河南省洛陽市高三下學期綜合練習題理科數(shù)學（三）試題

洛陽市2023屆高三綜合練習題理科數(shù)學（三）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考號填寫在答題卡上．2．考試結(jié)束，將答題卡交回．一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點為，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復數(shù)的幾何意義及復數(shù)的除法法則，結(jié)合復數(shù)的模公式即可求解.【詳解】因為復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為，所以.所以，所以.故選：B.2.記為數(shù)列的前n項積，已知，則（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】D【解析】【分析】當時，有，當時，有，結(jié)合題目條件，即可求得本題答案.詳解】1.當時，，，；2.當時，有，代入，得，化簡得：，則，.故選：D3.已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，則=（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)所給的等式可得為奇函數(shù)且周期為2，再根據(jù)對數(shù)的運算求解即可.【詳解】由可得為奇函數(shù)，又，則，故，故周期為2.故.故選：D4.已知圓臺上下底面半徑之比為1：2，母線與底面所成的角為60°，其側(cè)面面積為54π，則該圓臺的體積為（）A.56π B.63π C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓臺的側(cè)面積求出上，下底面的半徑，然后根據(jù)體積公式求解.【詳解】圓臺軸截面如圖，則，∴.圓臺高，∴.故選：C5.市場占有率指在一定時期內(nèi)，企業(yè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品在其市場的銷售量（或銷售額）占同類產(chǎn)品銷售量（或銷售額）的比重．一般來說，市場占有率會隨著市場的顧客流動而發(fā)生變化，如果市場的顧客流動趨向長期穩(wěn)定，那么經(jīng)過一段時期以后的市場占有率將會出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)（即顧客的流動，不會影響市場占有率），此時的市場占有率稱為“穩(wěn)定市場占有率”．有A，B，C三個企業(yè)都生產(chǎn)某產(chǎn)品，2022年第一季度它們的市場占有率分別為：40%，40%，20%．經(jīng)調(diào)查，2022年第二季度A，B，C三個企業(yè)之間的市場占有率轉(zhuǎn)移情況如圖所示，若該產(chǎn)品以后每個季度的市場占有率轉(zhuǎn)移情況均與2022年第二季度相同，則當市場出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，最終達到“穩(wěn)定市場占有率”時，A企業(yè)該產(chǎn)品的“穩(wěn)定市場占有率”為（）A.45% B.48% C.50% D.52%【答案】C【解析】【分析】根據(jù)市場占有率轉(zhuǎn)移情況計算即可.【詳解】由題意，設(shè)最終達到“穩(wěn)定市場占有率”時，A企業(yè)該產(chǎn)品的“穩(wěn)定市場占有率”為，B，C兩個企業(yè)的“穩(wěn)定市場占有率”為，則，故，即，所以，解得.故選：C.6.已知的一個極值點為，若tan，則實數(shù)a的值為（）A.﹣3 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】由正弦函數(shù)的圖像和極值點列方程求出實數(shù)a的值.【詳解】函數(shù)的圖像連續(xù)，且所以若為的一個極值點，由正弦函數(shù)的圖像可得：，解得：.而tan，所以，所以.故選：B7.如圖四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，且各棱長均相等，E是PB的中點，則異面直線AE與PC所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】連接與交于點，連接，以點為原點，建立空間直角坐標系，分別求得向量和的坐標，結(jié)合向量的夾角公式，即可得解.【詳解】連接與交于點，連接，由題意得，，且平面，以點為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，設(shè)四棱錐各棱長均為2，則，，可得，則，設(shè)異面直線與所成角為，則．故選：A．8.某班課外學習小組利用“鏡面反射法”來測量學校內(nèi)建筑物的高度．步驟如下：①將鏡子（平面鏡）置于平地上，人后退至從鏡中能看到房頂?shù)奈恢?，測量出人與鏡子的距離；②將鏡子后移，重復①中的操作；③求建筑物高度．如圖所示，前后兩次人與鏡子的距離分別，兩次觀測時鏡子間的距離為，人的“眼高”為，則建筑物的高度為（）A.B.CD.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)入射角等于反射角得到相似三角形，由相似比求解可得到答案.【詳解】設(shè)建筑物的高度為，如圖所示，由，得，由，得，所以，故選：A.9.已知數(shù)列{}滿足：則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)的關(guān)系可推導出為等比數(shù)列，進而可得.【詳解】由題意，，即，又，故是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，故，故.