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文檔簡介
2024屆阜陽潁南中學(xué)中考聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)1.若2<<3,則a的值可以是()A.﹣7 B. C. D.122.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分別與⊙O相切于E,F(xiàn),G三點(diǎn),過點(diǎn)D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)M,切點(diǎn)為N,則DM的長為()A. B. C. D.3.由4個(gè)相同的小立方體搭成的幾何體如圖所示,則它的主視圖是()A.B.C.D.4.某射擊選手10次射擊成績統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表,這10次成績的眾數(shù)、中位數(shù)分別是()成績(環(huán))78910次數(shù)1432A.8、8 B.8、8.5 C.8、9 D.8、105.如圖,為等邊三角形,要在外部取一點(diǎn),使得和全等,下面是兩名同學(xué)做法:()甲:①作的角平分線;②以為圓心,長為半徑畫弧,交于點(diǎn),點(diǎn)即為所求;乙:①過點(diǎn)作平行于的直線;②過點(diǎn)作平行于的直線,交于點(diǎn),點(diǎn)即為所求.A.兩人都正確 B.兩人都錯(cuò)誤 C.甲正確,乙錯(cuò)誤 D.甲錯(cuò)誤,乙正確6.如圖,把一個(gè)直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上,若∠1=50°,則∠2=()A.20° B.30° C.40° D.50°7.鄭州某中學(xué)在備考2018河南中考體育的過程中抽取該校九年級20名男生進(jìn)行立定跳遠(yuǎn)測試,以便知道下一階段的體育訓(xùn)練,成績?nèi)缦滤荆撼煽儯▎挝唬好祝?2.302.352.402.452.50人數(shù)23245211則下列敘述正確的是()A.這些運(yùn)動(dòng)員成績的眾數(shù)是5B.這些運(yùn)動(dòng)員成績的中位數(shù)是2.30C.這些運(yùn)動(dòng)員的平均成績是2.25D.這些運(yùn)動(dòng)員成績的方差是0.07258.如圖是一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課制作的一個(gè)轉(zhuǎn)盤,盤面被等分成四個(gè)扇形區(qū)域,并分別標(biāo)有數(shù)字6、7、8、1.若轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次,轉(zhuǎn)盤停止后(當(dāng)指針恰好指在分界線上時(shí),不記,重轉(zhuǎn)),指針?biāo)竻^(qū)域的數(shù)字是奇數(shù)的概率為()A.12 B.14 C.19.函數(shù)y=ax2與y=﹣ax+b的圖象可能是()A. B.C. D.10.已知二次函數(shù)y=x2﹣4x+m的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),則線段AB的長為()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11.中國人最先使用負(fù)數(shù),魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在“正負(fù)術(shù)”的注文中指出,可將算籌(小棍形狀的記數(shù)工具)正放表示正數(shù),斜放表示負(fù)數(shù).如圖,根據(jù)劉徽的這種表示法,觀察圖①,可推算圖②中所得的數(shù)值為_____.12.甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā),相向行駛,已知甲車的速度大于乙車的速度,甲車到達(dá)B地后馬上以另一速度原路返回A地(掉頭的時(shí)間忽略不計(jì)),乙車到達(dá)A地以后即停在地等待甲車.如圖所示為甲乙兩車間的距離y(千米)與甲車的行駛時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)圖象,則當(dāng)乙車到達(dá)A地的時(shí)候,甲車與A地的距離為_____千米.13.當(dāng)a,b互為相反數(shù),則代數(shù)式a2+ab﹣2的值為_____.14.如圖,邊長為4的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)E是弧AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合),點(diǎn)F是弧BC上的一點(diǎn),連接OE,OF,分別與交AB,BC于點(diǎn)G,H,且∠EOF=90°,連接GH,有下列結(jié)論:①弧AE=弧BF;②△OGH是等腰直角三角形;③四邊形OGBH的面積隨著點(diǎn)E位置的變化而變化;④△GBH周長的最小值為4+2.