2.1等差數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式8種常見考法歸類（原卷版）

2.1等差數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式8種常見考法歸類課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過生活中的實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義．2．體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系．3．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題．1.理解等差數(shù)列、等差中項(xiàng)的概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)3．會求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及與等差數(shù)列通項(xiàng)公式有關(guān)的計(jì)算．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)4．能利用等差數(shù)列解決相關(guān)的實(shí)際問題．(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)知識點(diǎn)01等差數(shù)列的概念對于一個(gè)數(shù)列，如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是同一個(gè)常數(shù)，那么稱這樣的數(shù)列為等差數(shù)列，稱這個(gè)常數(shù)為等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示．注：(1)“從第2項(xiàng)起”是因?yàn)槭醉?xiàng)沒有“前一項(xiàng)”．(2)一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差即使等于常數(shù)，這個(gè)數(shù)列也不一定是等差數(shù)列，因?yàn)楫?dāng)這些常數(shù)不同時(shí)，該數(shù)列不是等差數(shù)列，因此定義中強(qiáng)調(diào)“同一個(gè)常數(shù)”，即該常數(shù)與n無關(guān)．(3)求公差d時(shí)，可以用d＝an－an－1來求，也可以用d＝an＋1－an來求．公差是每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差，用an－an－1求公差時(shí)，要求n≥2，且n∈N*.【即學(xué)即練1】下列數(shù)列中，不成等差數(shù)列的是（

）．A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001C．a(chǎn)，a，a，a D．，，，【即學(xué)即練2】判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列，若是，首項(xiàng)和公差分別是多少？(1)在數(shù)列中；(2)在數(shù)列中；(3)在數(shù)列中，其中p，q為常數(shù)．知識點(diǎn)02等差數(shù)列的通項(xiàng)公式若首項(xiàng)是a1，公差是d，則等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：an＝a1＋(n－1)d，此公式的推導(dǎo)方法是累加法．注：等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四個(gè)量(首項(xiàng)a1，公差d，項(xiàng)數(shù)n和第n項(xiàng)an)，如果知道了其中的任意三個(gè)，就可以由通項(xiàng)公式求出第四個(gè)．【即學(xué)即練3】在等差數(shù)列{an}中，（1）已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；（2）已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n；（3）已知a1＝12，a6＝27，求d；（4）已知d＝－，a7＝8，求a1和an.【即學(xué)即練4】已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則公差d為______．【即學(xué)即練5】已知在等差數(shù)列中，,，則=（

）A．8 B．10 C．14 D．16知識點(diǎn)03等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其圖象是直線y＝dx＋(a1－d)上的一些等間隔的點(diǎn)，這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)是正整數(shù)，其中公差d是該直線的斜率，即自變量每增加1，函數(shù)值增加d.當(dāng)d>0時(shí)，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，如圖甲所示．當(dāng)d<0時(shí)，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，如圖乙所示．當(dāng)d＝0時(shí)，數(shù)列{an}為常數(shù)列，如圖丙所示．注：項(xiàng)目等差數(shù)列一次函數(shù)解析式an＝kn＋b(n∈N*)f(x)＝kx＋b(k≠0)不同點(diǎn)定義域?yàn)镹*，圖象是一系列孤立的點(diǎn)(在直線上)定義域?yàn)镽，圖象是一條直線相同點(diǎn)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與函數(shù)的解析式都是關(guān)于自變量的一次整式【即學(xué)即練6】已知數(shù)列中，點(diǎn)在直線上，且．求證：數(shù)列是等差數(shù)列．知識點(diǎn)04等差中項(xiàng)(1)如果在a與b之間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫作a與b的等差中項(xiàng)．(2)如果A是a與b的等差中項(xiàng)，則A＝a+b2注：在等差數(shù)列{an}中，任取相鄰的三項(xiàng)an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N*)，則an是an－1與an＋1的等差中項(xiàng)．反之，若an－1＋an＋1＝2an對任意的n≥2，n∈N?均成立，則數(shù)列{a因此，數(shù)列{an}是等差數(shù)列?2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．用此結(jié)論可判斷所給數(shù)列是不是等差數(shù)列，此方法稱為等差中項(xiàng)法．【即學(xué)即練7】已知是等差數(shù)列，且是和的等差中項(xiàng)，則的公差為（）A． B． C．1 D．2，【即學(xué)即練8】在等差數(shù)列中，，則（

）A．14 B．16 C．18 D．28【即學(xué)即練9】已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為，，，求通項(xiàng).知識點(diǎn)05等差數(shù)列的性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：在等差數(shù)列中，對任意，，，；（2）在等差數(shù)列中，若，，，且，則,特殊地，SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中項(xiàng).（3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差數(shù)列，公差為md(k，m∈N*)；（4）兩個(gè)等差數(shù)列與的和差的數(shù)列仍為等差數(shù)列，{pan＋qbn}也是等差數(shù)列（5）若數(shù)列是等差數(shù)列,則仍為等差數(shù)列．（6）如果兩個(gè)等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是兩個(gè)原等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)．【即學(xué)即練10】等差數(shù)列中，，，則的值為______．【即學(xué)即練11】等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8=（

