2019版高中全程練習(xí)方略配套資料：二階矩陣與平面向量及幾種常見的平面變換

第一節(jié)二階矩陣與平面向量及幾種常見的平面變換…………高考指數(shù):★★

內(nèi)容要求ABC矩陣的概念√二階矩陣與平面向量

√常見的平面變換√1.矩陣的概念(1)形如,,這樣的矩形數(shù)字(或字母)陣列稱為_______.(2)行矩陣的表達(dá)形式是_____________(3)列矩陣的表達(dá)形式是______矩陣［a11a12］(4)2×2的零矩陣的表達(dá)形式是________(5)二階單位矩陣(E)的表達(dá)形式是________(6)由4個(gè)數(shù)a,b,c,d排成的二階矩陣通常記為__________.【即時(shí)應(yīng)用】設(shè)A=，B=，若A=B，則x,y,m,n的值分別為____________.【解析】由條件得m+n=2,m-n=3,x=x+y,2x-y=y,解得x=0,y=0,m=,n=.答案：0,0,,2.二階矩陣與平面列向量的乘法定義：規(guī)定二階矩陣A=，與向量=的乘積為A=

，即A＝______________=__________.

【即時(shí)應(yīng)用】已知=

，則

=__________.【解析】由條件得

,解得

,從而

= .答案：3.常見的平面變換(1)恒等變換:對(duì)平面上任何一點(diǎn)(向量)施以某矩陣變換時(shí),都把自己變成自己的變換,稱為恒等變換,其恒等變換矩陣(單位矩陣)是_______.(2)伸壓變換:將平面圖形沿y軸方向伸長(zhǎng)或壓縮,或沿x軸方向伸長(zhǎng)或壓縮的變換,稱為伸壓變換,其變換矩陣是_______或_______.(3)反射變換:把平面圖形F變?yōu)殛P(guān)于定直線或定點(diǎn)對(duì)稱的平面圖形的變換,稱為反射變換,其關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)的變換矩陣分別是________,_________和_________.(4)旋轉(zhuǎn)變換:把平面圖形F繞某中心點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角后得新圖形的變換,稱為旋轉(zhuǎn)變換,其變換矩陣是______________.(5)投影變換:把平面圖形F投影到某條直線(或某個(gè)點(diǎn))后得新圖形的變換,稱為投影變換,其中垂直投影到x軸上或直線y=x上的變換矩陣分別是________和_________.(6)切變變換:將每一點(diǎn)P(x,y)沿著與x軸平行的方向平移|ky|個(gè)單位的變換，稱為平行于x軸的切變變換.將每一點(diǎn)P(x,y)沿著與y軸平行的方向平移|kx|個(gè)單位的變換，稱為平行于y軸的切變變換.其變換矩陣分別為________和________.【即時(shí)應(yīng)用】(1)設(shè)矩陣A=，則點(diǎn)P(2,2)在A所對(duì)應(yīng)的線性變換下的象為__________.(2)試研究函數(shù)y=在旋轉(zhuǎn)變換作用下得到的新曲線的方程為_____________.【解析】(1)由 =得所求的象為(-2,2).(2)設(shè)新曲線上任意點(diǎn)(x′,y′),由 =得,從而 ,代入y=得y′2-x′2=2,即新曲線的方程為y2-x2=2.答案：(1)(-2,2)(2)y2-x2=2

二階矩陣與平面向量【方法點(diǎn)睛】矩陣與向量乘法的意義矩陣與向量乘法的意義應(yīng)以映射與變換的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)和理解,即由矩陣M確定的變換TM,就是平面內(nèi)點(diǎn)集到其自身的一個(gè)映射,當(dāng)

=表示某個(gè)平面圖形F上的任意點(diǎn)時(shí),這些點(diǎn)就組成了圖形F,它在TM的作用下將得到一個(gè)新的圖形F′.【例1】已知A= ，=，＝，若A與A的夾角為135°，求x.【解題指南】本題通過(guò)變換矩陣A將兩向量變?yōu)樾孪蛄亢?利用向量的數(shù)量積公式,求未知數(shù)x的值.【規(guī)范解答】由條件得A==,A= =,從而由(A)·(A)=|A|·|A|cos135°得x-3(2-x)=解得x1=,x2=4,經(jīng)檢驗(yàn),x=是所列方程的根,故x=.【反思·感悟】1.根據(jù)本題可知,兩向量間的夾角經(jīng)矩陣變換后,通常會(huì)改變.2.有關(guān)無(wú)理方程的求解,通過(guò)平方運(yùn)算化去根號(hào)后,與原方程并不一定同解,必須檢驗(yàn)所得解是否是原方程的根.【變式訓(xùn)練】向量在矩陣A=的作用下變?yōu)榕c向量平行的向量且向量的模為1，求.【解析】設(shè)=,則由條件得

(λ≠0),解得sinθ=cosθ,從而所求向量為=或=.【變式備選】已知A=，a＝，b＝，設(shè)

=a+b，=a-b，求A,A.【解析】由條件得=,=,從而A==,A= =. 幾種常見的平面變換問(wèn)題1.線性變換的含義在矩陣M作用下,直線變成直線這種把直線變?yōu)橹本€的變換,通常叫做線性變換,我們?cè)冢劭键c(diǎn)梳理］中寫出的六種變換都是線性變換,線性變換與二階矩陣是對(duì)應(yīng)的，既可以通過(guò)二階矩陣來(lái)研究對(duì)應(yīng)的線性變換，又可以通過(guò)線性變換來(lái)研究對(duì)應(yīng)的二階矩陣.另外,必須說(shuō)明的是投影變換不是一一映射的.2.通過(guò)二階矩陣與平面向量的乘法可建立平面變換前后坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用已知的曲線方程可求出變換前或后的曲線方程，其實(shí)質(zhì)就是相關(guān)點(diǎn)法求曲線的軌跡方程.【例2】(2011·福建高考)設(shè)矩陣M=(其中a＞0，b＞0).若曲線C：x2+y2=1在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C′：=1，求a，b的值.【解題指南】本題變換矩陣符合伸壓變換的特征，求解的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系，運(yùn)用待定系數(shù)法列出方程組，即可獲解.【規(guī)范解答】設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y)，它在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn)P′(x′,y′).則 =,即又點(diǎn)P′(x′,y′)在曲線C′上，所以=1.則 =1為曲線C的方程.又已知曲線C的方程為x2+y2=1，故，又a＞0,b＞0，所以.【互動(dòng)探究】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓4x2+y2=1在本例中矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線F，求F的方程.【解析】由本例解析知M= ,設(shè)P(x0,y0)是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P(x0,y0)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)P′(x′0,y′0),則有

= ，即，所以 .又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，故=1，從而(x′0)2+(y′0)2=1,所以，曲線F的方程是x2+y2=1.【反思·感悟】本題是已知變換之前和變換之后的曲線方程，求變換矩陣的問(wèn)題．求解的方法是設(shè)出變換之前和變換之后的坐標(biāo)，利用矩陣乘法建立關(guān)系，再利用變換前后的曲線方程建立方程組.【變式備選】已知二階矩陣M＝，矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(2,1)變換成點(diǎn)(4，－1).求矩陣M將圓x2＋y2＝1變換后的曲線方程.【解析】由已知得M＝，即＝，∴解得.∴M＝.