2023年全國甲卷高考理科數(shù)學試題解讀及答案詳解

2023年高考數(shù)學真題完全解讀（全國甲卷理科）

適用省份：

四川、廣西、貴州、西藏

二］試卷總評

高考數(shù)學全國卷全面考查數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)

分析等學科核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性的考查要求，突出理性思維,

發(fā)揮數(shù)學學科在人才選拔中的重要作用。

一、基礎學科的考查重點

高考數(shù)學是基礎性學科，2023年高考數(shù)學全國卷充分發(fā)揮基礎學科的作用，突出素養(yǎng)

和能力考查，甄別思維品質、展現(xiàn)思維過程，給考生搭建展示的舞臺和發(fā)揮的空間，致力于

服務人才自主培養(yǎng)質量提升和現(xiàn)代化建設人才選拔。

一是重點考查邏輯推理素養(yǎng)。如第7題，以三角函數(shù)為材料考查充要條件的推證，要求

考生判別充分性和必要性，然后分別進行證明，解決問題的關鍵是利用三角函數(shù)同角公式中

的平方關系進行推理論證。

二是深入考查直觀想象素養(yǎng)。如第15題，要求通過想象與簡單計算，確定球面與正方

體棱的公共點的個數(shù)。

三是扎實考查數(shù)學運算素養(yǎng)。試題要求考生理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思

路，求得運算結果。如第12題，可用橢圓的定義和余弦定理，求|P用，歸閭,「用，歸國之，

再用中線的向量公式求OP。

四是加強關鍵能力考查，增強試題的選拔性。試題通過設置綜合性的問題和較為復雜的

情境，加強關鍵能力的考查。如第21題重視基于數(shù)學素養(yǎng)的關鍵能力的考查，將函數(shù)、導

數(shù)、三角函數(shù)與不等式等知識有機結合，考查學生靈活應用函數(shù)、不等式思想解決復雜問題

的能力，對直觀想象能力和邏輯推理能力也有較高的要求。在數(shù)學知識、數(shù)學能力和創(chuàng)新思

維層面都有所體現(xiàn)，具有較好的選拔功能。

二、高考試卷的命題探究

高考數(shù)學全國卷在命制情境化試題過程中，在剪裁素材方面，注意控制文字數(shù)量和閱讀

理解難度；在抽象數(shù)學問題方面，設置合理的思維強度和抽象程度；在解決問題方面，通過

設置合適的運算過程和運算量，力求使情境化試題達到試題要求層次與考生認知水平的契合

與貼切。

一是創(chuàng)設現(xiàn)實生活情境。數(shù)學試題情境取材于學生生活中的真實問題，貼近學生實際，

具有現(xiàn)實意義，具備研究價值。如第6題，取材于滑冰和滑雪兩項典型的冰雪運動，具有時

代氣息，貼近考生，貼近生活，意在引導學生積極參加體育活動，健體強身，全面發(fā)展。又

如第9題，以志愿者報名參加公益活動的情境考查排列組合內容，引導學生重視社會責任感,

培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力。

二是設置科學研究情境。科學研究情境的設置不僅考查數(shù)學的必備知識和關鍵能力，而

且引導考生樹立理想信念，熱愛科學，為我國社會主義事業(yè)的建設作出貢獻。如第19題，

研究臭氧環(huán)境對小白鼠生長的影響，將小白鼠隨機分配到試驗組和對照組，利用成對數(shù)據(jù)制

成列聯(lián)表，進行獨立性檢驗。

三、高考復習的目標導向

高考數(shù)學全國卷在反套路、反機械刷題上下功夫，突出強調對基礎知識和基本概念的深

入理解和靈活掌握，注重考查學科知識的綜合應用能力，落實中國高考評價體系中“四翼”

的考查要求。同時，合理控制試題難度，科學引導中學教學，力圖促進高中教學與義務教育

階段學習的有效銜接，促進考教銜接，引導學生提高在校學習效率，避免機械、無效的學習。

一是突出基礎性要求。各套試卷在選擇題和填空題部分均設置多個知識點，全面考查集

合、復數(shù)、平面向量、排列組合、三角函數(shù)的圖像和性質、幾何體的體積、直線和圓等內容，

實現(xiàn)對基礎知識的全方位覆蓋。同時，在解答題部分深入考查基礎，考查考生對基礎知識、

基本方法的深刻理解和融會貫通的應用。如第17題，全面考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的概念

與性質，以主干知識考查理性思維素養(yǎng)和運算求解能力.

