河南魯山縣第一高級中學高三上學期8月月考數(shù)學（理）試卷

魯山一高高三年級8月月考數(shù)學（理）試卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，，則A. B. C. D.2.復數(shù)，則A. B.-2 C. D.23.已知，則A. B. C. D.4.下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是A.B.C.D.5.如圖，在中，，是上一點，若，則實數(shù)的值為A.B.C. D.6.設(shè)變量滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為A. B.C. D.7.已知函數(shù)的圖像相鄰的兩個對稱中心之間的距離為，若將函數(shù)的圖像向左平移后得到偶函數(shù)的圖像，則函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為A.B.C.D.8.已知雙曲線的左右焦點分別為，，實軸長為6，漸近線方程為，動點在雙曲線左支上，點為圓上一點，則的最小值為A.8B.9C.10D.119.如圖，在直角坐標系中，過坐標原點作曲線的切線，切點為，過點分別作軸的垂線，垂足分別為，向矩形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為A. B. C. D.10.定義在R上的函數(shù)滿足且，則不等式的解集為A.B.C.D.11．已知為橢圓的兩個焦點，P在橢圓上且滿足，則此橢圓離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．12.中，，，，中，，則的取值范圍是A. B.C. D.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則__________．14.已知的展開式的各項系數(shù)和為64，則展開式中的系數(shù)為__________．15.已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，當時，，則__．16.如圖放置的邊長為1的正方形沿軸滾動，點恰好經(jīng)過原點.設(shè)頂點的軌跡方程是，則對函數(shù)有下列判斷：①函數(shù)是偶函數(shù)；②對任意的，都有；③函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；④函數(shù)的值域是；⑤.其中判斷正確的序號是__________．三、解答題（解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.（本小題滿分10分）已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項，數(shù)列滿足，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）令，求數(shù)列的前項和.18.（本小題滿分12分）已知的面積為，且內(nèi)角依次成等差數(shù)列.（=1\*ROMANI）若，求邊的長；（=2\*ROMANII）設(shè)為邊的中點，求線段長的最小值.19.（本小題滿分12分）已知三棱錐中，是邊長為的正三角形，（Ⅰ）證明：平面平面；（=2\*ROMANII）設(shè)為棱的中點，求二面角的余弦值.20.（本小題滿分12分）東方商店欲購進某種食品（保質(zhì)期兩天），此商店每兩天購進該食品一次（購進時，該食品為剛生產(chǎn)的）.根據(jù)市場調(diào)查，該食品每份進價元，售價元，如果兩天內(nèi)無法售出，則食品過期作廢，且兩天內(nèi)的銷售情況互不影響，為了了解市場的需求情況，現(xiàn)統(tǒng)計該產(chǎn)品在本地區(qū)天的銷售量如下表：（視樣本頻率為概率）（Ⅰ）根據(jù)該產(chǎn)品天的銷售量統(tǒng)計表，記兩天中一共銷售該食品份數(shù)為，求的分布列與期望（=2\*ROMANII）以兩天內(nèi)該產(chǎn)品所獲得的利潤期望為決策依據(jù)，東方商店一次性購進或份，哪一種得到的利潤更大？21.（本小題滿分12分）已知拋物線上一點到焦點的距離.（Ⅰ）求拋物線的方程；（=2\*ROMANII=2\*ROMAN）過點引圓的兩條切線，切線與拋物線的另一交點分別為，線段中點的橫坐標記為，求的取值范圍.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（Ⅰ）求證：曲線與在處的切線重合；（=2\*ROMANII=2\*ROMAN）若對任意恒成立。=1\*GB3①求實數(shù)的取值范圍=2\*GB3②求證：（其中）理科數(shù)學答案一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，，則（B）A. B. C. D.2.復數(shù)，則（D）A. B.-2 C. D.23.已知，則（A）A. B. C. D.4.下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是(C)A.B.C.D.5.如圖，在中，，是上一點，若，則實數(shù)的值為（D）A.B.C. D.【詳解】由題意及圖，，又，，所以，∴（1﹣m），又t，所以，解得m，t，故選：D．6.