2021年(新高考Ⅰ卷)高考數(shù)學(xué)試題試卷(解析版)

2021年高考數(shù)學(xué)真題試卷(新高考I卷)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。(共8題；共40分)

1.設(shè)集合A={x|-2<x<4}.B={2,3,4,5},則AnB=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4,}D.{2,3,4}

【答案】B

【考點】交集及其運算

【解析】【解答】解：根據(jù)交集的定義易知ACB是求集合A與集合B的公共元素，即{2,3},

故答案為：B

【分析】根據(jù)交集的定義直接求解即可.

2.已知z=2-i,貝U(一=()

母+i)

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【答案】C

【考點】復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算

【解析】【解答】解:

a

z(z+0=S(2-X)(2+2?)=4+4/-2i-2t=6+2i

故答案為：c

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算，結(jié)合共規(guī)復(fù)數(shù)的定義求解即可.

3.已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為()

A.2B.2C.4D.4

【答案】B

【考點】旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺)

【解析】【解答】解：根據(jù)底面周長等于側(cè)面展開圖弧長，設(shè)母線為I,底面半徑為r,則有

2兀「=券血

解得

I=2r=2。

故答案為：B

【分析】根據(jù)底面周長等于側(cè)面展開圖弧長，結(jié)合圓的周長公式與扇形的弧長公式求解即可.

4.下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=7sin()單調(diào)遞增的區(qū)間是()

A.(0,)B.(,)D.()

27r

【答案】A

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【考點】正弦函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【解答】解：由得，kez,當(dāng)k=0

--7+2k兀Sx-；S；+2k兀一9十2fcK4xS=+2k兀

262S3

時，r，是函數(shù)的一個增區(qū)間，顯然r,,

曰T],水卜，T]

故答案為：A

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

5.已知FI,F2是橢圓C：的兩個焦點，點M在C上，則|MFI|」MF2|的最大值為()

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【考點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，橢圓的定義

【解析】【解答】解：由橢圓的定義可知a2=9,b2=4,|MFi|+|MF2|=2a=6,

則由基本不等式可得|MF1||MF2K,

|MF1||MF2|s1MMiJ=9

當(dāng)且僅當(dāng)|MFi|=|MFz|=3時,等號成立.

故答案為：c

【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合基本不等式求解即可.

6.若tan=?2,則??n?i=()

e-?:-------

▼sm9fcot1

A.B.C.D.

【答案】c

【考點】二倍角的正弦公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用

【解析】【解答】解：原式

=sm0(sin0+cos^)

■inf?CM@atntf

_tan%

itaaS^coa2*tu2”]

故答案為：c

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，結(jié)合二倍角公式求解即可.

7.若過點(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則()

A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea

【答案】D

【考點】極限及其運算，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

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【解析】【解答】解：由題意易知，當(dāng)x趨近于-8時，切線為x=o,當(dāng)x趨近于+8時，切線為y=+8,因

此切線的交點必位于第一象限，且在曲線y=ex的下方.

故答案為：D

【分析】利用極限，結(jié)合圖象求解即可.

8.有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機取兩次,每次取1個球，甲表示事件"第一次

取出的球的數(shù)字是1",乙表示事件"第二次取出的球的數(shù)字是2",丙表示事件"兩次取出的球的數(shù)字之和是

8”,丁表示事件"兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則()

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

【答案】B

【考點】相互獨立事件，相互獨立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率計算公式

【解析】【解答】解:設(shè)甲乙丙丁事件發(fā)生的概率分別為P(A),P(B),P(C),P(D),

則，

P(A)=P(B)=i.P(G=*=5.汽0)=擊=：

對于A,P(AC)=O；

對于B,:

P0D)=士氣

對于c,；

對于D,P(CD)=O.

若兩事件X,Y相互獨立,則P(XY)=P(X)P(Y),

故B正確.

故答案為：B

【分析】根據(jù)古典概型，以及獨立事件的概率求解即可

二、選擇題：本題共4小題。每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。(共4題；共20分)

9.有一組樣本數(shù)據(jù)xi,x2，…,即,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)yi,y2，…,y。,其中廳為+3=1,2，…,n),c為非零

常數(shù)，則()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【答案】C,D

【考點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

【解析】【解答】解：對于A,,因為80,

0"0■

所以，故A錯誤；

i^y

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對于B,若X1,X2,......,Xn的中位數(shù)為Xk，因為yi=Xi+C,因為CWO,所以y”2,......,yn的中位數(shù)為yk=Xk+CWXk，

故B錯誤；

對于C,y”2,......,yn的標(biāo)準(zhǔn)差為

?二:JCji—y)'+8-y)'+…a—y)3=

：4a，+c)-G+c)F+Kx,+c)-G+c)J，+?Kxw+a-G+c)R

,故C正確；

22w_1

=^(xt-y)+(xj-y)+,Ctny)=Sa

對于D,設(shè)樣本數(shù)據(jù)X1,X2Xn中的最大為Xn,最小為X],因為獷為+c,所以y”2，……,yn中的最大為價，

最小為yi,

極差為yn-yi=(Xn+C)-(Xi+C)=Xn-Xi,故D正確.