二是彰顯綜合性要求。如第10題，是集合、三角函數(shù)的綜合題，深入考查集合的概念、

三角函數(shù)的周期性，既可以通過三角函數(shù)的周期性求解，也可以用數(shù)形結合的方法求解。

三是體現(xiàn)創(chuàng)新性要求。如第10題，將三角函數(shù)的圖像和直線方程相結合，考查兩者交

點的個數(shù)，展示函數(shù)圖象在解決問題過程中的重要作用。

2023年高考數(shù)學全國卷全面貫徹黨的二十大報告精神，落實高考內容改革的要求，嚴

格依據(jù)高中課程標準，深化基礎性和綜合性，聚焦學科核心素養(yǎng)，精選試題情境，加強關鍵

能力考查，促進學生提升科學素養(yǎng)，引導全面發(fā)展，助推高中育人方式改革。

考情分析

題號分值題型考查內容考查點

15單選題集合對整數(shù)形式的無限集合的理解，求并集，求補集

25單選題復數(shù)復數(shù)的代數(shù)乘法運算，復數(shù)相等

2

35單選題算法與程序框圖程序框圖的運算

45單選題平面向量平面向量線性運算，等腰三角形的判斷，三角形

重心的運用，求向量的夾角

55單選題等比數(shù)列等比數(shù)列前n項和計算，需注意其中條件“正項”

65單選題概率條件概率的計算，用古典概型來做的話，可以用

Venn圖來表示

75單選題常用的邏輯關系用三角函數(shù)同角公式中的平方關系來判斷充分性

和必要性，可舉反例來判斷

85單選題圓錐曲線用雙曲線的離心率求漸近線，漸近線與圓相交，

求弦長

95單選題計數(shù)原理和排列組分類加法、分布乘法計數(shù)原理以及特殊條件下的

合組合問題

105單選題三角函數(shù)三角函數(shù)圖像的平移問題，三角函數(shù)與一次函數(shù)

交點個數(shù)判斷，可采用圖像法，特值法

115單選題立體幾何四棱錐，通過三角形全等的方法證明PB=PA,再

通過余弦定理計算PA,再計算面積

125單選題圓錐曲線可通過橢圓的焦點三角形的面積公式以及等面積

法求出P的坐標；可用橢圓的定義和余弦定理，

求|尸耳,歸磯|P6『+戶閭2,再用中線的向量公

式求OP

135填空題函數(shù)與三角函數(shù)偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)，三角函數(shù)為偶，通過二

次函數(shù)一次項為0時是偶函數(shù)得出結果

145填空題線性規(guī)劃根據(jù)約束條件作出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃求目標

函數(shù)的最值

155填空題立體幾何根據(jù)正方體的對稱性，可知球心到各棱的距離相

等，即可求解

165填空題三角函數(shù)根據(jù)余弦定理求出AC,再用等面積法求出AD

1712解答題數(shù)列(1)公式法求通項公式；

(2)用錯位相減法求前n項和.

1812解答題立體幾何(1)通過線面、面面垂直的判定與性質定理可得

AQ_L平面BCG4，由勾股定理得0為中點，

3

即可得證；

(2)利用直角三角形求出AB】的長及A到面的

距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.

1912解答題概率與統(tǒng)計(1)利用超幾何分布的知識即可求分布列和期

望；

(2)(i)根據(jù)中位數(shù)的定義即可求的加=23.4,

從而列出列聯(lián)表；

(ii)根據(jù)獨立性檢驗的方法即可求解；

2012解答題圓錐曲線(1)利用直線與拋物線的位置關系，聯(lián)立直線與

拋物線方程求出弦長，即可求出p；

(2)設直線為x=wty+〃，"(X],y]),N(電,y)2，

再利用而?而=(),找到根，〃的關系，求出

尸的面積表達式，結合二次函數(shù)的性質求出

最小值.

2112解答題函數(shù)與導數(shù)(1)求導化簡，通過/=cos2x換元，轉化為二

次函數(shù)判斷導函數(shù)的正負，即可判斷單調性；

(2)構造g(x)=/(x)-sin2x,計算g'(x)的最

大值，然后與0比較大小，得出a的分界點，討

論即可.

2210選做題極坐標與參數(shù)方程(1)根據(jù)直線的幾何意義即可求出；

(2)在直角坐標系下求出直線的普通方程，再轉

化為極坐標方程.