）A．45 B．75 C．180 D．300知識點(diǎn)06等差數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法：對于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列；(2)等差中項(xiàng)：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列;(3)通項(xiàng)公式：(為常數(shù),)?是等差數(shù)列;(4)前項(xiàng)和公式：(為常數(shù),)?是等差數(shù)列;注：是等差數(shù)列?是等差數(shù)列.提醒：判斷時(shí)易忽視定義中從第2項(xiàng)起，以后每項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一常數(shù)，即易忽視驗(yàn)證a2－a1＝d這一關(guān)鍵條件.【即學(xué)即練12】已知數(shù)列滿足，（），令.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.題型一：等差數(shù)列概念的理解（一）等差數(shù)列概念的判斷例1．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤（正確的填“正確”，錯(cuò)誤的填“錯(cuò)誤”）（1）數(shù)列1，1，1，1，1是等差數(shù)列．()（2）若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．()（3）任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等差中項(xiàng)．()（4）等差數(shù)列的公差是相鄰兩項(xiàng)的差．()例2．（2023·全國·高二課堂例題）判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列：(1)1，1，1，1，1；(2)4，7，10，13，16；(3)－3，－2，－1，1，2，3．變式1．（2024上·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列，則下列屬于該數(shù)列的項(xiàng)的是（

）A．23 B．31 C．33 D．43變式2．（2024上·吉林·高二吉林省實(shí)驗(yàn)校考期末）已知為等差數(shù)列，則下面數(shù)列中一定是等差數(shù)列的是（

）A． B． C． D．變式3．（2023上·江蘇·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，（）．(1)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由；(2)求的通項(xiàng)公式．利用定義求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式例3．（2023下·北京·高二北京市第九中學(xué)校考期中）已知數(shù)列滿足，，則當(dāng)時(shí)，n的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．7變式1．（2023下·貴州·高一貴州師大附中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，則（

）A． B． C． D．變式2．（2023上·安徽合肥·高三?？奸_學(xué)考試）數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．變式3．（2023上·四川廣安·高二四川省華鎣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，，則（

）A． B． C． D．變式4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列中，，（為正整數(shù)），則（

）A． B． C． D．變式5．（2023上·江西撫州·高三臨川一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則=（

）A．80 B．100 C．120 D．143【方法技巧與總結(jié)】定義法判定等差數(shù)列(1)作差an＋1－an；(2)對差式進(jìn)行變形；(3)當(dāng)an＋1－an是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列；當(dāng)an＋1－an不是常數(shù)，是與n有關(guān)的代數(shù)式時(shí)，數(shù)列{an}不是等差數(shù)列．題型二：等差數(shù)列的基本量的計(jì)算例4．（2024上·廣東河源·高二統(tǒng)考期末）若等差數(shù)列中，，則（

）A．12 B．14 C． D．變式1．（2024·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）等差數(shù)列滿足，且，則（

）A．35 B．37 C．41 D．43變式2．（2024上·內(nèi)蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末）已知為遞增等差數(shù)列，，，則的公差（

）A． B． C． D．變式3．（2023上·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期末）已知正項(xiàng)數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則的值為.變式4．（2023上·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．例5．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩項(xiàng)的和為2，首末兩項(xiàng)的積為，求這四個(gè)數(shù).變式1．（2023上·江蘇·高二專題練習(xí)）已知成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)，四個(gè)數(shù)之和為26，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)之積為40，求這個(gè)等差數(shù)列．例6．（2023上·山東泰安·高二山東省泰安第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）首項(xiàng)為的等差數(shù)列，從第項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式1．（2023上·江蘇揚(yáng)州·高二江蘇省邗江中學(xué)?？计谀┮阎炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且滿足，，則的取值范圍是.例7．【多選】（2023上·甘肅定西·高二甘肅省臨洮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列．問五人各得多少錢?”（“錢”是古代的一種重量單位）．關(guān)于這個(gè)問題，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．戊得錢是甲得錢的一半B．乙得錢比丁得錢多錢C．甲、丙得錢的和是乙得錢的2倍D．丁、戊得錢的和比甲得錢多錢變式1．（2023上·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中日影最長的一天被定為冬至．從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水、清明日影長之和為28.5尺，則谷雨日影長為（