其中正確的是_____.(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上)15.如圖,為了測量某棵樹的高度,小明用長為2m的竹竿做測量工具,移動(dòng)竹竿,使竹竿、樹的頂端的影子恰好落在地面的同一點(diǎn).此時(shí),竹竿與這一點(diǎn)距離相距6m,與樹相距15m,則樹的高度為_________m.16.如圖,點(diǎn)E在正方形ABCD的邊CD上.若△ABE的面積為8,CE=3,則線段BE的長為_______.17.如圖,點(diǎn)A、B、C是⊙O上的三點(diǎn),且△AOB是正三角形,則∠ACB的度數(shù)是。三、解答題(共7小題,滿分69分)18.(10分)如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,點(diǎn)O在邊AB上,以點(diǎn)O為圓心,OA為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C,過點(diǎn)C作直線MN,使∠BCM=2∠A.判斷直線MN與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;若OA=4,∠BCM=60°,求圖中陰影部分的面積.19.(5分)已知拋物線y=ax2+bx+c.(Ⅰ)若拋物線的頂點(diǎn)為A(﹣2,﹣4),拋物線經(jīng)過點(diǎn)B(﹣4,0)①求該拋物線的解析式;②連接AB,把AB所在直線沿y軸向上平移,使它經(jīng)過原點(diǎn)O,得到直線l,點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn).設(shè)以點(diǎn)A,B,O,P為頂點(diǎn)的四邊形的面積為S,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,當(dāng)4+6≤S≤6+8時(shí),求x的取值范圍;(Ⅱ)若a>0,c>1,當(dāng)x=c時(shí),y=0,當(dāng)0<x<c時(shí),y>0,試比較ac與l的大小,并說明理由.20.(8分)在數(shù)學(xué)上,我們把符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)所形成的圖形叫做滿足該條件的點(diǎn)的軌跡.例如:動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足(m,m﹣1),所有符合該條件的點(diǎn)組成的圖象在平面直角坐標(biāo)系xOy中就是一次函數(shù)y=x﹣1的圖象.即點(diǎn)P的軌跡就是直線y=x﹣1.(1)若m、n滿足等式mn﹣m=6,則(m,n﹣1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中的軌跡是;(2)若點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)A(0,1)的距離與到直線y=﹣1的距離相等,求點(diǎn)P的軌跡;(3)若拋物線y=上有兩動(dòng)點(diǎn)M、N滿足MN=a(a為常數(shù),且a≥4),設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q,求點(diǎn)Q到x軸的最短距離.21.(10分)如圖,以D為頂點(diǎn)的拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,直線BC的表達(dá)式為y=﹣x+1.求拋物線的表達(dá)式;在直線BC上有一點(diǎn)P,使PO+PA的值最小,求點(diǎn)P的坐標(biāo);在x軸上是否存在一點(diǎn)Q,使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似?若存在,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.22.(10分)為營造濃厚的創(chuàng)建全國文明城市氛圍,東營市某中學(xué)委托制衣廠制作“最美東營人”和“最美志愿者”兩款文化衫.若制作“最美東營人”文化衫2件,“最美志愿者”文化衫3件,共需90元;制作“最美東營人”文化衫3件,“最美志愿者”5件,共需145元.(1)求“最美東營人”和“最美志愿者”兩款文化衫每件各多少元?(2)若該中學(xué)要購進(jìn)“最美東營人”和“最美志愿者”兩款文化衫共90件,總費(fèi)用少于1595元,并且“最美東營人”文化衫的數(shù)量少于“最美志愿者”文化衫的數(shù)量,那么該中學(xué)有哪幾種購買方案?23.(12分)如圖,菱形中,分別是邊的中點(diǎn).求證:.24.(14分)(1)計(jì)算:(a-b)2-a(a-2b);(2)解方程:=.