2310選做題不等式(1)分類討論：xWa或x〉a去掉絕對值，即

可求解；

(2)將絕對值函數(shù)寫成分段函數(shù)，畫草圖，寫出

面積表達式，即可求出.

4

備考指津

1、強調對基礎知識和基本概念的深入理解和靈活掌握，引導學生提高在校學習效率，

避免機械、無效的學習。

2、學生應認識到低效的學習方式只會帶來無效的壓力和負擔，講究備考復習時效性，

不斷鞏固階段性復習成果。

3、合理控制試題難度，科學引導中學教學，力圖促進高中教學與義務教育階段學習的

有效銜接。

4、不管命題方向趨勢如何，重視對基礎概念的理解和掌握永遠是最重要的。不論題型、

題量、難度如何，透徹、全面地理解基礎概念，能夠用最基礎、樸素的方式使用基礎概念分

析解決問題是一切的基礎，是能做對所有送分的基礎題的基礎，是能著手分析難題的基礎，

也是未來學習大學的專業(yè)知識和高等知識的基礎。

5、不管命題方向趨勢如何，邏輯分析推理能力也是非常重要的?，F(xiàn)在的難題幾乎根本

不會出現(xiàn)非常套路化、模板化的陳年舊題，總是在想方設法地推陳出新。就算有舊題型，往

往也都是簡單的題目，不需要什么特殊的方法也能做出來。

等b真題解讀

2023年高考全國甲卷數(shù)學(理)真題

一、選擇題

1.設全集U=Z，集合M={xlx=3k+l,keZ},N={x|x=3k+2,keZ},金(MuN)=()

A.{x|x=3&,ZeZ}B.{x|x=3k-l,keZ}

C.{xlx=3k-2,keZ)D.0

【命題意圖】

本題考察對整數(shù)形式的無限集合的理解，求并集，求補集，難度：容易

【答案】A

【詳解】因為整數(shù)集Z={x|x=3Z,%eZ}{X|X=3/+1?€Z}.{x\x=3k+2,k,U=Z,

所以，Cu(AuB)={x\x=3k,kGZ}.

【知識鏈接】

1、集合的表示方法：列舉法、描述法、Venn圖等；

2、集合的類型：有限集、無限集；

3、根據(jù)元素的特征判斷集合所表示的含義；

5

4、應用數(shù)形結合進行交、并、補等運算，常用的數(shù)形結合形式有數(shù)軸、坐標系及Venn圖.

2.設4￡1<(〃+1)(1—5)=2,,則()

A.-1B.0C.1D.2

【命題意圖】

本題考察復數(shù)的代數(shù)乘法運算，復數(shù)相等求解，難度：容易

【答案】C

【詳解】因為(a+i)(l—出)=。-。匕+1+。=2。+(1—〃2]=2,

(2a=2

所以?2八，解得：。=1?

[\-a=0

【知識鏈接】

1、復數(shù)的四則運算

設zi=a+bi,Z2=c+di(〃,b,c,d￡R),我們規(guī)定:

zi+Z2=(〃+歷)+(c+di)=(a+c)+(b+J)i;

Z2?zi=(c+di)?(a+0i)=(c?a)+(d?〃)i.

zi?Z2=(4+8i)(c+di)=(ac-/%O+Sc+z/)i;

z1_a+bi_(a+bi)(c-di)_ac+bdbc-ad..

22

z2c+di(c+di)(c-di)c+d

2、復數(shù)相等的充要條件

兩個復數(shù)相等的定義:如果兩個復數(shù)的實部和虛部分別對應相等、那么我們就說這兩個復數(shù)相

(a=c,

等也就是若。力,c,dWR廁〃+0i=c+di=|b4特別地,。+歷=。=〃=人=0.

3.執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的6=()

A.21B.34C.55D.89

【命題意圖】

本題考察程序框圖模擬運行，難度：容易

6

【答案】B

【詳解】當”=1時，判斷框條件滿足，第一次執(zhí)行循環(huán)體，A=l+2=3,B=3+2=5,

“=1+1=2；

當〃=2時，判斷框條件滿足，第二次執(zhí)行循環(huán)體，A=3+5=8,8=8+5=13,〃=2+1=3；

當〃=3時，判斷框條件滿足,第三次執(zhí)行循環(huán)體，4=8+13=21,3=21+13=34,”=3+1=4；

當〃=4時，判斷框條件不滿足，跳出循環(huán)體，輸出8=34.