）A．8.5尺 B．7.5尺 C．6.5尺 D．5.5尺變式2．（2024·四川遂寧·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)》有這樣一個(gè)問題：今有女子善織，日增等尺，四日織24尺，且第七日所織尺數(shù)為前兩日所織尺數(shù)之積.則第十日所織尺數(shù)為？譯為：現(xiàn)有一善于織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布，前4天織了24尺布，且第7天所織布尺數(shù)為第1天和第2天所織布尺數(shù)的積.問第10天織布尺數(shù)為.【方法技巧與總結(jié)】(1)已知an，a1，n，d中的任意三個(gè)量，可求出第四個(gè)量．(2)應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求a1和d，運(yùn)用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得a1+m?1d=a,a1(3)若已知等差數(shù)列中的任意兩項(xiàng)am，an，求通項(xiàng)公式或其它項(xiàng)時(shí)，則運(yùn)用am＝an＋(m－n)d較為簡捷．(4)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，可設(shè)中間的一項(xiàng)為a，再以d為公差向兩邊分別設(shè)項(xiàng)，即設(shè)為…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的項(xiàng)數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，可設(shè)中間兩項(xiàng)分別為a－d，a＋d，再以2d為公差向兩邊分別設(shè)項(xiàng)，即設(shè)為…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….題型三：等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系例8．【多選】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）關(guān)于等差數(shù)列，有下列四個(gè)命題，正確的是（

）A．若數(shù)列中有兩項(xiàng)是有理數(shù)，則其余各項(xiàng)都是有理數(shù)B．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的一次函數(shù)C．若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列（k為常數(shù)）也是等差數(shù)列D．若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下面結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（

）(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.(2)數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是對任意，都有.(3)數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù).(4)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列一定是等差數(shù)列.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)變式2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，，，已知該數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，則.【方法技巧與總結(jié)】(1)根據(jù)等差數(shù)列圖象上的兩點(diǎn)求通項(xiàng)公式的一般方法是設(shè)出an＝dn＋b，將圖象上的點(diǎn)代入，求d，b.(2)判斷等差數(shù)列增減性的方法主要有兩種，一是公差法：d>0遞增；d<0遞減；d＝0不單調(diào)．二是圖象法：圖象上升遞增；下降遞減；圖象不上升也不下降，不單調(diào)．題型四：等差中項(xiàng)例9．（2023上·黑龍江哈爾濱·高二?？计谀┮阎?，，則、的等差中項(xiàng)為（

）A． B． C． D．變式1．（2023上·高二課前預(yù)習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則等于.變式2．（2023上·重慶·高二校聯(lián)考期末）在等差數(shù)列中，、是方程的兩根，則的值為（

）A． B． C． D．變式3．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，．設(shè)與的等差中項(xiàng)為，與的等差中項(xiàng)為，求．【方法技巧與總結(jié)】數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝eq\f(a＋b,2)，其中A叫做a與b的等差中項(xiàng)．題型五：等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用利用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算例10．（2024上·北京順義·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，且，則.變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，則.變式2．（2023上·湖南張家界·高二張家界市民族中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（

）A．4 B．6 C．8 D．10變式3．（2024上·河北張家口·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則（

）A． B． C． D．變式4．（2023上·四川成都·高三成都實(shí)外?？茧A段練習(xí)）在等差數(shù)列中，，則的值為（

）A．20 B．40 C．60 D．80變式5．（2024上·全國·高二期末）已知數(shù)列滿足，則等于（）A．6 B．7 C．8 D．9等差數(shù)列的單調(diào)性例11．【多選】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差，則下列四個(gè)命題中真命題為（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列變式1．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(1)求首項(xiàng)和公差；(2)畫出數(shù)列的圖象；(3)判斷數(shù)列的增減性．變式2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．(1)此等差數(shù)列中從第幾項(xiàng)開始出現(xiàn)負(fù)數(shù)？(2)當(dāng)n為何值時(shí)，最??？變式3．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列中，，數(shù)列滿足.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列，寫出的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng).變式4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）首項(xiàng)為a1，公差為d的整數(shù)等差數(shù)列{an}滿足下列兩個(gè)條件：①a3＋a5＋a7＝93；②滿足an>100的n的最小值是15.試求公差d和首項(xiàng)a1的值．【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列的性質(zhì)若數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列，它的性質(zhì)有：(1)an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N＋)；(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，則an＋am＝ap＋aq；特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N＋)，則an＋am＝2ap；(3)d＝an?a1n?1＝am?akm?k(4)若{an}為有窮等差數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都相等，且等于首末兩項(xiàng)的和；(5)若{an}的公差為d，則數(shù)列{λan＋b}(λ，b為常數(shù))是公差為λd的等差數(shù)列；(6)數(shù)列{an}，{bn}的公差都是d，則數(shù)列{λ1an＋λ2bn}(λ1，λ2為常數(shù))是公差為(λ1＋λ2)d的等差數(shù)列；(7)下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項(xiàng)ak，ak＋m，(k，m∈N＋)，且{an}的公差為d，組成公差為md的等差數(shù)列．題型六：等差數(shù)列的公共項(xiàng)問題例12．（2023下·廣西欽州·高二?？茧A段練習(xí)）在和兩數(shù)之間插入個(gè)數(shù)，使它們與，組成等差數(shù)列，則該數(shù)列的公差為（