故答案為：CD

【分析】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差的定義求解即可.

10.已知。為坐標(biāo)原點，點Pi(cosa,sina),P2(cos0,-sinB),P3(cos(a+B),sin(a+B)),A(l,0),則()

A.|,=,B.,=iC.i=一,D.?,i

OPIIInnIIAPIIIAPJOAOPSOPTOR：tu,OR=n?nft

【答案】A,C

【考點】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角，平面向量數(shù)量積的運算，兩角和與差的余弦公式，兩角

和與差的正弦公式

【解析】【解答】解：，故A正確；

|。匕|=Vcoj，a+sin2Q=1>|0/^|=*cos斗+sin節(jié)=1

因為，故B

|=4(cosa_11+sin。=V2-2cosa,|=y(cos/7-l)a+sin3fi=4-2cos萬

錯誤；

因為，

。4?。鳥=1xcos(a+/J)+Oxsin(a+3)=cos(a+fi)

Tff

OPtOPt-cosacosfi-sinatinfi=oas(a+6)

所以

成?欣=成?麗

故c正確；

因為，

0A?08=1xcosa+0xsina=cosa

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0Pt?威-(cosfl--sin/?)-(cos(a+A),rin(a+?))=cosflxcos(a+，)+(-sin/J)xsin(a+fl)=

Dos(a+2^)

所以D錯誤

故答案為：AC.

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積，及向量的求模直接求解即可.

11.已知點P在圓.+,=16上，點A(4,0),B(0,2),則()

(x-S)?(y-sy

A.點p到直線AB的距離小于10

B.點P到直線AB的距離大于2

C.當(dāng)NPBA最小時，|PB|=3

D.當(dāng)NPBA最大時，|PB|=3

0

【答案】A,C,D

【考點】直線的截距式方程，點到直線的距離公式，直線與圓的位置關(guān)系

【解析】【解答】解：直線AB為：,即x+2y-4=0,

，U2

設(shè)點P(5+4cos0,5+4sin0),則點P到直線AB的距離為_,則

B==w

所以A正確B錯誤；

又圓心。為(5,5),半徑為4,則_________________,

|05|=、/(5-0萬+(5-2)2=%

所以當(dāng)直線PB與圓相切時，NPBA取得最值，此時，__________

PB\=V0B\3一戶==3、2

所以CD正確

故答案為：ACD.

【分析】根據(jù)直線的截距式，利用點到直線的距離公式，以及直線與圓的位置關(guān)系求解即可.

12.在正三棱柱ABC-中，AB=A，點P滿足一——，，其中入e[o,i],

ARG4t=lPB=XBC+jiBBxII

則()

A.當(dāng)入=1時，△P的周長為定值

AB1

B.當(dāng)=1時，三棱錐P-AiBC的體積為定值

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C.當(dāng)入=時，有且僅有一個點P,使得

14tPlBP

D.當(dāng)時，有且僅有一個點P,使得BJ_平面AP

心a

【答案】B,D

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積，直線與平面垂直的判定

【解析】【解答】解：由點P滿足可知點P在正方形BCCiBi內(nèi),

PB=XBC+畫

對于A,當(dāng)入=1時，可知點P在CCi（包括端點）上運動，如下圖所示，AABiP中,

A%=d，AP=71+M3.+

因此周長L=AB+AP+BiP不為定值，故A錯誤.

對于B,當(dāng)口=1時，可知點P在BiCi（包括端點）上運動，如下圖所示,

易知B1G〃平面AiBC,即點P到平面AiBC的距離處處相等，

△AiBC的面積是定值，所以三棱錐P-AiBC的體積為定值，故B正確；

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對于C,當(dāng)時，分別取線段BB1,CC1的中點M,N,可知點P在線段DD1（包括端點）上運動，如

下圖所示,

很顯然若點P與D,Di重合，均滿足題意，故C正確；

對于D,當(dāng)時，分別取線段BBi,CG的中點D,Di，可知點P在線段DDi（包括端點）上運動,

1

如下圖所示,

第7頁共18頁

此時，有且只有點P與點N重合時，滿足題意，故D正確.

