高考數(shù)學考前最后一輪基礎知識鞏固之第二章第8課冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及其性質

第8課幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及其性質

【考點導讀】

11

1.了解幕函數(shù)的概念，結合函數(shù)丁=%，y=X2,y=%3,y=_,y=%2的圖像了解它們

X

的變化情況；

2.理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖像，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調性;

3.在解決實際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.

【基礎練習】

1.指數(shù)函數(shù)/(%)=(。-1)，是R上的單調減函數(shù)，則實數(shù)a的取值X圍是(1,2).

2.把函數(shù)/(%)的圖像分別沿x軸方向向左，沿y軸方向向下平移2個單位，得至=2工的

圖像，則/(X)=2X-2+2.

11

3.函數(shù)y=0.32-x*的定義域為一_；單調遞增區(qū)間值域(0,0.34].

4.已知函數(shù)/(%)=。+7二是奇函數(shù)，則實數(shù)a的取值一1.

4A-+1_2_

5.要使y=(〈)1+機的圖像不經(jīng)過第一象限，則實數(shù)m的取值X圍mW-2.

6.已知函數(shù)/(x)="T-1(a〉0,aW1)過定點，則此定點坐標為(；,0).

【X例解析】

例1.比較各組值的大?。?/p>

(1)0.40.2,0.20.2,20.2,21.6；

(2)a-b,ab,aa,其中

(3)(；)；,

分析：同指不同底利用幕函數(shù)的單調性，同底不同指利用指數(shù)函數(shù)的單調性.

解：(1),/O.2O.2<O.4O.2<O.4o=1,而1<2O.2<2I.6,

/.O.2O.2<0.40.2<2O.2<21.6.

(2)?.?0<a<1且一b<。<b,ci-b>aa>ab,

(3)(；)；〉(；)；〉(；)；.

點評：比較同指不同底可利用幕函數(shù)的單調性，同底不同指可利用指數(shù)函數(shù)的單調性；另注

意通過0,1等數(shù)進行間接分類.

—21+b

例2.已知定義域為R的函數(shù)/(x)=k--------是奇函數(shù).

2x+i+a

-1-/6

(1)求a/的值;

(2)若對任意的feR,不等式/S-2。+/(20-左)<0恒成立，求上的取值X圍.

分析：研究函數(shù)的單調性，將恒成立問題轉化為求最值問題.

b-1l-2-r

(1)解：因為/(X)是奇函數(shù)，所以/(0)=0,即--=0^b=l:.f(x)=——

a+2a+2x+i

1?」

1_27.

又由f(1)=—f(―1)知一-=--；=a=2.

a+4a+1

1—11

(2)解法一：由(1)知=—=+---,易知/(X)在(F,+8)上為減函

2+2工+122.v+1

數(shù).

又因了(%)是奇函數(shù)，從而不等式：f(t2-2t)+f(2t2-k)<Q

等梳于于⑴一2t)<—于Qtz—k)=于(k—2t2),因/(x)為減函數(shù)，由上式推得:

?2—2t>k—2t2,即對一■切teR有：3/2—2t—上〉0,

從而判別式公=4+12左<0=左<—；.

l-2x1-2/2-2r1—22t2-k

解法二由⑴知小)=k.又由題設條件得：KF------------<0,

2+22浮一人+i

即：(22#-k+i+2)(1—2#-2/)+(2/2一2/+1+2)(1—22t2一k)<0,

整理得23”-2j>1,因底數(shù)21故3t2-2t-k>0

上式對一切teR均成立，從而判別式A=4+12左<0=左<—；

點評：本題第(2)問解法二，計算量大；而解法一利用單調性可以達到簡化目的.

x—2

例3已知函數(shù)/(%)=□+1_-(?>1),求證：

x+1

(1)函數(shù)/(X)在(―L+S)上是增函數(shù)；

(2)方程/(x)=0沒有負根.

分析：注意反證法的運用.

.。/、“、3(x—x)

證明：(1)設一1<X<x,/(x)-f(x)=a^-a^+——-2—1—,

1212(x+l)(x+1)

12

-2-/6

/.-a\>Q,又一l<x<x,所以x-%>0,x+1>0,x+1>0,則

122112

/(x)-/(x)<0

12

故函數(shù)/(X)在JI,+8)上是增函數(shù).

x—2

(2)設存在x<0(%￥-1),滿足/(%)=0,則-0，.又0<a%<1,

ooo%+1

0

x—2

/.O<--o---<1

x+1

0

即:<2,與假設1<0矛盾，故方程/(%)=0沒有負根.

2。o

點評：本題主要考察指數(shù)函數(shù)的單調性，函數(shù)和方程的內在聯(lián)系.