參考答案一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)1、C【解析】
根據(jù)已知條件得到4<a-2<9,由此求得a的取值范圍,易得符合條件的選項(xiàng).【詳解】解:∵2<<3,∴4<a-2<9,∴6<a<1.又a-2≥0,即a≥2.∴a的取值范圍是6<a<1.觀察選項(xiàng),只有選項(xiàng)C符合題意.故選C.【點(diǎn)睛】考查了估算無理數(shù)的大小,估算無理數(shù)大小要用夾逼法.2、A【解析】試題解析:連接OE,OF,ON,OG,在矩形ABCD中,∵∠A=∠B=90°,CD=AB=4,∵AD,AB,BC分別與⊙O相切于E,F(xiàn),G三點(diǎn),∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°,∴四邊形AFOE,F(xiàn)BGO是正方形,∴AF=BF=AE=BG=2,∴DE=3,∵DM是⊙O的切線,∴DN=DE=3,MN=MG,∴CM=5-2-MN=3-MN,在Rt△DMC中,DM2=CD2+CM2,∴(3+NM)2=(3-NM)2+42,∴NM=,∴DM=3+=,故選B.考點(diǎn):1.切線的性質(zhì);3.矩形的性質(zhì).3、A【解析】試題分析:幾何體的主視圖有2列,每列小正方形數(shù)目分別為2,1.故選A.考點(diǎn):三視圖視頻4、B【解析】
根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解.【詳解】由表可知,8環(huán)出現(xiàn)次數(shù)最多,有4次,所以眾數(shù)為8環(huán);這10個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為第5、6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù),即中位數(shù)為=8.5(環(huán)),故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的知識(shí),一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù);將一組數(shù)據(jù)按照從小到大(或從大到?。┑捻樞蚺帕?,如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù),則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù),則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).5、A【解析】
根據(jù)題意先畫出相應(yīng)的圖形,然后進(jìn)行推理論證即可得出結(jié)論.【詳解】甲的作法如圖一:∵為等邊三角形,AD是的角平分線∴由甲的作法可知,在和中,故甲的作法正確;乙的作法如圖二:在和中,故乙的作法正確;故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要借助尺規(guī)作圖考查全等三角形的判定,掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.6、C【解析】
由兩直線平行,同位角相等,可求得∠3的度數(shù),然后求得∠2的度數(shù).【詳解】∵∠1=50°,∴∠3=∠1=50°,∴∠2=90°?50°=40°.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì),熟悉掌握性質(zhì)是關(guān)鍵.7、B【解析】
根據(jù)方差、平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的計(jì)算公式和定義分別對每一項(xiàng)進(jìn)行分析,即可得出答案.【詳解】由表格中數(shù)據(jù)可得:A、這些運(yùn)動(dòng)員成績的眾數(shù)是2.35,錯(cuò)誤;B、這些運(yùn)動(dòng)員成績的中位數(shù)是2.30,正確;C、這些運(yùn)動(dòng)員的平均成績是2.30,錯(cuò)誤;D、這些運(yùn)動(dòng)員成績的方差不是0.0725,錯(cuò)誤;故選B.【點(diǎn)睛】考查了方差、平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù),熟練掌握定義和計(jì)算公式是本題的關(guān)鍵,平均數(shù)平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的平均程度.中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大(或從大到小)重新排列后,最中間的那個(gè)數(shù)(或最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù));方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量.8、A【解析】