【知識鏈接】

I、程序框圖基本概念：

程序構圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準確、

直觀地表示算法的圖形。

2、構成程序框的圖形符號及其作用

程序框名稱功能

/、表示一個算法的起始和結束，是任何流程圖不

起止框

可少的。

表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法

輸入、輸出框

LU中任何需要輸入、輸出的位置。

賦值、計算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公

—

處理框式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框

內。

判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標明

判斷框

O“是”或“Y”；不成立時標明“否”或“N”。

3、算法的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、循環(huán)結構

4.已知向量滿足同=|司=1,同=應，且a+6+c=0，則cos〈a-c,6-c)=()

【命題意圖】

本題考察平面向量線性運算，向量的加、減法、數(shù)量集運算，三角形重心的運用，求向量的

夾角，難度：一般

【答案】D

【詳解】因為a+0+c=0，所以a+各=-c，即a?+Z?2+2。/=c"，

即1+1+2々$=2,所以=0-如圖，設O4=a,OB="OC=c.

7

c

由題知,0A=OB=VOC=五"OAB是等腰直角三角形，

AB邊上的高8=①,AD=^，所以。。=（70+0。=&+也=逑,

2222

tanZACD=cosZ.ACD=-1=

CD3x/10

cos(a-c,b-c)=cosZ.ACB=cos2Z.ACD=2cos2Z.ACD-X

【知識鏈接】

1、向量的線性運算

向量

定義法則（或幾何意義）運算律

運算

交換律：

求兩個向量和三角形法則a+b-b+a<

加法

的運算結合律：

［a+b\+c=a+^b-\-c

平行四邊形法則

求a與B的相

減法反向量的a—h=a+\—b

和的運算

求實數(shù)幾與向2?〃=|斗〃，當;I>0時。與［口而

數(shù)乘量［的積的運的方向相同；當九<0時/ll與［的（/L+"&=之。+4a

算方向相反；當；1=0時,丸"=0A\a+b）^Aa+Ab

2、向量線性運算常見的結論

8

1

(1)若P為線段AB的中點,0為平面內任一點，則而=-(耐+而).

2

(2)ISAABC中，丙+而+玩=0=P為AABC的重心.

(3)若G是AABC的重心，則瓦+而+詫=0,南=/費+而).

3、平面向量的數(shù)量積

(1)定義:已知兩個非零向量々與石，它們的夾角為8,則數(shù)量Wfl-cos6叫作々與了的

數(shù)量積(或內積)，記作￡￡,即73=R?W?COS6.規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即

6-^=0/4

(2)向量的夾角

0~~bB

①定義:已知兩個非零向量［和g，如右圖，作”=10B=?，則/A0B=。

——CI?/?

(0。《6080。)叫作Z與1的夾角，記作<々石cosd-cos<a,b>-LIT

>\a\-\b\

②當0=0。時，￡與石同向；當0=180。時，々與3反向；當0=90。時，［與3垂直

5.設等比數(shù)列｛《,｝的各項均為正數(shù)，前〃項和S,,,若卬=1,$5=553-4,則邑=()

A.—B.—C.15D.40

88

【命題意圖】

本題考察等比數(shù)列的前n項和的計算，列出關于q的方程，計算出4,即可求出其,難度：較

易

【答案】C

【詳解】由題知l+4+/+q3+/=5(l+q+q2)_4,即g3+q，=4q+4q2,

即/+q2-4q-4=0,即(q-2)(q+l)(q+2)=0.由題知4>0,所以q=2.

所以S4=1+2+4+8=15.

【知識鏈接】

1、等比數(shù)列的有關概念

一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零),那么這個數(shù)列就叫作

等比數(shù)列.這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，通常用字母q(qrO)表示，定義的表達式為

dn

2、等比數(shù)列的有關公式

(1).通項公式

9

(nai,q=l,

(2).前n項和公式:Sn={a[“一q%_aaq

(l-q1-q(qri).

