挑戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘(全國通用)專題12多項(xiàng)式的因式分解壓軸題八種模型全攻略(原卷版+解析)

專題12多項(xiàng)式的因式分解壓軸題八種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一判斷是否是因式分解】 1【考點(diǎn)二公因式及提提公因式分解因式】 2【考點(diǎn)三已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)】 3【考點(diǎn)四運(yùn)用公式法分解因式】 4【考點(diǎn)五運(yùn)用分解因式求值】 5【考點(diǎn)六十字相乘法分解因式】 7【考點(diǎn)七分組分解法分解因式】 9【考點(diǎn)八因式分解的應(yīng)用】 11【過關(guān)檢測】 14【典型例題】【考點(diǎn)一判斷是否是因式分解】例題：（2023秋·山西晉城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·四川巴中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列變形從左到右是因式分解的是（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)二公因式及提提公因式分解因式】例題：（2022秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）把因式分解時(shí)，應(yīng)提取的公因式是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·河南鶴壁·八年級(jí)?？计谥校┒囗?xiàng)式的公因式是（）A． B． C． D．2．（2023秋·上海浦東新·七年級(jí)?？计谥校┓纸庖蚴剑篲_________．【考點(diǎn)三已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)】例題：（2022秋·湖南長沙·八年級(jí)湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）分解因式：__________．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·山東泰安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若能分解成，則的值為______．2．（2022·山東淄博·山東省淄博第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知多項(xiàng)式分解因式為，則bc的值為______．3．（2022秋·福建泉州·八年級(jí)福建省永春第三中學(xué)校聯(lián)考期中）若多項(xiàng)式可分解為，則的值為______【考點(diǎn)四運(yùn)用公式法分解因式】例題：（2023秋·山西晉城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）因式分解：（2）因式分解：【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·湖北荊門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）因式分解(1)(2)2．（2022春·江蘇常州·七年級(jí)常州市清潭中學(xué)?？计谥校┓纸庖蚴剑?1)；(2)；(3)；(4)．【考點(diǎn)五運(yùn)用分解因式求值】例題：（2022·四川成都·八年級(jí)期末）已知：a+b=3，ab=2，則_____．【變式訓(xùn)練】1．（2021·四川·成都實(shí)外九年級(jí)階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)a，b滿足，則代數(shù)式的值為_______．【考點(diǎn)六十字相乘法分解因式】例題：（2022·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）因式分解：【變式訓(xùn)練】1．（2022·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）因式分解：2．（2022·福建三明·八年級(jí)期中）閱讀下面材料完成分解因式．型式子的因式分解．這樣，我們得到．利用上式可以將某些二鎰項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式．例把分解因式分析：中的二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，這是一個(gè)型式子．解：請(qǐng)仿照上面的方法將下列多項(xiàng)式分解因式．(1)(2)【考點(diǎn)七分組分解法分解因式】例題：（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：請(qǐng)你仿照以上方法，探索并解決下列問題：(1)分解因式；(2)分解因式：；(3)分解因式：.【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·山西忻州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先閱讀下列兩段材料，再解答下列問題：（一）例題：分解因式：．解：將“”看成整體，設(shè)，則原式，再將“”還原，得原式上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法．（二）常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多項(xiàng)式只用上述一種方法無法分解，例如，我們細(xì)心觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以分解，后兩項(xiàng)也可以分解，分別分解后會(huì)產(chǎn)生公因式，就可以完整的分解了．過程為：這種方法叫分組分解法，對(duì)于超過三項(xiàng)的多項(xiàng)式往往考慮這種方法．利用上述數(shù)學(xué)思想方法解決下列問題：(1)分解因式：；(2)分解因式：；【考點(diǎn)八因式分解的應(yīng)用】例題：（2022·廣東·深圳大學(xué)附屬教育集團(tuán)外國語中學(xué)七年級(jí)期中）閱讀材料：若，求的值．解：根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)，則a＝，b＝．(2)已知，求xy的值．(3)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足，求△ABC的周長．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校七年級(jí)期中）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，例題：若，求m和n的值．解：∵，∴，∴，∴m+n＝0，n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3問題：(1)不論x，y為何有理數(shù)，的值均為(

)A．正數(shù)

B．零

C．負(fù)數(shù)

D．非負(fù)數(shù)(2)若，求的值．(3)已知a，b，c是△ABC的三邊長，滿足，且c是△ABC中最長的邊，求c的取值范圍．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2022秋·吉林長春·八年級(jí)校考期末）把多項(xiàng)式分解因式，應(yīng)提取的公因式是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列從左到右的變形中，是因式分解的是（

