《高等數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》第三章 導(dǎo)數(shù)與微分典型習(xí)題解答與提示

第三章導(dǎo)數(shù)與微分典型習(xí)題解答與提示

習(xí)題3-1

.2x+^x.

,\rnQr—SinSIH——

、，COSIX-rAXYI-COSXOO

1.(cosx)=lim----------------=lim-----------------=-sinx；

△xQ。AX

~T

(j[Q(X+AX)+〃|一(奴+Z?)

(2)(ax-\-b)=lim--------------------=a

')I。AYo

2.⑴A-7%);

(2)A=f(O),這是因?yàn)椋鹤蠖?二："°)=/'(O)；

')a。x-0-

(3)4=2/'(維)，這是因?yàn)椋?/p>

左端=+")一—，)+〃"。一")一/(X。)]=2/,仁)。

2_11616-

r33455

3.(1)y-4x；(2)/=—x；(3)y=-2x-；(4)y=x,/=—xo

4.L>=S'⑵=12m/s。

3

5.(1)所求切線方程為y=—1,法線方程為九=Q?；

(2)所求切線方程為y—g=—x—法線方程為y—g=q)；

(3)所求切線方程為y—l=x,法線方程為y—l=-x。

6.割線斜率為左=江&=%1=4,因?yàn)閥'=2x,令y'=4,得x=2,即拋物線上過(guò)

x2-x}3-1

(2,4)點(diǎn)的切線平行于已知割線。

7.因?yàn)榱?/，令y，=4,得％=±2,^=±',所以過(guò)點(diǎn)2,—|)處的切線平行

于直線y=4x+5,令y'=9,所以x=±3,y=±9,所以過(guò)點(diǎn)(3,9),(-3,—9)處的切線

垂直于已知直線x+9y+3=0。

8.(1)因?yàn)?年.“6=1叫xsin，=O=〃O),故函數(shù)在x=0處為連續(xù)，

.1

f(]-f(O'!xsin..

考慮lim」x—八，=lim----=limsin—不存在，即f'(0)不存在，

7x-02。xx'/

得函數(shù)在x=0處不可導(dǎo)。

(2)因?yàn)?、叫〃犬)=啊產(chǎn)鹿皿!=0=.“0),所以函數(shù)在x=0處為連續(xù)，

2.1

f(x]~XSin-

考慮lim-'=lim----工=0,所以/'(O)=0,即函數(shù)在x=0處可導(dǎo)。

9.令函數(shù)/(x)在x=l處的左極限和右極限相等且等于/(1),則有0+6=1;

令函數(shù)/(X)在x=l處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)相等，可得。=2,所以力=—1。

習(xí)題3-2

1.略。

44--

2.(1)/=6x+—；(2)y'=4x3——x3-2x-3；(3)/=2xcosx-x~0sinx；

X33

⑷八十*2)；⑸上許可；(6)y-

.,2+sinx1x

⑺z“F(8)丁'=優(yōu)tanx+xlnatanxH---；—

cos'x

3.(1)y|=—―；(2)/z(4)=——；

V48v718

317

⑶r(0)=—，r(2)=-；(4)廣(0)=2，/⑴="。

f

4.(1)u=s=uQ-gt；

2i22

(2)令。=0,即f=%。得上升最大高度s=2—'gZ=4L。

gg2g-2g

5.y'=6x?-18x+12=6(x-l)(x-2),令y'=0,得x=l或x=2,這時(shí)對(duì)應(yīng)y=5或

y=4,所以曲線在點(diǎn)(1,5)或(2,4)處有水平的切線。

6.y'=2x+5,令y=3,x=—l,y=0,故b=3,即當(dāng)b=3時(shí)，直線y=3x+3與曲線

y=f+5x+4相切,切點(diǎn)為（一1,0）。

習(xí)題3-3

1.(1)y，=8(2x+5y；(2)/=3sin(4-3x)；(3)y'=-6xe”

2

，2x⑸T-7x

(4)y=T77(6)y'