6.某地的中學生中有60%的同學愛好滑冰，50%的同學愛好滑雪，70%的同學愛好滑冰或

愛好滑雪.在該地的中學生中隨機調查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰

的概率為()

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

【命題意圖】

本題考察條件概率，先算出報名兩個俱樂部的人數(shù)，從而得出某人報足球俱樂部的概率和報

兩個俱樂部的概率,利用條件概率的知識求解，難度：較易

【答案】A

【詳解】報名兩個俱樂部的人數(shù)為50+60-70=40,

記“某人報足球俱樂部”為事件A,記“某人報兵乓球俱樂部”為事件8,

4

貝IJP(A)=^=9,P(AB)="=9,所以尸(劇A)=>^^=K=O.8.

707707P(A)5

7

【知識鏈接】

1、條件概率

一般地，設A,B為兩個隨機事件，且P(A)>0,我們稱P(B\A)=m冬為在事件A發(fā)生的條件下，

P(4)

事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.

2、概率的乘法公式

由條件概率的定義，對任意兩個事件A與B,若P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A).我們稱上式為概

率的乘法公式.

7.設甲：sin2a+sin2/7=l,乙：sina+cos尸=0,則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【命題意圖】

本題考察同角三角函數(shù)的平方關系，以及充分條件、必要條件的概念，難度：較易

【答案】B

JT

【詳解】當sin2a+siM/=l時，例如。=萬,夕=0但sina+cos/?w0,

即sira+sin?/?：1推不出sina+cos〃=0；當§由。+851=0時，

10

sin2a+sin2/3=(-cos/3)2+sin2=1,即sina+cos￡=0能推出sin?a+sin2尸=1.

綜上可知，sin2a+sin2/?=1是sinc+cos/=0成立的必要不充分條件.

【知識鏈接】

1、同角三角函數(shù)的基本關系

(1).平方關系:siMa+cos2a=1.

(2).商數(shù)關系:四絲=tana(a力/CTT+3keZ).

cosa'2'/

2、充分條件、必要條件與充要條件的概念

若pnq,則p是.q的充分條件,g是p的必要條件

p=q且g=/pp是q的充分不必要條件

P=/q且q=Pp是q的必要不充分條件

poqp是q的充要條件

P=/q且q=/pp是q的既不充分也不必要條件

8.已知雙曲線C:￡-y=l(a>01>0)的離心率為石，C的一條漸近線與圓

ah-

(x-2)2+(y-3)2=l交于A,B兩點,則|AB|=()

Ay/5R2石「3石n4x/5

5555

【命題意圖】

本題考察雙曲線的離心率與漸近線的關系，圓心到直線的距離及圓半徑，求弦長，難度：一

般

【答案】D

【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.

【詳解】由6=不，則:?=竺二=1+4=5,解得2=2,所以雙曲線的一條漸近線不妨

a~a~a~a

取y=2x,則圓心(2,3)到漸近線的距離d=9：2-31=好,

所以弦長|AB|=2,產一/=2，1=竽.

【知識鏈接】

1、圓的定義和圓的方程

定義平面內與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)

標準方程(x-<7)2+(j-Z?)2=r2(r>0)圓心:(a力),半徑:r

x2+V+Dr+E)：+/=0,

一般圓心:(-對)

方程即(x+2)+(y+2)=4(D+E--4F>0)半徑，D2+E2-4F

2、直線被圓截得的弦長

11

弦心距，弦長/的一半，及圓的半徑，?構成一直角三角形,且有戶=《+（；/）2.

3、雙曲線的標準方程和幾何性質

標準方程

圖形

范圍或舊z

對稱性對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點

頂點A(aO)A(a,O)4(0,/),A2(0a)

ba

漸近線y=±-x

?Q

性

質離心率,eC(l,+oo)，其中c=7$+Z)2

線段44叫作雙曲線的實軸,它的長14A2l=2a;線段8|&叫作雙曲線的虛軸，它

軸

的長網民|=2b叫作雙曲線的實半軸長力叫作雙曲線的虛半軸長

a,b,c

/=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

的關系

9.現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人

中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

【命題意圖】

本題考察分類相加、分布相乘計數(shù)原理，組合問題，難度：一般

【答案】B

【詳解】不妨記五名志愿者為“，〃，c，d，e,假設。連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務，再從剩余的4

人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服務，共有A；=12種方法，同理：bed,e連續(xù)參

加了兩天社區(qū)服務，也各有12種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務的選擇種數(shù)

有5x12=60種.

