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首都師大附中20202021學(xué)年第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期中考試(14)第Ⅰ卷(共30分)一、單選題(本大題共10小題,每小題3分,共30分.在每小題所列出的四個選項中,只有一項是最符合題目要求的)1.雙曲線的方程為,則其離心率為()A. B. C. D.2.已知直線:與:平行,則的值是()A.1或0 B.5 C.0或5 D.1或53.設(shè),是兩條不同的直線,,是兩個不同的平面,則下列命題正確的是()A.若,,則B.若,,則C.若,,,則D.若,,,則4.將6枚相同的硬幣放入如圖所示的9個方格中,要求每個方格中至多放一枚硬幣,并且毎行每列都有2枚硬幣,則放置硬幣的方法共有()種.A.6 B.12 C.18 D,365.圓:與圓:的公切線的條數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.46.雙曲線的頂點到其漸近線的距離等于()A. B. C. D.7.已知橢圓的焦點為,.過點的直線與交于,兩點,若周長為8,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.8.如圖,一豎立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為,底面半徑為,一只小蟲從圓錐的底面圓上的點出發(fā),繞圓錐表面爬行一周后回到點處,則該小蟲爬行的最短路程為()A. B.C. D.9.要排出高三某班一天中,語文、數(shù)學(xué)、英語各2節(jié),自習(xí)課1節(jié)的功課表,其中上午5節(jié),下午2節(jié),若要求2節(jié)語文課必須相鄰且2節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰(注意:上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰),則不同的排法種數(shù)是()A.84 B.54 C.42 D.1810.佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習(xí)俗之一,香囊內(nèi)通常填充一些中草藥,有清香、驅(qū)蟲、開竅的功效,因地方習(xí)俗的差異,香囊常用絲布做成各種不同的形狀,形形色色,玲瓏奪目.圖1中的由六個正三角形構(gòu)成,將它沿虛線折起來,可得圖2所示的六面體形狀的香囊.那么在圖2這個六面體中,棱與所在直線的位置關(guān)系為()A.平行 B.相交C.異面且垂直 D.異面且不垂直第Ⅱ卷(共70分)二、填空題(本大題共8小題,每小題4分,共32分)11.在的展開式中,常數(shù)項為________.(用數(shù)字作答)12.為拋物線的焦點,,,在拋物線上,若,則________.13.某種產(chǎn)品的加工需要,,,,五道工藝,其中必須在的前面完成(不一定相鄰),其它工藝的順序可以改變,但不能同時進(jìn)行,為了節(jié)省加工時間,與必須相鄰,那么完成加工該產(chǎn)品的不同工藝的排列順序有________種.(用數(shù)字作答)14.若方程所表示的曲線為,給出下列四個命題:①若為橢圓,則實數(shù)的取值范圍為;②若為雙曲線,則實數(shù)的取值范圍為;③曲線不可能是圓;④若表示橢圓,且長軸在軸上,則實數(shù)的取值范圍為.其中真命題的序號為________.(把所有正確命題的序號都填在橫線上)15.寒假里5名同學(xué)結(jié)伴乘動車外出旅游,實名制購票,每人一座,恰在同一排,,,,五個座位(一排共五個座位),上車后五人在這五個座位上隨意坐,則恰有一人坐對與自己車票相符座位的坐法有________種.(用數(shù)字作答)16.設(shè)為橢圓:的左焦點,為橢圓上給定一點,以為直徑作圓,點為圓上的動點,則坐標(biāo)原點到的距離的最大值為________.17.已知棱長為2的正方體,為棱中點,現(xiàn)有一只媽蟻從點出發(fā),在正方體表面上行走一周后再回到點,這只螞蟻在行走過程中與平面的距離保持不變,則這只螞蟻行走的軌跡所圍成的圖形的面積為________.8.關(guān)于曲線:,給出下列四個結(jié)論:①出線關(guān)于原點對稱,但不關(guān)于軸、軸對稱;②曲線恰好經(jīng)過4個整點(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點);③曲線上任意一點都不在圓的內(nèi)部;④曲線上任意一點到原點的距離都不大于.其中,正確結(jié)論的序號是________.三、解答題(本大題共4小題,共38分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)19.(本小題9分)如圖所示,平行六面體中,平面,,,分別為,的中點,.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求證:平面;(Ⅲ)求點到平面的距離.20.(本小題8分)已知點為坐標(biāo)原點,,動點使得.(Ⅰ)求點的軌跡方程;(Ⅱ)設(shè)點的軌跡為,過點的直線與交于兩點、,若,求直線的方程.21.(本小題11分)四棱錐中,平面,底面是平行四邊形,,,點是棱上一點.(Ⅰ)求證:平面平面;(Ⅱ)當(dāng)為中點時,求二面角的余弦值;(Ⅲ)若直線與平面所成的角為時,求.22.(本小題10分)已知橢圓:(其中)的右焦點為,直線過點與橢圓交于,兩點,為坐標(biāo)原點.(Ⅰ)求橢圓的長軸長和離心率;(Ⅱ)求的面積的最大值;(Ⅲ)若為直角三角形,求直線的方程.首都師大附中20202021學(xué)年第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期中考試參考答案(14)第Ⅰ卷(共30分)一、單選題(本大題共10小題,每小題3分,共30分.在每小題所列出的四個選項中,只有一項是最符合題目要求的)15:BCCAB610:CCACB第Ⅱ卷(共70分)二、填空題(本大題共8小題,每小題4分,共32分)11.1512.613.2414.②15.4516.17.18.①④三、解答題(本大題共4小題,共38分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)19.證明:因為平面,所以,.因為,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,,,此時,,,,.(Ⅰ)因為,所以.因為平面,所以平面.(Ⅱ)因為,,所以是平面的法向量,所以平面.(Ⅲ)點到平面的距離為.20.解:(Ⅰ)設(shè)點,則,.由題意,.整理得:.即點的軌跡方程為.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,為以為圓心,以為半徑的圓,設(shè)的中點為,連結(jié),.由垂徑定理,.即點到直線的距離為2.(1)當(dāng)直線的斜率不存在時,:,經(jīng)檢驗符合題意;(2)當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè):,即所以,.解得:.所以,:,即.由(1)、(2)可知,直線的方程為或.21.證明:(Ⅰ)因為平行四邊形中,,所以四邊形是菱形,所以.因為平面,所以.又因為,所以平面.所以平面平面.(Ⅱ)在平面內(nèi),過點作,則,因為平面,平面,所以.如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,.當(dāng)為中點時,.所以,,,.設(shè)平面的方向量為,則令,得,,所以.設(shè)平面的方向量為,則則,令,則.所以,.因為二面角為銳二面角,得二面角的余弦值為.(Ⅲ)設(shè),則.由(Ⅰ)得,平面.所以,平面的一個方向量為,由題意:,故,即.所以,,即.解得,.所以或.22.解:(Ⅰ)由題意,,解得.所以,橢圓的長軸長為,離心率為.(Ⅱ)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立整理得:,即.設(shè),,由,得,.所以,.所以,的面積,令,則,得.當(dāng)且僅當(dāng)時(即時)等號成立,此時:.(Ⅲ)(1)若,則,故,,則因為,故,即,無解.即.同理,.(2
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