2023年新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 等比數(shù)列及其前n項和 (原卷版)

專題25等比數(shù)列及其前n項和

【考點預(yù)測】

一.等比數(shù)列的有關(guān)概念

(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個

數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為

(2)等比中項：如果a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做。與6的等比中項.

即G是。與6的等比中項oa,G,6成等比數(shù)列=>G2-ab.

二.等比數(shù)列的有關(guān)公式

(1)等比數(shù)列的通項公式

設(shè)等比數(shù)列｛七｝的首項為%,公比為q(q豐0),則它的通項公式an==c-q'\c=0).

“q

推廣形式：

(2)等比數(shù)列的前"項和公式

nax(q=1)

等比數(shù)列｛〃“｝的公比為w0),其前〃項和為S〃=<〃a,-aq

—,--------=-.--------(#1)

I1一夕i-q

注①等比數(shù)列的前〃項和公式有兩種形式，在求等比數(shù)列的前〃項和時，首先要判斷公比9是否為1,

再由4的情況選擇相應(yīng)的求和公式，當(dāng)不能判斷公比9是否為1時，要分4=1與4W1兩種情況討論求解.

②已知(項數(shù))，則利用5“=0(1一"")求解;已知q,a”,q(qwl),則利用斗=5，連求解.

1-q1-q

③S“=空二dl=3.q"+—=kq"_go,q^l),S“為關(guān)于/的指數(shù)型函數(shù)，且系數(shù)與常數(shù)互

1-q1-q1-q

為相反數(shù).

三.等比數(shù)列的性質(zhì)

(1)等比中項的推廣.

若加+〃=p+q時，則特別地，當(dāng)《7+〃=2。時，aman=aj.

(2)①設(shè)｛%｝為等比數(shù)列，則｛叫』(2為非零常數(shù))，｛㈤｝,⑷"｝仍為等比數(shù)列.

②設(shè)｛4｝與｛b?｝為等比數(shù)列，則｛anb,,｝也為等比數(shù)列.

(3)等比數(shù)列｛4｝的單調(diào)性(等比數(shù)列的單調(diào)性由首項q與公比q決定).

當(dāng)『>0或時，｛%｝為遞增數(shù)列;

國>1[0<^<1

當(dāng)或I;1:時，他"）為遞減數(shù)列.

（4）其他衍生等比數(shù)列.

若已知等比數(shù)列｛,｝,公比為g,前“項和為S,,則:

①等間距抽取

ap,ap+t,ap+2t,ap+（n_I）t,為等比數(shù)列，公比為

②等長度截取

Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,為等比數(shù)列，公比為q"■（當(dāng)q=T時，加不為偶數(shù)）.

【方法技巧與總結(jié)】

（1）若m+n=p+q=2k（m,n,p,q,keN*）,則〃加,?

（2）若｛4｝,依｝（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則｛皿｝（六0）,｛口，伍口，｛%%｝,｛2｝仍是等比

a”b?

數(shù)列.

（3）在等比數(shù)列｛%｝中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即%,an+k,an+2k,%+3&…為

等比數(shù)列，公比為4%.

（4）公比不為一1的等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，則S"，S2n-Sn,SM-S?”仍成等比數(shù)列，其公比

為小

（5）｛a/為等比數(shù)列，若q?生…4=7,，則（，&，及，成等比數(shù)列.

Tn

（6）當(dāng)q/0,gwl時,S“=6—Oq"（左N0）是｛%｝成等比數(shù)列的充要條件，此時左=-^一.

i-q

（7）有窮等比數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項的積相等.特別地，若項數(shù)為奇數(shù)時，還等于中間

項的平方.

（8）若｛4｝為正項等比數(shù)列，貝|｛10&q｝9>0美彳1）為等差數(shù)列.

（9）若｛%｝為等差數(shù)列，則-%｝（00,用1）為等比數(shù)列.

