數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用講義-高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義-學(xué)生版

專題12數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用

探究1：裂項(xiàng)相消法

【典例剖析】

例1.（2022?浙江省金麗衢十二校聯(lián)考）已知遞增的等差數(shù)列滿足：的=1,且a5，

a8,的3成等比數(shù)列?數(shù)列｛“｝滿足：3Sn=2+bn（nGJV*），其中％為｛4｝的前n項(xiàng)和.

（I）求數(shù)列｛廝｝，｛%｝的通項(xiàng)公式；

1

（口）設(shè)“=荷嬴而37瓦，祟為數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)九使得不等式弟V

2WSn對一切neN*恒成立?若存在，求出2的值;若不存在，說明理由.

J-----------------------------------------------------------------------------------------

I選題意圖：裂項(xiàng)相消法是一種重要的數(shù)列求和的方法，該類問題背景選擇面廣，可與等差、等比數(shù)

i列、函數(shù)、不等式等知識(shí)綜合，在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題.

i思維引導(dǎo)：第（2）問中由“與冊的關(guān)系式呈分式結(jié)構(gòu)，容易聯(lián)想到要利用裂項(xiàng)求和法求罩，cn通項(xiàng)

公式需要借助廠』=號(hào)2，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化從而裂項(xiàng).

?ivn+Vn+fck

【變式訓(xùn)練】

練1-1（2022?江蘇省南通市月考）已知等差數(shù)列滿足$6=21,S7=28,其中%是數(shù)

列｛為｝的前n項(xiàng)和.

（1）求數(shù)列｛廝｝的通項(xiàng)；

4n

(2)令%=(一1尸證明:b1+b2+-+bn<^.

(2an-l)(2an+l)

練1-2（2022?山東省濰坊市聯(lián)考）已知數(shù)列｛a“｝滿足a】=l,an+1=^=（nEN*）,記

5n為數(shù)列｛&J的前幾項(xiàng)和，貝1k）

■2Q

A.2<S50<3B.|<S50<3C.3Vsso<4D.4<S50<|

【規(guī)律方法】

數(shù)列求和就是通過觀察分析數(shù)列的類型,變形得出熟悉的等差、等比數(shù)列，或者構(gòu)建出數(shù)列的

模型，找到求和的方法.裂項(xiàng)相消法較為靈活，一方面對數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行裂項(xiàng)求和，故

要熟悉常見的裂項(xiàng)的形式；另一方面對于本來無法裂項(xiàng)的數(shù)列，進(jìn)行適當(dāng)放縮使數(shù)列可進(jìn)

行裂項(xiàng)求和.

技巧策略：（1）常見的裂項(xiàng)相消法主要是將數(shù)列的通項(xiàng)分解成兩個(gè)式子（或多個(gè)式子）的差的

形式，借助裂開的項(xiàng)進(jìn)行合理抵消,方便運(yùn)算；

（2）裂項(xiàng)相消中要注意抵消了哪些項(xiàng),保留了哪些項(xiàng),不要出現(xiàn)遺漏或增加；

（3）消項(xiàng)規(guī)律:對稱抵消（消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)（或第幾項(xiàng)）,后邊就剩幾項(xiàng)（或倒數(shù)第幾項(xiàng)））.

常見方法有：

1.常見的裂項(xiàng)形式：要注意消項(xiàng)的規(guī)律具有對稱性，即前剩多少項(xiàng)則后剩多少項(xiàng).

①若｛斯｝為等差數(shù)列，則工），即分母為同一個(gè)等差數(shù)列中的兩項(xiàng)相乘即

kd\anan+kJ

可裂項(xiàng)；

n2(n+1)2n2(n+1)2*n(n+l)(n+2)2Ln(n+1)(n+l)(n+2).

