專題1-9數(shù)列性質(zhì)的綜合運(yùn)用17類題型（原卷版）

專題19數(shù)列性質(zhì)的綜合運(yùn)用17類題型近2年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新2卷，第8題基本量的計(jì)算等差數(shù)列片段和相關(guān)計(jì)算2023新高考1卷，第7題等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的判斷等差數(shù)列前n項(xiàng)和解析式特征2023年全國乙卷理數(shù)，15題等比數(shù)列基本量計(jì)算構(gòu)造方程組求等比數(shù)列首項(xiàng)和公比2023年全國甲卷理數(shù)，5題等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算構(gòu)造方程求基本量2023新高考1卷，第20題已知等差數(shù)列的和求公差等差中項(xiàng)與前n項(xiàng)和的計(jì)算TOC\o"13"\n\h\z\u知識點(diǎn)梳理模塊一等差數(shù)列【題型1】等差中項(xiàng)與前n項(xiàng)和【題型2】等差數(shù)列片段和【題型3】等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算【題型4】通過等差數(shù)前n項(xiàng)和的比值相關(guān)運(yùn)算【題型5】等差數(shù)列奇偶項(xiàng)和相關(guān)運(yùn)算【題型6】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的單調(diào)性與最值【題型7】等差數(shù)列性質(zhì)判斷與綜合運(yùn)用【題型8】等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算模塊二等比數(shù)列【題型9】等比數(shù)列中基本量的計(jì)算【題型10】等比數(shù)列的基本性質(zhì)【題型11】等比數(shù)列片段和【題型12】等比中項(xiàng)的運(yùn)用【題型13】等比數(shù)列性質(zhì)判斷與綜合運(yùn)用【題型14】等差數(shù)列與等比數(shù)列混合計(jì)算求值模塊三其它綜合問題【題型15】周期數(shù)列【題型16】數(shù)列中的最值問題【題型17】數(shù)列新定義問題知識點(diǎn)梳理一、基本量計(jì)算方法a1，d，n稱為等差數(shù)列的三個基本量，an和Sn都可以用這三個基本量來表示，五個量a1，d，n，an，Sn中，可知三求二，即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中“知三求二”的問題，一般是通過通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式聯(lián)立方程(組)來求解．這種方法是解決數(shù)列運(yùn)算的基本方法．在運(yùn)算中要注意等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用．二、等差數(shù)列重要性質(zhì)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差是d，則等差數(shù)列{an}有如下性質(zhì)：(1)當(dāng)d>0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d<0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列．(2)an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*，n≠m)．(3)eq\f(am－an,m－n)＝d(m，n∈N*且n≠m)．(4)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則am＋an＝2ap.三、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的方法(1)尋找正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，可利用等差數(shù)列的性質(zhì)或利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))來尋找．(2)運(yùn)用二次函數(shù)的圖象求最值．四、等差數(shù)列奇偶項(xiàng)問題(1)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n，則S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(an＋1,an).(2)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n＋1，則S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(n,n＋1).五、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差數(shù)列，且公差為eq\f(d,2).(2)若Sm，S2m，S3m分別為等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)、前2m項(xiàng)、前3m項(xiàng)的和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數(shù)列，公差為m2d.(3)設(shè)兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，則eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1).六、等比數(shù)列的性質(zhì)(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝ap·aq；若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，則aeq\o\al(2,k)＝am·an.(2)若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))仍為等比數(shù)列．七、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)1.在等比數(shù)列{an}的五個量a1，q，an，n，Sn中，a1與q是最基本的元素，當(dāng)條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯時(shí)，均可以用a1與q表示an與Sn，從而列方程組求解．在解方程組時(shí)經(jīng)常用到兩式相除達(dá)到整體消元的目的．這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用．2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和的常用性質(zhì)：(1)若共有2n項(xiàng)，則S偶∶S奇＝q.(2)“片斷和”性質(zhì)：等比數(shù)列{an}中，公比為q，前m項(xiàng)和為Sm(Sm≠0)，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…構(gòu)成公比為qm的等比數(shù)列．模塊一等差數(shù)列【題型1】等差中項(xiàng)與前n項(xiàng)和在等差數(shù)列中，，則此數(shù)列的前13項(xiàng)的和等于A．13 B．26 C．8 D．162已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，則0．兩個等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為和，已知，求的值．已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為，，若，則（

）．A． B． C． D．2023新高考1卷——基本量計(jì)算：利用等差中項(xiàng)簡化計(jì)算設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．【題型2】等差數(shù)列片段和2023新高考2卷T8記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．（2023·廣東深圳二模）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．0 B． C． D．2024屆·江蘇連云港&、南通質(zhì)量調(diào)研(一)設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，，其中正整數(shù)，則該數(shù)列的首項(xiàng)為（

）A．5 B．0 C．3 D．52020年全國Ⅱ卷（理）——等差數(shù)列片段和北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【題型3】等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則等于A．12 B．14 C．16 D．18在等差數(shù)列中，公差，，，則數(shù)列的前9項(xiàng)之和等于．【題型4】通過等差數(shù)前n項(xiàng)和的比值相關(guān)運(yùn)算已知等差數(shù)列和等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9兩等差數(shù)列和前項(xiàng)和分別為，，且，則．已知兩個等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的值為.【題型5】等差數(shù)列奇偶項(xiàng)和相關(guān)運(yùn)算在項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150，則等于10．已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為132，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為120，則等于．31．已知等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為10，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差是4．【題型6】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的單調(diào)性與最值在等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和是，若，，則在中最大的是A． B． C． D．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，并且，若對恒成立，則正整數(shù)的值為.若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，對任意正整數(shù)，都有，則的值為（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023（多選）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，則下列數(shù)列一定遞增的是（