（10）若｛g｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列=｛4）是非零常數(shù)列.

【題型歸納目錄】

題型一：等比數(shù)列的基本運算

題型二：等比數(shù)列的判定與證明

題型三：等比數(shù)列項的性質(zhì)應(yīng)用

題型四：等比數(shù)列前"項和的性質(zhì)

題型五：求數(shù)列的通項外,

題型六：奇偶項求和問題的討論

題型七：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

題型八：等比數(shù)列的范圍與最值問題

題型九：等比數(shù)列的簡單應(yīng)用

【典例例題】

題型一：等比數(shù)列的基本運算

例1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知正項等比數(shù)列｛4｝的前w項和為邑=2,詼=10,則｛%｝的公比

為（）

A.1B.72C.2D.4

例2.（2022?廣東?梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高三階段練習(xí)）等比數(shù)歹U｛%｝中，%+%+%=6，/+4+%=24.則

｛凡｝的公比4為（）

A.2B.2或_2C.一2D.3

l

【解析】由題意，=a、/,a$=a廳，a。=a1g

：.q+/+為=（41++。7

q2=4q—+2

例3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）記S.為正項等比數(shù)列｛見｝的前,項和，若$3=14,4=2,則，管的值

為（）

11

A.2B.-C.3D.-

例4.（2022.河南省?？h第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知正項等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，且滿足

3a2=S3-4tZj,則公比（）

11

A.yB.2C.-D.3

z3

例5.（2022?廣東江門?高三階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列｛%｝滿足％+/=10,%+%=5,貝。

log?"+log2a2++log2a?=.

例6.（2022.福建?廈門一中模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列｛?｝的前〃項和為%若S2=],$3-4=:,則§6=

例7.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知一個蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飛出去找回了4個伙伴；第2天，

5只蜜蜂飛出去，各自找回了4個伙伴，……按照這個規(guī)律繼續(xù)下去，第20天所有的蜜蜂都?xì)w巢后，蜂巢

中一共有蜜蜂（）

520-5421-4

A.42°只B.520只C.--------只D.---------只

43

例8.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知2、X、8成等比數(shù)列，則x的值為（）

A.4B.-4C.±4D.5

例9.（2022.全國?高三專題練習(xí)）在3和9之間插入兩個正數(shù)后，使前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差

數(shù)列，則這兩個正數(shù)之和為（）

A.13—B.11—C.10—D.10

242

例10.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列，若

+期

/+4+佝=6也/a=8,則f—的值是（）

A.1B.1C.2D.4

,、1a,+a.

例11.（2022?青海海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知等比數(shù)列｛q｝的公比4=-二，則六支等于（）

3u2+u4

11c

A.——B.-C.3D.-3

33

例12.（2022.內(nèi)蒙古?海拉爾第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知等差數(shù)列｛4｝中，其前5項的和$5=25,等比

數(shù)列電｝中，4=2,。]3=8,則，=（）

例13.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列｛見｝的前3項和為168,%-%=42,則以=（）

A.14B.12C.6D.3

例14.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知正項等比數(shù)列｛%｝滿足%=g+24,若存在金、巴，使得爆q=16端，

14

則—?—的最小值為（）

mn

A.-B.16C.—D.一

342

例15.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在正項等比數(shù)列｛〃〃｝中，—%,且。4=16,貝!）。10=（）

A.1024B.960C.768D.512

例16.（2022.全國.高三專題練習(xí)）在公差不為0的等差數(shù)列｛“〃｝中，。1，〃2，%，%，43成公比為3的等比數(shù)

列，則上3=（）

A.14B.34C.41D.86

例17.（2022.安徽.合肥一中模擬預(yù)測（文））等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，已知耳，2s2,3s3成等差數(shù)

列，則｛4｝的公比為（）

111

A.—B.-C.3D.—

/43

【方法技巧與總結(jié)】

等比數(shù)列基本量運算的解題策略

（1）等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量q,n,q,an,S“,

一般可以“知三求二”，通過列方程（組）便可迎刃而解.