④—1—=恒-?⑤_____S_______=

Vn+Vn+kk，(2n+l)(2n+1+l)2n+l2n+1+l，

個(gè)n+211-n-2n+12n+22n+1

(o)-------------------=------------------------------?)---------------------------------------:

(n2+n)-2n+1n-2n(n+l)-2n+1(n+l)(n+2)n+2n+1

2.放縮后裂項(xiàng)

①/=W）；〈喪〈;^5N2）；

1

)--------;------<——=-------<---------;-------<工=」<

Vn+Vn+1y/n2y/ny/n+y/n-1"Vn+n+1V2nyjn+nVn+n-1

探究2：并項(xiàng)求和

【典例剖析】

例2.（2022?廣東省模擬）已知數(shù)列｛a"的各項(xiàng)均不為零，S”為其前n項(xiàng)和，且與斯+1=

2Sn-l.

（1）證明：an+2-an=2;

（2）若的=一1,數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列,比=的，為=。3?求數(shù)列｛%A｝的前2022項(xiàng)和72022?

n

‘選題意圖：并項(xiàng)求和最常見的一種類型是，若｛an｝為等差數(shù)列，則數(shù)列｛（—l）-an｝中的項(xiàng)，正負(fù)交

替，可先求相鄰兩項(xiàng)的和，從而求出前幾項(xiàng)的和.

思維引導(dǎo)：第（2）問由瓦=%/2=。3,得出“的通項(xiàng)公式為（—1嚴(yán)，故anbn即為（―1嚴(yán)與等差數(shù)列

的乘積，相鄰兩項(xiàng)的和為定值，利用并項(xiàng)求和法求72022.

【變式訓(xùn)練】

練2-1(2022?江蘇省蘇州市聯(lián)考)已知數(shù)列｛an｝各項(xiàng)均為正數(shù)，且的=2,a"】-

3+]tzI3ct-j^?

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)設(shè)%=(-l)an,求瓦+b2+b3+■■■+b20.

練2-2(2022?重慶市模擬)己知函數(shù)f(x)=sin(3久+》(其中3>0)在區(qū)間有汨上單調(diào)遞

減.

(1)求出3的取值范圍；

(2)將“X)的圖像向左平移,個(gè)單位就得到函數(shù)g(x)的圖像，記a”=n2-g(mr),nEN*.若

g(x)恰為偶函數(shù)，求數(shù)列｛5｝前n項(xiàng)和立的表達(dá)式.

【規(guī)律方法】

并項(xiàng)求和法適用范圍：數(shù)列不能直接求和，但是可以將幾項(xiàng)進(jìn)行求和(類似于周期性質(zhì))，然

后再進(jìn)行整體求和.

①當(dāng)數(shù)列中常含有(-l)k或者(-l)k+i等符號(hào)時(shí),則其項(xiàng)常常體現(xiàn)為正負(fù)項(xiàng)間隔出現(xiàn),此時(shí)常

將相鄰的正負(fù)兩項(xiàng)(或三項(xiàng)等)并成一組,然后求和，或者考慮將數(shù)列分組為奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列和偶

數(shù)項(xiàng)數(shù)列,然后采用分組求和法；

②當(dāng)數(shù)列中含有即+an+i=/(n)的形式,或者an+an+1+an+2=/(n)的形式,將兩項(xiàng)或

三項(xiàng)的和并成一項(xiàng)，構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列再求和，再由新數(shù)列的通項(xiàng)公式選擇合適的求和方

法.

探究3：數(shù)列求和的其他方法

【典例剖析】

例3.(2022?福建省泉州市期中)已知數(shù)列｛即｝的前幾項(xiàng)和為Sn,且｛斯-蜘｝是公差為:的

等差數(shù)列.

(1)求證：｛即｝是等差數(shù)列；

(2)用max｛p,q｝表示p,q中的最大值，若的=1,6n=max｛2a與碌｝,求數(shù)列｛斯與｝的前n項(xiàng)

和加

選題意圖：求數(shù)列｛a“bn｝的前幾項(xiàng)和，容易聯(lián)想到要用錯(cuò)位相減法求和，但該題的第二問勾的通項(xiàng)公

式，為分段的形式，要分段求和，增加了試題的難度.

思維引導(dǎo)：第(2)問中表示出勾的通項(xiàng)公式，為分段的形式；故求｛瑪勾｝的前n項(xiàng)和要分段討論；當(dāng)

nN4時(shí)，要利用錯(cuò)位相減法求和，注意化簡要仔細(xì).