COSXyja2-x2

1_3

r2x4-1；⑻y=--(i-%2)"(-2%)=X

(7)y

x2+x+l)ln。

2

(9)y=ejcos3x+e(-sin3x)x3—cos3x+3sin3xI；

2J

(10)/=2xsin-+x2cos-2xsin--cos-；

XxXX

f1

（ii）ycosn￥(〃sin"x)+sinnx(〃sin"Tx)cosx=〃sin"xsin(〃+l)x；

(12)y'=COS(『+3I)1+3A2(2X+3)。

2.(1)y'=2/(x)r(x)；

(2)y=r(￡)2x；

(3)y=/"(sin2x)2sinxcosx+ff(cos2x)2cosx(-sinx)

=sin2A[//(sin2x)—//(cos2x)]。

習(xí)題3-4

y=2arcsinx.1

1.(1)⑵"TS

,|x|111

(3)(4)y'—__x____—___一

\Jl-x2y/x2\]x-x2

^arccosTx

,_arc8s忘1

(5)e

y-lyJx-X2

2.當(dāng)x<0時(shí)，/r(x)=cosx；當(dāng)x>0時(shí)，/r(x)=e~x-xe~x=ex(1-x),

=1而皿=l",(o+o)=limlimQ=

(。-。)=!如)""嘰

rx-010X'…X-01?！疿

cosXx<0

所以r(o)=i,故導(dǎo)函數(shù)為/'(X)=<ix=o。

e-A(1-x)x>0

習(xí)題3-5

2

有3V+3y2y-3@一3y=。，故>，=:^——

1.(1)方程兩端對(duì)X求導(dǎo)，6a

ax-y

v-ex+y,cos(x+y),1

(2)⑶J、；⑷",?；

l-cos(x+y)(x+y)

(5)方程兩端對(duì)x求導(dǎo)，有ysinx+ycosx+sin(x—y)(l-/)=0,

ycosx+sin(x-y)

故y'=

sin(x-y)-sinx

2x+2yy'y%-y故廠彗。

(6)方程兩端對(duì)x求導(dǎo),-)x——

x2+?廠

2.(1)y'=『(lnx+l)；

、x/1\

(—In—+—

l+xJIl+x\+x)

(3)In=cotIntan2x,

1,1L-111

所以一y=-------x—Intan2x+cot—x------x--——2,

ysind22tan2xcos"2x

2

、

,,,1/ccot^Intan2xx1

故)二一一(tan2x)x2--------8cot-x-----

2sin二2sin4x

I2)

、i1,1smx.(,sinx

(4)Iny=sinxlnx,所以一y=cosxlnx+---,故LLy=九sinvcosxlnx+----

yxIx

yXJ

(5)y\nx=x\ny,所以y'lnx+t=Iny+—y',故y'=.....—

xyii

/Inx——

y

lny=；1Inx+lnsin%+；ln(l+e")cosx1

(6)----+-x

2sinx2

11

一+cotx+-

x2

cosr-sin/

3.(1)(2)

sinZ+cosZ

,，1———

,、，VcosZ-/sinr,、,yi.>23t

(4)工二匕■=--------------；(5)y=^=―中一二一。

x\1-sinr-rcosr*x"2t2

1+產(chǎn)

4.(1)方程兩端對(duì)x求導(dǎo)，得"、+肘+口=0,將(0,1)代入，得y'=—；，所以所

X

求切線方程為y—1=—士，即x+2y—2=0；

(2)1"=叱，所以工了=匕學(xué)，將?/)代入，得y'=0,所以所求切線方程

xyX

為y=e'；

y，-I1

(3)=-所以ML°=一一，當(dāng)f=0時(shí)，x=2,y=l所以所求切線方程為

x,2e2

y_l=_*_2),

即x+2y-4=0。

習(xí)題3-6

1.(1)=2tanxsec2x；

-a2

(2)/=------

(a2-x

122

（3）y，y+e+-----r-1-r

V77XXX

(4)y=ex+xex2x=ex(l+2x2),yn=eA2x(^1+2x2)+eA4x=ex(6x+4x，；

(5)y'=sinx+xcosx,y"=cosx+cosx+x(-sinx)=2cosx-xsinx；

上召,IJ工;