）A． B．C． D．3．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)校考期末）下面分解因式正確的是（

）A． B．C． D．4．（2022秋·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，則的值是（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．20245．（2023秋·江西贛州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小明是一名密碼翻譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：，，，，，分別對(duì)應(yīng)下列六個(gè)字：縣，愛，我，贛，游，美，現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（

）A．我愛美 B．贛縣游 C．我愛贛縣 D．美我贛縣二、填空題6．（2023秋·福建寧德·八年級(jí)校考階段練習(xí)）和的公因式是_______．7．（2023秋·湖南長沙·九年級(jí)統(tǒng)考期末）分解因式：______．8．（2021春·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┮阎稳?xiàng)式有一個(gè)因式是，則m值為_________．9．（2023秋·新疆烏魯木齊·八年級(jí)新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第一中學(xué)?？计谀┮阎?，，則代數(shù)式的值為__________．10．（2023秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：．解：將“”看成整體，令，則原式．再將“”還原，得原式．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請(qǐng)利用上述方法將分解因式的結(jié)果是___________．三、解答題11．（2023秋·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期末）因式分解：(1)(2)12．（2022秋·四川遂寧·八年級(jí)?？计谥校┓纸庖蚴剑?1)；(2)．13．（2023春·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）因式分解(1)；(2)．14．（2023秋·上海浦東新·七年級(jí)校考期末）分解因式：(1)(2)．15．（2021春·河南鄭州·八年級(jí)?？计谥校┌严铝懈魇揭蚴椒纸猓?1)．(2)．(3)．16．（2022秋·甘肅酒泉·七年級(jí)校考期中）數(shù)學(xué)中，運(yùn)用整體思想方法在求代數(shù)式的值中非常重要．例如，已知：，則代數(shù)式．請(qǐng)你根據(jù)以上材料解答以下問題：(1)若，則______；(2)當(dāng)，求的值．17．（2022秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，可以計(jì)算，反過來．請(qǐng)仔細(xì)觀察，一次項(xiàng)系數(shù)是兩數(shù)之和，常數(shù)項(xiàng)是這兩數(shù)之積，二次項(xiàng)系數(shù)是1，具有這種特點(diǎn)的二次三項(xiàng)式可利用進(jìn)行因式分解．根據(jù)上述閱讀，解決下列問題：(1)已知關(guān)于x的二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求另一個(gè)因式和k的值；(2)甲，乙兩人在對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，甲看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，分解的結(jié)果為，乙看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，分解的結(jié)果為，求這個(gè)二次三項(xiàng)式，并將其進(jìn)行正確的因式分解．18．（2023秋·河南洛陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【閱讀材料】若，求，的值．解：，∴，∴．(1)【解決問題】已知，求的值；(2)【拓展應(yīng)用】已知，，是的三邊長，且，滿足，是中最長的邊，求的取值范圍．專題12多項(xiàng)式的因式分解壓軸題八種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一判斷是否是因式分解】 1【考點(diǎn)二公因式及提提公因式分解因式】 2【考點(diǎn)三已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)】 3【考點(diǎn)四運(yùn)用公式法分解因式】 4【考點(diǎn)五運(yùn)用分解因式求值】 5【考點(diǎn)六十字相乘法分解因式】 7【考點(diǎn)七分組分解法分解因式】 9【考點(diǎn)八因式分解的應(yīng)用】 11【過關(guān)檢測】 14【典型例題】【考點(diǎn)一判斷是否是因式分解】例題：（2023秋·山西晉城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接利用因式分解的定義以及整式的乘法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【詳解】解：A．，從左到右的變形，不符合因式分解的定義，故此選項(xiàng)不符合題意；B．，從左到右的變形，是整式的乘法運(yùn)算，故此選項(xiàng)不符合題意；C．，從左到右的變形，是整式的乘法運(yùn)算，故此選項(xiàng)不符合題意；D．，從左到右的變形，是因式分解，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的意義．正確掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·四川巴中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依據(jù)因式分解的定義以及提公因式法和公式法分解因式，依次判斷即可得到正確結(jié)論．【詳解】解：A.，故原因式分解錯(cuò)誤，不符合題意；B.，不能進(jìn)行因式分解，故不符合題意；C.，故原因式分解錯(cuò)誤，不符合題意；D.，因式分解正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是掌握提公因式法和公式法分解因式．2．（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列變形從左到右是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的定義，逐一進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、結(jié)果不是整式的積的形式，不是因式分解，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、是因式分解，符合題意，選項(xiàng)正確，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解得定義，解題關(guān)鍵是掌握因式分解是整式的變形，變形前后都是整式，且結(jié)果是積的形式．