轉(zhuǎn)盤中4個(gè)數(shù),每轉(zhuǎn)動(dòng)一次就要4種可能,而其中是奇數(shù)的有2種可能.然后根據(jù)概率公式直接計(jì)算即可【詳解】奇數(shù)有兩種,共有四種情況,將轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)一次,求得到奇數(shù)的概率為:P(奇數(shù))=24=1【點(diǎn)睛】此題主要考查了幾何概率,正確應(yīng)用概率公式是解題關(guān)鍵.9、B【解析】選項(xiàng)中,由圖可知:在,;在,,∴,所以A錯(cuò)誤;選項(xiàng)中,由圖可知:在,;在,,∴,所以B正確;選項(xiàng)中,由圖可知:在,;在,,∴,所以C錯(cuò)誤;選項(xiàng)中,由圖可知:在,;在,,∴,所以D錯(cuò)誤.故選B.點(diǎn)睛:在函數(shù)與中,相同的系數(shù)是“”,因此只需根據(jù)“拋物線”的開口方向和“直線”的變化趨勢確定出兩個(gè)解析式中“”的符號(hào),看兩者的符號(hào)是否一致即可判斷它們在同一坐標(biāo)系中的圖象情況,而這與“b”的取值無關(guān).10、B【解析】
先將點(diǎn)A(1,0)代入y=x2﹣4x+m,求出m的值,將點(diǎn)A(1,0)代入y=x2﹣4x+m,得到x1+x2=4,x1?x2=3,即可解答【詳解】將點(diǎn)A(1,0)代入y=x2﹣4x+m,得到m=3,所以y=x2﹣4x+3,與x軸交于兩點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),b(x2,y2)∴x2﹣4x+3=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,∴x1+x2=4,x1?x2=3,∴AB=|x1﹣x2|==2;故選B.【點(diǎn)睛】此題考查拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),解題關(guān)鍵在于將已知點(diǎn)代入.二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11、【解析】試題分析:根據(jù)有理數(shù)的加法,可得圖②中表示(+2)+(﹣5)=﹣1,故答案為﹣1.考點(diǎn):正數(shù)和負(fù)數(shù)12、630【解析】分析:兩車相向而行5小時(shí)共行駛了900千米可得兩車的速度之和為180千米/時(shí),當(dāng)相遇后車共行駛了720千米時(shí),甲車到達(dá)B地,由此則可求得兩車的速度.再根據(jù)甲車返回到A地總用時(shí)16.5小時(shí),求出甲車返回時(shí)的速度即可求解.詳解:設(shè)甲車,乙車的速度分別為x千米/時(shí),y千米/時(shí),甲車與乙車相向而行5小時(shí)相遇,則5(x+y)=900,解得x+y=180,相遇后當(dāng)甲車到達(dá)B地時(shí)兩車相距720千米,所需時(shí)間為720÷180=4小時(shí),則甲車從A地到B需要9小時(shí),故甲車的速度為900÷9=100千米/時(shí),乙車的速度為180-100=80千米/時(shí),乙車行駛900-720=180千米所需時(shí)間為180÷80=2.25小時(shí),甲車從B地到A地的速度為900÷(16.5-5-4)=120千米/時(shí).所以甲車從B地向A地行駛了120×2.25=270千米,當(dāng)乙車到達(dá)A地時(shí),甲車離A地的距離為900-270=630千米.點(diǎn)睛:利用函數(shù)圖象解決實(shí)際問題,其關(guān)鍵在于正確理解函數(shù)圖象橫,縱坐標(biāo)表示的意義,抓住交點(diǎn),起點(diǎn).終點(diǎn)等關(guān)鍵點(diǎn),理解問題的發(fā)展過程,將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,從而將這個(gè)數(shù)學(xué)問題變化為解答實(shí)際問題.13、﹣1.【解析】分析:由已知易得:a+b=0,再把代數(shù)式a1+ab-1化為為a(a+b)-1即可求得其值了.詳解:∵a與b互為相反數(shù),∴a+b=0,∴a1+ab-1=a(a+b)-1=0-1=-1.故答案為:-1.點(diǎn)睛:知道“互為相反數(shù)的兩數(shù)的和為0”及“能夠把a(bǔ)1+ab-1化為為a(a+b)-1”是正確解答本題的關(guān)鍵.14、①②④【解析】
①根據(jù)ASA可證△BOE≌△COF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=CF,根據(jù)等弦對等弧得到,可以判斷①;
②根據(jù)SAS可證△BOG≌△COH,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠GOH=90°,OG=OH,根據(jù)等腰直角三角形的判定得到△OGH是等腰直角三角形,可以判斷②;
③通過證明△HOM≌△GON,可得四邊形OGBH的面積始終等于正方形ONBM的面積,可以判斷③;
④根據(jù)△BOG≌△COH可知BG=CH,則BG+BH=BC=4,設(shè)BG=x,則BH=4-x,根據(jù)勾股定理得到GH==,可以求得其最小值,可以判斷④.【詳解】解:①如圖所示,
∵∠BOE+∠BOF=90°,∠COF+∠BOF=90°,
∴∠BOE=∠COF,
在△BOE與△COF中,,
∴△BOE≌△COF,
∴BE=CF,
∴,①正確;
②∵OC=OB,∠COH=∠BOG,∠OCH=∠OBG=45°,
∴△BOG≌△COH;
∴OG=OH,∵∠GOH=90°,
∴△OGH是等腰直角三角形,②正確.③如圖所示,
∵△HOM≌△GON,
∴四邊形OGBH的面積始終等于正方形ONBM的面積,③錯(cuò)誤;
④∵△BOG≌△COH,
∴BG=CH,
∴BG+BH=BC=4,
設(shè)BG=x,則BH=4-x,
則GH==,
∴其最小值為4+2,④正確.