(6)

-1-x2(1-x2)2(1-x2)2

(7)y'=2xarctanx+Lyn=2arctanxH——；

I1+x2J

[COS~X

(8)y=2cosx(-sinx)lnx4-cos2x—=-sin2xlnxd--------,

xx

“--,sin2x2cosx(-sinx)x-cos2x

y=-2cos2xlnx---------+----------------3------------

xx

_.,2sin2xcos2x

=-2cos2xlnx----------；—。

xr

dsd2s

2.(1)—=Acocos=-Aco2sincot,代入有(一A^sinal+t^AsinduO,驗(yàn)

dtdx~'7

證畢；

(2)y=eAsinx+excosx=er(sinx+cosx),

yn=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=2excosx,

代入有2/cosx-2ex(sinx+cosx)+2exsinx=0,驗(yàn)證畢；

Axxn2Ax2Ax

(3)/=c^e-c2^e\y=c}Ae+c2Ae-,

Ax

代入有(￡%26心+c2Are)-+qe*)=0,驗(yàn)證畢。

3.(1)ym=xsinx-3cosx；

xr~

(2)y--3—；

(3)/=3x2Inx+x2,^=6xInx+3x+2x=6xInx+5x,yfff=6\nx+6+5,y(h=—；

x

(4)yr=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx),

yn=ex(cosx-sinx)+e'(—sinx—cosx)=-2exsinx,

ym=-2/sinx-2excosx=-2e'(sinx+cosx)，

y4)=-2e"(sinx+cosx)一2ex(cosx-sinx)=-4evcosx。

(n)

4.(1)y=coslx+

(3)y=—?—r,y=2!—=―一i~r；

)(1—(l—x)(I-%)4(l-%)"+，

(4)yr=ex+xe=(1+x),

yn=ex(l+x)+ex=ex(2+x),

y"=，(2+x)+ex=ex(3+x),

嚴(yán)=d(〃+x)；

⑸y+L-y,T，

產(chǎn)=（一1）"（〃一2）擊（〃22）。

習(xí)題3-7

因?yàn)閥'=3V—1,

當(dāng)Ax=l時(shí)，△y=[(2+l)3-(2+l)]-(23-2)=18,

辦=(3/-1)[AX=11；

當(dāng)Ax=0.1時(shí)，ay=[(2+0.1丫一(2+0.1)]—(23—2)=1.161,

6=(3%2_1)|=2△%=1.1；

當(dāng)乙工二。.。1時(shí)，ay=[(2+0.01)3—(2+0.01)]—(23—2)=0.110601,

dy=(3/-1)|尸23工=0.11o

2.(1)力=(sin2x+2xcos2x)dx；(2)dy=ex(cosx-sinx)公:

dy=/=dx；.lnx-1.