（2）等比數(shù)列的前〃項和公式涉及對公比q的分類討論：

當(dāng)4=1時，S“=:嗎；當(dāng)“Al時，s/答二￡2=與4￡.

題型二：等比數(shù)列的判定與證明

例18.（2022.青海?海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））設(shè)數(shù)列｛4｝的前"項和為S“，Sn=2an+n-4.

（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列.

12〃]170

（2）若數(shù)列——的前"2項和刈，求相的值.

例19.（2022?海南?？?二模）已知數(shù)列｛4｝的各項均為正整數(shù)且互不相等，記S,為｛%｝的前〃項和，從下

面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①數(shù)列｛q,｝是等比數(shù)列；②數(shù)列電+1｝是等比數(shù)列；③%=4（4+1）.

注：如選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

例20.（2022.江蘇?南京師大附中模擬預(yù)測）己知正項數(shù)列｛%｝的前九項和S"=Aq"+B,其中A,B,4為

常數(shù).

（1）若4+3=0,證明：數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列；

⑵若％=1,冊+2=4%,求數(shù)列｛"。"｝的前〃項和「.

,,>—a+”,〃為奇數(shù)f3]

例21.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝中，％=1,4+1=3,求證：數(shù)列%,-不

為偶數(shù)〔4

是等比數(shù)列.

例22.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列｛《,｝滿足。向=巴三

,其中4=1.證明:是等比

數(shù)列;

例23.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足％=1,%=3,an+2-2an+l=an+1-2an（neN*）,證明：

數(shù)列伍用-%｝是等比數(shù)列，并求｛%｝的通項公式；

例24.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足：-+%=2",且％=1,"=。"-白2”.求證：數(shù)列也｝

是等比數(shù)列；

例25.（2022?上海?模擬預(yù)測）在數(shù)列｛〃“｝中，%=5,0用=3氏-4"+2,其中“?N*.

⑴設(shè)。=4-2〃,證明數(shù)列他,｝是等比數(shù)列；

（2）記數(shù)列｛為｝的前〃項和為試比較S”與+2022的大小.

例26.（2022?全國?高三專題練習(xí)）記S"是公差不為0的等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，已知生+3%=S5,ala5=S4,

數(shù)列M｝滿足4=3%+2"一（心2,〃eN*）,且4=%-1.

⑴求｛%｝的通項公式；

（2）證明數(shù)列[當(dāng)+"是等比數(shù)列，并求｛2｝的通項公式；

例27.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛《,｝的前”項和為S"，4=3,Sn=2+an+l.

（1）證明：數(shù)列｛S,-2｝為等比數(shù)列；

（2）記數(shù)列的前〃項和為T.，證明：Tn<2.

例28.（2022?吉林長春?模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列也｝和也｝滿足%=2,4=0,2a?+bn+l=3n+l,

。向+2%=3"+1.

⑴證明：｛%-2｝是等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列也｝的前〃項和.

13

例29.（2022.河北?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝和也｝滿足q=-耳,吊=萬,4a?+1=3%-bn+4,4%=3bn-an-4.

（1）證明：｛%+2｝是等比數(shù)列，｛4-2｝是等差數(shù)列;

（2）求｛%｝的通項公式以及｛4｝的前〃項和S”.

例30.（2022?湖北?房縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知在數(shù)列｛%｝中弓=1,

⑴令2=3'”“-；,證明：數(shù)列也｝是等比數(shù)列；

1

(2)Sn=%+3a2+32%++3"an,證明：4Sn—3"a“=n.

（、33?！?/p>

例31.（2022?江西?贛州市第三中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列何｝滿足q=""用=左左.