故選：B10.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則（）A.在單調(diào)遞增B.直線是曲線的一條對稱軸C.曲線在點處的切線方程為D.是一個極值點【答案】D【解析】【分析】直接利用函數(shù)的對稱性求出函數(shù)的關(guān)系式，進一步利用函數(shù)的性質(zhì)的判斷A，B，C，D的真假．【詳解】因為的圖象關(guān)于點對稱，所以，，所以，，因為，所以，故，當時，，故在單調(diào)遞減，故A不正確；當時，得，故直線不是曲線的一條對稱軸，故B不正確；對求導可得，，令，又，故函數(shù)在點處切線方程為，即，故C不正確；當時，得，故是一個極值點，故D正確；故選：D.11.已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線左支交于兩點，且，以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過點，則的離心率為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，利用雙曲線定義表示出的長，再利用勾股定理可得，在和中，分別利用余弦定理可得，聯(lián)立兩式即可得離心率.【詳解】如下圖所示，連接，易知以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過點，即為圓的直徑，所以；不妨設(shè)，則，由雙曲線定義可得所以，即，整理得在中可得，；在中可得，；又易知，可得聯(lián)立可得，，則雙曲線的離心率為故選：B12.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知結(jié)合式子特點合理構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系分別證出，，然后進行賦值即可比較函數(shù)值的大小.【詳解】令，則，當時，，則在上單調(diào)遞增，當時，，則在上單調(diào)遞減，故，所以，當時取等號.所以，令，則，當時，，則在上單調(diào)遞增，當時，，則在上單調(diào)遞減，故，所以，當時取等號.所以，即.故選：C.二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量,,若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量線性運算和數(shù)量積的坐標運算可得答案.【詳解】因為,，所以，所以，即，所以.故答案為：.14.在的展開式中，的系數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】展開式的通項為，可得包含，再求出展開式的通項，得到的系數(shù)即可.【詳解】由二項式展開式的通項，可得，故只有包含，又展開式的通項為，故當時，的系數(shù)為.故答案為：15.核桃（又稱胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并稱為世界著名的“四大干果”．它的種植面積很廣，但因地域不一樣，種植出來的核桃品質(zhì)也有所不同：現(xiàn)已知甲、乙兩地盛產(chǎn)核桃，甲地種植的核桃空殼率為2%（空殼率指堅果，谷物等的結(jié)實性指標，因花未受精，殼中完全無內(nèi)容，稱為空殼），乙地種植的核桃空殼率為4%，將兩地種植出來的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃數(shù)分別占總數(shù)的40%，60%，從中任取一個核桃，則該核桃是空殼的概率是______．【答案】3.2%【解析】【分析】利用全概率公式求解即可.【詳解】設(shè)事件所取核桃產(chǎn)地為甲地為事件，事件所取核桃產(chǎn)地為乙地為事件，所取核桃為空殼為事件，則，，所以該核桃是空殼的概率是，故答案為：.16.已知直線,,圓，則以下命題正確的是______．①直線均與圓不一定相交；②直線被圓截得的弦長的最小值；③直線被圓截得的弦長的最大值為6；④若直線與圓交于兩點，與圓交于兩點，則四邊形的面積最大值為．【答案】②③④【解析】【分析】根據(jù)直線均過圓內(nèi)的定點，判斷①；根據(jù)條件計算直線被圓截得的弦長的最小值和最大值，判斷②③；先判斷出，再根據(jù)幾何方法求出兩個弦長，求出面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，換元后根據(jù)二次函數(shù)知識求出最大值，判斷④.【詳解】由，得，故過定點；由，得，故過定點，的圓心為，半徑，因為，故直線均與圓均相交；故①不正確；當時，直線被圓截得的弦長最小，最小值為，故②正確；當直線經(jīng)過圓心時，直線被圓截得的弦長最大，最大值為，故③正確；當時，；當時，，得，故直線與直線恒垂直，圓心到直線的距離，圓心到直線的距離，故，，所以四邊形的面積，令，則，所以，因為，所以，所以當，即，時，取得最大值，故④正確.故答案為：②③④三、解答題（共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答．）（一）必考題：共60分17.已知為的內(nèi)角所對的邊，向量,，且．（1）求；（2）若，的面積為，且，求線段的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量垂直的坐標表示以及正弦定理、余弦定理可求出；（2）根據(jù)三角形面積公式求出，根據(jù)平面向量運算律可求出結(jié)果.【小問1詳解】因為，所以．由正弦定理，得，即，由余弦定理，得，因為，所以.【小問2詳解】，解得，因為，則，所以，.18.如圖，平面ABCD是圓柱OO?的軸截面，EF是圓柱的母線，AF∩DE=G，BF∩CE=H，∠ABE=60°，AB=AD=2．