【知識鏈接】

I、計數(shù)原理

分類加法計數(shù)原虱分步乘法計數(shù)原理一

相同點用來計算完成一件事的方法種數(shù)

分類、相加分步、相乘

不同點每類方案中的每一種方法都能獨立完成每步依次完成才算完成這件事情（每步中的

這件事每一種方法不能獨立完成這件事）

注意點類類獨立，不重不漏步步相依，缺一不可

2、排列與組合

名稱定義

12

排列?！ㄐ∩莶凑找欢ǖ捻樞蚺懦梢涣校凶鲝摹▊€元素中取出，〃個元素

系中取出,

m（m<n）個元的一個排列

“0素作為二組,叫作從〃個不同元素中取出，〃個元素的一個組合

①從〃個不同元素中取出〃?（"區(qū)〃）個元素的所有不同排列的個數(shù),叫作從n個不同元素中取出

m個元素的排列數(shù),用符號A4表示.

②從n個不同元素中取出〃?（〃E〃）個元素的所有不同組合的個數(shù),叫作從n個不同元素中取出

m個元素的組合數(shù),用符號Ch表示.

cos,+今）的圖象向左平移看個單位長度得到，則

10.函數(shù)y=/（x）的圖象由函數(shù)y=

y=/（x）的圖象與直線y=gx-g的交點個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【命題意圖】

本題考察三角函數(shù)平移的性質求得〃X）=-Sin2x,再作出了（X）與y=的部分大致圖

像，考慮特殊點處/（可與丫=3犬-；的大小關系，從而精確圖像，難度：較難

【答案】C

（詳解】因為>=cos（2x+都句左平移.個單位所得函數(shù)為

y=cos所以/(x)=-sin2x,

而y顯然過（o，-g）與（1，0）兩點，

作出，（x）與j=的部分大致圖像如下，

考慮2X=T，2X*2X=?,即

222

37137t7/1.,\,11,,..

x=__/，X==：-處r與尸尸）的大小

44422

當X=與時,/閨…吟口13n1^<1

y=—X------

242

山7?！癐/7兀).77117兀1771-4

當工二二時，/_=-sm—=1尸—x---------->1;

4I4)22428

所以由圖可知，/（X）與y=的交點個數(shù)為3.

13

【知識鏈接】

函數(shù)y=sinx的圖象經變換得到y(tǒng)=Asin（3x+<p）（A>0,3>0）的圖象的步驟如下:

11.已知四棱錐P—ABC。的底面是邊長為4的正方形，PC=PD=3,ZPCA=45°,.PBC

的面積為（）

A.272B.3yliC.4后D.60

【命題意圖】

本題考察再立體幾何中，先在△R4C中利用余弦定理求得「4=后，cos/PCB=；,從而

求得2Vpe=-3，再利用空間向量的數(shù)量積運算與余弦定理得到關于的方程組,

從而求得尸8=，萬，由此在」PBC中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解，難度：較難

【答案】C

在AR4c中，PC=3,NPCA=45°,

貝!）由余弦定理可得PA?=AC2+PC2-2AC-PCcosNPCA=32+9-2x4夜x3x注=17,故

2

PA=y/n,

17+9—32

所以cosZAPC=

IPAPC2x717x3

PAPC=\PA|I閡cosZAPC=-3,不妨記PB=m,NBPD=?,

14

因為尸O=L(PA+PC)=L(PB+P￡)),所以(P4+PC)2=(PB+PO)2,

即PA2+PC2+2PA-PC=PB+PD2+2PB-PD，

則17+9+2x(—3)=m~+9+2x3x/ncos0,整理得m2+6mcos0-11=01D?

又在△PBZ)中，BD2=PB2+PD2-2PB-PDCOSZBPD.即32=〃』+9-6%cos。，則

/n2—6〃?cos<9-23=0②，兩式相力口得2m2-34=0，故PB=m=歷,

故在.PBC中，PC=3,PB=>/n,BC=4,

PC2+BC2-PB29+16-17_1

所以cosNPCB=

2PCBC2x3x4-3,

又0<NPCB<n,所以sinZPCB=^1-cos2Z.PCB=—

3

所以.PBC的面積為5=’尸。8。$出//＞圓=1*3、4*述=4忘.