（1）證明：是等比數(shù)列；

⑵設(shè)2=笛已證明4+仇++2<"

JO

例32.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛%｝的前"項和為S",Sg=90,頰=20,數(shù)列也｝滿足偽=6,

b

,t+l=3b”-4n,Tn為數(shù)列也｝的前“項和.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）求證：數(shù)列也一%-1｝為等比數(shù)列；

（3）若￡「3692。恒成立，求”的最小值.

例33.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在數(shù)列｛qj中，4=1,%=2,S.an+2=3an+1+4an.

（1）證明：｛%+1+。“｝是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛%｝的通項公式.

【方法技巧與總結(jié)】

等比數(shù)列的判定方法

若&k=q（q為非零常數(shù)，ncN*或—q為非零常數(shù)且

定義法a?a?-\

n>2,neN*）,則｛對｝是等比數(shù)列

中項

若數(shù)歹U｛%｝中，an。0且〃〃+12=4〃.%+2（幾￡浦），則｛〃〃｝是等比數(shù)列

公式法

通項若數(shù)列｛4｝的通項公式可寫成a,=c“"T（c,q均為非零常數(shù)，

公式法力eN*）,則｛%｝是等比數(shù)列

前幾項和若數(shù)列｛4｝的前〃項和S"=kq"H（%為非零常數(shù)，#0,1）,貝IJ

公式法｛%｝是等比數(shù)列

【注意】

（1）前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇、填空題中的判定.

（2）若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.

題型三：等比數(shù)列項的性質(zhì)應(yīng)用

例34.（2022?全國?高三專題練習(xí)）等比數(shù)列｛4｝中,若％=9,則log3a4+kg3a6mC）

A.2B.3C.4D.9

例35.（2022?遼寧沈陽三模）在等比數(shù)列｛4｝中，的，%為方程d-4x+%=0的兩根，則四為%的值為（）

A.兀&B.-兀辰C.土兀&D.萬3

例36.（2022.青海.大通回族土族自治縣教學(xué)研究室二模（理））已知等比數(shù)列｛?！埃墓葹?,前"項和為

S”，若4+%=2,則邑=（）

A.—B.4C.—D.6

55

例37.（2022.全國?高三專題練習(xí)）在等比數(shù)列｛4｝中，如果%+%=16,4+〃4=24,那么％+/=（）

A.40B.36C.54D.81

例38.（2022?陜西?長安一中一模（理））正項等比數(shù)列｛%｝滿足：2a4+的=2%+%+8,貝！12a6+生的最小

值是

A.64B.32C.16D.8

例39.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在由正數(shù)組成的等比數(shù)列｛4｝中，若,

log3a｛+log3a2+log3as+log3a9的為

434

A.-B.—C.2D.03

343

例40.（2022?天津?一模）在等比數(shù)列｛4｝中，公比是4,則F>1”是“%>。"（〃€4）”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例41.（2022?河南安陽?模擬預(yù)測（理））已知｛4｝為等比數(shù)列，生+4=-7,%%=-8,則/+%=.

例42.（2022?安徽?合肥一中模擬預(yù)測（文））在正項等比數(shù)列｛%｝中，?1=1，%&=9,記數(shù)列｛%｝的前“

項積為T“，Tn>9,則〃的最小值為

例43.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，已知其前〃項之積

為且％=4,則I取最小值時，〃的值是.

【方法技巧與總結(jié)】

（1）在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時,要注意挖掘隱含條件、利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m+n=p+q=2k,

則%=。二"，可以減少運算量，提高解題速度?

（2）在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形.此外，解題時注

意設(shè)而不求思想的運用.

題型四：等比數(shù)列前“項和的性質(zhì)

例44.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)歹或凡｝的前〃項和S"=ax3"-2,貝l]"=.

例45.（2022?全國?高三專題練習(xí)）等比數(shù)列｛??｝的前“項和為S"=4"-c,則實數(shù)c=.