【考點(diǎn)二公因式及提提公因式分解因式】例題：（2022秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）把因式分解時(shí)，應(yīng)提取的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)公因式的概念（多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式），即可求解．【詳解】由題意得應(yīng)該提取的公因式是：故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解中公因式的概念，解題的關(guān)鍵是掌握公因式的概念．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·河南鶴壁·八年級(jí)校考期中）多項(xiàng)式的公因式是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的公因式的確定方法，即可求解．【詳解】解：多項(xiàng)式的公因式是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了公因式的定義．確定多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式，可概括為三“定”：①定系數(shù)，即確定各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；②定字母，即確定各項(xiàng)的相同字母因式（或相同多項(xiàng)式因式）；③定指數(shù)，即各項(xiàng)相同字母因式（或相同多項(xiàng)式因式）的指數(shù)的最低次冪．2．（2023秋·上海浦東新·七年級(jí)?？计谥校┓纸庖蚴剑篲_________．【答案】【分析】根據(jù)提公因式法分解因式即可．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握提公因式法．【考點(diǎn)三已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)】例題：（2022秋·湖南長沙·八年級(jí)湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）分解因式：__________．【答案】【分析】此多項(xiàng)式有公因式，應(yīng)先提取公因式，再對(duì)余下的多項(xiàng)式進(jìn)行觀察分解．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了用提公因式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·山東泰安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若能分解成，則的值為______．【答案】【分析】根據(jù)多項(xiàng)式分解成，所以整式乘法得出的多項(xiàng)式與相同，由此得出一次項(xiàng)系數(shù)的值．【詳解】解：，∵是由分解成的，∴一次項(xiàng)系數(shù)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握整式乘法與因式分解為互逆的運(yùn)算過程是解題的關(guān)鍵．2．（2022·山東淄博·山東省淄博第六中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知多項(xiàng)式分解因式為，則bc的值為______．【答案】24【分析】利用整式的乘法去括號(hào)合并同類項(xiàng)后，對(duì)比各項(xiàng)系數(shù)相等即可．【詳解】∵分解因式為∴∴，∴故答案是24【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，以及多項(xiàng)式相等時(shí)對(duì)應(yīng)各項(xiàng)系數(shù)相等，正確利用公式計(jì)算是關(guān)鍵．3．（2022秋·福建泉州·八年級(jí)福建省永春第三中學(xué)校聯(lián)考期中）若多項(xiàng)式可分解為，則的值為______【答案】8【分析】先將的括號(hào)展開，求出a和b的值，代入求解即可．【詳解】解：，∵，∴，解得：，∴．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則．【考點(diǎn)四運(yùn)用公式法分解因式】例題：（2023秋·山西晉城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）因式分解：（2）因式分解：【答案】（1）；（2）【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式繼續(xù)進(jìn)行分解；（2）首先分組，進(jìn)而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式即可得出答案．【詳解】解：（1）；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查分組分解法分解因式，提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，一定要注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須先提公因式．解題的關(guān)鍵正確分組、熟練掌握完全平方公式和平方差公式．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·湖北荊門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）因式分解(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可求解；（2）先提公因式，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，即可求解．【詳解】（1）解：（2）解：【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式的因式分解，熟練掌握多項(xiàng)式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，并會(huì)結(jié)合多項(xiàng)式的特征，靈活選用合適的方法是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·江蘇常州·七年級(jí)常州市清潭中學(xué)?？计谥校┓纸庖蚴剑?1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1））直接提取公因式進(jìn)行分解即可；（2）首先提取公因式3，再利用平方差公式進(jìn)行二次分解即可；（3）首先提取公因式a，再利用完全平方公式進(jìn)行二次分解即可；（4）首先利用平方差公式進(jìn)行分解，再利用完全平方公式進(jìn)行二次分解即可．【詳解】（1）解：；（2）；（3）；（4）【點(diǎn)睛】此題主要考查了公式法分解因式，與提公因式法分解因式，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．【考點(diǎn)五運(yùn)用分解因式求值】例題：（2022·四川成都·八年級(jí)期末）已知：a+b=3，ab=2，則_____．