）A． B．C． D．設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，為數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求；（2）求，及的最小值．【題型7】等差數(shù)列性質(zhì)判斷與綜合運(yùn)用2023新高考1卷·T7——數(shù)列性質(zhì)的判斷記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件（雅禮中學(xué)月考）（多選）設(shè)是公差為（）的無窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列命題正確的是（

）A．若，則是數(shù)列的最大項(xiàng)B．若數(shù)列有最小項(xiàng)，則C．若數(shù)列是遞減數(shù)列，則對任意的：，均有D．若對任意的，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列（多選）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，則下列數(shù)列一定遞增的是（

）A． B．C． D．（多選）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和是，則下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列【題型8】等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，且，則實(shí)數(shù)的值為模塊二等比數(shù)列【題型9】等比數(shù)列中基本量的計(jì)算2023乙卷(理)T15——基本量計(jì)算：解2元方程組已知為等比數(shù)列，，，則.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對化簡得，聯(lián)立求出，最后得.【詳解】設(shè)的公比為，則，顯然，則，即，則，因?yàn)?，則，則，則，則2023年全國甲卷(理)——基本量計(jì)算：解一元三次方程設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則（

）A． B． C．15 D．402022·全國乙卷（理）——基本量計(jì)算已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3【題型10】等比數(shù)列的基本性質(zhì)設(shè)，分別為等比數(shù)列，的前項(xiàng)和．若（，為常數(shù)），則（

）A． B． C． D．已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（

）A． B． C． D．在等比數(shù)列中，，則.（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和，則d+q的值是．【題型11】等比數(shù)列片段和2020年全國Ⅰ卷（文）T10設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（

）A．12 B．24 C．30 D．32已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，則（

）A．13 B．16 C．9 D．12深圳市寶安區(qū)2024屆高三上學(xué)期10月調(diào)研（多選）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.記命題：“數(shù)列為等比數(shù)列”，命題：“，，成等比數(shù)列”，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件（多選）設(shè)數(shù)列，都是等比數(shù)列，則（

）A．若，則數(shù)列也是等比數(shù)列B．若，則數(shù)列也是等比數(shù)列C．若的前項(xiàng)和為，則也成等比數(shù)列D．在數(shù)列中，每隔項(xiàng)取出一項(xiàng)，組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列仍是等比數(shù)列【題型12】等比中項(xiàng)的運(yùn)用已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等比數(shù)列，最上面節(jié)的容積之積為，最下面節(jié)的容積之積為，則第節(jié)的容積是.設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，則“”是“為等比數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，若存在m，，使得，則的最小值為．（多選）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則（

）A． B．的最小值為1C． D．的最大值為4（多選）公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，滿足,，.則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為【題型13】等比數(shù)列性質(zhì)判斷與綜合運(yùn)用(多選)已知等比數(shù)列{an}的公比為q，首項(xiàng)為a，前n項(xiàng)和為Sn，則下列結(jié)論錯誤的是 ()A．若a＞0，則anSn＞0B．若q＞0，則anSn＞0C．若a＜0，則anSn＜0D．若q＜0，則anSn＜0（多選）已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，則下列敘述正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為 B．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列（多選）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，是與的等差中項(xiàng)，數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列命題正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式B．C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為D．的取值范圍是（多選）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且滿足條件，，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．為遞減數(shù)列 B．C．是數(shù)列中的最大項(xiàng) D．（多選）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且滿足條件，，，則下列選項(xiàng)錯誤的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大項(xiàng) D．【題型14】等差數(shù)列與等比數(shù)列混合計(jì)算求值已知－2，a1，a2，－8成等差數(shù)列，－2，b1，b2，b3，－8成等比數(shù)列，則eq\f(a2－a1,b2)＝________.有四個實(shí)數(shù)，前3個數(shù)成等比數(shù)列，且它們的積為216，后三個數(shù)成等差數(shù)列，且它們的和為12，求這四個數(shù)．已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列.若數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為.模塊三其它綜合問題【題型15】周期數(shù)列（重慶·西南大學(xué)附中校聯(lián)考）在首項(xiàng)為1的數(shù)列中，滿足，則（

）A． B． C．0 D．1（重慶巴蜀中學(xué)?？迹┮阎獢?shù)列滿足且，則（

）A．3 B． C．2 D．（2023·哈師大附中?？计谥校┰跀?shù)列中，若，，，則（

）A． B． C．2 D．1已知數(shù)列滿足，，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列的前2023項(xiàng)的和為（

）A．0 B．1 C．3 D．4數(shù)列滿足若，則等于（）A． B． C． D．?dāng)?shù)列滿足，，其前項(xiàng)積為，則等于（）A． B． C． D．【題型16】數(shù)列中的最值問題已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S82S4=5，則a9+a10+a11+a12的最小值為（

）A．10 B．15 C．20 D．25（2023秋·重慶巴蜀中學(xué)?？迹┮阎炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和為，對任意的，均有成立，則的值的取值范圍是（

）A． B．C． D．已知各項(xiàng)為正的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則通項(xiàng)公式；且的最小值為.正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，若存在兩項(xiàng)、，使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．【題型17】數(shù)列新定義問題2021新高考2卷T12（多選）設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（

）A． B．C． D．有一個非常有趣的數(shù)列叫做調(diào)和數(shù)列，此數(shù)列的前n項(xiàng)和已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：當(dāng)n很大時(shí)，，其中稱為歐拉馬歇羅尼常數(shù)，…，至今為止都還不確定是有理數(shù)還是無理數(shù)．由于上式在n很大時(shí)才成立，故當(dāng)n較小時(shí)計(jì)算出的結(jié)果與實(shí)際值之間是存在一定誤差的，已知，．用上式估算出的與實(shí)際的的誤差絕對值近似為（

）A．0.003 B．