等比數(shù)列前〃項和為s“，若率=4,貝e=

例46.（2022?全國?高三專題練習(xí)）

,3%

例47.（2022.上海.高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛叫、也｝均為正項等比數(shù)列，月、Q“分別為數(shù)列｛%｝、也｝

InP5n—7Ina,

的前〃項積，且丁才=一丁一，則笠的值為___________.

In?！?nlnb3

例48.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前“項和為S.，若凡：邑=1：2,則$9:63=（）

A.1:2B.2:3C.3:4D.1:3

例49.（2022.全國?高三專題練習(xí)）己知正項等比數(shù)列｛%｝的前"項和為S“，若-5,53,$6成等差數(shù)列，則

59-品的最小值為（）

A.25B.20C.15D.10

例50.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列｛”“｝的前〃項和為S,,若星=9,S6=36,則為+q+佝蟲

）

A.144B.81C.45D.63

例51.（2022?全國?高三專題練習(xí)（文））等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為%若S.=f-2"T-l,則/=（）

A.2B.-2C.1D.-1

例52.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項和斗=23+2%（meR）,則（）

1111

A，-10mC.-----D.—

2020

【方法技巧與總結(jié)】

（1）等比數(shù)列｛%｝中，所有奇數(shù)項之和S奇與所有偶數(shù)項之和“具有的性質(zhì)，設(shè)公比為q.

①若共有2w項，則上=q；②若共有2九+1項,

（2）等比數(shù)列｛%｝中,S1fc表示它的前左項和.當(dāng)#-1時，有S「S21fc—&氏丘一電，…也成等比數(shù)列,

公比為

題型五：求數(shù)列的通項4

+l

例53.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在數(shù)列｛風(fēng)｝中，若％=2,an+l=3an+2",則%=（）

51

A.B.———

C.23—2向D.4?3〃T—2計1

例54.（2022.青海玉樹.高三階段練習(xí)（文））已知￡為數(shù)列｛%｝的前〃項和，若%=2%-2凡=10,則｛%｝

的通項公式為（）

22

A.g=3"-4B.an=2"+2C.an^n+nD.an=3H-1

例55.（2022.安徽.高考模擬（文））已知等比數(shù)列｛4｝的首項為2,前〃項和為S“，且S5-邑=q+40.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）若％=出”,求數(shù)列｛4｝的前“項和配

例56.（2022?云南?昆明一中高三階段練習(xí)（文））2022北京冬奧會開幕式上，每個代表團(tuán)都擁有一朵專屬

的“小雪花”，最終融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奧主火炬，驚艷了全世界?。ㄈ鐖D一），如圖二

是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作法是從一個正三角形開始，把每條

邊分成三等分，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，反復(fù)進(jìn)行這一過程，就

得到一個“雪花,，狀的圖案.設(shè)原正三角形（圖①）的邊長為3,把圖二中的①，②，③，④，……圖形的周

長依次記為生,“2,。3，

圖一

（1）直接寫出。2,%的值;

（2）求數(shù)列｛a,｝的通項公式.

例57.（2022.上海.高三階段練習(xí)）治理垃圾是S市改善環(huán)境的重要舉措.去年S市產(chǎn)生的垃圾量為200萬

噸，通過擴(kuò)大宣傳、環(huán)保處理等一系列措施，預(yù)計從今年開始，連續(xù)5年，每年的垃圾排放量比上一年減

少20萬噸，從第6年開始，每年的垃圾排放量為上一年的75%.

（1）寫出S市從今年開始的年垃圾排放量與治理年數(shù)”僅eN*）的表達(dá)式；

（2）設(shè)4為從今年開始〃年內(nèi)的年平均垃圾排放量.如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢，則認(rèn)為現(xiàn)有的

治理措施是有效的；否則，認(rèn)為無效，試判斷現(xiàn)有的治理措施是否有效，并說明理由.