1_11_1

,「，一”、13—1一3/、%3+無一3

例z4.已知函數(shù)/(%)=§，g(x)=5-

(1)證明/(x)是奇函數(shù)，并求/(%)的單調區(qū)間；

(2)分別計算/(4)-5/⑵g⑵和“9)-5/(3)g(3)的值，由此概括出涉及函數(shù)/(x)和

g(x)的對所有不等于零的實數(shù)x都成立的一個等式，并加以證明.

分析：利用定義證明函數(shù)的奇偶性和單調性.

解：(1)函數(shù)/(x)的定義域為(F,0)U(0,+S)關于原點對稱，

1_11_1

又/(-X)=(5、3=—"35"3=一/(%),...f(x)是奇函數(shù).

1_11_1

-1

、LC…、/?/、九3一=3X3-X31z]、.I、

設0<%<X,貝!]/(九)一/(%)=1.1-22==(％3-X3)(1+-----)，

12125551211

X3X3

12

3<0,1+-1->0,.-./(%)-/(%)<0,即函數(shù)/(X)在(0,+8)上是增函數(shù).

121112

X3%3

12

又/(X)是奇函數(shù)，則函數(shù)/(X)在(-8,0)上是增函數(shù).

⑵計算/(4)-5/⑵g(2)=0,/(9)-5/(3)g(3)=0,由此概括對所有不等于零的實數(shù)

x有/(%2)-5/(x)g(x)=0.

-3-/6

2_21_11_12_22_2

、uj、/、X3-X-3_X3-X_3X3+X-313一廠313一廠3八

/(%2)-5f(x)g(x)=----5----?―--=-------=0.

點評：本題主要考察基函數(shù)的性質，以及分析，歸納能力和邏輯思維能力.

【反饋演練】

1.函數(shù)/(%)=。工(?！?且。彳1)對于任意的實數(shù)x,y都有(C)

A./(盯)=/(%)/(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)

C.f(x+y)=f(x)f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)

2.設3*=；,貝ij

(A)

A.—2<x<—1B.—3<x<—2C.-l<x<0D.0<x<l

3.將y=2x的圖像(D)

A.先向左平行移動1個單位B.先向右平行移動1個單位

C.先向上平行移動1個單位D.先向下平行移動1個單位

再作關于直線二對稱的圖像，可得到函數(shù)廠呢(川)的圖像.

4.函數(shù)/(X)=43的圖象如圖，其中a、b為常數(shù)，則下列結論正確的是(

A.a>l,b<0B.a>l,b>Q

C.Q<a<l,b>0D.Q<a<l,b<Q

5.設函數(shù)/(x)定義在實數(shù)集上，它的圖像關于直線x=l對稱，且當xNl時,

則有(B)

132231

A.飛)<仆)</)B./(3)</(2)</(3)

c.4</(￡)<4)

6.函數(shù)y=。工在hl】上的最大值與最小值的和為3,則。的值為—2

ex,x<0.1

7.設g(x)=<

lnx,x>0.2

8.某種細菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次(一個分裂為兩個).經(jīng)過3小時，這種細菌

由1個可繁殖成512個.

9.已知實數(shù)a,b滿足等式(<)“=(；)%下列五個關系式:

-4-/6

①0〈b〈a②a〈b〈0③0〈a〈b④b〈a＜0⑤a=b

其中不可熊成立的關系式有一③④.

10.若關于x的方程4x+2x+機-2=0有實數(shù)根，某某數(shù)m的取值X圍.

19

解：由4%+2%+加一2=0得,m=—4x—2%+2=—(2*+])2+彳<2,...加￡(—8,2)

11.已知函數(shù)/(x)=—^—(ax-a-x)(a〉0,。w1).

Q2-2

(1)判斷了(X)的奇偶性;

(2)若/(劃在R上是單調遞增函數(shù)，某某數(shù)a的取值X圍.

解：(1)定義域為R,則/(一%)==—/(1),故/(x)是奇函數(shù).

。2—2

(2)設％＜%eR,f(x)-/(x)="一(3-，—4)(1+^—)，

1212az—23+々

當0＜。＜1時，得。2-2＜0,即0＜。＜1；

當。＞1時，得。2-2〉0,即。〉JT；

綜上，實數(shù)a的取值X圍是(0,1)。(JX+8).

2.r

12.定義在R上的奇函數(shù)/(x)的最小正周期為2,且xe(0,1)時，/(%)=--

4A+1

⑴求/(x)在［-1,0］上的解析式；

⑵判斷了(%)在(0,1)上的單調性，并證明；

⑶當九為何值時，方程f(x)=九在［-1,1］上有實數(shù)解.

解：(1)/(x)是R上的奇函數(shù)，又2為/(x)的最小正周期，

.-./(1)=/(2-1)=/(-1)=-/(1),/(一1)=〃1)=0,設了€(-1,0),則—xe(0,l).

一E"1，。)

2x.?./(x)=b,xe{±l,0).