）A． B． C． D．變式1．（2023上·江蘇·高二專題練習(xí)）已知等差數(shù)列和等差數(shù)列…各有100項(xiàng)，問它們有多少個(gè)相同的項(xiàng)？記這些共同的項(xiàng)從小到大依次構(gòu)成數(shù)列，問數(shù)列是否為等差數(shù)列？變式2．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，若以第2項(xiàng)為首項(xiàng)，每隔兩項(xiàng)取出一項(xiàng)組成一個(gè)新的數(shù)列，那么這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？若是，求其公差，其中為數(shù)列的第幾項(xiàng)？【方法技巧與總結(jié)】兩個(gè)等差數(shù)列的相同的項(xiàng)按原來的先后次序組成一個(gè)等差數(shù)列，且公差為原來兩個(gè)公差的最小公倍數(shù)題型七：等差數(shù)列的證明例13．（2023上·山西運(yùn)城·高二?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列中，，.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列.(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；變式2．（2024·江蘇·高二假期作業(yè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，設(shè)，證明：是等差數(shù)列；變式3．（2023上·重慶·高二重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是等差數(shù)列，若，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明是等差數(shù)列．變式4．（2023下·四川成都·高一階段練習(xí)）已知數(shù)列，滿足，，記.(1)試證明數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列的判定與證明方法方法解讀適合題型定義法對于數(shù)列，若(常數(shù))?{an}是等差數(shù)列解答題中的證明問題等差中項(xiàng)法對于數(shù)列{an},2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)（）成立?{an}是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法(為常數(shù),)?{an}是等差數(shù)列選擇、填空題中的判斷問題前n項(xiàng)和公式法Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和)?{an}是等差數(shù)列是等差數(shù)列?是等差數(shù)列.提醒：判斷時(shí)易忽視定義中從第2項(xiàng)起，以后每項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一常數(shù)，即易忽視驗(yàn)證a2－a1＝d這一關(guān)鍵條件.題型八：等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例14．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）一種變速自行車后齒輪組由5個(gè)齒輪組成，它們的齒數(shù)成等差數(shù)列，其中最小和最大的齒輪的齒數(shù)分別為12和28，求中間三個(gè)齒輪的齒數(shù)．變式1．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）某城市的綠化建設(shè)有如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份2023202320232023綠化覆蓋率/%17.017.818.619.4如果以后的幾年繼續(xù)依此速度發(fā)展綠化，那么至少到哪一年該城市的綠化覆蓋率可超過？【方法技巧與總結(jié)】解決實(shí)際應(yīng)用問題，首先要認(rèn)真領(lǐng)會題意，根據(jù)題目條件，尋找有用的信息．若一組數(shù)按次序“定量”增加或減少時(shí)，則這組數(shù)成等差數(shù)列．合理地構(gòu)建等差數(shù)列模型是解決這類問題的關(guān)鍵，在解題過程中，一定要分清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵的問題．一、單選題1．（2023下·江西·高二江西師大附中?？茧A段練習(xí)）方程的兩根的等差中項(xiàng)為（

）A．4 B． C．2 D．2．（2024上·廣東深圳·高二校考期末）已知數(shù)列中，，若，則（

）A． B． C． D．3．（2024·河南·模擬預(yù)測）數(shù)列中，，，則（

）A．230 B．210 C．190 D．1704．（2024上·內(nèi)蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，已知，，則等于（

）A．42 B．43 C．44 D．455．（2024上·重慶九龍坡·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，，記，則（

）A． B． C． D．6．（2024上·甘肅·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，是方程的兩根，若，則的值為（

）A． B． C．2 D．67．（2023上·河北保定·高二河北定興第三中學(xué)校聯(lián)考期中）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，則（

）A． B． C． D．8．（2024上·湖南·高二校聯(lián)考期末）在數(shù)列中，已知，，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．59．（2023上·北京海淀·高三校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，其中為常數(shù)，則“”是“是等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．（2024·全國·模擬預(yù)測）若數(shù)列滿足對任意的均有，則（

）A． B．C． D．二、多選題11．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）若一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)，末項(xiàng)，且公差為整數(shù)，則項(xiàng)數(shù)n的取值可以是（

）A．6 B．7C．8 D．912．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，，（，，均不為0）是等差數(shù)列，則下列說法正確的是（

）A．，，一定成等差數(shù)列B．，，可能成等差數(shù)列C．，，一定成等差數(shù)列D．