【答案】9【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解，將已知等式整體代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：∵a+b=3，ab=2，∴=9，故答案為：9．【點(diǎn)睛】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·四川·成都實(shí)外九年級(jí)階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)a，b滿足，則代數(shù)式的值為_______．【答案】【分析】將所求代數(shù)式中的因式分解，再把代入，化簡即可．【詳解】解：∵，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求代數(shù)式的值和因式分解以及整式計(jì)算，解題關(guān)鍵是熟練利用因式分解把所求代數(shù)式變形，然后整體代入求值．【考點(diǎn)六十字相乘法分解因式】例題：（2022·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）因式分解：【答案】【分析】首先提取公因式，然后再用十字相乘法分解因式即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解，熟練掌握提取公因式和十字相乘法是本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·上海·七年級(jí)專題練習(xí)）因式分解：【答案】【分析】先把式子化成，再運(yùn)用十字相乘法分解因式即可．【詳解】解：原式====【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用十字相乘法進(jìn)行因式分解．2．（2022·福建三明·八年級(jí)期中）閱讀下面材料完成分解因式．型式子的因式分解．這樣，我們得到．利用上式可以將某些二鎰項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式．例把分解因式分析：中的二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，這是一個(gè)型式子．解：請(qǐng)仿照上面的方法將下列多項(xiàng)式分解因式．(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照題意進(jìn)行分解因式即可；（2）仿照題意進(jìn)行分解因式即可．（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分解因式，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)七分組分解法分解因式】例題：（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：請(qǐng)你仿照以上方法，探索并解決下列問題：(1)分解因式；(2)分解因式：；(3)分解因式：.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先運(yùn)用平方差公式，再提取公因式即可；（2）先移項(xiàng)，再提取公因式，再逆用完全平方公式，最后提取公因式即可；（3）先移項(xiàng)，再提取公因式，再逆用完全平方公式，平方差公式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點(diǎn)睛】本題考查利用提取公因式法，公式法進(jìn)行因式分解，能夠?qū)煞N方法靈活運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·山西忻州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先閱讀下列兩段材料，再解答下列問題：（一）例題：分解因式：．解：將“”看成整體，設(shè)，則原式，再將“”還原，得原式上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法．（二）常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多項(xiàng)式只用上述一種方法無法分解，例如，我們細(xì)心觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以分解，后兩項(xiàng)也可以分解，分別分解后會(huì)產(chǎn)生公因式，就可以完整的分解了．過程為：這種方法叫分組分解法，對(duì)于超過三項(xiàng)的多項(xiàng)式往往考慮這種方法．利用上述數(shù)學(xué)思想方法解決下列問題：(1)分解因式：；(2)分解因式：；【答案】(1)(2)【分析】（1）把和分別看作一個(gè)整體后運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解，最后再運(yùn)用提公因式法進(jìn)行分解即可；（2）原式分別把一、四項(xiàng)和一、三項(xiàng)分組后，再運(yùn)用因式分解法和提公因式法進(jìn)行因式分解即可．【詳解】（1）===（2）【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)讀題，理解題意，掌握整體思想解決問題的方法．【考點(diǎn)八因式分解的應(yīng)用】例題：（2022·廣東·深圳大學(xué)附屬教育集團(tuán)外國語中學(xué)七年級(jí)期中）閱讀材料：若，求的值．解：根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)，則a＝，b＝．(2)已知，求xy的值．(3)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足，求△ABC的周長．【答案】(1)3；1(2)(3)【分析】（1）通過完全平方公式進(jìn)行變式得，然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得結(jié)果；（2）由得，然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得結(jié)果；（3）把方程通過變式得，然后由非負(fù)數(shù)性質(zhì)求得a、b，根據(jù)三角形三邊關(guān)系進(jìn)而得c，便可求得三角形的周長．（1）解：由得，，∵≥0，，∴a-3=0，b-1=0，∴a=3，b=1．故答案為：3；1；（2）由，得，，，∴，∴；（3）由得，∴，∵△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，∴，∴，∴，∴△ABC的周長為．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系，偶次方的非負(fù)性，理解閱讀材料中的解題思路是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校七年級(jí)期中）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，例題：若，求m和n的值．解：∵，∴，∴，∴m+n＝0，n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3問題：(1)不論x，y為何有理數(shù)，的值均為(

