數(shù)學(xué)模型作業(yè)(華農(nóng))

數(shù)學(xué)模型〔2011-2012〕選修課期末考試姓名：歐晨 專業(yè)：電子信息工程年級：2010級學(xué)號：201030100107得分：時間：有3對夫妻過河，艙至多載兩人，條件是任一女子不能在其丈夫不在的情況下與其他的男子在一起。問怎樣過河?〔20分〕eq\o\ac(○,1)建模分析：eq\o\ac(○,2)模型建立:eq\o\ac(○,3)結(jié)果與結(jié)論:不難驗證，經(jīng)11次可取運算即可完成。此題為狀態(tài)轉(zhuǎn)移問題，解決這種問題的方法,有狀態(tài)轉(zhuǎn)移法，圖解法及用圖的鄰接距陣等。我們設(shè)地面是一個球面(直徑是12．72×103公里)，顯然，如果高層建筑的墻是垂直的，那么它們是不平行的?，F(xiàn)有一個建筑物高400米．地面面積2500平方米，問頂層有多大的額外面積?〔15分〕eq\o\ac(○,1)建模分析：r=6.36x10000，h=400，S地=2500，求S頂。eq\o\ac(○,2)模型建立:球的外表積S=4πr2，S地和S頂所對應(yīng)的角度是一樣的。所以：S地:4πr2=S頂:4π(r+h)2eq\o\ac(○,3)結(jié)果與結(jié)論:得：S頂=(160/159)2x2500