（1）求證：GH∥平面ABCD；（2）求平面ABF與平面CDE夾角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面平行的判定定理可得平面，再由線面平行的性質(zhì)定理可得，最后由線面平行的判定定理證明平面即可；（2）以點為原點建立空間直角坐標系，求出平面、平面的一個法向量，再利用向量的夾角公式可得答案．【小問1詳解】由題意知，平面平面，所以平面，因為，所以平面平面，因為平面，所以，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】以點為原點建立如圖所示空間直角坐標系，在中，由，得，所以，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則由，得，令，得，設(shè)平面的一個法向量為，則由，得，令，得，所以，所以平面與平面的夾角的正弦值為.19.甲、乙足球愛好者決定加強訓練提高球技，兩人輪流進行定位球訓練（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，一人踢球另一人撲球，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人進球另一人不進球，進球者得1分，不進球者得分；兩人都進球或都不進球，兩人均得0分，設(shè)甲每次踢球命中的概率為，乙每次踢球命中的概率為，甲撲到乙踢出球的概率為，乙撲到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影響．（1）經(jīng)過一輪踢球，記甲的得分為，求的分布列及數(shù)學期望；（2）若經(jīng)過兩輪踢球，用表示經(jīng)過第2輪踢球后，甲累計得分高于乙累計得分的概率，求．【答案】（1）分布列見解析，（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意求得甲進球與乙進球概率，再結(jié)合獨立事件的概率公式求得的分布列及數(shù)學期望；（2）分析甲累計得分高于乙累計得分的情況，從而得解.【小問1詳解】記一輪踢球甲進球為事件A，乙進球為事件B，由題意知A，B相互獨立，由題意得：，甲得分的可能取值為，則，，，所以的分布列為：01所以【小問2詳解】根據(jù)題意，經(jīng)過第2輪踢球累計得分后甲得分高于乙得分的情況有三種，分別是：甲兩輪中第1輪得0分，第2輪得1分，此時乙第1輪得0分，第2輪得分；或者甲第1輪得1分，第2輪得0分，此時乙第1輪得分，第2輪得0分；或者甲兩輪各得1分，此時乙兩輪各得分；于是.20.已知橢圓的左，右頂點分別為A，B，左焦點為,點在橢圓上．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l與C交于不同于B的M，N兩點，且，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列式求出，可得C的方程；（2）設(shè)，，設(shè)，代入橢圓方程，得，根據(jù)求出三角形面積的最大值，再根據(jù)可求出的最大值．【小問1詳解】依題意得，解得，，所以C的方程為.【小問2詳解】由題意知，直線l的斜率不為0，則不妨設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，消去得，，化簡整理得，設(shè)，，則，，因為，所以，因為，所以，，得，將，代入上式得，得，整理得，解得或（舍去）．所以直線l的方程為，則直線l恒過點，所以，設(shè)，則，，易知上單調(diào)遞增，所以時，取得最大值，又，所以.21.已知函數(shù)，．（1）證明：存在唯一零點；（2）設(shè)，若存在，使得，證明：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導函數(shù)求單調(diào)性，結(jié)合即可求解.（2）由題意可得，若是方程的根，則是方程的根，所以，，再利用導函數(shù)求的最小值即可.【小問1詳解】由題意可得，記，則，因為時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以在上恒小于0，在上恒大于0，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，所以有唯一零點0．【小問2詳解】由可得，若是方程的根，則是方程的根，因為，都單調(diào)遞增，所以，，設(shè)，，所以的解為，的解為，所以在上遞減，在上遞增，所以的最小值為，即的最小值為．故原不等式成立.【點睛】當函數(shù)的一階導數(shù)符號不好判斷時，常利用二階導數(shù)判斷一階導數(shù)的單調(diào)性，進而得到一階導數(shù)大于0和小于0的區(qū)間.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修44：坐標系與參數(shù)方程]（10分）22.在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)）．（1）在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，求曲線C極坐標方程；（2）若點A，B為曲線C上的兩個點，且OA⊥OB，求證：O到直線AB的距離為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先將參數(shù)方程化為普通方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標方程即可；（2）由于OA⊥OB，故可設(shè)，代入曲線C的極坐標方程求出，可證得為定值，再設(shè)O到直線AB的距離為，則，代入求解即可.【小問1詳解】由，得所以曲線C的直角坐標方程為將代入到得化簡得所以曲線C的極坐標方程為【小問2詳解】由于OA⊥OB，故可設(shè)，所以，即為定值，設(shè)O到直線AB的距離為，因為OA⊥