【方法技巧與總結(jié)】

（1）等比數(shù)列的通項公式

1

設(shè)等比數(shù)列｛%｝的首項為生，公比為q（q豐0）,則它的通項公式an=a^=c-q'\c=幺）（q,q聲0）.

q

nm

推廣形式：an=am-q-

（2）等比數(shù)列的前〃項和公式

na《q=1）

等比數(shù)列｛4｝的公比為q（q70）,其前〃項和為S"=<a,-aq

—,----=----（#1）

〔i-qi-q

題型六：奇偶項求和問題的討論

例58.（2022?全國?一模（理））已知數(shù)列｛%｝中，4=1,anan+l=2",則｛冊｝的前200項和邑°。=.

例59.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛凡｝的前〃項和5“=2"一+1,則數(shù)列｛4｝的前10項中所有奇數(shù)

項之和與所有偶數(shù)項之和的比為（）

例60.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知一個等比數(shù)列首項為1,項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為85,偶數(shù)項

之和為170,則這個數(shù)列的項數(shù)為（）

A.2B.4C.8D.16

例61.（2022?山東師范大學(xué)附中模擬預(yù)測）已知S“是數(shù)列｛%｝的前〃項和，且q=1,。“+。用=2〃+1.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項公式；

,為奇數(shù)）

（2）記b,=,求數(shù)歹U也（的前2n項和T”.

為偶數(shù)

例62.（2022?天津?二模）已知數(shù)列｛%｝中，％=1,anan+i=2",令優(yōu)=%..

（1）求數(shù)列｛2｝的通項公式；

標(biāo)"為偶數(shù),

⑵若c”=<________2________，〃為奇數(shù),求數(shù)列匕｝的前23項和.

Jog2d+加22+2''

［凡，”為奇數(shù)，

例63.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,a,

為偶數(shù).

⑴令％=%，求仇,4及｛2｝的通項公式;

（2）求數(shù)列｛。,｝的前2n項和S2n.

例64.（2022?天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)三模）已知數(shù)列｛a'｝,｛%｝,已知對于任意〃eN*,都有%，

數(shù)列｛〃｝是等差數(shù)列,4=1,且打+5,a+1,%-3成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝和也｝的通項公式;

an,n=2k-l

⑵記c=-

nbn,n=2k

2

(i)求t2

C

i=llog?C2i-1-10§32i+1

2n

(ii)求Zckck+l.

k=\

例65.（2022?浙江嘉興.模擬預(yù)測）已知公差不為零的等差數(shù)列包,｝滿足g=2,%,%，。9成等比數(shù)列.數(shù)列也｝

的前〃項和為工，且滿足S“=2-4-2（〃eN*）

⑴求｛%｝和｛2｝的通項公式；

—為奇數(shù)

a〃。計2（、

（2）設(shè)數(shù)列｛%｝滿足cn=",求數(shù)列｛qj的前2〃項和&.

筆，”為偶數(shù)

a

【方法技巧與總結(jié)】

求解等比數(shù)列的前〃項和s“，要準(zhǔn)確地記住求和公式，并合理選取公式，尤其是要注意其項數(shù)九的值；

對于奇偶項通項不統(tǒng)一問題要注意分類討論.主要是從九為奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行分類.

題型七：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

例66.（2022.北京市玉淵潭中學(xué)高三階段練習(xí)）已知％，%，%為一等差數(shù)列，4,&也為一等比數(shù)列，且這6

個數(shù)都為實數(shù).則下面四個結(jié)論中正確的是（）

①4<%與%可能同時成立

②仇<久與仇>以可能同時成立

③若%+4<0，貝lj%+。3<0

④若耳也＜0,則打也＜。

A.①③B.②④C.①④D.②③

例67.（2022?浙江省杭州第二中學(xué)模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛4｝公差不為0,正項等比數(shù)列｛2｝,出=4，

%o=4o，則以下命題中正確的是（）

A.4＞4B.C.。6＜%D.47＞如

例68.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝是公差不為零的等差數(shù)列，｛2｝是正項等比數(shù)列，若％=4，

。7=，7，貝U（）

A.。4="B.a5＜b5C.。8＞為D.%＜為

例69.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知｛%｝為等差數(shù)列，也｝是公比為2的等比數(shù)列，且

a2-b2=a3-b3=b4-a4,

⑴證明:C=4;

（2）求集合招優(yōu)=冊+q,14mW500｝中元素個數(shù).