故答案為：BD

【分析】根據(jù)三角形的周長，棱錐的體積的求法，利用特殊點進行判斷AB即可,根據(jù)線線垂直及線面垂直

的判定定理，利用特殊點進行判斷CD即可.

三、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分(共4題；共20分)

13.已知函數(shù)f(x)=.是偶函數(shù)，則2=

x*(a-2*-2-^)----------

【答案】1

【考點】函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【解析】【解答】解：設(shè),，則題意可知函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，則g(O)=a-2J2o=a-l=O,

ff(r)=a-2X-2~*

故a=l

故答案為：1

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的判定，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

14.已知。為坐標(biāo)原點，拋物線C:、的焦點為F,P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸

/=2px(p>

上一點，且PQ_LOP,若|FQ|=6,則C的準(zhǔn)線方程為

【答案】

【考點】直線的點斜式方程，拋物線的定義

【解析】【解答】解：由題意可設(shè)，則，

因此直線PQ的方程為：

y-p=-：(x-

令y=0,得

5

“二P

因此

\FQ\==2P=6

第8頁共18頁

則p=3

因此拋物線C的準(zhǔn)線方程為:

x=-E=--

X2

【分析】根據(jù)拋物線的定義及幾何性質(zhì)，結(jié)合直線的方程求解即可.

15.函數(shù)f(x)=|2x-l|-2lnx的最小值為

【答案】1

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，分段函數(shù)的應(yīng)用

【解析】【解答】解：①當(dāng)時，f(x)=2x-l-2lnx,貝IJ,

當(dāng)X>1時，f'(X)>0,當(dāng)時，f'(X)<0,所以f(x)min=f(1)=1;

5<X<1

②當(dāng)時.，f(x)=l-2x-2lnx,則，

0<xs；f*(x)=-2--=-^^<0

此時函數(shù)f(x)=l?2x-2lnx在上為減函數(shù)，則f(x)min=,

(0■號f(i)=21n2>1

綜上，f(X)min=l

故答案為：1

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，并比較即可求解

16.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)此紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折。規(guī)格為20dmxl2dm

的長方形紙.對折1次共可以得到10dmx2dm.20dmx6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和Si=240dm2,

2

對折2次共可以得5dmxl2dm,lOdmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180dmo

以此類推?則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對折n次，那么「

力

=dm.

【答案】5；

720-240.詈

【考點】數(shù)列的求和，類比推理

【解析】【解答】解:對折3次有2.5x12,6x5,3x10,20x1.5共4種,面積和為S3=4x30=120dm2;

2

對折4次有1,25x12,2.5x6,3x5,1.5x10,20x0.75共5種，面積和為S4=5xl5=75dm;

對折n次有n+1中類型，，

%令n+1)

因此".，

還=240俱+盤+…+答)，；適=2州(>專+“+制)

第9頁共18頁

上式相減，得

藝=240（1+專+尹…4-篙）=2400-果）

則.

g廣240（3一等）=720-240-誓

故答案為：5,

720-240-吟

【分析】根據(jù)類比推理可求對折4次及對折n次的圖形種數(shù)，運用錯位相減法可求k.

四、解答題：本題共6小題，共70分。（共6題；共70分）

17.已知數(shù)列｛｝滿足=1

+1,n為均聶

if30

+2,n為碗

（1）記=，寫出,并求數(shù)列、的通項公式;

九a”I瓦】

（2）求的前20項和

（?R）

【答案】（1）為偶數(shù),

2n

則，，

fl

?n+X=a21t+2%升？=a2n+s+1

，即，且

:"aI",=In+3%“=%+3瓦=%=%+1=2

是以為首項，3為公差的等差數(shù)列,

??（M2

n?1=2ba=5bn=3n—1

(2)當(dāng)為奇數(shù)時，，

?On=?n+1-1

,,的前項和為

*?{j]20

%+%+”?+a20

=(?i+01+—+at?)+(aa+a<+-+OJO)

=l(03+-1)+,,,+(?2o*l)]+(?a+a*+…+Q?o)

=2(a3+a*+…+Ojg)-10

第10頁共18頁

由（1）可知,

%+<+…+%=為+%+…+3-2x10+—x3="5

的前20項和為

??(flnl2x155-10=300

【考點】等差數(shù)列，等差數(shù)列的通項公式，數(shù)列的求和

【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義及通項公式即可求解;

（2）運用分組求和法，結(jié)合項之間的關(guān)系即可求解.