設(shè)變量滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值為（C）A. B.C. D.【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標函數(shù)即：，其中z取得最小值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最小，據(jù)此結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義可知目標函數(shù)在點B處取得最小值，聯(lián)立直線方程：，可得點的坐標為：，據(jù)此可知目標函數(shù)最小值為：.本題選擇C選項.7.已知函數(shù)的圖像相鄰的兩個對稱中心之間的距離為，若將函數(shù)的圖像向左平移后得到偶函數(shù)的圖像，則函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為(D)A.B.C.D.【詳解】函數(shù)f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，）的圖象相鄰的兩個對稱中心之間的距離為，則：T＝π，所以：ω＝2,將函數(shù)f（x）的圖象向左平移后，得到g（x）＝sin（2xθ）是偶函數(shù)，故：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于：，所以：當k＝0時．則，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），當k＝0時，單調(diào)遞減區(qū)間為：[]，由于[]?[]，故選：D．8.已知雙曲線的左右焦點分別為，，實軸長為6，漸近線方程為，動點在雙曲線左支上，點為圓上一點，則的最小值為BA.8B.9C.10D.11【答案】B求得雙曲線的a，b，可得雙曲線方程，求得焦點坐標，運用雙曲線的定義和三點共線取得最小值，連接EF1，交雙曲線于M，交圓于N，計算可得所求最小值．【詳解】由題意可得2a＝6，即a＝3，漸近線方程為y＝±x，即有，即b＝1，可得雙曲線方程為y2＝1，焦點為F1（，0），F(xiàn)2，（，0），由雙曲線的定義可得|MF2|＝2a+|MF1|＝6+|MF1|，由圓E：x2+（y）2＝1可得E（0，），半徑r＝1，|MN|+|MF2|＝6+|MN|+|MF1|，連接EF1，交雙曲線于M，交圓于N，可得|MN|+|MF1|取得最小值，且為|EF1|4，則則|MN|+|MF2|的最小值為6+4﹣1＝9．故選：B．【點睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查圓的方程的運用，以及三點共線取得最值，考查數(shù)形結(jié)合思想和運算能力，屬于中檔題．9.如圖，在直角坐標系中，過坐標原點作曲線的切線，切點為，過點分別作軸的垂線，垂足分別為，向矩形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為（A）A. B. C. D.【答案】A【詳解】設(shè)切點，所以切線方程，又因為過原點所以解得所以點P因為與軸在圍成的面積是則陰影部分的面積為而矩形的面積為故向矩形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為故選A10.定義在R上的函數(shù)滿足且，則不等式的解集為（C）A.B.C.D.11．已知為橢圓的兩個焦點，P在橢圓上且滿足，則此橢圓離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B由①②③得：，，，∴，則此橢圓離心率的取值范圍是，故選B．12.中，，，，中，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C根據(jù)題意，建立直角坐標系，設(shè)點D的坐標，然后分析點D的位置，利用直線的夾角公式，求得點D的軌跡方程為圓的一部分，然后利用圓的相關(guān)知識求出最大最小值即可.【詳解】由題，以點B為坐標原點，AB所在直線為x軸，BC所在直線為y軸建立直角坐標系；設(shè)點，因為，所以由題易知點D可能在直線AB的上方，也可能在AB的下方；當點D可能在直線AB的上方；直線BD的斜率；直線AD的斜率由兩直線的夾角公式可得：化簡整理的可得點D的軌跡是以點為圓心，半徑的圓，且點D在AB的上方，所以是圓在AB上方的劣弧部分；此時CD的最短距離為：當當點D可能在直線AB的下方；同理可得點D的軌跡方程：此時點D的軌跡是以點為圓心，半徑的圓，且點D在AB的下方，所以是圓在AB下方的劣弧部分；此時CD的最大距離為：所以CD的取值范圍為【點睛】本題主要考察了直線與圓的綜合知識，建系與直線的夾角公式是解題的關(guān)鍵，屬于難題.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則__________．【答案】114.已知的展開式的各項系數(shù)和為64，則展開式中的系數(shù)為__________．【答案】2015.已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，當時，，則__．【答案】【分析】先由題意，是定義域為的偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性推出的周期，可得，然后帶入求得結(jié)果.