(3)(4)dy=——-——dx；

27r77In-x

,1,

(5)dy=--------ax；(6)dy=sin(cosx)sinxdx；

"+1)5

2/、

(7)dy=21n(l-x)—-—(-l)6tc=―—-\n[l-x)dx；

1x

11」]公=-1

(8)dy=___________x__________dx；

1+(1-Inx)2yjl-\nxX)2x(2-lnx)Jl-lnx

/、1,ydx-xdy八/口，y

(9)—dy------；~~-=0,得Cy=-----dx；

yy-y+x

1+y

(10)e-dy-dx=ydx+xdy,得...-dx；

ey-x

―y/xdx-Inx-dx13,\、

(11)lny=,得一-----------——,故辦=——Inx；

y/xyxk2J

(12)Iny=sinxln(l+12),

得，力=In(1+丁)dsin元+sinxdIn(1+1)=cosxln(l+x2)+sin2x

Xdx

y.TT7

2x

所以力=(1+月)'cosxln(l+x2)+sin

~~7dxo

1+X

3.(1)In|x+l|+c；(2)—+c；(3)G+c；(4)sinx+cosx+c；

x

2t32

(5)-e-+c-,(6)—tan3x4-c；(7)arcsinx+c；(8)—x+—x+x+co

2332

7171

4.(1)提示：tan29=tan,tan29?0.5541；

(2)提示：病=#64+1,病b2.0052；

(3)arcsin0.54?arcsin0.5+—=-------x0.04?0.5695；

Jl-(OS),

(4)arctan1.02?arctan1+—2x0.02?0.7954；

l+l2

(5)lnl.01?lnl+-x0.01=0.01；

1

(6)優(yōu)仁/+/>0.08=1.08。

*習(xí)題3-8

1.(1)Limit[(l+Sin[2x])/(l-Cos[4x]),x-?Pi/4]

1

(2)Limit[(l+Cos[x])A(3Sec[x]),x->Pi/2]

(3)Limit[Log[Sin[x]]/(Pi-2x)2,xfPi/2]

-8

(4)Limit[xA2*EA(l/xA2),x->0]

00

(5)Limit[5x'2/(1-x人2)+2A(1/x),xfInfinity]

-4

(6)Limit[(xA2-2x+1)/(xA3-x),x1]

0

(7)Limit[(Sqrt[1+x]—l)/x,x0]

J_

2

(8)Limitl(l-2Cos[x])/Sin[x-Pi/3],x.Pi/3]

出

(9)Umit[(l/x)ATan[x],x—>0,Direction—>-l]

1

2.(1)D[(Sqrt[x]+1).(1/Sqrt[x]-1),x]

(2)D[x*Sin[x]*Log[x],x]

xCos[x]Log[x]+Sin[x]+Log[x]Sin[x]

(3)D[2(Sin[l/xA2)2,x]

8Cos-4

Sinj

x-x

(4)D[Log[x+Sqrt[xA2+aA2]],x]

1

Va2+x2

3.(1)D[4t,t]/D(t-4,t]

J_

t3

(2)D[t-AicTan[t],t]/D[Lt)g[1+tA2j,t]

2t

4.略。

復(fù)習(xí)題三

1.(1)從1S到(1+.J)S上的平均速度為

/7(1+A/)—A(l)1[,\1/一，1

方=△----<_-410(1+△/)一g(l+△巾-10-g

4t212

MlO-g-^gU；

(2)/=ls,即時(shí)速度為匕=|=U"b=UEi110-g-gg」)=10-g；

(3)u==[10?+A/)—gg(/+AZ)]—[10]一;g/>

=lin^(10-g/-gg~1=l()_g/；

(4)令u=0,得f=Ws；

S

20

(5)定義域0,—。

_g_

2.割線AB的斜率為3,.=(X+?)_±L=2X+AXL=4+AX,

AxAx

故(1)Ar=l,kA[i=5；(2)Ar=0.1,kAB=4.1；

(3)Ar=0.01,g=4.01（4）當(dāng)Arf0時(shí)，便得A點(diǎn)切線斜率的=40

2r-3

3.因?yàn)閂=2x=4,已知直線斜率攵2=3,由兩直線夾角公式可得tan45=——=1

1+2xx3

故x=T或無(wú)所以所求點(diǎn)為（—1,1）或

4.(1)因?yàn)?呻/(%)=1叩(2]-1)=1,1呻〃%)=1呻％2=1,且〃1)=1,

所以有叫"(％)=/⑴，即函數(shù)在x=l處連續(xù)，

又因?yàn)榱?(1-0)=lim'(X)-/⑴=lim(21"=2,

XfX—1X—1

/(1+0)=lim/(*)-/⑴=lim=lim-yJ—=

IX—\IX—\—Jx+12

所以/'(1)不存在；

(2)因?yàn)閘hpf(x)=li畀sinx=O,l年/(%)=哺％=0,且/(0)=0,

所以有1期/(同=/(0),即函數(shù)在x=0處連續(xù)，

又因?yàn)榱?(0—0)=!山^^=1,/'(0+0)=!5W=i,所以,(0)=1；

，T。x0.IT。x0

(3)因?yàn)?lim(九-1)=0,lim/(x)=limlnx=0,

且〃1)=0,故有l(wèi)im/(x)=/⑴，即函數(shù)在x=l處連續(xù),

又因?yàn)槭?1—0)=1卯二;。)=i呻x-1

x-1

Inx[.ln(l+r)