)A．正數(shù)

B．零

C．負(fù)數(shù)

D．非負(fù)數(shù)(2)若，求的值．(3)已知a，b，c是△ABC的三邊長，滿足，且c是△ABC中最長的邊，求c的取值范圍．【答案】(1)A(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意得到，即可作出判斷；（2）根據(jù)題意由得到，求得x＝y(tǒng)＝﹣2，即可得到答案；（3）由得到，求得a＝5，b＝4，因?yàn)閍，b，c是△ABC的三邊長，且c是△ABC中最長的邊，即可求得c的取值范圍．（1）解：∵，，∴≥4∴不論x，y為何有理數(shù)，的值均為正數(shù)，故選：A（2）∵，∴，∴，∴x－y＝0，y＋2＝0，∴x＝y(tǒng)＝﹣2，∴；（3）∵，∴，∴，∴a－5＝0，b－4＝0，∴a＝5，b＝4，∵a，b，c是△ABC的三邊長，且c是△ABC中最長的邊，∴，即5≤c＜9，即c的取值范圍是5≤c＜9．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式因式分解、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用等知識(shí)，利用完全平方公式變形是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2022秋·吉林長春·八年級(jí)?？计谀┌讯囗?xiàng)式分解因式，應(yīng)提取的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得提取即可得到答案．【詳解】解：，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式分解因式，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列從左到右的變形中，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)因式分解的定義是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式的變形，可得答案．【詳解】解：A．把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，故此選項(xiàng)符合題意；B．沒把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，故此選項(xiàng)不符合題意；C．是整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；D．是整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的定義，熟練掌握因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式的變形是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)?？计谀┫旅娣纸庖蚴秸_的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)把多項(xiàng)式寫成幾個(gè)因式的積的形式叫做因式分解，判斷即可．【詳解】∵，∴A不是因式分解，不合題意；∵是因式分解，∴B符合題意；∵，∴C不合題意；∵，∴D不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的定義即把多項(xiàng)式寫成幾個(gè)因式的積的形式，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，則的值是（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】A【分析】把左邊利用因式分解變形，和右邊比較即可求出n的值．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解的方法是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023秋·江西贛州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小明是一名密碼翻譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：，，，，，分別對(duì)應(yīng)下列六個(gè)字：縣，愛，我，贛，游，美，現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（

）A．我愛美 B．贛縣游 C．我愛贛縣 D．美我贛縣【答案】C【分析】將所給的多項(xiàng)式因式分解，然后與已知的密碼相對(duì)應(yīng)得出文字信息．【詳解】解：∵又∵，，，，分別對(duì)應(yīng)下列四個(gè)個(gè)字：縣，愛，我，贛，∴結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息是：我愛贛縣．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是將多項(xiàng)式因式分解，注意因式分解要分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止．二、填空題6．（2023秋·福建寧德·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）和的公因式是_______．【答案】【分析】直接找出公因式進(jìn)而提取即可．【詳解】解：．則公因式是：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．7．（2023秋·湖南長沙·九年級(jí)統(tǒng)考期末）分解因式：______．【答案】【分析】先提公因式，然后根據(jù)完全平方公式因式分解即可求解．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．8．（2021春·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┮阎稳?xiàng)式有一個(gè)因式是，則m值為_________．【答案】3【分析】根據(jù)二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，且，即可得到m的值．【詳解】解：∵二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，，∴，，故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查分組分解法因式分解，解題的關(guān)鍵是湊因式．9．（2023秋·新疆烏魯木齊·八年級(jí)新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第一中學(xué)?？计谀┮阎?，，則代數(shù)式的值為__________．【答案】【分析】原式提取公因式，將已知等式代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法的運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：．解：將“”看成整體，令，則原式．再將“”還原，得原式．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請(qǐng)利用上述方法將分解因式的結(jié)果是___________．【答案】【分析】令，代入后因式分解后，再將還原即可得到答案．【詳解】解：令，則原式，再將還原，原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)讀題，理解題意，掌握整體思想解決問題的方法．三、解答題11．（2023秋·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期末）因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）提公因式法分解因式即可；（2）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分解因式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式．12．（2022秋·四川遂寧·八年級(jí)?？计谥校┓纸庖蚴剑?1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可；（2）利用提公因式法和完全平方公式法分解因式即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的知識(shí)，熟練掌握提公因式法和公式法分解因式是解題關(guān)鍵．13．（2023春·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）因式分解(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先提公因式，再運(yùn)用平方差公式求解；（2）先去括號(hào)，再運(yùn)用完全平方公式求解．【詳解】（1）；（2）．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．14．（2023秋·上海浦東新·七年級(jí)?？计谀┓纸庖蚴剑?1)(2)．【答案】(