例70.（2022.浙江.模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%,｝是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列也｝是首項為2的等比數(shù)列，且

%+4=&，4+3=%.設(shè)數(shù)列｛g｝滿足c“=L"k,其中左eN*,其前"項和為S”.

也,，"=2

⑴求為的值.

一,j111

（2）若明=--,求證：&+/,+4++.

?2"-J-18

例71.（2022?山東濰坊模擬預(yù)測）已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列｛?！埃?出與4的等差中項為8,且%%=28.

（1）求｛%｝的通項公式；

（2）從｛%｝中依次取出第1項、第3項、第9項....第3"一項，按照原來的順序組成一個新數(shù)列抄“｝,求數(shù)列

也｝的前”項和S”.

例72.（2022?吉林市教育學(xué)院模擬預(yù)測（理））在①4=q+%+%,②§3=13這兩個條件中，任選一個補(bǔ)充

在下面的問題中，并解答.

已知正項等差數(shù)列和“｝滿足%=3,且出嗎+1嗎+3成等比數(shù)列.

（1）求｛4｝的通項公式；

（2）已知正項等比數(shù)列出｝的前"項和為S“，…,,求S..

注：如果選擇兩個條件并分別作答，按第一個解答計分.

【方法技巧與總結(jié)】

（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉(zhuǎn)化：等差數(shù)列通過指數(shù)運算轉(zhuǎn)化為正項等比數(shù)列，正項等比數(shù)列通

過對數(shù)運算轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列.

（2）等差數(shù)列和等比數(shù)列的交匯，若一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列為非零常數(shù)數(shù)列.

題型八：等比數(shù)列的范圍與最值問題

例73.（2022?安徽?蚌埠二中二模（理））已知等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，則下列判斷一定正確是

A.若$3>0,則。2018>0B.若邑<0,則。2018<0

11

C.右。2>%，則%019>“2018D.右>7，則。2019<“2018

CTQCi-1

例74.（2022.全國?高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為4,其前〃項和為S“，前〃項積為（，并滿足

條件%>1,〃2021a2022>。，（。2021-1乂%022-1）<°，下列結(jié)論正確的是（）

1

A.〃2023>B.S2022-S202i>1

“2021

C.數(shù)列￡｝存在最大值D.5⑼是數(shù)列出｝中的最大值

例75.（2022.全國?高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4，其前〃項之積為4,并且滿足條件：%>1,

。2019。2020>1,~°，給出下列結(jié)論：蟲°<4<1；②。2019“2021-1>°；③5019是數(shù)列｛4｝中的最大項；

④使成立的最大自然數(shù)等于4039；其中正確結(jié)論的序號為（）

A.①②B.①③C.①③④D.①②③④

n+1

例76.（2022?北京房山?高三開學(xué)考試）已知等比數(shù)列｛%｝中，an=q,那么"0<q<l”是“％為數(shù)列｛%｝的

最大項”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

例77.（2022.浙江?鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝滿足%性限=e%-1,且％=1,｛S“｝是數(shù)列｛%｝的前〃

項和，則（）

A.數(shù)列｛叫單調(diào)遞增B.$2022<2

C.2a2022>a2021+°2023

例78.（2022.全國?模擬預(yù)測（文））設(shè)正項等比數(shù)列｛4｝的前"項和為S"，q=9,a3=l.記

7；=01a24（〃=1,2,.）,下列說法正確的是（）

177

A.數(shù)列何｝的公比為JB.S?>y

C.，存在最大值，但無最小值D.