223

【知識鏈接】

I、簡單多面體的結構特征

名稱棱臺

D'

圖形

R

底面互相平行且全等互相平行且相似

相交于一點但不一延長線交于

側棱平行且相等

定相等一點

側面

平行四邊形三角形梯形

形狀

2、正弦定理、余弦定理

在4ABC中，若角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為AABC外接圓的半徑，則

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2hccosA;

.abc

內谷----=----=——=27?kr=(?+CZ2-2C6/COSB;

sinAsinBsinC/=4+戶2而cosC

(1)a=2RsinA,/?=2/?sinB,c=2/?sinC\b2+c2-a2

cosA-,;

abc2bc

(2)sinA=—,sinB--,sinC--;

期形2R2R2R'c2+a2-b2

：：：cos8一;

/(3)a:bc=sinAsin8sinC;2ac

(4)asinB=bsin/A,bsinC=csinB,a2+b2-c2

AsinC=csinAcosC-

2ab

3、三角形的面積公式

S=^aha=^bhb=^chc(haJib,hc分別表示a,b,c邊上的高)；

S=-abs\nC=-?csinB=-bcsinA;

222

15

S=;(〃+力+c)?r為△ABC內切圓的半徑)；

S二黑R為AABC外接圓的半徑)；

4R

S=Jp(p-Q)(p-b)(p-c),其中〃W(〃+%+c),

r223

12.設O為坐標原點，耳，行為橢圓C：1的兩個焦點，點產在。上，cos/^PE=g,

則|OP|=()

A.9B.畫C.*D.遮

5252

【命題意圖】

本題考察橢圓的定義，用余弦定理求州尸周|尸周,|3『+|刊4，結合中線的向量公式以及數(shù)

量積即可求出，難度：一般

【答案】B

因為|咫|+忸聞=2a=6①，歸耳『+歸國2"歸耳療用/甲第=忸球,

即|P/>|2+|PF,|2-||P/<||P^|=12(2),聯(lián)立①②，

[5)->

解得：歸耳療用=》,|咽+\PF2\=21,

而尸O=；(/Y；+PK),所以|OP卜卜。卜g,耳+P/",

叫尸。層附+叫=外產用?+2尸耳?皮+|呵=3+2亭畀亭.

【知識鏈接】

1、橢圓的標準方程和幾何性質

標

準

x2y2y2x2

方

程11,■■1-l（fl>/j>0）

azb22

y

A.A2

圖形

叫OlB2X

4

范圍-a<x<a^b<y<b-b<x<bra<y<a

對稱性對稱軸:坐標和柒對稱中心:原點

頂點

4（?。,0）42（。,0）,4（0,?。）42。4）,

坐

標

B《0,-b）,B2（0,b）助（也0）%,0）

性

4A22a;

質長軸的長為

軸

短軸BB的長為2b

焦距IQBI=2c

c

離心率-0,1）

a

a,b,c?2=/?2+c2

16

的關系

2、與橢圓的焦點三角形相關的結論(含焦半徑公式)

橢圓上的一點與兩焦點所構成的三角形稱為焦點三角形.解決焦點三角形的問題常利用橢圓

的定義、正弦定理和余弦定理.

22

在以橢圓J+J=l(a泌＞0)上一點")()*))和焦點F(c,0),F2(c,0)為頂點的中，

a2b2

若/尸十危=仇則

⑴|PFi|=a+exo,|PB|=a-eo((焦半徑公式,e為橢圓的離心率).|PQ|+|=2"；

(2)4(2=|PQF+1尸B12-21尸川?|P臼-cos優(yōu)

⑶也習所肥尸2卜sin0=c|/|=ZAan*當I)，o|=4即P為短軸端點時久已馬取得最大值.最

大值為怔

(4)焦點三角形的周長為2(a+c).

1

3、中線的向量公式：若P為線段AB的中點,O為平面內任一點，則訶=-(畫+而).

2

二、填空題

13.若〃x)=(x-l)2+ar+sin(x+5)為偶函數(shù)，貝lja=.

【命題意圖】

本題考察函數(shù)的奇偶性判斷，三角函數(shù)的奇偶性，難度：容易

【答案】2

【詳解】因為＞=/(司=(》-1)2+辦+$皿(1+]]=(_1-1)2+41+8$*為偶函數(shù)，定義域為R,

所以(升佃，即卜下)g+cos罔=(川+3+c吟

則兀〃=(5+1]一(]—1)=2兀，故4=2,

此時f=+2X+COSX=X2+I+COSX,

所以/(-x)=(-x)2+l+cos(-x)=x2+1+COSX=/(x)，

又定義域為R，故"X)為偶函數(shù)，

所以4=2.

故答案為：2.

【知識鏈接】

1、函數(shù)的奇偶性

17

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數(shù)的定義域內任意一個x,都有