【變式訓(xùn)練】

練3-1（2022?廣東省月考）已知等差數(shù)列｛&J中，。5=萼，設(shè)函數(shù)/⑺=（4郎2?—

O乙

2）smx+cos2x+2,

記%=/（an）,則數(shù)列｛%｝的前9項(xiàng)和為（）

A.0B.10C.16D.18

n

練3-2（2022?浙江省模擬）已知數(shù)列｛即｝與｛與｝滿足%+1即+bnan+1=（-3）+1,

On=,n€N*,且的=2.

l,n為偶數(shù)

(1)設(shè)“=<^2n+l—a2n-l'n€N*,求q,并證明：數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列；

(2)設(shè)%為｛廝｝的前72項(xiàng)和,求S2n.

【規(guī)律方法】

常用的數(shù)列求和方法：直接利用兩個(gè)特殊數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列）的前n項(xiàng)和公式、列舉

法、分組轉(zhuǎn)化法、并項(xiàng)求和法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、倒序相加法.

①列舉法：列舉法主要應(yīng)用于數(shù)列項(xiàng)數(shù)較少的數(shù)列求和問題，通過列舉出數(shù)列中的各項(xiàng)后加

以數(shù)列求和.而在實(shí)際解題過程中，若一直沒有想到其他思路，也可以借助列舉法來思考，在列

舉法的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析與歸納,再采用合適的方法來處理.

②倒序相加法：若一個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)、尾項(xiàng)能構(gòu)建出特殊的關(guān)系，則可以反向構(gòu)建關(guān)系,先把數(shù)

列倒著寫一遍再和原來的數(shù)列相加，從而得到題中所證或所求.

③分組求和法：當(dāng)所求解的數(shù)列本身不是特殊數(shù)列，而通過適當(dāng)拆分并重新組合后，可以分成

若干個(gè)特殊數(shù)列，分別求和.

④錯(cuò)位相減法：對一個(gè)由等差數(shù)列和等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列的前n項(xiàng)和問題，常用

錯(cuò)位相減法求和.這種

方法主要用于求數(shù)列｛與■%｝的前幾項(xiàng)和，其中｛%｝、｛%｝分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，等式兩

端同時(shí)乘以公比后進(jìn)行錯(cuò)位相減，再利用等比數(shù)列的求和公式加以轉(zhuǎn)化即可.

探究4：數(shù)列求和的綜合問題

【典例剖析】

例4.（2022?江蘇省南京市聯(lián)考?多選）已知數(shù)列｛廝｝的前幾項(xiàng)和為工,%=1,且

4an-an+1=an-3an+1（n=1,2,則（）

A.3a<aB.CI5=-T--C.ln（-）<n+1D.1<S<—

n+1nn14,

!選題意圖：數(shù)列的多選題，涉及的數(shù)列知識(shí)較多，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生能否靈活的運(yùn)用數(shù)列的基本概

：念，基本方法解決問題.

;思維引導(dǎo)：由遞推關(guān)系構(gòu)造數(shù)列，求出冊的通項(xiàng)公式后逐個(gè)判斷選項(xiàng)，其中D選項(xiàng)涉及求和，與的通項(xiàng)

；公式不能直接利用上述求和方法，就要通過放縮將不特殊數(shù)列化為特殊數(shù)列，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)

【變式訓(xùn)練】

練4-1（2022?廣東省佛山市模擬）某科技研發(fā)公司2021年全年投入的研發(fā)資金為300萬

元，在此基礎(chǔ)上，計(jì)劃每年投入的研發(fā)資金比上一年增加10%,則該公司全年投入的研發(fā)

資金開始超過600萬元的年份是（）

（參考數(shù)據(jù):lg2=0.301,lg3=0.477,lg5=0.699,Igll=1.041）

A.2027年B.2028年C.2029年D.2030年

練4-2（2022?江蘇省模擬）若一個(gè)數(shù)列的第m項(xiàng)等于這個(gè)數(shù)列的前a項(xiàng)的乘積，則稱該數(shù)

列為積數(shù)列”.若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛冊｝是一個(gè)“2019積數(shù)列”,且的>1