S頂-S地=31.55m2

市場上有不同包裝的洗衣粉，其重量與價格之間的關(guān)系如下表：問這些數(shù)據(jù)是否集中在某條直線附近?如果不是．根據(jù)這些數(shù)據(jù)是否可以建立一個經(jīng)驗?zāi)Ｐ?〔20分〕eq\o\ac(○,1)建模分析：先做出重量Y與價格X的散點圖看似在某條直線附近，可用最小二乘法…eq\o\ac(○,2)模型建立:eq\o\ac(○,3)結(jié)果與結(jié)論:a=0.783b=在小說《格里佛游記》中，小人國中的人們決定給格里佛相當于一個小人食量1728倍的食物。他們是這樣推理的，因格里佛身高是小人的12倍，他的體格是小人的123＝1728倍。所以他需要的食物是一個小人食量的1728倍。為什么他們的推理是錯誤的？正確的選項是答案是什么?〔20分〕eq\o\ac(○,1)建模分析：人體進食是為了維持能量的消耗，因此所需的能量與體重有關(guān)。而體重y與身高x有什么關(guān)系呢？是否y=K*x*x*x？eq\o\ac(○,2)模型建立:身高〔cm〕60708090100110120130140150160170體重〔kg〕55.05以體重y為縱軸，以身高x為橫軸建立直角坐標系，并描出相應(yīng)的散點圖如下：圖一觀察上述圖像，并利用EXCEL分別用線性〔即一次函數(shù)〕、二階多項式〔即二次函數(shù)〕進行擬合發(fā)現(xiàn)，該散點圖的變化趨勢與二次函數(shù)的圖像比擬接近，添加趨勢線后的圖像如下：圖二因此，可以設(shè)身高與體重的函數(shù)模型的一般表達式為：Y=ax2+bx+c(a≠0)選取最靠近趨勢線的幾個點〔70，7.9〕、〔110，17.5〕、〔130，26.86〕、〔150，38.85〕，分別帶入模型得到：a=0.0037,b=-0.431,c=19.697.故，不同身高〔x〕體重〔y〕之間的函數(shù)關(guān)系為：2-0.431x+19.697eq\o\ac(○,3)結(jié)果與結(jié)論:將上述題目數(shù)據(jù)帶入該公式，假設(shè)小人國身高為k，格里佛為12k，不難得到〔小人國體重〕Yk*kk〔格里佛體重〕Y2=0.037*12k*12k-0.431*12那么m=Y2/Y1即可得到答案。一年一度的高考很快就要臨近了?，F(xiàn)在有一位應(yīng)屆高中畢業(yè)生要請你幫助選報高考志愿。選報時通常要考慮到學(xué)校的聲譽、教學(xué)、科研、文體及環(huán)境條件，同時又要結(jié)合本人興趣、考試成績和畢業(yè)后的出路等因素。在每一因素內(nèi)還含有假設(shè)干子因素，如教學(xué)因素中要考慮到教師水平、學(xué)生水平、深造條件等?？忌商預(yù)、B、C、D四個志愿。試用層次分析法作出決策。〔25分〕eq\o\ac(○,1)建模分析：填報高考志愿〔A〕，這里考慮的主要因素有：學(xué)校聲譽〔B1〕、教學(xué)水平〔B2〕、學(xué)校環(huán)境〔B3〕、興趣愛好〔B4〕、報考風(fēng)險〔B5〕、畢業(yè)后出路〔B6〕、地理位置〔B7〕，同時在教學(xué)水平〔B2〕中我們還要同時考慮教師水平〔C1〕、學(xué)生水平〔C2〕、教學(xué)設(shè)備〔C3〕這三個子因素。最后我們將從學(xué)生提出的八個志愿中，選擇出最正確的四個。為了形象地表示出它們的關(guān)系，我們列出了它們之間的關(guān)系，如圖eq\o\ac(○,2)模型建立:設(shè)有因素x1，x2…，xn每次取兩個因素xixj，用正數(shù)aij表示xi與xj的重要性之比。由全部比擬結(jié)果得到矩陣A=〔aij〕，稱作成比照擬陣A。顯然有。然后求出成比照擬矩陣A的最大特征值及其對應(yīng)的特征向量Y=(y1,y2,…,yn)T，定義標準化向量。對成比照擬陣A=〔aij〕，令〔*〕稱U=〔U1，U2，…，Un〕T為X={x1，x2，…，xn}的權(quán)向量，它反映n個因素對目標A的相對重要性。經(jīng)驗證，U與Y′誤差很小，所以一般都用U代替Y′。對于公式〔*〕，對于一致性矩陣，即滿足aij?ajk=aikUk可以簡化為那么.Xi代表第i項因素的重要性指標。eq\o\ac(○,3)結(jié)果與結(jié)論:〔1〕考慮B={B1，B2，…，B7}這七個因素對目標A2的相對重要性。B1B2B3B4B5B6B7目標A2108481073U〔x〕=〔〕T?！?〕考慮C={C1，C2，C3}這三個因素對目標A2的相對重要性。C1C2C3目標A27108U〔y〕=〔〕T。經(jīng)調(diào)查，學(xué)生A2所要選報的八個志愿為：清華金融、清華精密儀器、北大計算機、北大物理、北大環(huán)境、廈門數(shù)學(xué)、廈門法學(xué)、北航計算機，分別設(shè)這八個志愿為K1，K2，…，K8?！?〕考慮對于因素C1，C2，C3，比擬K1，K2，…，K8的相對差異。K1K2K3K4K5K6K7K8因素C1101010101010109因素C21010101010998因素C3910101010999Wc1(K)=)T,Wc2(K)=)T,Wc3(K)=)T?！?〕考慮對于因素B1，B3，B4，…，B7，比擬K1，K2，…K8的相對差異。K1K2K3K4K5K6K7K8因素B11010101010998因素B3101010101010109因素B4107875888因素B51271410106因素B61091071071010因素B71010101010999WB1(K)=(0.132,0.132,0.132,0.132,0.132,0.118,0.118,0.104)T,很顯然，得分拓在前四位的志愿是K7，K6，K3很顯然，得分拓在前四位的志愿是K7，K6，K3，K8，也就是廈門法學(xué)、廈門數(shù)學(xué)、北大計算機、北航計算機這四個志愿最適合A2報考。WB4(K)=(0.164,0.115,0.131,0.115,0.082,0.131,0.131,0.131,)T,WB5(K)=(0.024,0.049,0.171,0.024,0.098,0.244,0.244.0.146)T,WB6(K)=(0.137,0.123,0.137,0.096,0.137,0.096,0.137,0.137)T,WB7(K)=(0.130,0.130,0.130,0.130,0.130,0.123,0.123,0.123)T。最后再計算學(xué)生A