r(i+0)=5⑴lim----令x—lim------

x-lx-1/->0

=limln(l+r)'=1,得廣⑴=1。

1I11

5.(1)y=-------x—x-=

xsinx

tan—cos2f2

22

11.11

(2)y'—x——x1+

2X-\-\[x2>/xJ

11-sinx(l-cosx)-(l+cosx)sinx-sinJC

(3)y'=-X—X

21+cosx(1-cosx)-A/1+COSX(1-cos療

1-COSX

11111

(4)y'=---------------x——X--------------;

12(1+x)2-+2尢+2

arctan-----i+1arctan一

x+11+xx+1

1

(5)y'x21n(ln3x)—x31n2x—=6---------―--r；

In2(in3x)7Inxxxlnxln(lnxj

.arcsinx

-sin----------

arcsinx112

(6)yr=-sinX—X—=-------

222Vl-x2

、

1xa211x+〃2

(7)y=+x-----=H----x-------.=X1+■,

,22222

272x+y/x+a、\/x+a

—y/x2-1_Inxx

12xxyjx2-1_%In%

-------7----------rX—X—p

y'=2T

1+(-V2-1)25/x2-1x一

一5(1+4)-(1-4)泰

y'

_sin(Ay)(y+A/)=l,得y'=一!1

6.(1)—7—r+y；

JCsin(M

(2)5/y+2y-l-21x6=0,得=

(3)1-/+—cosyy=09得y，=----p-----

」1——cosy

2

x故了=-上工

(4)y'e+ye'+-y'^0,

y1+ye'

sinx+—+

(5)^Unx+—+(y+xyr)=-sinx,故了_____%

Inx+W

x

ln(l+x)*J,l+x-nO+x)-ln(l+x)

,得y=（i+x＞任工

(6)Iny=---------所以一y=2

xyXx2

令〃=〃故，〃'=(

(7)￡[ln=2xlnx,2lnx+l),

所以"=2x2t(In1),即y'=2x2v(lnx+l)+l；

乂J-3『

(8)

x\-It

y\-2sin2t..

(9)=—=----------=-2sint。

f

xt2cos，

7.(1)y=2cosx+2x,故乂=。=2,且九=0,y=0,即所求的切線方程為y=2x；

得且％=即所求的切線方程為(

(2)y=l+J,y[z=2,±1,)=0,y=2x±l,

1

(3)e'y'-（y+孫'）=0，因x=。,y=l，代入得y'

即所求切線為y-l='x,即x-ey+e=0；

e

wc—八7i，y：sinr-Z:sinkt/日川八

(4)當(dāng)U0時(shí)，》=°，…+1，％=耳=日⑻+立。5無(wú)‘得弘」"。二°'

即所求切線為y=Z+l。

2-(3+21nr)

,y't2g，小、乂k——3+21nf?InZ+1,,

8.y=^~7=—7\----八c'=t,將x,y,y代入關(guān)系式，有--------1=2—；—1~+1

xx,r-(hn+1)2f-tt2

恒成立。

[13

9.(1)2yy'+2-y'=4x\所以y'=^

yV+1

”=(3￡)，+￡)/)旨+1)-心2亞=產(chǎn)y+y—jb+i)-4y+]

-

，一(7^y(7^r

(2)y=-

(3)y=2cosx(-sinx)ex+cos2xex=(cos2x-sin2x)ex,

y"=(—sin2x_2cos2x)ex+(cos2x-sin2x)e*

=(cos2x-2sin2x-2cos2x)ex；

(4)叫?T)

y"冊(cè)<=2x

(5)y=4sin3xcosx+4cos3x(-sinx)=2sin2x(sin2x-cos2x)=-sin4x,

y"=-4cos4x；

(6)y'=----c