例79.（多選題）（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列｛?！埃凉M足%>。，公比4>1,且卬出…出*<1，

…。2024>1，則（）

A.。2024>1B.當(dāng)“=2022時，…。“最小

C.當(dāng)〃=1012時，…%最小D.存在“<1012,使得=。”+2

例80.（多選題）（2022?湖南懷化?一模）設(shè)｛4｝（〃eN*）是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，K“是其

KKK

前W項的積，且（<（，6=1>S,則下列選項中成立的是（）

A.0<"1B.a7=1C.K9>K5D.（與￡均為K”的最大值

3

例81.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列｛q｝的前"項和為S,，若q+22=0,$=[，且。WS“4a+2,

則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[-1,0]C.—JD.T,；

題型九：等比數(shù)列的簡單應(yīng)用

例82.（2022?河南?模擬預(yù)測（理））北京2022年冬奧會開幕式用“一朵雨花”的故事連接中國與世界，傳遞

了“人類命運共同體”的理念.“雪花曲線”也叫“科赫雪花”，它是由等邊三角形三邊生成的科赫曲線組成的，

是一種分形幾何.圖1是長度為1的線段，將圖1中的線段三等分，以中間部分的線段為邊，向外作等邊三

角形，再將中間部分的線段去掉得到圖2,這稱為“一次分形”；用同樣的方法把圖2中的每條線段重復(fù)上述

操作，得到圖3,這稱為“二次分形”；L.依次進(jìn)行“〃次分形geN*）”.規(guī)定：一個分形圖中所有線段的

長度之和為該分形圖的長度.若要得到一個長度不小于40的分形圖，則”的最小值是（）（參考數(shù)據(jù)

1g3?0.477,lg2?0.301）

圖1圖2圖3

A.11B.12C.13D.14

例83.（2022?四川?宜賓市教科所三模（理））如圖，作一個邊長為1的正方形，再將各邊的中點相連作第二

個正方形，依此類推，共作了〃個正方形，設(shè)這"個正方形的面積之和為S“，則$5=（）

例84.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在適宜的環(huán)境中，一種細(xì)菌的一部分不斷分裂產(chǎn)生新的細(xì)菌，另一部分

則死亡.為研究這種細(xì)菌的分裂情況，在培養(yǎng)皿中放入加個細(xì)菌，在1小時內(nèi)，有=的細(xì)菌分裂為原來的2

倍，J的細(xì)菌死亡，此時記為第一小時的記錄數(shù)據(jù).若每隔一小時記錄一次細(xì)菌個數(shù)，則細(xì)菌數(shù)超過原來的

4

10倍的記錄時間為第（）

A.6小時末B.7小時末C.8小時末D.9小時末

例85.（2022.海南中學(xué)高三階段練習(xí)）十九世紀(jì)下半葉，集合論的創(chuàng)立莫定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康

托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征.仿照“康托三分集”我們可以構(gòu)造一個“四分集”,

其操作過程如下：將閉區(qū)間［0,1］均分為四段，去掉其中的區(qū)間段記為第一次操作；再將剩下的三個

間1°，91/!41/31］分別均分為四段,并各自去掉第二個區(qū)間段,記為第二次操作；……如此這樣,每次

在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為四段，同樣各自去掉第二個區(qū)間段.操作過程不斷

地進(jìn)行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“四分集”.第三次操作去掉的區(qū)間長度和為;若使去

19

掉的各區(qū)間長度之和不小于V，則需要操作的次數(shù)n的最小值為（參考數(shù)據(jù):1g2。0.30,1g3“0.48）

例86.（2022?全國?華中師大一附中模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%｝為1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,

8,16,其中第一項是2°，接下來的兩項是2°，2、再接下來的三項是2°，21.22,依此規(guī)律類推.若

其前w項和S"=2Y笈eN*）,則稱上