓(不與A、B重合)，

與C3對(duì)應(yīng)；

對(duì)于②，△ABC的面積為10,所以:|BC|?|y|=10,即|y|=5,與C對(duì)應(yīng)；

對(duì)于③，因?yàn)镹A=90°,所以點(diǎn)A在以A8為直徑的圓上(不與4、8重合)，與C2對(duì)應(yīng).

故選A.

2.已知一個(gè)等腰三角形ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是A(4,2),底邊的一個(gè)端點(diǎn)8(3,5),底邊另一個(gè)端

點(diǎn)C的軌跡方程是.

【答案】(x-4>+(>-2)2=10(去掉(3?5),(5,-1)兩點(diǎn))

【解析】由題意知：設(shè)另一個(gè)端點(diǎn)C(x,y),腰長(zhǎng)為r=J(3-4)2+(5-2)2=05,，C的軌

跡方程：(x-4)2+(y-2)2=10,又由4、B、C構(gòu)成三角形，即三點(diǎn)不可共線，.?.需要去掉

重合點(diǎn)(3,5),反向共線點(diǎn)(5,-1),故答案為：(彳-4)2+(〉-2)2=10住掉(3,5),(5,-1)兩點(diǎn))

易錯(cuò)題通關(guān)

1.(2022屆重慶市第一中學(xué)高三上學(xué)期期中)過(guò)點(diǎn)(1,2)作直線/,滿足在兩坐標(biāo)軸上截距相

等的直線/有()條.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】若截距都為零，則直線過(guò)(0,0),則直線方程為y=2x；若截距都不為零，則設(shè)直

線方程為土+2=1，則工+2=1,解得。=3,所以直線方程為：x+y-3=0,故滿足在兩坐

aaaa

標(biāo)軸上截距相等的直線/有2條；故選B

2.若方程/+)，2-2丫+蘇-〃2+1=0表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()

A.(—2,1)B.卜LjC.(l,+oo)D.(0,1)

【答案】D

【解析】由方程丁+/一2、+機(jī)2-，"+1=0表示圓，則02+(-2)2-4(〃?2-m+1)>0,

解得0<〃?<1.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(0,1).故選D

3.下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的是()

A.關(guān)于的方程/+/+6+號(hào)+尸=()(￡>，瓦尸eR)的曲線是圓

B.設(shè)復(fù)數(shù)4,Z2是兩個(gè)不同的復(fù)數(shù)，實(shí)數(shù)。>0,則關(guān)于復(fù)數(shù)z的方程|z-z/+|z-Z2|=2a的

所有解在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是橢圓

C.設(shè)AB為兩個(gè)不同的定點(diǎn)，上為非零常數(shù)，若尸川-|尸例=火，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為雙曲線的

一支

D.雙曲線/一片=1與橢圓《+丁=1有相同的焦點(diǎn)

25935'

【答案】D

【解析】A.當(dāng)獷+爐一4尸>0時(shí)，方程呼+F=o(R￡,FeR)表示的曲線是圓，

故錯(cuò)誤；

B.設(shè)復(fù)數(shù)z“z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A,B,復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C,方程|z—zj+|z-22卜2。表示點(diǎn)C

到點(diǎn)AB的距離和為2a,當(dāng)|AB|<2a時(shí)，軌跡是橢圓，故錯(cuò)誤；

C.設(shè)為兩個(gè)不同的定點(diǎn)，上為非零常數(shù)，若網(wǎng)-阿卜無(wú)，當(dāng)|明>妊寸，動(dòng)點(diǎn)P的軌

跡為雙曲線的一支，故錯(cuò)誤；

D.因?yàn)殡p曲蟾4=1,所以6=25萬(wàn)=9,/=34,所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(瘋0)和

卜衣,0),橢圓(+V=[,“2=35,〃=]]=34，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(A,0)和(-取,0),

故正確；故選D

4.已知點(diǎn)(a+l,a-l)在圓￥+了2-2°》，-4=0的外部(不含邊界)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍為

()

A.a<\B.a>\C.0<a<lD.

【答案】B

【解析】圓Y+y2-2ay-4=0,即x?+(y-a)2=/+4,圓心(0,4),半徑/■=1阿,

因?yàn)辄c(diǎn)在圓/+/一2少-4=0的外部，所以點(diǎn)(a+1,。-1)到圓心(0,。)的距離大

于半徑，即4”+1)2+(可>&/+4,解得。>1,故選B.

5.下列命題正確的是()

3

A.已知點(diǎn)42,-3),8(-3,-2),若直線y=A(x-1)+1與線段43有交點(diǎn)，貝或AV-4

B.初=1是直線4：，nr+y-l=0與直線4：(機(jī)-2)x+my-2=0垂直的充分不必要條件

C.經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)且在X軸和y軸上的截距都相等的直線的方程為x+y-2=0

D.已知直線小at-y+l=0,/2：x+ay+l=0,aeR,和兩點(diǎn)A(0,l),3(-1,0),如果人與

6交于點(diǎn)M,則陷I網(wǎng)的最大值是1.

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A,?.?直線y=/(x—l)+l過(guò)定點(diǎn)尸(1,1),乂點(diǎn)A(2,—3),5(-3,-2),

,1+3-1+23

==-4A=

^T2B7734

3

如圖可知若直線y=打工-1）+1與線段AB有交點(diǎn)，則”"八=T或&N%=（,故A正確；

對(duì)于B,由直線4：如:+y-l=O與直線/?：（m-2）x+/ny-2=0垂宜得，

m（m-2）+m-0,解得加=0或m=l,

故帆=1是直線4：皿+y-1=0與直線4：（機(jī)-2）x+叼-2=0垂直的充分不必要條件，故

B正確；

對(duì)于c,當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線為

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線為±+2=1,代入點(diǎn)（1,1）,得a=2,

aa

所以直線方程為x+y-2=0,

故經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）且在X軸和y軸上的截距都相等的直線的方程為x+y-2=0或了=y，故c錯(cuò)

誤；

對(duì)于D,:直線小ar-y+l=0,l2：x+紗+1=0,

Xaxl-lxa=0,所以兩直線垂直，

|MA「+|幽=函=2,

.?.|M1MV幽半生=1,當(dāng)且僅當(dāng)=卻時(shí)取等號(hào)，故D正確.

故選ABD

6.下列說(shuō)法簿送的是（）

A.若直線八_丫+1=0與直線》-毆-2=0互相垂直，則”=-1

TT3萬(wàn)

B.直線冗sina+y+2=0的傾斜角的取值范圍是0,-u[—，^）

_4J4

C.A（0,l）,B（2,l）,C（3,4）,D（-l,2）四點(diǎn)不在同一個(gè)圓上

D.經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1/）且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-2=0

【答案】ACD

【解析】當(dāng)。=0時(shí)，直線〃2x-y+l=0與直線x-做-2=0也互相垂直，所以選項(xiàng)A不正

確：

直線xsina+y+2=0的傾斜角。，可得tan0=-sinae[-l,1],所以。的取值范圍是

lO,gU[?，幻；所以B正確；

由題得IAB\=2,\AD|=yf2,\BDI=710,.'.cos/BAD=‘+2二1°=一也，