18.某學(xué)校組織"一帶一路"知識競賽，有A,B兩類問題?每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇類并從中

隨機抽U又一個問題問答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另?類問題中再隨機抽取一個

問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得。分：

B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得。分。

己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6.且能正確回答問題的概率與

回答次序無關(guān)。

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列：

（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由。

【答案】（1）的取值可能為，

X020100

P(X=0)=1-08=02

P(X=20)=0.8x(l-Q￡)=032

P(X=100)=08x(16=(MS'

的分布列為

r.X

X020100

P0.20.320.48

(2)假設(shè)先答類題，得分為

BY

則可能為0,80,100,

Y

p(y=o)=i-06=a4'

P(Y=80)=06x(1-0切=0A2

P(F=100)=0^x0.8=&48'

的分布列為

第11頁共18頁

Y080100

P0.40.120.48

^￡(T)=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57J6

由(1)可知

E(X)=0x02+20x0324-lOOx0.48=54.4

工E(T)>E(JO

應(yīng)先答B(yǎng)類題.

【考點】相互獨立事件的概率乘法公式，離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望與方差

【解析】【分析】(1)根據(jù)獨立事件的概率，并列出X的分布列即可;

(2)根據(jù)獨立事件的概率，并列出Y的分布列，根據(jù)期望公式求得E(X),E(Y)并比較即可判斷.

19.記aABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為a.,b.,c,已知=ac,點D在邊ACBDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD=b：

(2)若AD=2DC.求cosNABC.

1?,BDsin/ABC=asinC

aoa

KMC-lauZMC

聯(lián)立?得，即

四5￡=經(jīng)ac=b-BD

BD?

vb2-ac

:.BD=b

(2)若

AD=2DC

中，

2Ab

第12頁共18頁

中,

△8CD

?:第=@

^(aa+ba-c2)=3(a,+^)a-fc2]

整理得

a2+b2-e2=3a2+y-362

J

■-2GJ—~62+c2,=C

vb2=at

,即或

6a2-liar+3c2=0

則

coszfABC="?■"*=

X9

右把，，

a=-eb：=ac=-cJ

S3.

則?

cosABC=--------=*，z=——

?*"?lc*“U

【考點】正弦定理的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用

【解析】【分析】(1)根據(jù)正弦定理求解即可；

(2)根據(jù)余弦定理，結(jié)合方程思想和分類討論思想求解即可.

20.如圖，在三棱錐A-BCD中.平面ABD_L平面BCD,AB=AD.O為BD的中點.

(1)證明：OA1CD：

(2)若AOCD是邊長為1的等邊三角形.點E在棱AD上.DE=2EA.且二面角E-BC-D的大小為45。，求三棱

錐A-BCD的體積.

第13頁共18頁

【答案】(1)為中點,

"AB=AD0BD

AO1BD

Illi

“OuABD

面面且面面

ABDIBCDABDnBCD=BD

面

:.AOIBCD

r.AOLCD

(2)以為坐標(biāo)原點,為軸,為軸,垂直且過的直線為軸,

OAOD0

設(shè)，，

C（迎1o）D（0」；0）B（0.-1.0）A（OOm）

vM=（0,-；,-；?）i?=（7.1.o）

設(shè)一為面法向量,

%=（x”yi.zjEBC

-n^ss--y--nu=0

??（li

而不比=0

ix*=0

加=0

令

%=1

元=（—Iz—

第14頁共18頁

面法向量為—,,

BCD04=(0.0.m)

一_廣，解得

DOS(R^,OA)=|I??=m=l

OA=1

工5“=：XbD*0A=：x2xl=l

-tea—1?5^4?D.%1=F

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積，平面與平面垂直的性質(zhì)，與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，用空間向

量求平面間的夾角

【解析】【分析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求解即可；

(2)利用向量法，結(jié)合二面角的平面角求得m=l,再根據(jù)棱錐的體積公式直接求解即可.

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知點(-.7,0),(.7,0),點M滿足|MFJ-|MF2|=2.記M的軌

耳力用4

跡為C.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)點T在直線上，過T的兩條直線分別交C于A,B兩點和P,Q兩點，且|TA|-|TB|=|TP|-|TQ|,

I=-

求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和

【答案】(1)

?；Mi|一|M6|=2

軌跡為雙曲線右半支，

Ccs=172a=2

工a'=1=16

r.xJ-^=l(x>0)

(2)設(shè)，

嗚n)

設(shè)：

成

y-n=kx(x-1)

聯(lián)立，

“Y=i

第15頁共18頁

a(16-k+%+與R_16=6

9

^X+X=-t---

“x42'2-X<

-，

:殳'+IB'T2廿1?

q+e區(qū)―

|T川=JI+七乜T

,

|TB|=J1+互2g-|)

r.lMIITBI-Cl+k*=6飛言號《

設(shè)：，

PQy-n=

同理，

|rF|.|rQ|=a^fi^2i

-MI?g=m?m'

<比+k]=0

【考點】雙曲線的定義，直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)根據(jù)雙曲線的定義