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以又因為是定義域為的偶函數(shù)，所以即所以的周期因為所以故答案為【點睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)性質(zhì)的變形以及公式的熟記是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.16.如圖放置的邊長為1的正方形沿軸滾動，點恰好經(jīng)過原點.設(shè)頂點的軌跡方程是，則對函數(shù)有下列判斷：①函數(shù)是偶函數(shù)；②對任意的，都有；③函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；④函數(shù)的值域是；⑤.其中判斷正確的序號是__________．【答案】①②⑤【分析】根據(jù)正方形的運動，得到點P的軌跡方程，然后根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進行判斷即可．【詳解】當﹣2≤x≤﹣1，P的軌跡是以A為圓心，半徑為1的圓，當﹣1≤x≤1時，P的軌跡是以B為圓心，半徑為的圓，當1≤x≤2時，P的軌跡是以C為圓心，半徑為1的圓，當3≤x≤4時，P的軌跡是以A為圓心，半徑為1的圓，∴函數(shù)的周期是4．因此最終構(gòu)成圖象如下：①，根據(jù)圖象的對稱性可知函數(shù)y＝f（x）是偶函數(shù)，故①正確；②，由圖象即分析可知函數(shù)的周期是4．即f（x+4）＝f（x），即f（x+2）＝f（x﹣2），故②正確；③，函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞增，故③錯誤；④，由圖象可得f（x）的值域為[0，]，故④錯誤；⑤，根據(jù)積分的幾何意義可知f（x）dxπ?（）21×1π×12，故⑤正確．故答案為：①②⑤．【點睛】本題考查的知識點是函數(shù)圖象的變化，其中根據(jù)已知畫出正方形轉(zhuǎn)動過程中的一個周期內(nèi)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想對本題進行分析是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題（解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項，數(shù)列滿足，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）令，求數(shù)列的前項和.【詳解】（Ⅰ）由和得，∴.設(shè)等比數(shù)列的公比為，∵∴，計算得出∴（Ⅱ）由（1）得，設(shè)數(shù)列的前項和為，則設(shè)數(shù)列的前項和為，則，∴18.已知的面積為，且內(nèi)角依次成等差數(shù)列.（1）若，求邊的長；（2）設(shè)為邊的中點，求線段長的最小值.【詳解】（1）三內(nèi)角依次成等差數(shù)列，設(shè)所對的邊分別為,由可得.，由正弦定理知.中，由余弦定理可得.即的長為（2）是邊上的中線，，當且僅當時取“”,即長的最小值為.19.已知三棱錐中，是邊長為的正三角形，；（1）證明：平面平面；（2）設(shè)為棱的中點，求二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：在中，，，，由余弦定理可得，，，，平面，平面，平面平面.（2）在平面中，過點作，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系：設(shè)平面的一個法向量為則解得，，，即設(shè)平面的一個法向量為則解得，，即由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查面面垂直的證明方法，空間向量的應用等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.20.東方商店欲購進某種食品（保質(zhì)期兩天），此商店每兩天購進該食品一次（購進時，該食品為剛生產(chǎn)的）.根據(jù)市場調(diào)查，該食品每份進價元，售價元，如果兩天內(nèi)無法售出，則食品過期作廢，且兩天內(nèi)的銷售情況互不影響，為了了解市場的需求情況，現(xiàn)統(tǒng)計該產(chǎn)品在本地區(qū)天的銷售量如下表：（視樣本頻率為概率）（1）根據(jù)該產(chǎn)品天的銷售量統(tǒng)計表，記兩天中一共銷售該食品份數(shù)為，求的分布列與期望（2）以兩天內(nèi)該產(chǎn)品所獲得的利潤期望為決策依據(jù)，東方商店一次性購進或份，哪一種得到的利潤更大？【詳解】（1）根據(jù)題意可得，，，，，，，的分布列如下：（2）當購進份時，利潤為，當購進份時，利潤為，可見，當購進份時，利潤更高.【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望的計算，概率統(tǒng)計的預測作用等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.21.已知拋物線上一點到焦點的距離.（1）求拋物線的方程；（2）過點引圓的兩條切線，切線與拋物線的另一交點分別為，線段中點