故答案為:①②④【點(diǎn)睛】考查了圓的綜合題,關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì),等弦對等弧,等腰直角三角形的判定,勾股定理,面積的計(jì)算,綜合性較強(qiáng).15、7【解析】設(shè)樹的高度為m,由相似可得,解得,所以樹的高度為7m16、5.【解析】
試題解析:過E作EM⊥AB于M,∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=BC=CD=AB,∴EM=AD,BM=CE,∵△ABE的面積為8,∴×AB×EM=8,解得:EM=4,即AD=DC=BC=AB=4,∵CE=3,由勾股定理得:BE==5.考點(diǎn):1.正方形的性質(zhì);2.三角形的面積;3.勾股定理.17、30°【解析】試題分析:圓周角定理:同弧或等弧所對的圓周角相等,均等于所對圓心角的一半.∵△AOB是正三角形∴∠AOB=60°∴∠ACB=30°.考點(diǎn):圓周角定理點(diǎn)評:本題屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題,只需學(xué)生熟練掌握圓周角定理,即可完成.三、解答題(共7小題,滿分69分)18、(1)相切;(2).【解析】試題分析:(1)MN是⊙O切線,只要證明∠OCM=90°即可.(2)求出∠AOC以及BC,根據(jù)S陰=S扇形OAC﹣S△OAC計(jì)算即可.試題解析:(1)MN是⊙O切線.理由:連接OC.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A,∠BCM=2∠A,∴∠BCM=∠BOC,∵∠B=90°,∴∠BOC+∠BCO=90°,∴∠BCM+∠BCO=90°,∴OC⊥MN,∴MN是⊙O切線.(2)由(1)可知∠BOC=∠BCM=60°,∴∠AOC=120°,在RT△BCO中,OC=OA=4,∠BCO=30°,∴BO=OC=2,BC=2∴S陰=S扇形OAC﹣S△OAC=.考點(diǎn):直線與圓的位置關(guān)系;扇形面積的計(jì)算.19、(Ⅰ)①y=x2+3x②當(dāng)3+6≤S≤6+2時(shí),x的取值范圍為是≤x≤或≤x≤(Ⅱ)ac≤1【解析】
(I)①由拋物線的頂點(diǎn)為A(-2,-3),可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)2-3,代入點(diǎn)B的坐標(biāo)即可求出a值,此問得解,②根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式,進(jìn)而可求出直線l的解析式,分點(diǎn)P在第二象限及點(diǎn)P在第四象限兩種情況考慮:當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí),x<0,通過分割圖形求面積法結(jié)合3+6≤S≤6+2,即可求出x的取值范圍,當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí),x>0,通過分割圖形求面積法結(jié)合3+6≤S≤6+2,即可求出x的取值范圍,綜上即可得出結(jié)論,(2)由當(dāng)x=c時(shí)y=0,可得出b=-ac-1,由當(dāng)0<x<c時(shí)y>0,可得出拋物線的對稱軸x=≥c,進(jìn)而可得出b≤-2ac,結(jié)合b=-ac-1即可得出ac≤1.【詳解】(I)①設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)2﹣3,∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B(﹣3,0),∴0=a(﹣3+2)2﹣3,解得:a=1,∴該拋物線的解析式為y=(x+2)2﹣3=x2+3x.②設(shè)直線AB的解析式為y=kx+m(k≠0),將A(﹣2,﹣3)、B(﹣3,0)代入y=kx+m,得:,解得:,∴直線AB的解析式為y=﹣2x﹣2.∵直線l與AB平行,且過原點(diǎn),∴直線l的解析式為y=﹣2x.當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí),x<0,如圖所示.S△POB=×3×(﹣2x)=﹣3x,S△AOB=×3×3=2,∴S=S△POB+S△AOB=﹣3x+2(x<0).∵3+6≤S≤6+2,∴,即,解得:≤x≤,∴x的取值范圍是≤x≤.當(dāng)點(diǎn)P′在第四象限時(shí),x>0,過點(diǎn)A作AE⊥x軸,垂足為點(diǎn)E,過點(diǎn)P′作P′F⊥x軸,垂足為點(diǎn)F,則S四邊形AEOP′=S梯形AEFP′﹣S△OFP′=?(x+2)﹣?x?(2x)=3x+3.∵S△ABE=×2×3=3,∴S=S四邊形AEOP′+S△ABE=3x+2(x>0).∵3+6≤S≤6+2,∴,即,解得:≤x≤,∴x的取值范圍為≤x≤.綜上所述:當(dāng)3+6≤S≤6+2時(shí),x的取值范圍為是≤x≤或≤x≤.(II)ac≤1,理由如下:∵當(dāng)x=c時(shí),y=0,∴ac2+bc+c=0,∵c>1,∴ac+b+1=0,b=﹣ac﹣1.由x=c時(shí),y=0,可知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(c,0).把x=0代入y=ax2+bx+c,得y=c,∴拋物線與y軸的交點(diǎn)為(0,c).∵a>0,∴拋物線開口向上.∵當(dāng)0<x<c時(shí),y>0,∴拋物線的對稱軸x=﹣≥c,∴b≤﹣2ac.∵b=﹣ac﹣1,∴﹣ac﹣1≤﹣2ac,∴ac≤1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次(一次)函數(shù)解析式、三角形的面積、梯形的面積、解一元一次不等式組、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是:(1)①巧設(shè)頂點(diǎn)式,代入點(diǎn)B的坐標(biāo)求出a值,②分點(diǎn)P在第二象限及點(diǎn)P在第四象限兩種情況找出x的取值范圍,(2)根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),找出b=-ac-1及b≤-2ac.20、(1);(2)y=x2;(3)點(diǎn)Q到x軸的最短距離為1.【解析】
(1)先判斷出m(n﹣1)=6,進(jìn)而得出結(jié)論;(2)先求出點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離和點(diǎn)P到直線y=﹣1的距離建立方程即可得出結(jié)論;(3)設(shè)出點(diǎn)M,N的坐標(biāo),進(jìn)而得出點(diǎn)Q的坐標(biāo),利用MN=a,得出,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)設(shè)m=x,n﹣1=y,∵mn﹣m=6,∴m(n﹣1)=6,∴xy=6,∴∴(m,n﹣1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中的軌跡是故答案為:;(2)∴點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)A(0,1),∴點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)A(0,1)的距離的平方為x2+(y﹣1)2,∵點(diǎn)P(x,y)到直線y=﹣1的距離的平方為(y+1)2,∵點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)A(0,1)的距離與到直線y=﹣1的距離相等,∴x2+(y﹣1)2=(y+1)2,∴(3)設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b,M(x1,y1),N(x2,y2),∴線段MN的中點(diǎn)為Q的縱坐標(biāo)為∴∴x2﹣4kx﹣4b=0,∴x1+x2=4k,x1x2=﹣4b,∴∴∴∴點(diǎn)Q到x軸的最短距離為1.【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題,主要考查了點(diǎn)的軌跡的定義,兩點(diǎn)間的距離公式,中點(diǎn)坐標(biāo)公式公式,根與系數(shù)的關(guān)系,確定出是解本題的關(guān)鍵.21、(1)y=﹣x2+2x+1;(2)P(,);(1)當(dāng)Q的坐標(biāo)為(0,0)或(9,0)時(shí),以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似.【解析】
(1)先求得點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo),然后將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于b、c的方程,從而可求得b、c的值;(2)作點(diǎn)O關(guān)于BC的對稱點(diǎn)O′,則O′(1,1),則OP+AP的最小值為AO′的長,然后求得AO′的解析式,最后可求得點(diǎn)P的坐標(biāo);(1)先求得點(diǎn)D的坐標(biāo),然后求得CD、BC、BD的長,依據(jù)勾股定理的逆定理證明△BCD為直角三角形,然后分為△AQC∽△DCB和△ACQ∽△DCB兩種情況求解即可.【詳解】(1)把x=0代入y=﹣x+1,得:y=1,∴C(0,1).把y=0代入y=﹣x+1得:x=1,∴B(1,0),A(﹣1,0).將C(0,1)、B(1,0)代入y=﹣x2+bx+c得:,解得b=2,c=1.∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+1.(2)如圖所示:作點(diǎn)O關(guān)于BC的對稱點(diǎn)O′,則O′(1,1).∵O′與O關(guān)于BC對稱,∴PO=PO′.∴OP+AP=O′P+AP≤AO′.∴OP+AP的最小值=O′A==2.O′A的方程為y=P點(diǎn)滿足解得:所以P(,)(1)y=﹣x2+2x+1=﹣(x﹣1)2+4,∴D(1,4).又∵C(0,1,B(1,0),∴CD=,BC=1,DB=2.∴CD2+CB2=BD2,∴∠DCB=90°.∵A(﹣1,0),C(0,1),∴OA=1,CO=1.∴.又∵∠AOC=DCB=90°,∴△AOC∽△DCB.∴當(dāng)Q的坐標(biāo)為(0,0)時(shí),△AQC∽△DCB.如圖所示:連接AC,過點(diǎn)C作CQ⊥AC,交x軸與點(diǎn)Q.∵△ACQ為直角三角形,CO⊥AQ,∴△ACQ∽△AOC.又∵△AOC∽△DCB,∴△ACQ∽△DCB.∴,即,解得:AQ=3.∴Q(9,0).綜上所述,當(dāng)Q的坐標(biāo)為(0,0)或(9,0)時(shí),以A、C
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